INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN

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1 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 INSTRUCCIONES GENERALES Y VALORACIÓN INSTRUCCIONES: Escoja entre una de las dos opciones A o B. Lea con atención y detenimiento los enunciados de las cuestiones y responda de manera razonada a los puntos concretos que se preguntan en la opción elegida. Se distribuirá en el eamen una fotocopia con una tabla de la distribución normal N(0;1). DURACIÓN DEL EJERCICIO: Una hora y treinta minutos. CALIFICACIÓN: Se indica en cada apartado OPCIÓN A EJERCICIO 1. Las 0 chicas y los 10 chicos de un grupo de estudiantes de bachillerato organizan un viaje para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contratan a equipos de jóvenes de dos tipos: Tipo A. Parejas formadas por un chico y una chica. Tipo B: Equipos de cuatro personas formados por tres chicas y un chico. Se paga a 30 euros la tarde a la pareja y a 50 euros la tarde al equipo de cuatro personas. a) (1 Punto) Rellena la tabla siguiente en función de las variables: = número de equipos de tipo A, y = número de equipos de tipo B EQUIPOS equipos chicas que intervienen en el equipo chicos que intervienen en el equipo TIPO A TIPOB y TOTAL b) (1 Punto) Formula las inecuaciones lineales que describen matemáticamente la situación. c) (1 Punto) La función G(,y)= 30+50y describe las ganancias que obtendría este grupo de chicas y chicos (función objetivo) Cómo les conviene distribuirse a este grupo para sacar la mayor cantidad de dinero posible?

2 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 EJERCICIO. Un fabricante de componentes de ordenadores determina que el coste total de producir componentes de ordenador por semana viene dado por la función: EJERCICIO 3. 1 C( ) a) (1 Punto) Representa gráficamente la función C()., (C viene dada en euros por semana). b) (0.5 Puntos) Calcula la tasa de variación de la función coste, C(), en función del número de componentes producidas. c) (0.5 Puntos) Cuántas unidades hay que producir para que el coste de producirlas sea menor que la inversión inicial C(0)=000? Justifica gráficamente tu respuesta. 1. Supongamos que los puestos de trabajo se clasifican (de acuerdo con la capacitación requerida) en altos (A), medios (M) y bajos (B). Denotemos las generaciones por subíndices, de tal forma que por ejemplo, A 1 representa el suceso un padre tiene un puesto de trabajo de tipo A, B representa el suceso un hijo tiene un puesto de trabajo de tipo B, etc. Glass y Hall (1954) en un estudio realizado en Inglaterra y Gales obtuvieron los siguientes datos: A M B A M B La tabla anterior da probabilidades condicionadas. Por ejemplo P(A A 1 )=0.45 denota la probabilidad de que un hijo tenga una ocupación de nivel A, supuesto que el padre también tenía ese nivel. Supongamos que en la generación de los padres el 10% están en A, el 40% en M y el 50% en B (1 Punto) Cuál es la probabilidad de que un hijo esté en A? 1.. (1 Punto) Cuál es la probabilidad de que un padre esté en A, supuesto que su hijo también lo está?. En una gran ciudad, el 60% de la población fuma, el 6% tiene bronquitis crónica, y el 4% fuma y padece bronquitis crónica..1. (1 Punto) Halla la probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga bronquitis crónica o sea fumador.

3 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria ( Puntos) Elegimos al azar 10 personas de esta ciudad. Hallar la probabilidad de que más de 80 de ellas sean fumadores 1. OPCIÓN B EJERCICIO 1. Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolos de dos formas distintas; en el primer lote, lote de tipo A, pondrán dos cuadernos, una carpeta y dos bolígrafos; en el segundo lote, lote de tipo B, pondrán tres cuadernos, una capeta y un bolígrafo. Los precios de cada paquete serán de 6.50 euros los de tipo A y siete euros los de tipo B. a) (1 Punto) Rellena la tabla siguiente en función de las variables: = número de lotes de tipo A, y = número de lotes de tipo B LOTES Número de lotes cuadernos bolígrafos carpetas TIPO A TIPOB y TOTAL EJERCICIO. b) (1 Punto) Formula las inecuaciones lineales que describen matemáticamente la situación anterior. c) (1 Punto) La función G(,y)= y describe las ganancias que obtendrían estos almacenes Cuántos lotes de cada tipo les conviene poner a la venta para obtener los máimos beneficios? a) (1 Punto) Calcula el valor de la función f ( ) 1 para =100, =1000, =10000 Cuánto vale su límite L cuando tiende a +? A partir de qué valor de se verifica que f()-l <0.01? 1 Recuerda que la distribución binomial de parámetros (n,p) se puede aproimar en algunos casos por una distribución normal de parámetros (μ,σ)=(np, np(1 - p) ).

4 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 b) (0.5 Puntos) Calcula razonadamente los siguientes límites: 5 i. lim. 0 5 ii. lim. c) (0.5 Puntos) Eplica por qué la función g()=cos() no tiene límite cuando tiende a +. EJERCICIO Un aparato tiene dos componentes A y B. Los fallos en el aparato vienen motivados por fallos en alguna de las componentes. Al cabo de 5 años la componente A ha fallado en el 6% de los aparatos, y la componente B en el 8%. En el 4% de los aparatos han fallado las dos componentes (1 Punto) Los fallos de A y B son independientes? 1.. (1 Punto) Si B ha fallado cuál es la probabilidad de que A haya fallado?. (3 Puntos) Una noticia en el periódico dice que, de 1000 personas encuestadas sobre una cuestión, 556 se muestran a favor y 444 en contra, y concluye afirmando que el 55.6% de la población se muestra a favor, con un margen de error de ±3% Cuál es el nivel de confianza de esta afirmación?

5 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 CRITERIOS ESPECÍFICOS DE CORRECCIÓN OPCIÓN A EJERCICIO 1. Apartado a) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos EJERCICIO. Apartado a) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos EJERCICIO 3. Apartado 1.1) Apartado 1.) Apartado.1) Apartado.) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Planteamiento: 1 punto; Resolución: 1 punto OPCIÓN B EJERCICIO 1. Apartado a) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos EJERCICIO. Apartado a) Planteamiento: 0.75 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado b) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado c) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos EJERCICIO 3. Apartado 1.1) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado 1.) Planteamiento: 0.5 puntos; Resolución: 0.5 puntos Apartado ) Planteamiento: puntos; Resolución: 1 punto

6 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 SOLUCIONES OPCIÓN A N.1. a) EQUIPOS equipos chicas que intervienen en el equipo chicos que intervienen en el equipo TIPO A TIPOB y 3y y TOTAL +3y +y b) Las inecuaciones son c) Los vértices de la región pedida son Luego, la evaluación de G(,y) en estos puntos da: 0, y 0, 3y 0, y 10. ( 0,0), ( 0,0 / 3), ( 5,5), ( 10,0). G ( 0,0) 0, G ( 0,0 / 3) 1000 / , G ( 5,5) 400, G ( 10,0) 300. Por tanto los valores pedidos son =5 e y=5, que da unas ganancias de 400 euros por día trabajado. N. a) La gráfica pedida es: b) Para calcular la tasa de variación basta derivar la función de coste. Luego: C' ( )

7 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 c) Para que C( ) 000 hay que buscar un valor de 0 para el que 1 ( 50 ) 0. 0 En consecuencia La gráfica siguiente justifica geométricamente este hecho. N Mediante la regla de la probabilidad total se tiene que: P(hijo en A) = P(A ) = P(A 1 )P(A A 1 )+P(M 1 )P(A M 1 )+P(B 1 )P(A B 1 ) = = (0.10)(0.45)+ (0.40)(0.05)+ (0.50)(0.01)=0.07. Es decir, el 7% de los hijos tiene empleos altos. 1.. Utilizando la regla de Bayes obtenemos: P( A1 ) P( A A1 ) (0.10)(0.45) P(padre en A hijo en A)= P(A 1 A )= P( A ) (0.07).1. El problema nos pide calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos. Más precisamente, se tiene que: P(Bronquitis o fumador) = P(Bronquitis) + P(Fumador) - P(Bronquitis y fumador) = = = 0.6.

8 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria La variable aleatoria relevante en este apartado es X= fumadores, entre 10 personas. Esta variable sigue un modelo binomial B(n=10, p=0.60) que se puede aproimar por un modelo normal N(μ;σ) porque n=10 es grande y p=0.60 no es próimo a cero. La fórmula para calcular los parámetros es: En consecuencia: (μ, σ) = ( np, np(1 - p) ) = ( 7, 5.37). X 7 P (Más de 80 fumadores) = P(X>80) = P =P (Z > 1.49) Pero, según las tablas de la distribución normal, esto da un valor final de aproimadamente. En consecuencia: P (Más de 80 fumadores) = 6.8%.

9 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 OPCIÓN B N.1 a) LOTES Número de lotes cuadernos bolígrafos carpetas TIPO A TIPOB y 3y y y TOTAL b) Las inecuaciones son c) Los vértices de la región pedida son ( 0,0), ( 0,00), ( 150,100), ( 00,0). 0, y 0, 3y 600, y 500, y 400. Luego, la evaluación de G(,y) en estos puntos da: G ( 0,0) 0, G ( 0,00) 1400, G ( 150,100) 1675, G ( 00,0) Por tanto los valores pedidos son =150 e y=100, que da unas ganancias de 1675 euros. N. a) Se tienen que: f ( 100) 1.01, f ( 1000) , f ( 10000) El límite vale 1. Además f()-1 <0.01 da la desigualdad: , es decir 100. b) Para calcular los siguientes límites procederemos de la siguiente forma: 5 5 / i. lim lim lim 5 ( / ) / ii. lim lim lim 5 ( / ) 5. 1

10 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 c) Consideremos los números reales de la forma k donde k es un número natural que puede ser par o impar. En consecuencia: cos( k ) 1, si k es par, y cos( k ) 1 si k es impar. Como esta secuencia de número se hace tan grande como queramos, si el límite eistiera el valor de la función cos() debería concentrarse alrededor de un único valor, pero no tiende a concentrarse a partir de uno de ellos siempre en el valor 1 o siempre en el valor -1. Luego el límite no eiste. N P(A)P(B) = (0.06)(0.08) = = P(A B ). Por tanto los fallos de A y B no son independientes. P( A B) P(A B) = P( B) La noticia del periódico nos está hablando sobre la estimación del parámetro p= Proporción de personas a favor de una cuestión mediante un intervalo de confianza. Como siempre que tratamos de estimar una proporción, disponemos de una muestra aleatoria X,..., X ) de X B( 1; p) ; en este caso n ( 1 n El intervalo de confianza correspondiente es de la forma: I z / (1 ) n Además en nuestro caso: Como el margen de error es de 0.03, tenemos finalmente que: 0.03 Error en la estimación = z (1 ) n / = 0.556( ) z /, 1000 Lo que da un valor de z / de 1.91 aproimadamente. La tabla de la distribución normal N(0;1) da un valor de / Por tanto el nivel de confianza de la afirmación es de =94%.

11 PRUEBA DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD PARA MAYORES DE 5 AÑOS Convocatoria 014 PROGRAMA OBJETIVOS: Comprensión de los conceptos matemáticos, sus ámbitos de uso y sus aplicaciones a problemas concretos. Manipulación y realización directa de cálculos. Utilización práctica de las herramientas matemáticas y estadísticas en el planteamiento y la resolución de problemas de contenido socio-económico. CONTENIDOS: 1. Álgebra: - Las matrices como epresión de tablas y grafos. Suma y producto de matrices. Interpretación del significado de las operaciones con matrices en la resolución de problemas etraídos de las ciencias sociales. - Inecuaciones lineales con una o dos incógnitas. Sistemas de inecuaciones. Programación lineal. Aplicaciones a la resolución de problemas sociales, económicos y demográficos. Interpretación de las soluciones.. Análisis: - Aproimación al concepto de límite a partir de la interpretación de la tendencia de una función. Concepto de continuidad. Interpretación de los diferentes tipos de discontinuidad y de las tendencias asintóticas en el tratamiento de la información. - Derivada de la función en un punto. Aproimación al concepto e interpretación geométrica. Aplicación de las derivadas al estudio de las propiedades locales de funciones habituales y a la resolución de optimización relacionados con las ciencias sociales y la economía. - Estudio y representación gráfica de una función polinómica o racional sencilla a partir de sus propiedades globales. 3. Probabilidad y estadística: - Profundización en los conceptos de probabilidades a priori y a posteriori, probabilidad compuesta, condicionada y total. Teorema de Bayes. - Implicaciones prácticas de los teoremas: Central del límite, de aproimación de la Binomial a la Normal y Ley de los Grandes Números. - Problemas relacionados con la elección de muestras. Condiciones de representatividad. Parámetros de una población. Distribuciones de probabilidad de las medias y proporciones muestrales. - Intervalo de confianza para el parámetro p de una distribución binomial y para la media de una distribución normal de desviación típica conocida. - Contraste de hipótesis para la proporción de una distribución binomial y para la media o diferencia de medias de distribuciones normales con desviación típica conocida.