CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS: GRÁFICOS DE CONTROL

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1 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS: GRÁFICOS DE CONTROL Andrés Carrión García René Maluenda Molla MMI

2 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS. GRÁFICOS DE CONTROL CONTENIDOS 1. Calidad y características de calidad Definición de calidad Características de calidad Tipos de características de calidad Control estadístico de la calidad. Control de procesos Concepto de control estadístico de calidad. Modalidades Las técnicas estadísticas y el control de calidad Gráficos de Control. Naturaleza y objetivos Qué es un gráfico de control? Objetivos de los gráficos de control Factores que intervienen en el diseño de un Gráfico de Control Tipos de gráficos de control Gráficos de Control por Variables Control de la posición Control de la dispersión Gráficos de Control por Atributos Control por defectuosas Control por defectos Resumen Gráficos de control clásicos (I): Control por variables Construcción Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo Tamaño de muestra requerido para el gráfico de la media Tamaños de muestra empleados habitualmente Tamaños de muestra en procesos continuos Frecuencia de muestreo Gráfico Media - Rango Gráfico Media - Desviación Típica Gráfico Mediana - Rango Señales de falta de control Establecimiento de los gráficos de control Diseño de gráficos de la media Gráficos de control por atributos Control por defectuosas

3 Tamaños de muestra requeridos para los gráficos de control por defectuosas Gráfico np : Cantidad de defectuosas Tamaño muestral fijo Tamaño muestral Variable Gráfico p : Proporción o fracción defectuosa Tamaño muestral fijo Tamaño muestral Variable Control por defectos Tamaños de muestra requeridos para los gráficos de control por defectos Gráfico c :Número de defectos por muestra Gráfico u : Número de defectos por unidad Tamaño muestral constante Tamaño muestral variable Señales de falta de control Anexo al Capítulo Diseño de Gráficos de Control y cálculo de los tamaños de muestra requeridos para gráficos de control por atributos Estudios de Capacidad Generalidades Indices de Capacidad de procesos, bajo supuesto de Normalidad Estadística Capacidad potencial Intervalos de confianza para C p Prueba de Hipótesis para C p Capacidad real Un estimador de C pk Intervalo de Confianza para C pk Indice K Capacidad modificada Valor nominal situado en el centro de las tolerancias o especificaciones Valor nominal situado entre las tolerancias o especificaciones Indices de Capacidad de procesos, bajo supuesto de no cumplimiento de Normalidad Estadística Indice C θ Indice C S Indice C pc Indices de Capacidad para datos correlacionados Otros Gráficos de Control Gráfico de medidas individuales y rangos móviles

4 7.2. Gráfico de medias móviles y rangos móviles Gráficos de Sumas Acumuladas (CUSUM) Gráfico CUSUM clásico o de máscara Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo Gráficos CUSUM unilaterales Gráfico CUSUM superior Gráfico CUSUM inferior Gráficos EWMA Observaciones autocorrelacionadas Gráficos de control para series de fabricación cortas Las series de fabricación cortas El control del proceso en series cortas Gráfico de la desviación del nominal (DNOM) Gráfico de la media estandarizada y de R Gráficos por atributos para series cortas Gráficos de control por defectuosas en series cortas Gráficos de control por defectos en series cortas Precontrol Naturaleza y objetivos del precontrol Técnica de uso del precontrol Prácticas de Control de Calidad I Práctica 1: Gráficos de Control por Variables Introducción Ejercicio 1. Gráficos de media - rango Ejercicio 2. Estudios de capacidad Comentarios al Ejercicio Comentarios al Ejercicio Práctica 2: Gráficos de Control por Atributos Introducción Ejercicio 1. Gráfico de control por defectuosas Ejercicio 2. Gráfico de control por defectos Comentarios al Ejercicio Comentarios al Ejercicio

5 1. Calidad y características de calidad Definición de calidad. La definición de calidad no es única ni absoluta, cambia de unos autores a otros, de unos productos o servicios a otros y según el momento en que se formule. De todos modos, buscando un denominador común, encontramos en muchas de ellas la siguiente idea: La Calidad de un producto es la medida de su adecuación al uso para el que esta concebido. En esta definición tenemos presente uno de los elementos fundamentales del estudio de la calidad: la adecuación entre producto y uso (y por tanto usuario). En efecto, por encima de muchos otros aspectos será el grado en que el producto o servicio satisfaga las necesidades del cliente el que lleve a valorarlo como de calidad o no. Esta opción cobra cada vez más impulso en detrimento de lo que podrían ser definiciones de calidad más técnicas, quedando estas en un nivel de instrumento o herramienta para conseguir la satisfacción del cliente. Ya nadie se plantea que un producto de calidad es aquel que cumple las especificaciones de ingeniería per se : hay que remontarse a la fase de diseño y criticar el propio establecimiento de esas especificaciones. Además, y siguiendo el enfoque de Taguchi con su función de pérdida, no todo el producto que cumple especificaciones es igual de bueno, tiene la misma calidad, con lo cual las especificaciones recobran su papel como garantes de la funcionalidad del producto, pero no necesariamente de su calidad Características de calidad. Un elemento que está presente en la definición anterior y que requiere un comentario específico es la forma en la que se pueda realizar la medida de esa satisfacción, es decir, la necesidad nos va surgir de medir el grado de adecuación al uso que tiene el producto o servicio considerado. Poder hacer esa medición es fundamental a la hora de comparar un producto con un cierto estándar de calidad que debe cumplirse o a la hora de comparar dos productos desde el punto de vista de la calidad para elegir el mejor. Será demás imprescindible si queremos enfocar el problema de la calidad y de su control desde una perspectiva científica y técnica. 5

6 Tal medida conlleva de modo inevitable el recurso a características cuantitativas, que permitan el uso de herramientas estadísticas potentes y adecuadas a cada situación. Así pues, deberemos identificar unas características sobre las que nosotros podamos medir de modo objetivo esa calidad. La identificación de las características que en cada caso mejor miden la calidad de un producto o servicio no es, en mucho casos, tarea fácil: a veces la gran cantidad de características (dimensionales, eléctricas, mecánicas,...) que definen un producto hacen que sea difícil encontrar la o las ideales, distinguiéndolas de una multitud de características de importancia secundaria e incluso irrelevantes. En otros casos, especialmente cuando se trata de empresas que prestan servicios, habrá una dificultad intrínseca a la propia identificación de características objetivas que permitan medir la calidad, dada la intangibilidad que muchas veces caracteriza al servicio prestado. En cualquier caso, deberán seleccionarse sólo las más importantes de entre las características que miden la calidad, para evitar una excesiva dispersión de esfuerzos. Como primer bloque de características a controlar están aquellas cuyo fallo podría acarrear problemas desde el punto de vista de la seguridad o del cumplimiento de normativa legal. Estas deben ser siempre objeto de estudio y control, por la responsabilidad que se podría derivar de su anormal comportamiento. Además de este aspecto, se manejarán varios criterios de importancia para seleccionar las características a controlar: Importancia para la función del producto. Importancia para las operaciones de fabricación. Importancia que le concede el cliente. Importancia en como afecta al medio ambiente Estos cuatro factores son en cierta medida independientes, como puede verse en el siguiente ejemplo: En la fabricación del bloque de un motor de explosión, un defecto que provocara un reducción de la potencia obtenida del 10% sería importante desde el punto de vista de la función del producto, pero podría no afectar al proceso de fabricación en las etapas siguientes y pasar desapercibido al cliente. La no colocación de un gancho que se usa para trasladar el bloque durante la fabricación sería un serio perjuicio para esta, pero no afectaría a la función del producto y el cliente ni lo notaría. Por último, un aspecto sucio del motor produciría en el cliente una impresión desfavorable, pero carecería de importancia respecto de los otros dos factores. 6

7 La identificación de esas características más importantes puede verse ayudada por el uso de algunas de las llamadas Siete Herramientas. Podemos citar así el diagrama de Pareto, que ayuda a centrar esfuerzos en aquellos problemas más importantes o más frecuentes. También el diagrama de causa/efecto, al ayudarnos identificar las causas de los problemas de calidad, nos ayuda en la selección de aquellas características que detecten la aparición de esas causas. Por otra parte, el conocimiento técnico del proceso y del producto es imprescindible, y sin él las otras herramientas pueden carecer de sentido. En esta última línea, el diagrama de flujo del proceso, al ayudarnos a fijar ideas sobre la secuencia de operaciones y sobre el recorrido que realiza el material, es una ayuda a tener en cuenta Tipos de características de calidad. Las características de calidad pueden considerarse divididas en dos grandes grupos: variables y atributos. Las primeras son aquella características que son medibles de un modo continuo, como pueden ser: características dimensionales (espesores, longitudes, diámetros,...), características mecánicas (resistencia, dureza, ) características eléctricas (voltaje, resistencia, intensidad,...) pesos tiempo que se tarda en servir un pedido tiempo de espera de un cliente para recibir un servicio etc. En cambio, los atributos son características resultado de procesos de conteo, que conllevan ya en si una valoración cualitativa sobre la calidad de piezas, productos o servicios: número de defectos superficiales por metro cuadrado de pavimento cerámico número de piezas defectuosas en una muestra número de errores en un documento porcentaje de impresos mal rellenados número de personas insatisfechas por la calidad del servicio recibido, en una muestra 7

8 La diferente naturaleza estadística de variables y de atributos nos obligará, como más adelante veremos, a emplear técnicas distintas para cada caso, aún con la misma base y la misma filosofía. Así, las variables serán características continuas, modelizadas habitualmente a través de la distribución normal o gaussiana. Ocasionalmente serán otros los modelos a emplear, como por ejemplo el exponencial o el de Weibull si se maneja la vida (duración hasta el fallo) del producto como índice de calidad. Por su parte, las características tipo atributo seguirán modelos discretos, que según la naturaleza del problema,serán: El modelo binomial o hipergeométrico, si en las muestras tomadas cada unidad es clasificada simplemente como correcta o defectuosa El modelo de Poisson, si cada unidad de la muestra es susceptible de contener uno o varios defectos. 8

9 2. Control estadístico de la calidad. Control de procesos Concepto de control estadístico de calidad. Modalidades. Por control estadístico de calidad entenderemos el conjunto de técnicas estadísticas orientadas a la vigilancia del comportamiento de las características que hemos seleccionado como mejores medidoras de la calidad. De los dos tipos de calidad que en una primera aproximación podemos definir, calidad de diseño y calidad de conformidad, es en el ámbito de la segunda donde fundamentalmente vamos a centrarnos, pues en el control de la conformidad de lo realizado con el diseño o proyecto, es donde el control estadístico encuentra su principal campo de aplicación. Este campo de aplicación es doble, actuándose tanto sobre el producto acabado como sobre el producto en fase de ser producido: Control en recepción, o con más generalidad control de producto acabado, cuando se controlan los componentes o piezas que entran en nuestra planta procedentes de proveedores o bien se controlan nuestros propios productos una vez fabricados y antes de ser servidos a nuestros clientes. La acción sobre producto acabado se basa pues en una filosofía de detección y eliminación de lo mal producido. Control de procesos, cuando se controla el producto durante su fabricación. Se trata aquí de las técnicas de control estadístico de procesos (SPC: Statistical Process Control), tendentes a que aquello que se está produciendo lo sea con calidad, empleándose por tanto una óptica de prevención. Aunque resulta evidentemente mucho más atractivo este segundo enfoque preventivo que el primero, centrado en la detección, ambos enfoques no son contrapuestos, sino más bien complementarios. Así una empresa en cualquier sector deberá, en principio, emplear las técnicas de control en recepción para asegurar la calidad de materiales y productos elaborados que emplee en sus procesos y las de control de procesos para asegurarse de que ella misma produce con calidad (Figura 1.). 9

10 CLIENTES CONTROL DE PROCESO CONTROL DE PRODUCTO ACABADO CONTROL EN RECEPCIÓN PROVEEDORES Una mayor contradicción entre ambos enfoques surge cuando una empresa se plantea la errónea disyuntiva de controlar su proceso de producción o controlar sólo su propio producto acabado. Ahora si que hay una clara ventaja conceptual y práctica en favor del planteamiento preventivo, que tiende a evitar la aparición de la no calidad, frente al correctivo, que sólo aspira a que esa no calidad no llegue al cliente. Mientras en el primero hay toda una serie de costes asociados a la no calidad que son evitados, en el segundo algunos de ellos llegan a presentarse, reduciendo la eficacia del sistema en su conjunto Las técnicas estadísticas y el control de calidad. Por qué se plantea el recurso a técnicas estadísticas para controlar la calidad?. La razón es muy sencilla: la gestión de la calidad precisa información, que deberá ser adecuadamente recogida y tratada. La ciencia que estudia la forma correcta de realizar la toma de información, su tratamiento y análisis es la Estadística. Además esa información no es de carácter determinista, sino que esta afectada en cierta medida por el azar, es decir presenta una variabilidad, que hace que el modelo adecuado que recoge su comportamiento sea el modelo probabilístico o estadístico. Las técnicas estadísticas nos permiten también emplear tanto información de tipo cuantitativo (la de las características llamadas variables) como cualitativo (con las características tipo atributo). Con ello no debe entenderse que el uso de técnicas estadísticas para el control de la calidad sea una panacea capaz por si sola de arreglar los problemas de calidad, o más bien de no calidad, de una empresa. Antes bien hay que asumir que las técnicas de control estadístico de la calidad no arreglan nada por si 10

11 mismas, si no que actúan como alarmas de situaciones anómalas, que serán corregidas por las acciones que los responsables de la empresa tomen con la información obtenida. La aplicación de técnicas estadísticas de control de calidad en los distintos sectores productivos, encuentran peculiaridades que obligan a revisar el modo concreto de poner en práctica unos principios de validez general. Entre esas peculiaridades figura la existencia o no de series largas de fabricación (industria del automóvil o de productos de consumo masivo frente a industria del mueble clásico, por ejemplo). Otra peculiaridad a tener en cuenta viene referida a la formación de la mano de obra y la posibilidad de involucrarla en tareas de control de la calidad, muy dependiente de la estabilidad en el empleo y de la existencia de una cultura de empresa al respecto, de la estructura organizacional y del ambiente laboral dentro de la Empresa Lo mismo puede decirse de la extensión de los planteamientos del control estadístico de calidad al sector servicios, en los que la calidad, y por ende su control, tiene cada día un peso mayor. Nuevamente deberán adaptarse los planteamientos básicos a las peculiaridades de la empresa de servicios. Debe considerarse ahora la intangibilidad del producto, la imposibilidad de almacenamiento del mismo, la identificación de los indicadores de calidad, etc. Es estas páginas nos centraremos en el control de procesos, estudiando las técnicas empleadas en función de las diversas características de calidad que nos podemos ver en la obligación de controlar. La herramienta fundamental para el control de procesos son los gráficos de control, y a ellos se dedican los siguientes capítulos. 11

12 3. Gráficos de Control. Naturaleza y objetivos Qué es un gráfico de control? Un gráfico de control es una herramienta empleada para controlar el comportamiento de una característica de calidad durante el proceso de fabricación. Incorpora elementos gráficos, que hacen su manejo muy intuitivo, y algunos cálculos, no demasiado complejos, que permiten obtener información cuantitativa sobre el comportamiento de la característica controlada. La información sobre el proceso se obtiene mediante la toma de muestras representativas GRÁFICO DE CONTROL MUESTRA/FECHA Figura 1. LIM. SUP. L.C. LIM. INF. Su aspecto general es el de la figura 1, siendo sus principales elementos los siguientes: Eje de abcisas (horizontal), que representa la sucesión de las muestras que se van tomando, teniendo por tanto un sentido temporal. Eje de ordenadas (vertical), representando el valor de la característica que se está controlando. Línea central (L.C.), que indica el nivel de referencia en torno al cual viene oscilando la característica en cuestión. Límite superior de control (LIM. SUP.), que indica el valor máximo que habitualmente, y salvo que se produzcan cambios, no debe ser sobrepasado por la característica controlada. 12

13 Límite inferior de control (LIM. INF.), que indica el valor mínimo por debajo del cual, salvo que se produzcan cambios, no va a moverse normalmente la característica estudiada. Línea quebrada, indicando la evolución temporal de la característica controlada. Es la que justifica que al estudiar los gráficos de control se los compare con el electrocardiograma del proceso. Cada punto o vértice de la línea representa el valor que la característica controlada presentó en una de las muestras. En primera aproximación, y sin entrar de momento en más detalles, podríamos decir que dos son las circunstancias que pueden darse en el gráfico que nos indiquen la aparición de problemas en el proceso (aunque mejor sería hablar de cambios): 1. La línea quebrada que indica la evolución de la característica se sale de los límites de control. 2. La línea quebrada presenta comportamientos que no podemos considerar aleatorios, que no son oscilaciones al azar (por ejemplo: tendencia ascendente; grupo de muchos valores seguidos por debajo o sobre la línea central,etc.-). Otro elemento, no visible pero de capital importancia para la correcta interpretación de un gráfico de control, es el nivel de confianza o probabilidad de cometer el error de primera especie. Este nivel de confianza corresponde a la probabilidad de falsa alarma : la probabilidad de que el gráfico indique problemas cuando en realidad no los hay. Lógicamente, al usuario le interesa que este riesgo de falsa alarma se mantenga en un nivel lo más bajo posible, ya que no puede ser eliminado completamente por el carácter aleatorio de la información empleada. En los gráficos más habituales este riesgo de falsa alarma, o probabilidad de error de primera especie, vale (0.27%). El significado de este valor es el siguiente: si el proceso es estable, la probabilidad de que (por mala suerte) tengamos un punto fuera de los límites de control es del 0.27% (algo menos del tres por mil). Este será el valor que se empleará en los gráficos que más adelante se definan y estudien. En una variable aleatoria normal, esa probabilidad del 0.27% (2.7 por mil) es la que queda fuera del intervalo comprendido entre la media menos tres desviaciones típicas y la media más tres desviaciones típicas (m ± 3σ). Por este motivo este criterio es universalmente conocido como criterio 3σ. 13

14 3.2. Objetivos de los gráficos de control. Si nos planteamos la pregunta para qué sirven los gráficos de control?, la respuesta, dada por el propio nombre de la herramienta empleada es evidente: para controlar el comportamiento de una característica de calidad. En efecto, la línea quebrada del gráfico, arriba comentada, refleja la evolución de la característica controlada, con sus subidas y bajadas de nivel, sus saltos, sus tendencias, etc. Ahora bien, qué aspecto concreto del comportamiento de una característica es lo que vamos a poder controlar con un gráfico de control?. La respuesta puede ser hasta cierto punto inesperada: la ESTABILIDAD. En especial, un gráfico de control no controla el cumplimiento de especificaciones (de hecho estas ni aparecen en el trazado del gráfico, como hemos visto arriba, ni en el cálculo de sus elementos, como veremos más adelante) ni la adecuación a ninguna tolerancia de lo producido, ni siquiera en muchos casos valora si el producto está mejorando o empeorando su calidad. Veámoslo por partes. Realmente, observando un gráfico podemos : 1.- Hacernos una idea de si las especificaciones pueden ser cumplidas o no, de si nuestra característica toma valores en torno a los que deseamos como objetivo o esta desplazada arriba o abajo, etc. Luego en cierto sentido si que controlan esos aspectos del comportamiento. Pero lo hace sólo de un modo orientativo, como lo podría hacer un gráfico temporal cualquiera (sin límites de control y sin línea central) que recogiera la evolución de una característica. Del mismo, modo según al caso concreto y según la posición relativa de la línea central del gráfico respecto al valor objetivo o nominal de la característica, sabremos si el proceso mejora o no; además de que en algunos gráficos exista un sentido evidente de evolución que indica mejora o empeoramiento (por ejemplo en el gráfico de proporción de defectuosas). 2.- Tener una estimación de los parámetros estadísticos que describen el comportamiento del producto o del proceso. 3.- Vigilar el proceso para observar el comportamiento de la tendencia y de la variabilidad. Sin embargo, su completa utilidad, su objetivo real que da sentido a todos los elementos que lo integran, es el control de la estabilidad. Así la línea central representa el nivel en torno al cual, históricamente, esta oscilando la 14

15 característica y en torno al que seguirá oscilando, si el proceso es estable. Los límites de control marcan el campo de variación de la característica controlada observado hasta el presente, considerado normal, que no debe ser superado, mientras el proceso se mantenga estable. La línea quebrada indica la evolución de la característica a lo largo del tiempo, y es la que permite la detección de cambios en su comportamiento, es decir en su estabilidad. El análisis de las variaciones acontecidas en cualquier proceso de producción o de fabricación, se puede usar para controlar dos tipos de causas: Las aleatorias (debidas al azar) y las asignables (debidas a causas especiales o específicas). De forma ideal, en un proceso sólo debieran existir o estar presentes las causas aleatorias, debido a que si esto así fuere indicaría que el proceso es estable, con mínima variación y por lo tanto predecible. Cuando un proceso opera sin que hayan causas asignables, sus valores promedio y varianza se encuentran dentro de los limites de control establecidos. Se dice entonces que el proceso se encuentra en estado de control estadístico Una causa asignable de variabilidad puede resultar o repercutir en un cambio en el promedio, en la varianza del proceso o en ambos, llevando entonces el proceso a un estado de fuera de control. Esto implica entonces el riesgo de producir productos defectuosos o fuera de especificaciones, con seguridad de perder homogeneidad en la producción, pérdidas de tiempo y mayores costos en la implantación y seguimiento de acciones correctivas. Es por ello que uno de los objetivos más importantes de un Gráfico de Control Estadístico de Procesos es detectar rápidamente la ocurrencia de causas asignables de variación o cambios en el proceso, con el fin de investigarlas y tomar las acciones correctivas que conduzcan nuevamente a estabilizar el proceso Factores que intervienen en el diseño de un Gráfico de Control. Factores muy importantes a tener en cuenta a la hora de construir un Gráfico de Control Estadístico de Procesos, entre otros, son: 1. Costos del muestreo. 2. El valor admisible del error de primera especie, definido anteriormente. 3. La naturaleza de la variable aleatoria empleada para medir la calidad del proceso o del producto. 15

16 4. La sensibilidad deseada para el gráfico (capacidad de detección de cambios en el proceso Como resultado de la consideración de estos factores, se llegará a la definición de un plan de muestreo, cuyas características principales son: 1.- El tamaño de muestra. 2.- La frecuencia de muestreo. Más adelante estos temas serán desarrollados con detalle, particularizando para los diferentes tipos de gráficos de control existentes Tipos de gráficos de control. La clasificación de los gráficos de control viene dada por el tipo de característica a controlar. Anteriormente se dividió a las características de calidad en dos grandes grupos: VARIABLES y ATRIBUTOS. Las primeras corresponden a las características medibles (pesos, dimensiones,...) y las segundas a características cuantitativas resultado de recuentos de defectos en productos o de unidades defectuosas en muestras de varias unidades. Así pues, en virtud de los dos tipos de característica a controlar, tendremos gráfico de control de control por variables gráfico de control de control por atributos La naturaleza estadística de esos grupos de características son esencialmente distintas, y en consecuencia lo son también los cálculos que deberemos hacer, pero con todo, la estructura esencial del gráfico de control es la misma en ambos casos (línea central, límites, etc.) y la interpretación es semejante. Salvada esta unidad esencial de ambos tipos de gráfico de control, veamos sus diferencias Gráficos de Control por Variables. Cuando la característica a emplear es medible de un modo conceptualmente continuo, deberemos tratarla como variable. En una variable son dos los aspectos que deberemos controlar: 16

17 POSICIÓN: es decir, el orden de magnitud, el valor que toma la variable estudiada. DISPERSIÓN: es decir, el grado de heterogeneidad del resultado de nuestro proceso. Piénsese que en prácticamente todas las variables, la situación ideal sería obtener un resultado constante en el proceso e igual a un cierto valor nominal de diseño, es decir posición adecuada y dispersión o heterogeneidad nula. Admitida la imposibilidad física de tal resultado, ambos son pues los elementos que controlamos con un gráfico de control para variables Control de la posición. En una variable, la posición se controla a través de la media o de la mediana de la muestra tomada. La media es más frecuentemente utilizada por presentar un comportamiento estadístico mejor, siempre que la característica controlada sea normal o aproximadamente normal (permitiendo así que las medias muestrales sean efectivamente normales, por el teorema central del límite) Para poblaciones muy anormales, que presenten fuertes asimetrías, puede ser preferible utilizar la mediana, que en esos casos es un mejor indicador de posición. También puede usarse en ocasiones para facilitar la introducción de los gráficos en la empresa, al no requerir la realización de ninguna operación de cálculo Control de la dispersión. En características tipo variable controlaremos la dispersión mediante uno de los dos siguientes procedimientos: Si el control es llevado de un modo manual, las más de las veces emplearemos el rango o recorrido. Si el control es llevado por medios informáticos, se preferirá normalmente emplear la desviación típica. Siendo ambos métodos correctos, el segundo hace un mejor uso de la información disponible, a costa de una mayor complejidad operativa que en la práctica lo inhabilita como herramienta de manejo manual. Si el tamaño de muestra es grande, por encima de 15 unidades, el uso del recorrido está fuertemente desaconsejado, siendo en tal caso preferible emplear la desviación típica aunque sea más engorroso su cálculo. 17

18 Gráficos de Control por Atributos. Cuando la característica controlada conlleva una valoración cualitativa (indicación de correcto/defectuoso o identificación de defectos) y un recuento del número de veces que se produce una determinada circunstancia (número de piezas defectuosas o de defectos en una muestra), diremos que el dato manejado es un atributo. Hay dos tipos de atributos que corresponden a las situaciones denominadas: Control por defectuosas. Control por defectuosas, si cada pieza o producto es clasificado como bueno o malo, realizándose el recuento del número de tales piezas o productos que son defectuosos en cada muestra. Conlleva la utilización del modelo estadístico denominado Binomial, descrito en detalle en cualquier texto de Estadística,en el capítulo de Modelos de Probabilidad Discretos. Si la población de la que procede la muestra fuera muy reducida (menos de diez veces el tamaño de la muestra o que la fracción de muestreo n/n > 0.1) debería emplearse el modelo Hipergeométrico, también descrito previamente Control por defectos. control por defectos, si en una misma pieza o producto puede haber más de un defecto, realizándose el recuento del número de tales defectos presentes en una muestra. Conlleva la utilización del modelo estadístico denominado de Poisson, descrito en detalle en el capítulo de Modelos de Probabilidad Discretos de Textos de Estadística. Cada una de esas situaciones admite dos tipos de gráficos de control: Control por defectuosas. Gráfico np: Control mediante el número de defectuosas en la muestra. Requiere que el tamaño de muestra se mantenga constante. Gráfico p: Control mediante la proporción de defectuosas en la muestra. Adecuado cuando el tamaño de muestra varía de una muestra a otra. Control por defectos. 18

19 Gráfico c: Control mediante el número de defectos por muestra. Requiere muestras de tamaño constante. Gráfico u: Control mediante el número de defectos por unidad. Permite trabajar con muestras de tamaño variable. Conviene aquí comentar que el tamaño de muestra se mide, tanto en gráficos por variables como en gráficos pos atributos para el control por defectuosas (gráficos np y p), en número de unidades (piezas, productos, impresos,...), mientras que en los gráficos para control por defectos, el tamaño de muestra puede además medirse en unidades diferentes: metros cuadrados de un tejido en el que se cuentan defectos, litros de un liquido en el que se cuentan impurezas, etc Resumen. Resumiendo los tipos de gráficos de control y sus condiciones de uso podemos elaborar el siguiente esquema: CONTROL DE PROCESOS CONTROL POR A A S CARACTERÍSTICA MEDIBLE CONTROL DE LA POSICIÓN CONTROL DE LA DISPERSIÓN GRÁFICO DE MEDIAS GRÁFICO DE MEDIANAS GRÁFICO DE RANGO GRÁFICO DE DES. TÍPICA CARACTERÍSTICA DE RECUENTO CONTROL POR A OS CONTROL POR DEFECTUOSAS CONTROL POR DEFECTOS GRÁFICO np GRÁFICO p GRÁFICO c GRÁFICO u 19

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21 4. Gráficos de control clásicos (I): Control por variables Construcción. Conocidos ya los elementos que integran un gráfico de control y antes de pasar a estudiar como se calcula cada uno de ellos en los distintos tipos de gráficos existentes, veamos ahora cómo debe ser el documento en que se recojan estos elementos una vez calculados y en el que se vaya llevando el control del proceso. Hay multitud de tipos de impresos para control estadístico de procesos, de los cuales se presentan algunos ejemplos, pero algunas de sus características generalmente deseables serían: Claridad: el gráfico de control en una herramienta gráfica, que como todas las de este tipo persigue que el usuario aprecia en un golpe de vista aquello que se controla. Hojas confusas que impidan esta apreciación fácil y rápida deben ser evitadas. Presentación de datos numéricos y gráficos en la misma página, evitando al usuario trasiegos incómodos de papel, que únicamente facilitan el error. En el caso de control por variables, en el que se llevarán simultáneamente dos gráficos de control, ambos deberán estar también en la misma página. Presencia de un pautado o cuadrícula que facilite el trazado de los gráficos a escala. Espacio para anotación de incidencias, fundamental para la comprensión del comportamiento del gráfico y para la investigación de las causas especiales detectadas. Espacio para la completa identificación de pieza o concepto, característica controlada, departamento, fechas de elaboración, responsable del gráfico y en general cuantos datos se estime oportuno. Con frecuencia se ve que en las hojas empleadas en las empresas aparecen fórmulas y tablas de constantes de las empleadas en la definición de los distintos elementos del gráfico (especialmente de los límites de control). Realmente tal información es sólo rara vez utilizada y, si bien a efectos de aprendizaje en el uso de la herramienta es muy útil, no es ni mucho menos imprescindible. También con relativa frecuencia, en el caso de control por variables, se incluye en el gráfico espacio para la elaboración de un histograma, que siempre debe construirse en base a las mediciones obtenidas y no con las medias calculadas. Puede ser un útil complemento del gráfico de control, a condición de 21

22 que no suponga una sobre carga de trabajo para la persona encargada de llevarlo. Una posibilidad es elaborar el histograma cuando se ha completado la hoja, por persona distinta y sin la presión de la producción (por ejemplo en la oficina de línea o del departamento), pero entonces ya no es necesario que figure en la misma hoja que el gráfico de control. Un posible modelo de impreso para gráfico de control por variables sería el que se presenta en la figura siguiente, si bien como antes se ha dicho existen multitud de variantes adaptadas a las necesidades (y muchas veces a los gustos) de cada empresa o departamento. EMPRESA S.A. x R x S 2 x S ~ x R PIEZA: CARACTERÍSTICA: OPERACIÓN: Especificación: Muestra: Frecuencia: Máquina: L.central: LCS: LCI: Responsable: ID. x1 x2 x3 x4 x5 suma med. R/s/s 2 Otro tema que no por sencillo debe ignorarse es el del trazado de las líneas básicas del gráfico (línea central y límites de control) en el documento, es decir, fundamentalmente la selección de la escala en la que se realiza el dibujo. A nivel 22

23 de recomendación, pues en buena parte es simplemente una cuestión de presentación, podríamos decir que la anchura de los límites de control debe estar entre 1/2 y los 2/3 del espacio disponible: POSICION DEL LCS 2/3 L ½ L ZONA DE DIBUJO = L POSICION DEL LCI Seleccionaremos así la posición aproximada del límite inferior de control. A partir de él buscaremos una escala cómoda que permita que el límite superior que correctamente situado. No debe preocuparnos el hecho de que línea central y límites no ocupen precisamente las líneas del pautado. Antes bien lo más habitual es que no coincidan, pues tales líneas del gráfico toman valores no enteros y sería incomodo apoyar en ellos ninguna escala Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo. La definición del tamaño de muestra requerido en la elaboración de un gráfico de control pasa por la definición de los errores de primera y segunda especie que se desean cometer en la detección de cambios en proceso. Pese a que existe un procedimiento de cálculo de esa tamaño de muestra, lo más habitual es emplear un tamaño estándar, que suele ser de cinco unidades, dejando de lado consideraciones teóricamente más correctas. Veremos a continuación cómo se realiza ese cálculo en el caso del control de la media (supuesta normal) de una característica Tamaño de muestra requerido para el gráfico de la media. Definir el tamaño de muestra requiere disponer de la siguiente información: nivel de significación α deseado. media m 0 que se considera normal o correcta (que será la x, media de las medias). 23

24 probabilidad del error de segunda especie β. valor m 1 de una descorrección respecto a esa media correcta que deseamos detectar con probabilidad 1-β. la desviación típica σ. Llamamos además descentrado relativo de una media m respecto a m 0 al cociente: d = m m 0 σ con lo que el descentrado relativo asociado a la media m 1 será d 1. Con todo ello, se puede demostrar que el tamaño de muestra requerido es: z n = 2 α/2 z1 β d 1 En el caso más frecuente, α valdrá el 0.27%, con lo cual z α/2 será 3, diciéndose en tal caso que se trabaja con criterio 3σ. Los valores de Z α/2 y Z 1 - β se obtienen de una tabla de Distribución Normal, una vez que los riesgos α y β han sido definidos Tamaños de muestra empleados habitualmente. A pesar de que existe, como se ha visto arriba, la posibilidad de calcular de modo exacto el tamaño de muestra requerido para la realización de un gráfico de control, tal expresión no es usada con la frecuencia con que debiera. A ello contribuyen varias razones, a demás de una obvia que sería el desconocimiento de su uso. Podríamos citar que los tamaños resultantes de aplicar la fórmula anterior pueden ser grandes, con lo que el aspecto práctico de la realización del control se vería comprometido. También se da en ocasiones el hecho de que la información requerida no sea evidente ni esté disponible, en especial la que define el punto del comprador (descorrección y probabilidad de error de segunda especie β). El propio Shewhart, creador de estos gráficos de control, proponía el uso del tamaño de muestra 4, mientras que el más empleado hoy día es el tamaño 5. Entre las razones que nos llevan usar estos tamaños tenemos: 24

25 el tamaño de muestra debe ser lo más bajo posible por razones de coste y de homogeneidad (subgrupo racional) de la muestra. si la población de la que proceden los datos no es muy anormal, las media muestrales obtenidas con muestras de tamaño igual o superior a 4 o 5 se pueden considerar ya aceptablemente normales (en virtud del teorema central del límite). el tamaño muestral 5 simplifica la operativa del cálculo de la media. Respecto a esta última condición, no debe, en absoluto, ser menospreciada. Es el mismo motivo que hace que se emplee más el gráfico del rango que el de la desviación típica para el control de la dispersión. Piénsese que normalmente la realización del gráfico de control suele quedar en manos del personal de producción, que dispondrá de poco tiempo y de una preparación sólo básica en cálculos matemáticos, con lo que todo lo que se haga por facilitar el uso de estos será una garantía de que los datos reflejados son fiables y de que el gráfico se lleva correctamente. El uso de tamaños muestrales mayores suele justificarse por dos vías: La necesidad de un control más preciso sobre la media, que requiere el uso de tamaños de muestra mayores de 15 unidades. En tal caso el control de la dispersión necesariamente pasaría a llevarse mediante la desviación típica (el rango sólo es apto para muestras inferiores a diez unidades). La existencia de características en el proceso que aconsejen otro valor de n. Por ejemplo, en un proceso de inyección de plásticos, si un molde tiene ocho cavidades se podría trabajar con n=8 tomando una unidad de cada cavidad Tamaños de muestra en procesos continuos. Mención aparte merece el caso de los procesos continuos. En ellos el material producido en cada instante suele ser altamente homogéneo, hasta el punto de hacer que si tomáramos simultáneamente varias muestras de material, las diferencias entre ellas serían debidas, más que a heterogeneidad del producto, a la variabilidad propia del sistema de medida, que es incapaz de apreciar variaciones en el proceso. Este tipo de procesos entrega datos que se encuentran muy correlacionados entre sí, lo que hace que el principio de independencia generalemte no sea cumpla, por lo que ameritan un tratamiento especial,el que se verá en capítulos posteriores. Por ello, en estos casos bastaría con emplear un tamaño de muestra uno: la posición quedaría adecuadamente controlada con ese valor, y la dispersión 25

26 instantánea no existe por la propia naturaleza del proceso, por lo que no requiere ser calculada. Caso de tomarse varias medidas, ello se justificaría por mejorar la precisión de la estimación, pero no para valorar la variabilidad inexistente en el proceso. Esta variabilidad, entendida ahora como evolución en el tiempo, aparece aquí como la diferencia entre muestras consecutivas, pero no como diferencias dentro de una misma muestra. Por todo ello el tipo de gráfico de control a emplear sería de los llamados de medidas individuales y rangos móviles, y no de los gráficos de Shewhart estándar que a continuación estudiaremos (ver Capítulo 7) Frecuencia de muestreo. Respecto a la frecuencia de muestreo, sólo se pueden dar orientaciones basadas en la práctica y en el sentido común, pues no hay ningún procedimiento específico para su cálculo. Parece razonable, y así se hace habitualmente, que al inicial el control de una característica de calidad se emplee un muestreo frecuente, y que tal frecuencia vaya disminuyéndose conforme el proceso va siendo más estable. Como valores orientativos podríamos hablar de frecuencias que vas desde una toma de n piezas cada 15 minutos hasta una por turno. Reducir el control por debajo de esta cifra sería en la práctica casi lo mismo que eliminar ese control. Aumentarla por encima de las cuatro tomas por hora sería, probablemente, entorpecer demasiado la producción (salvo que la medición fuera automática sin afectar al funcionamiento del proceso, en cuyo caso la frecuencia podría ser incluso mucho mayor, llegándose a un control al 100%). Siempre al nivel de recomendaciones, se suele citar que en producciones rápidas (más de mil unidades por hora) se debiera muestrear entre un 2 y un 5% de la producción, mientras que en producciones menos rápidas (por debajo de esas mil unidades por hora) la fracción de muestreo subiría al 5 o al 10%. En general, como elementos que deban ser tenidos en cuenta al fijar la frecuencia de muestreo, tenemos: estabilidad de la característica controlada, pues en características muy estables podemos espaciar más la toma de muestras, mientras que en procesos con frecuentes cambios el control debe ser más frecuente. coste del muestreo, así como la complejidad del mismo y el tiempo que requieran los análisis o mediciones asociados al control, ya que cuanto más 26

27 caro, difícil o lento sea el control, más deberemos espaciar las tomas, y al revés (siempre a igualdad del resto de factores a considerar, por supuesto). coste que nos suponga que el proceso se salga de control, teniendo en cuenta posibles problemas que se generen en operaciones posteriores con ese mismo producto o pieza así como el coste de las acciones que se tomen a partir de una señal de falta de control (retención de materiales, inspección al 100%, etc.). probabilidad y coste de llegar a producir unidades fuera de especificaciones, la primera de las cuales dependerá de la capacidad del proceso, debiendo considerar en el segundo la posible generación de chatarras, la necesidad de retrabajos para recuperar unidades no conformes, posibles costes de garantís por unidades defectuosas que llegan al cliente, etc Gráfico Media - Rango. Este es con diferencia el tipo de gráfico de control por variable más empleado, por combinar unas buenas cualidades estadísticas con una razonable sencillez. Permite llevar simultáneamente el control de posición y de dispersión mediante muestreo. Con los valores integrantes de cada muestra de la característica considerada, deberemos calcular su media y su rango, mediante las conocidas expresiones: n xi i x = = 1 R = xmax x n min donde x y R : son la media y el rango de la muestra, x i : es el dato i-esimo de la muestra, n : es el tamaño de muestra y x y x : son los valores máximo y mínimo de la muestra max min Serán esta media y este rango, y no los datos individuales, los que emplearemos en el control de la posición y de la dispersión respectivamente. Para construir el gráfico de control necesitamos los elementos que arriba se comentaron: la línea central y los límites de control, y eso para cada uno de los dos gráficos que se van a emplear. Para obtenerlos necesitamos disponer de una cierta cantidad de información anterior en la forma de muestras del mismo tamaño al que vamos a emplear en el control (más adelante se detallará el procedimiento para obtener esos datos, que ahora consideramos ya en nuestro 27

28 poder). Con las medias de las muestras anteriores calcularemos la línea central, obteniendo un valor que se suele llamar media de las medias o gran media : xi x = i 1 = k donde k es el número de muestras que constituyen la información histórica y x i es la media de la muestra i-esima de entre esas k muestras. La media de las medias es, pues, un indicador del nivel en torno al que se está moviendo la característica controlada. Con esa información histórica calcularemos también el rango o recorrido medio, que hará el papel de línea central del gráfico del rango, mediante: donde k k Ri i R = = 1 k R i es el recorrido o rango de la muestra i-esima k es el número de muestras disponibles. Con la media de las medias y el recorrido medio podremos calcular los límites de control para ambos gráficos, media y rango, con las siguientes expresiones: Gráfico de la Media: Limite Superior de Control : LCSx = x + A 2 R Límite Inferior de Control: LCI x = x A 2 R Gráfico del Rango: Límite superior de control: LCSR = D 4 R Límite inferior de control: LCI R = D 3 R donde A 2, D 3 y D 4 son constantes leídas en tablas, adjuntas al final del Texto, en función del tamaño de muestra. El cálculo de los límites no tiene especial dificultad ni presenta peculiaridades, salvo quizás para el gráfico del rango, en el que para tamaños de muestra inferiores a siete la constante D 3, empleada en el cálculo del límite 28

29 inferior de control, es nula, siéndolo también en consecuencia el propio límite de control. El siguiente paso para llevar un control estadístico de calidad con un gráfico de la media es trazar en el impreso adecuado (por ejemplo el anterior) las tres líneas así obtenidas. Una vez hecho esto se podrá iniciar la toma de muestras. Tras cada muestra se calculará la media de la misma, valor que se representará en el gráfico, sirviéndonos de comprobación de si el proceso sigue estable (por ejemplo, si el punto está entre los límites de control. Ver señales de falta de control más adelante) Gráfico Media - Desviación Típica. Si, para el control de la dispersión, el rango aportaba como gran ventaja para su empleo la sencillez de su cálculo, la desviación típica tiene unas mejores características que se basan en un mejor aprovechamiento de la información, pues mientras el rango se calcula en base a sólo los dos valores extremos de la muestra, la desviación típica hace uso de todos los datos disponibles. Esta ventaja en favor de la desviación típica es más evidente, lógicamente, en tamaños de muestra grandes. Con los tamaños habitualmente empleados en control de calidad por variables (en torno a cinco unidades), la ventaja no es aún decisiva, y pesa más la indudable complejidad en el cálculo de s, haciendo que el rango sea, como antes se comentó, mucho más empleado. La situación se invertirá fundamentalmente en dos casos: cuando el tamaño de muestra sea grande (por encima de diez unidades) y cuando el control se lleve por ordenador (con lo que las operaciones complejas no son problema). En tales casos se preferirá el control de la dispersión a través de la desviación típica, mientras que la posición puede seguir siendo controlada por la media. Las expresiones de cálculo de las líneas centrales y los límites (salvo la de la media de las medias) se verán modificadas, pues cambia la información que obtenemos de cada muestra. Gráfico de la Media: k xi i Línea central: x = = 1 k Limite Superior de Control : LCS = x + x A1 s Límite Inferior de Control: LCI = x x A1 s 29

30 Gráfico de la Desviación Típica: Valor a controlar S i = n j= 1 ( x x) ij n 1 2 i, i=1...k Línea central: s k s i = = 1 k i Límite Superior de Control LCS B s s = 4 Límite Inferior de Control LCI B s s = 3 donde: x i es la media de la muestra i-sima s i es la desviación típica estimada de la muestra i-sima x i es cada uno de los valores medidos en cada muestra n es el tamaño de muestra s es la desviación típica media, que actúa como línea central del gráfico k es el número de muestras empleadas en la construcción del gráfico, y A 1, B 3 y B 4 son constantes leídas en tablas (final del texto), en función del tamaño de muestra El empleo del gráfico de control de la desviación típica es igual al de la media, la mediana o el rango, debiendo prestarse atención en primer lugar a la presencia de puntos fuera de los límites de control, y en segundo lugar al resto de señales de falta de control. 30