ANÁLISIS DE LA FORMA BIDIMENSIONAL

Transcripción

1 1-1 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin 1 ANÁLISIS DE LA FORMA BIDIMENSIONAL Material e instrumental en el dibujo geométrico Lápiz Tanto para el dibujo geométrico como para la realización de bocetos o cualquier tipo de trazo se utiliza normalmente el gráfito en minas de distinta dureza, codificada en cuatro grupos principales: B (black), HB (Hard-Black), F (Firm), H (Hard), que a su vez se divide en otros grados, identificados por números. La intensidad del trazo no sólo depende de la dureza de la mina, sino también del tipo de papel, de la velocidad y de la mayor o menor presión realizada al dibujar. Para dibujos, bocetos y sombreados se utilizan preferentemente los lápices 8B, 7B, 6B, 5 B, 4B, 3B, 2B y B. Para dibujo técnico los lápices B, HB, F, H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H Para levantar planos los lápices H, 2H, 3H, 4H, 5H, 6H En el dibujo geométrico es necesaria la máxima precisión en las intersecciones, en los vértics y en los enlaces. El mantener la mina bien afilada contribuye a una mayor precisión, por lo que es preciso el uso de sacapuntas o afilaminas. Se ha generalizado en el dibujo técnico el uso de portaminas de punta fina, lo que permite el uso de minas de espesor variable y distinta intensidad de trazado. Lo más generalizado es el portaminas de 0 5 mm de espesor. Goma de borrar Se pueden utilizar gomas de dos tipos fundamentales: goma normal (o de pan), muy blanda, para borrar trazos de lápiz con bajo grado de dureza. No extiende el grafito, sino que se impregnan rápidamente, por lo que hay que sustituirlas rápidamente; y la goma de PVC más adecuada a lápiz duro aunque desgasta ligeramente el papel. Estilógrafos El uso de la tinta china en el dibujo técnico permite una precisión y limpieza de trazo. Los estilógrafos llevan un depósito para la tinta, que desemboca en un tubo estrecho, en cuyo interior hay un alambre. La anchura del trazo depende exclusivamente del diámetro del tubo. Las puntas van numeradas por el exterior para indicar este grosor. Para variar la anchura del trazo necesitaremos cambiar de punta. El grosor del trazo se tendrá que ajustar en cada caso al de las líneas normalizadas o al de la rotulación que se vaya a realizar. Las plumas de tinta china son instrumentos bastante delicados y sobre todo las de punta más fina, que han de mantenerse siempre bien limpias. Para su conservación conviene mantener las plumas, cuando no se usan, en posición vertical e invertida. Para obtener un buen resultado en el dibujo la posición de la pluma durante el trazado ha de ser perpendicular a la superficie del papel. 1

2 Análisis de la forma bidimensional 1-2 Escuadra, cartabón y regla La regla, de varias medidas y materiales, se utiliza no sólo para trazar líneas rectas, sino también como un medio para alinear sobre el dibujo las plantillas de rotular, así como la escuadra y el cartabón. La escuadra tiene un ángulo de 90 y otros dos de 45. El cartabón tiene un ángulo de 90, otro de 30 y otro de 60. Trazado de paralelas Se hace coincidir el lado mayor de la escuadra con la línea a la que vamos a trazar las paralelas. Se coloca el cartabón haciendo coincidir su lado mayor con uno de los catetos de la escuadra. Se sujeta el cartabón con una mano y se hace deslizar sobre él a la escuadra. Trazado de perpendiculares Se comienza haciendo lo mismo que cuando se iban a trazar paralelas, pero una vez que ya está sujeto el cartabón, con la otra mano se hace girar a la escuadra de forma que pase a apoyarse con el otro cateto en el cartabón. A continuación se desliza la escuadra sobre el cartabón para dibujar las perpendiculares Trazados geométricos elementales CONCEPTOS Línea recta es la sucesión ilimitada de puntos organizados en la misma dirección. Semirrecta es la sucesión de puntos organizados desde un punto extremo. Segmento es la porción de una recta limitada en sus dos extremos. Lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición. Por ejemplo, la bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que están a la misma distancia de los lados del mismo, al igual que la mediatriz de un segmento lo es por tener todos sus puntos a la misma distancia de los extremos del segmento. Recta horizontal es la recta que esta en el horizonte o es paralela a él. En dibujo, la línea que va de derecha a izquierda o viceversa. Recta vertical es la recta perpendicular a la del horizonte. En dibujo, la línea que va de la cabeza al pie. Recta oblicua es la recta desviada de la horizontal y de la vertical. En dibujo, la línea que al cruzarse con otra, hace con ella un ángulo que no es recto. Línea curva es la que se aparta de la dirección recta sin formar ángulos. 2

3 1-3 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin Teorema de Thales. División de un segmento en un número cualquiera de partes iguales. Fig.1.1 Trácese por uno de los extremos del segmento AB una semirrecta formando cualquier ángulo, y transportar sobre la misma un número de divisiones igual al número de partes en que deseemos dividir el segmento. Unimos la última división con B (extremo libre del segmento) y trazamos, por las divisiones de la semirrecta, rectas paralelas a la recta unión (en el ejemplo, paralelas a 5-B). Fig.1.1 Trazar una perpendicular a un segmento por su punto medio (mediatriz de un segmento). Fig.1.2 Con centro en los extremos del segmento AB y un radio mayor que la mitad de dicho segmento se trazan dos arcos. Unimos los puntos obtenidos C y D resultando la recta perpendicular. Trazar una perpendicular a un segmento por un punto dado de él. Fig.1.3 Fig.1.2 Haciendo centro en el punto D por el que pasará la perpendicular, trazamos dos arcos equidistantes A y B sobre la recta. Con centro en dichos puntos, A y B, dibujamos otros dos arcos que se corten en C. Uniendo C con D tendremos la perpendicular que se pide. Fig.1.3 Desde un punto exterior a un segmento bajar una perpendicular a éste. Fig.1.4 Con centro en el punto exterior A se dibuja un arco que corte al segmento dado. Tomando como centro los puntos de corte B y C del segmento se trazan dos arcos de igual radio que se cortarán en el punto D. Al unir los puntos A y D obtendremos la perpendicular al segmento que pasa por un punto exterior. 3

4 Análisis de la forma bidimensional 1-4 Levantar una perpendicular en el punto extremo de una semirrecta. Primer Procedimiento: Fig.1.5 Con centro en el punto B, extremo de la semirrecta, se traza un arco con un radio cualquiera. Se lleva dos veces el mismo radio sobre dicho arco, a partir de A. Con centro en C y D, se dibujan dos arcos que se cortarán en E. Uniendo el punto E con el extremo B de la semirrecta, tendremos la perpendicular. Fig.1.5 Segundo procedimiento: Fig.1.6 Con centro en B, se dibuja un arco con un radio cualquiera. Con centro en A y el mismo radio se corta dicho arco. Con centro en C, se dibuja otro arco igual. Se traza la recta AE pasando por C. La recta que une E con B será la perpendicular pedida. Fig.1.6 Tercer procedimiento: Fig.1.7 Con centro en un punto cualquiera O, exterior a la recta, se dibuja un arco que pase por el extremo B de la semirrecta. Desde el punto A se lleva una recta pasando por O, hasta C. Uniendo C con B se obtiene dicha perpendicular. Trazar la bisectriz de un ángulo. Fig.1.8 Fig.1.7 Con centro en O, vértice del ángulo, trazamos un arco cualquiera AB. Con centro en A y B, y radio mayor que la mitad del segmento AB trazamos dos arcos que se cortarán en el punto C. La recta que pasa por O y la intersección de los dos arcos C es la bisectriz del ángulo. Fig.1.8 4

5 1-5 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin Construir una ángulo igual a la suma de otros dos dados. Fig.1.9 Dados el ángulo y el ángulo, se dibuja una semirrecta r. Por el extremo A de la semirrecta r se dibuja un arco de radio igual a A-1 (radio del arco utilizado para señalar los ángulos y ). Con un compás se lleva la medida 1-2, sobre el arco con lo que reproducimos el ángulo. A continuación, y por el mismo método se lleva el ángulo. Fig.1.9 Dividir un ángulo recto en tres partes iguales. Fig.1.10 Sea el ángulo BAC. Con centro en A se traza un arco cualquiera. Desde los puntos extremos de dicho arco, trácense con el mismo radio otros dos arcos que cortarán en D y E. Pasando rectas por dichos puntos desde su vértice A, queda dividido dicho ángulo en tres partes iguales. Fig.1.10 TRIÁNGULOS TRIÁNGULOS En función de sus lados EQUILÁTEROS ISÓSCELES ESCALENOS Tres lados iguales y tres ángulos de 60 Dos lados iguales y dos ángulos iguales Tres lados desiguales y tres ángulos desiguales. En función de sus ángulos ACUTÁNGULOS RECTÁNGULOS OBTUSÁNGULO Tres ángulos agudos (Menores de 90 ) Un ángulo recto (de 90 ) Un ángulo obtuso (Mayor de 90 ) Mediatriz: Cada una de las tres perpendiculares a los lados de un triángulo en sus partes medias. 5

6 Análisis de la forma bidimensional 1-6 Las mediatrices de los tres lados de un triángulo cualquiera concurren en un punto que equidista de los vértices del mismo llamado circuncentro del triángulo. El circuncentro es el centro de una circunferencia que pasa por los vértices del triángulo, puesto que al pertenecer simultáneamente a las tres mediatrices, equidista de los extremos de los lados, vértices del triángulo. Bisectriz: Es la línea recta que divide el ángulo en dos partes iguales. Las bisectrices de los tres ángulos interiores de un triángulo cualquiera pasan por un punto, llamado incentro del triángulo; este punto es el centro de una circunferencia tangente a los tres lados del triángulo (circunferencia inscrita), debido a que el incentro, por pertenecer simultáneamente a las tres bisectrices, equidista de los tres lados del triángulo. Fig.1.11 Altura: Es la perpendicular trazada desde el vértice al lado opuesto de un triángulo. Las alturas correspondientes a los tres lados de un triángulo cualquiera tienen como intersección un punto, llamado ortocentro del triángulo. Mediana: Es el segmento comprendido entre cada vértice y el punto medio del lado opuesto. Las medianas correspondientes a los tres lados de un triángulo cualquiera tienen como intersección un punto, llamado baricentro del triángulo. CONSTRUCCIÓN DE TRIÁNGULOS Triángulo es la superficie plana limitada por tres rectas que se cortan dos a dos. Los puntos de intersección se denominan vértices y los segmentos comprendidos entre cada dos vértices reciben el nombre de lados del triángulo. Los vértices se designan mediante letras mayúsculas. Los lados se designan con letras minúsculas, utilizando siempre la misma asignada al vértice opuesto; así, el lado a es el opuesto del vértice A. 6

7 1-7 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin Construcción de un triángulo conociendo los tres lados. Fig.1.12 Se conocen los lados a=bc, b=ac y c=ab. Se coloca uno de los lados, por ejemplo el a=bc y con centro en B y radio c=ab trazamos un arco que se corte en A con el arco trazado desde C y radio b=ac. El vértice A define el triángulo al unirse con B y C. Fig.1.12 Construir un triángulo equilátero dado el lado AB. Fig.1.13 Se traza el lado AB dado. Tomando los extremos como centro y con un radio igual al lado AB, trazamos arcos que se corten en C (vértice del triángulo) y obtendremos los otros dos lados. Fig.1.13 Construcción de un triángulo conociendo dos lados y el ángulo comprendido. Fig.1.14 Se conocen los lados a=bc, c=ab y el ángulo del vértice B. Se coloca uno de los lados conocido, por ejemplo el a=bc y en el vértice B se construye el ángulo de B con ayuda del arco 1-2; sobre el lado obtenido de este ángulo se lleva c=ba; finalmente se une A con C para completar el triángulo. Fig.1.14 Construcción de un triángulo conociendo un lado y los ángulos adyacentes. Fig.1.15 Se conocen el lado c=ab y los ángulos adyacentes A y B al lado c; en el vértice A se dibuja el ángulo de A con ayuda del arco 1-2 y en el vértice B se dibuja el ángulo de B con ayuda del arco 3-4; los lados a y b, de estos ángulos prolongados, se cortan en el vértice C, que completa el triángulo. Fig

8 Análisis de la forma bidimensional 1-8 Construir un triángulo rectángulo conociendo sus dos catetos. Fig.1.16 Fig.1.16 Fig.1.17 Construir un triángulo rectángulo conocida la hipotenusa y un cateto. Fig

9 1-9 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin CUADRILÁTEROS Cuadrilátero: es la superficie plana limitada por cuatro rectas que se cortan dos a dos; los puntos de intersección se llaman vértices y los segmentos entre los vértices reciben el nombre de lados. Al igual que en los triángulos, sus vértices se designan con letras mayúsculas y sus lados con minúsculas. 9

10 Construir un cuadrado conociendo el lado. Fig.1.18 Sea AB el lado. - Sobre un segmento AB igual al lado se traza la perpendicular por uno de sus extremos A. - Sobre la perpendicular trazada, con radio igual al lado AB y centro en A se traza un arco con lo que se obtendrá el vértice D. - Se traza por D una paralela al lado AB. Con centro en D y radio AB obtendremos un punto C. Análisis de la forma bidimensional 1-10 Construir un cuadrado conociendo la diagonal. Fig.1.19 Fig Sea AC la diagonal. - Con la diagonal AC como diámetro, se dibuja la circunferencia de centro O. - Se traza la mediatriz del segmento AC, que corta a la circunferencia en los puntos B y D. Construir un cuadrado conociendo la suma de la diagonal más el lado. Fig.1.20 Fig Se dibuja la recta R, suma de la diagonal más el lado, y en su extremo B se traza la perpendicular a él, en el otro extremo C se construye un ángulo de 22 30' (cuarta parte de 90 ) hasta que corte en A, a la perpendicular anterior. El segmento AB es el lado del cuadrado pedido. Fig.1.20 Construir un rectángulo conociendo el semiperímetro y la diagonal. Fig.1.21 Sea AE un segmento igual al semiperímetro y AC la diagonal. - Por un punto E, extremo del segmento AE, se traza la recta que forma 45 con dicho segmento. - Con centro en el otro extremo A y radio igual a la diagonal dada, se traza un arco que corta a la recta anterior en un punto C. - Por el punto C se traza la perpendicular al segmento AE que lo corta en el punto B. 10 Fig. 1.21

11 1-11 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin - Con centros en A y C y radios igual a CB y AB respectivamente, se trazan dos arcos que se cortan en el punto D. Los puntos A, B, C y D son los vértices del rectángulo. DIVISIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA Dividir una circunferencia en 3 y 6 partes iguales. Inscribir un triángulo o un exágono en una circunferencia. Fig.1.22 A partir de un punto cualquiera de la circunferencia llevamos el radio de ésta seis veces. Uniendo los puntos correlativamente se consigue un exágono. Si dejamos un punto intermedio obtendremos un triángulo. Fig.1.22 Dividir una circunferencia en 5 partes iguales o inscribir un pentágono dentro de la circunferencia. Fig.1.23 Se trazan los diámetros perpendiculares AB y CD. Buscamos el punto medio de un radio, G. Con centro en G y radio GC, se traza un arco que cortará en F al diámetro. Desde C como centro y con una abertura de compás igual a CF, llévese un arco desde el punto F hasta encontrar en E, a la circunferencia. El arco CE es igual a la quinta parte de la circunferencia, y la cuerda CE es el lado del pentágono regular inscrito. Fig

12 Dividir una circunferencia en 7 partes iguales o inscribir un heptágono en una circunferencia. Fig.1.24 Análisis de la forma bidimensional 1-12 Trazamos un diámetro cualquiera. Con centro en el punto S, extremo del diámetro, y radio SO, se traza un arco que cortará a la circunferencia en los puntos H y B. Unir H con B. La mitad de esta recta es la séptima parte de la circunferencia. Haciendo centro en B, llevamos b, hasta A. Fig.1.24 Dividir una circunferencia en un número cualquiera de partes iguales. Fig.1.25 Trazamos dos diámetros perpendiculares AB y CD, y se divide uno de ellos, el CD, en tantas partes como queramos dividir la circunferencia. Tomamos el punto C como centro y con un radio igual al segmento CD trazamos un arco que corte al diámetro AB en el punto E. Unimos el punto E con la 2ª división del diámetro CD y prolongamos hasta que corte en F a la circunferencia. El segmento CF es aproximadamente el lado del polígono inscrito que queremos dibujar. Fig Construcción de polígonos regulares Construir un pentágono regular dado el lado. Primer procedimiento. Fig.1.26 Sobre una recta cualquiera se toma la distancia AB igual al lado dado. Se determina el punto F, centro del segmento AB. En el extremo B, trácese la perpendicular BG. Haciendo centro en B y con radio BA se describe el arco AC. Con centro en F, y radio FG, descríbase el arco GH. Con centro en A y B, respectivamente y radio AH descríbanse dos arcos que se corten en D. Los vértices E y C se determinan por medio de arcos de radios AB. El vértice E, con centro en D, y A. El vértice C con centro en D y B. Fig

13 1-13 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin Segundo procedimiento. Fig.1.27 Se levanta una perpendicular en el punto medio F, del lado AB, a la cual y desde F se le asigna una distancia igual al lado, obteniéndose el punto n. Desde el extremo B se traza una recta que pase por n, y desde ese punto se le agrega una distancia n-m igual que la mitad del lado AB. Haciendo centro en A y B, extremos del lado y con radio Bm, determinaremos en la prolongación de la perpendicular levantada sobre F, el punto D, vértice del pentágono opuesto al lado dado. Hallado este vértice, los otros dos, E y C se determinan como en el procedimiento anterior. Fig.1.27 Construir un exágono regular dado el lado. Fig.1.28 Sea AB el lado dado. Desde A y B, extremos del mismo y con un radio igual al lado dado se trazan arcos que al cortarse determinan el centro O, del exágono. Desde dicho centro y sin variar la abertura de compás se hallan los vértices F y C en la prolongación de los arcos citados. Desde F y C y con la misma abertura de compás se trazan nuevos arcos por el centro O, a los cuales y desde el citado centro se les aplica la medida del lado AB. Fig.1.28 Construir un polígono regular de cualquier número de lados, dada la longitud de uno de ellos. Fig.1.29 Con un radio cualquiera se describe una circunferencia y se divide en el número de partes que se desee, por ej. 8. Se unen el centro O con los puntos de división a-b-c-d-e-f-g-h y prolónguense los radios. Trácese la cuerda "ha" y prolónguese. Se lleva la longitud dada Fig.1.29 AB desde h, y por el punto obtenido s se traza la paralela sc al radio OJ hasta que se encuentre en C al diámetro GC. Haciendo centro en O y con radio OC, se describe una circunferencia que al encontrarse con los radios OD-OE-OF etc., la divide en 8 partes iguales. Uniendo por medio de cuerdas los puntos CDEFGHIJ, se obtiene el polígono que se desea. 13

14 Análisis de la forma bidimensional 1-14 POLÍGONOS CUADRILÁTEROS ESTRELLADOS Los lados de los polígonos estrellados son cuerdas de la circunferencia en la que están inscritos, de forma que unen puntos de división no consecutivos. El paso es un número entero que indica la posición de los vértices de un lado del polígono respecto de las divisiones de la circunferencia y que comienza a numerarse a partir de la división siguiente a la que arranca el lado. Dibujar un polígono estrellado de 5 puntas. Fig.1.31 Se divide la circunferencia en 5 partes iguales. Únanse de 2 en 2 los puntos de división. Fig Enlaces y tangencias entre rectas y circunferencias Enlace es la unión de dos o más líneas, curvas entre sí o rectas y curvas, de modo que parezca una línea continua y sin alteraciones. Propiedades: - En cualquier circunferencia, un radio y la tangente en su extremo son perpendiculares. - Si dos circunferencias son tangentes, sus centros y el punto de tangencia están alineados. - La mediatriz de cualquier cuerda, en una circunferencia, pasa por el centro. Hacer pasar un arco de radio conocido R, por dos puntos dados A y B. Fig.1.32 Únanse por medio de una recta dichos puntos. Se levanta la perpendicular en su punto medio. Desde cualquiera de los puntos y con radio R se traza un arco que corte a la perpendicular. En el punto de intersección O estará el centro del arco pedido. Fig

15 1-15 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin Hacer pasar un arco por 3 puntos no alineados. Fig.1.33 Únanse dichos puntos por medio de las rectas AB y BC. Se dibuja la mediatriz de cada una de las rectas. El punto O, intersección de ambas mediatrices será el centro de la circunferencia pedida, pues equidistará de los tres puntos. Fig.1.33 Dada una recta AB trazar una circunferencia tangente a ésta y que pase por un punto dado N. Fig.1.34 Sea C un punto cualquiera de la recta AB y N el punto exterior por el que debe pasar la circunferencia. Levántese una perpendicular a dicha recta por C. Se une C con N y se levanta una perpendicular en su punto medio. La intersección de las dos perpendiculares será el centro de la circunferencia pedida. Enlazar dos rectas perpendiculares por un arco de circunferencia de radio dado. Fig.1.35 Se t raza desde el punto A, corte de las perpendiculares, un arco DE con un radio r igual al dado. Con la misma abertura de compás, y centro en D y E, se trazan dos arcos que se cortarán en O. Desde O como centro y con radio R, se traza el arco desde D, hasta E. Fig.1.34 Fig.1.35 Describir una circunferencia tangente a los lados de un ángulo ABC. Fig.1.36 Trácese la bisectriz del ángulo ABC. En un punto cualquiera D de uno de los lados levántese una perpendicular. El centro O Fig

16 Análisis de la forma bidimensional 1-16 se encontrará en el punto de intersección de esta perpendicular con la bisectriz del ángulo. Inscribir una circunferencia en un triángulo cualquiera ABC. Fig.1.37 Se trazan las bisectrices de dos de sus ángulos. Desde el punto de intersección de las bisectrices, trácese una perpendicular a un lado cualquiera del triángulo. La recta OD es el radio de la circunferencia pedida. Fig.1.37 Rectas tangentes a una circunferencia desde un punto exterior. Fig.1.38 Se une el punto exterior A con el centro de la circunferencia O. Se traza la mediatriz de este segmento para hallar el punto D. Por D y con radio DO se traza un arco que cortará en BE a la circunferencia. Por dichos puntos pasarán las dos tangentes, únicas posibles, que pueden trazarse desde el punto A. Trazado de tangentes exteriores a dos circunferencias dadas. Fig.1.39 Fig.1.38 Descríbase desde O' una circunferencia cuyo radio sea la diferencia de los radios de las dos circunferencias dadas. Se toma el punto M, en medio de O'O. Haciendo centro en M, trácese una circunferencia que pase por O' y O. Por las intersecciones de esta circunferencia con la circunferencia auxiliar O', hágase pasar dos rectas que cortarán a la circunferencia mayor en dos puntos P y Q que son los puntos de tangencia. Desde el punto O, se trazan las rectas OB y OD res pectivamente paralelas a PO' y O'Q. Uniendo los puntos B y P, así como DQ, y prolongan do las rectas se obtienen las tangentes pedi das. Fig.1.39 Fig

17 1-17 Educación Plástica y Visual 3º ESO Fco. Aguirrezabal Martin Trazado de tangentes interiores a dos circunferencias dadas. Fig.1.40 Descríbase desde O' una circunferencia cuyo radio sea la suma de radios de las dos circunferencias propuestas. Se toma el punto M, en medio de O'O. Haciendo centro en M, trácese una circunferencia que pase por O' y O, que cortará a la auxiliar en P y P'. Se unen estos puntos con el centro O'. Las intersecciones de estas rectas con la circunferencia serán los puntos de tangencia. Los otros dos puntos N y N' se hallan por medio de paralelas a O'P y O'P'. Construir una circunferencia de radio determinado que sea tangente a las rectas concurrentes AB y CD. Fig.1.41 Se construyen rectas paralelas a las concurrentes a una distancia igual al radio r. En su intersección se hallará el centro del círculo que se desee. Para hallar el punto de tangencia bájese una perpendicular a cada una de las rectas desde el centro hallado. Fig.1.41 Construir una circunferencia de radio dado que sea tangente a una recta AB y a un círculo O'. Fig.1.42 Trazamos una paralela a la recta AB a una distancia igual al radio r. Con el radio de la circunferencia dada, más r, y con centro en O' se traza un arco que corte a la paralela en O, punto centro del círculo tangente a la circunferencia O' y a la recta AB. Fig