El sólido prismático

Transcripción

1 1/ 21 El sólido prismático Ignacio Romero Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales Universidad Politécnica de Madrid Resistencia de Materiales, Curso 2015/16

2 1. Modelos 1/ 21

3 Objetivos 1. El comportamiento (mecánico) de los cuerpos reales es muy complejo. 2. Desde siempre, el hombre ha formulado modelos que permiten predecir la respuesta de los cuerpos ante estímulos externos (con menor o mayor éxito) 3. Los modelos más precisos son más complejos. Modelos intuitivos La partícula El sólido rígido El sólido deformable Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 3 2/ 21

4 El sólido deformable Un modelo muy exacto para predecir la deformación de los cuerpos Basado en ecuaciones en derivadas parciales Γ t f s σ + ρb = 0 Ω σ = Cε ε = 1 ( u + T u ) 2 f v Γ u Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 4 3/ 21

5 El modelo del sólido prismático El modelo de sólido prismático es muy complejo Cuando la geometría del sólido es sencilla, se pueden obtener soluciones bastante exactas con un esfuerzo mucho menor objeto de la Resistencia de Materiales Un sólido prismático es el generado por una sección plana cuando su centro de masa recorre una curva llamada directriz y la sección es ortogonal a la curva. Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 5 4/ 21

6 Modelos Equilibrio Ca lculo de reacciones y esfuerzos Diagramas Ejemplos 5/ 21 Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 6

7 El triedro principal de la sección En cada sección trasversal de un sólido prismático se puede definir un triedro: El origen en el centro de masa El eje x normal, saliente Los ejes y, z en las direcciones principales de la sección, formando un triedo directo z x y Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 7 6/ 21

8 2. Equilibrio 6/ 21

9 Equilibrio estático Un sólido se encuentra en equilibrio estático cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él y el momento de éstas respecto de cualquier punto son cero, es decir, F i = 0, M j + j i i r i F i = 0. Observaciones: El momento es respecto de cualquier punto. Cuando un sólido está en equilibrio estático, también lo está cualquier región del mismo. Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 9 7/ 21

10 Fuerza interna y momento interno Al considerar sólo una parte de un sólido en equilibrio Ha de estar en equilibrio estático Las acciones exteriores sin embargo pueden no estarlo Hay que considerar las fuerzas y momentos que la parte eliminada efectúa La fuerza y el momento resultante de esta interacción tienen el valor necesario para que se cumplan las ecuaciones del equilibrio estático en la parte considerada y son la fuerza y el momento internos. Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 10 8/ 21

11 Esfuerzos Los esfuerzos son las componentes de la fuerza y el momento interno en el triedo de la sección Tz Mz N : esfuerzo normal T x, T y : esfuerzos cortantes Mt N Ty My M t : Momento torsor M y, M z : Momentos flectores Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 11 9/ 21

12 Reacciones Para impedir a un cuerpo/estructura que se desplace, se puede sujetar, restringiendo su movimiento. Las restricciones son las fuerzas/momentos que una restricción ejerce sobre un cuerpo para evitar que éste se desplace Observaciones: Las reacciones nunca son conocidas a priori. Hay que calcularlas. Las reacciones tendrán el valor necesario para cumplir las restricciones, pero siempre garantizando que el cuerpo esté en equilibrio estático. En los cuerpos prismáticos, se consideran sólo los movimientos de las secciones: el vector desplazamiento y el vector giro. En 2D: dos desplazamientos y un giro. Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 12 10/ 21

13 Modelos Equilibrio Ca lculo de reacciones y esfuerzos Diagramas Restricciones en 2D RY Apoyo Restriccio n: ux = uy = 0 Y Posibles reacciones: RX, RY X RX 11/ 21 Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 13

14 Restricciones en 2D-2 R Apoyo móvil Restricción: u N = 0 Y Posibles reacciones: R X R Y X Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 14 12/ 21

15 Restricciones en 2D-3 Empotramiento Restricción: u X = u Y = θ = 0 Posibles reacciones: R X, R Y, M R M R R Y Y X R X Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 15 13/ 21

16 3. Cálculo de reacciones y esfuerzos 13/ 21

17 Libertades Una libertad mecánica es una unión que anula el valor de uno o más esfuerzos en una sección EN 2D hay tres tipos 1. Deslizadera: anula N. 2. Rótula o articulación: anula M z o M y 3. (Libertad a cortante): anula T y o T z y sus combinaciones. En 3D hay un tipo más: libertad torsional. Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 17 14/ 21

18 Grado de indeterminación estática El grado de indeterminación estática o hiperestaticidad es el número de incógnitas en una estructura (reacciones y/o esfuerzos) cuyo valor no podemos conocer únicamente a partir de las ecuaciones del equilibrio estático NH = NR NC NL Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 18 15/ 21

19 Ejemplos! Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 19 16/ 21

20 Cortes Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 20 17/ 21

21 4. Diagramas 17/ 21

22 Leyes y diagramas Las leyes de esfuerzos son expresiones matemáticas que indican de forma unívoca el valor (y sentido) de los esfuerzos en un sólido a lo largo de su directriz. Los diagramas de esfuerzos son representaciones gráficas de las leyes, y deben de estar acotados de forma que el valor numérico y sentido de los esfuerzos esté unívocamente determinado. Hay varias notaciones válidas, pero siempre se debe de indicar el sentido!. Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 22 18/ 21

23 Sentidos En problemas 2D los esfuerzos tienen los siguientes sentidos: N T M Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 23 19/ 21

24 Funciones definidas a trozos Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 24 20/ 21

25 Notación compacta Corchete de Macaulay: x = { x si x 0 0 si x < 0 M 1 F 1 q 1 M 2 F 2 q 2 x a 1 b 1 c 1 d1 a 2 b 2 c 2 d2 M(x) = N m i=1 N p M i x a i 0 + i=1 N q P i x b i 1 + i=1 q i 2 ( x c i 2 x d i 2 ), Resistencia de Materiales, curso 2015/16 I. Romero 25 21/ 21