DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS MEDIANTE TÉCNICAS DE CRECIMIENTO
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- María Josefa Suárez Farías
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1 UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE CARTAGENA DEPARTAMENTO DE ESTRUCTURAS Y CONSTRUCCIÓN DISEÑO ÓPTIMO SIMULTÁNEO DE TOPOLOGÍA Y GEOMETRÍA DE ESTRUCTURAS ARTICULADAS MEDIANTE TÉCNICAS DE CRECIMIENTO Cartagena, 12 de marzo de 2012
2 Métodos basados en el universo estructural Universo estructural 4x2. 15 nudos, 72 barras Topología óptima. 6 nudos, 8 barras. Masa = 6,47931 Universo estructural 22x nudos, barras Topología óptima. 105 nudos, 206 barras. Masa = 6,10349 Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 2
3 Método de crecimiento propuesto Inicio Definición de datos Obtención de la topología inicial Optimización de topología Optimización de geometría Crecimiento de la topología Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Ha cambiado la topología óptima? Nº iteraciones < Nº máximo iteraciones? Fin Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 3
4 Método de crecimiento propuesto Inicio Definición de datos Obtención de la topología inicial Optimización de topología Optimización de geometría Crecimiento de la topología Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Ha cambiado la topología óptima? Nº iteraciones < Nº máximo iteraciones? Fin Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 4
5 Obtención de la topología inicial Desplazamientos impedidos y cargas Materiales Datos iniciales Generación de los nudos iniciales Generación de barras entre cada par de nudos Topología inicial Nudos iniciales Universo estructural inicial Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 5
6 Método de crecimiento propuesto Inicio Definición de datos Obtención de la topología inicial Optimización de topología Optimización de geometría Crecimiento de la topología Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Ha cambiado la topología óptima? Nº iteraciones < Nº máximo iteraciones? Fin Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 6
7 Optimización de topología Topología inicial o topología de la iteración anterior Optimización de topología mediante métodos basados en el universo estructural Universo estructural Topología óptima Topología óptima Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 7
8 Método de crecimiento propuesto Inicio Definición de datos Obtención de la topología inicial Optimización de topología Optimización de geometría Crecimiento de la topología Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Ha cambiado la topología óptima? Nº iteraciones < Nº máximo iteraciones? Fin Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 8
9 Optimización de geometría minimizar : X sujeto a : M x x I i m el e1 x i x S i e A e i 1,2,..., n Geometría inicial y restricciones de borde x, x, x i I i S i Parámetros del algoritmo de optimización Cálculo de la función objetivo: Resolución sistema de ecuaciones de equilibrio Dimensionado de las barras Cálculo de las derivadas analíticas de la función objetivo respecto de las variables de diseño x i M x x i M x i Problema de Programación Matemática no Lineal: Subrutina DBCONG (Schittkowski, RQP) de la librería matemática IMSL Valor óptimo de las variables * x i Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 9
10 Método de crecimiento propuesto Inicio Definición de datos Obtención de la topología inicial Optimización de topología Optimización de geometría Crecimiento de la topología Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Ha cambiado la topología óptima? Nº iteraciones < Nº máximo iteraciones? Fin Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 10
11 Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Topología con geometría optimizada Adición de barras que unen el último nudo añadido con los demás nudos Optimización de topología Topología óptima Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 11
12 Método de crecimiento propuesto Inicio Definición de datos Obtención de la topología inicial Optimización de topología Optimización de geometría Crecimiento de la topología Comprobación de la topología óptima en la nueva geometría Ha cambiado la topología óptima? Nº iteraciones < Nº máximo iteraciones? Fin Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 12
13 Crecimiento de la topología Topología de la iteración anterior Determinación de las barras y cruces de barras a dividir Primera barra o cruce de barras a dividir Definición del nuevo nudo Definición de las nuevas barras Optimización de topología Siguiente barra o cruce de barras a dividir Almacenamiento de la topología Función objetivo < Función objetivo mínima? Recuperación de la topología anterior Se han probado todas las barras y cruces de barras? Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 13 Recuperación de la topología almacenada
14 Crecimiento de la topología Topología de la iteración anterior Determinación de las barras y cruces de barras a dividir Primera barra o cruce de barras a dividir Definición del nuevo nudo Definición de las nuevas barras Optimización de topología Siguiente barra o cruce de barras a dividir Almacenamiento de la topología Función objetivo < Función objetivo mínima? Recuperación de la topología anterior Se han probado todas las barras y cruces de barras? Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 14 Recuperación de la topología almacenada
15 Determinación de las barras y cruces de barras a dividir En el método propuesto, para el crecimiento de la topología se utilizan dos criterios: dividir una barra o dos barras que se cruzan En la bibliografía no se ha encontrado un criterio, que sea válido siempre, para la elección de la mejor barra o cruce de barras a dividir o La barra más larga (Rule) En el método propuesto se han probado diferentes alternativas (barra más larga, barra de mayor área, ) sin éxito Dado que el coste computacional no es alto, se ha optado por probar todas las barras y todos los cruces de barras y elegir aquél con el que menor función objetivo se obtenga. Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 15
16 Crecimiento de la topología Topología de la iteración anterior Determinación de las barras y cruces de barras a dividir Primera barra o cruce de barras a dividir Definición del nuevo nudo Definición de las nuevas barras Optimización de topología Siguiente barra o cruce de barras a dividir Almacenamiento de la topología Función objetivo < Función objetivo mínima? Recuperación de la topología anterior Se han probado todas las barras y cruces de barras? Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 16 Recuperación de la topología almacenada
17 Definición del nuevo nudo (1) Métodos generales Puntos de una rejilla Puntos aleatorios (usado por McKeown, 1998) Entorno de los puntos medios de las barras (usado por Rule, 1994, y por Bojczuk y Mróz, 1998) i Entorno de los cruces de las barras j i l k j Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 17
18 Definición del nuevo nudo (2) Método basado en las direcciones principales de tensión Modificar la topología para mejorar la ortogonalidad de las barras en los nudos o División de una barra o División de dos barras que se cruzan El nuevo nudo se sitúa en el punto medio del spline cúbico que pasa por los nudos y tiene las pendientes de las bisectrices. Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 18
19 Crecimiento de la topología Topología de la iteración anterior Determinación de las barras y cruces de barras a dividir Primera barra o cruce de barras a dividir Definición del nuevo nudo Definición de las nuevas barras Optimización de topología Siguiente barra o cruce de barras a dividir Almacenamiento de la topología Función objetivo < Función objetivo mínima? Recuperación de la topología anterior Se han probado todas las barras y cruces de barras? Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 19 Recuperación de la topología almacenada
20 Definición de las nuevas barras (1) División de una barra Para mantener la isostaticidad hay que añadir una nueva barra que conecte el nuevo nudo con otro En la bibliografía no se ha encontrado un criterio, que sea válido siempre, para la elección del nudo con el que conectar el nuevo nudo o o Nudo más cercano (Rule, y Bojczuk y Mróz) Nudo más cercano a la perpendicular a la barra por el punto medio En el método propuesto se ha recurrido a añadir varias barras y, mediante una optimización de topología, decidir cuál es la mejor. Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 20
21 Definición de las nuevas barras (2) Para asegurar que no se va a descartar la barra correcta, se pueden añadir todas las barras posibles uniendo el nuevo nudo con todos los demás Se descartan las barras que están al mismo lado de la barra que el nuevo nudo Una vez obtenido el universo estructural, se optimiza la topología Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 21
22 Definición de las nuevas barras (3) División de dos barras que se cruzan Las mejores barras no siempre son las que resultan de dividir las dos barras que se cruzan Para elegir las nuevas barras a añadir se sigue el mismo procedimiento que al dividir cada una de las barras de forma independiente Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 22
23 Definición de las nuevas barras (4) Criterios prácticos para limitar el número de barras a añadir al nuevo nudo Limitar el número de cruces de barras Limitar el número máximo de barras en exceso (grado de hiperestaticidad). Se eligen las más ortogonales Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 23
24 1, ,35889 Voladizo de Michell (Rozvany, 1998) (1) P M M e Ph L L h M 16,44137 J 15 x Datos h 1m h A D P J 7850 kg e m 260 MPa 3 10 L e P h 6,07386 D 5 1 A 0, L Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 24
25 Voladizo de Michell (Rozvany, 1998) (2) Método de crecimiento propuesto Diseño Universo óptimo Nudos Datos estructural iniciales universo inicial. Masa = 7,13908 Diseño óptimo con 1 nudo añadido. Masa = 6,65296 Diseño óptimo con 2 nudos añadidos. Masa = 6,40263 Diseño óptimo con 3 nudos añadidos. Masa = 6,21913 Diseño óptimo con 8 nudos añadidos. Masa = 6,12748 Diseño óptimo con 15 nudos añadidos. Masa = 6,10145 Diseño óptimo con 24 nudos añadidos. Masa = 6,09064 Diseño óptimo con 35 nudos añadidos. Masa = 6,08514 Diseño óptimo con 99 nudos añadidos. Masa = 6,07771 Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 25
26 Voladizo de Michell (Rozvany, 1998) (4) Universo estructural 22x nudos, barras Topología óptima. 105 nudos. Masa = 6, Error = 0,605 % Datos iniciales Diseño óptimo con 102 nudos. Masa = 6, Error = 0,063 % Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 26
27 Voladizo de Michell (Rozvany, 1998) (3) Métodos del universo estructural y de crecimiento propuesto Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 27
28 Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 28 Viga con disco circular rígido (Rozvany, 1998) (1) e t e M r L 260 MPa m 7850 kg 0,15 m 1,5 m 3 r L M M M t e Ln 2 Datos M t L 2r L M P t 2
29 Viga con disco circular rígido (Rozvany, 1998) (2) Método de crecimiento propuesto Diseño Universo Nudos óptimo Datos estructural iniciales universo inicial. Masa = 4,96020 Diseño óptimo con 1 nudo añadido. Masa = 3,39756 Diseño óptimo con 2 nudos añadidos. Masa = 3,16015 Diseño óptimo con 3 nudos añadidos. Masa = 3,11072 Diseño óptimo con 4 nudos añadidos. Masa = 2,72857 Diseño óptimo con 5 nudos añadidos. Masa = 2,62243 Diseño óptimo con 6 nudos añadidos. Masa = 2,54116 Diseño óptimo con 15 nudos añadidos. Masa = 2,41105 Diseño óptimo con 135 nudos añadidos. Masa = 2,31499 Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 29
30 Viga con disco circular rígido (Rozvany, 1998) (3) Universo estructural 6x nudos, barras Topología óptima. 160 nudos. Masa = 2, Error = 2,297 % Datos iniciales Diseño óptimo con 153 nudos. Masa = 2, Error = 0,539 % Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 30
31 Viga con disco circular rígido (Rozvany, 1998) (4) Métodos del universo estructural y de crecimiento propuesto Diseño óptimo simultáneo de topología y geometría de estructuras articuladas mediante técnicas de crecimiento 31
CONCLUSIONES 5. CONCLUSIONES.
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