Cocientes Notables (C.N.)

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Teresa Mendoza Carrizo
hace 6 años
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1 Cocientes Notables (C.N.)... Recordemos algo sobre "Productos Notables": Uno de los más conocidos es: 1 a n 1 a n 2 b a n 3 b 2... ab n 2 b n 1 Diferencia de a 2 - b 2 = (a + b)(a - b) cuadrados Otro producto notable no menos conocido es: Suma y Diferencia a 3 b 3 = ()(a 2 ab + b 2 ) de cubos Qué pasaría si, del lado derecho, pasamos a dividir el factor binómico al lado izquierdo?... pues obtendríamos lo siguiente: a 2 b 2 n 2 n a n 1 a n 2 b a n 3 b 2... ab n 2 b n 1 Aquí n debe ser IMPAR 3 a n 1 a n 2 b a n 3 b 2... ab n 2 b n 1 Aquí n debe ser PAR Esta división no es exacta no obstante genera un cociente notable. Número de términos.- La cantidad de términos de un cociente notable es "n" (el exponente de la expresión *). a 3 b 3 a 2 ab b 2 Ejemplo: Cuántos términos tiene el C.N.: En ambos casos se obtienen expresiones denominadas COCIENTES NOTABLES. 32x 5 y 5 Así por ejemplo, podemos tener: a 6 b 6 a 5 a b a 3 b 2 a 2 b 3 ab b 5 En general: a n 1 a n 2 b... ab n 2 b n 1 Parte teórica Solución.- Primero, debemos darle la forma de la expresión en (*). Observa: 32x 5 y 5 [2x] 5 [y] 5 Luego: n = 5. Por lo tanto, el C.N. tiene cinco términos. Término k-ésimo.- Si en un desarrollo de algún C.N. queremos calcular el término de lugar "k" aplicamos la fórmula: Cociente Notable.- Son divisiones algebraicas entre binomios de la forma: Esta fórmula se aplica al C.N. 1 T k a n k. b k 1 (*)... ; con "n" ln Esta fórmula se aplica al C.N. 2 y 3 ó T k a n k. (-b) k 1 Aquí: "a" y "b" son denominadas "BASES" del Cociente Notable. Todo Cociente Notable tiene un desarrollo. Observa: En nuestro caso, trabajaremos principalmente con C.N. del tipo 1, cuyos términos del desarrollo son todos positivos.

2 resueltos 1. Desarrollar el siguiente cociente notable e indicar el número de términos: x 7 y 7 x 7 y 7 x 6 x 5 y x y 2 x 3 y 3 x 2 y xy 5 y 6 el desarrollo contiene siete tér min os 2. Desarrollar el siguiente cociente notable: x 10 y 15 x 2 y 3 Genera un cociente notable si: 6n 1 5n 2n 3 n 6n 1 5 2n 3 10n - 15 = 6n + 1 n = 16 n = 5. Del siguiente cociente notable: x 20 y 30 x 2 y 3 calcular el término de lugar seis. x 20 y 30 (x 2 ) 10 (y 3 ) x 10 y 15 (x ) (y 3 ) 5 x 2 y 3 (x 2 ) (y 3 ) x 2 y 3 (x 2 ) (y 3 ) por fórmula: T k = a n - k. b k - 1 = (x 2 ) + (x 2 ) 3 (y 3 ) 1 + (x 2 ) 2 (y 3 ) 2 + (x 2 ) 1 (y 3 ) 3 + (y 3 ) piden T : T = (x 2 ) 10-6 (y 3 ) T 6 = (x 2 ) (y 3 ) 5 = x 8 + x 6 y 3 + x y 6 + x 2 y 9 + y 12 T 6 = x 8 y 15 Observación: Al desarrollar, observamos que los exponentes de x disminuyen de dos en dos, mientras que los exponentes de y aumentan de tres en tres. Bloque I 3. Desarrollar el siguiente cociente notable: Calcular el desarrollo de los siguientes C.N.: x 2 y 18 x 1. x y 3 y x 12 3 x 3 De acuerdo al problema anterior; los exponentes de x 2. disminuyen de cuatro en cuatro, mientras que los exponentes de y aumentan de tres en tres. 6 x 2 y 18 (x ) (y 3 ) 6 x y 3 (x ) (y 3 ) a x 1 a 2 2x x 2 x 2 x 30 6y x 5 2y 2 = x 20 + x 16 y 3 + x 12 y 6 + x 8 y 9 + x y 12 + y 15 [2x] x 12 81y x 1 5x 3 3y 2. Qué valor debe tomar n para que: x 6n 1 y 5n x 2n 3 y n genere un cociente notable? 5. x n 28 m 12 x n 7 m n 12. x 30 y n x 5 y 3 2

3 Bloque II 6. Cuántos términos tiene el desarrollo de: x Uno de los términos de: ; es: 6 5 x 3 3 8x 1? a) 9x b) 3x 3 c) x 3 x 1 d) 9x 3 e) x Indicar uno de los términos al desarrollar: 16x x 5 1 a) x 5 b) 2x c) x 15 d) 2x 10 e) 8x Dado: indicar el coeficiente del tercer término. 16 a) 81 d) 9. Si tenemos: 16 a a 1 3 b) 1 c) 8 e) 27 27x x a) 2 b) 30 c) 5 d) 15 e) 6 7. Indicar el número de términos de: 27x 15 9x 10 1 a) 2 b) 6 c) 5 d) e) 60 C uál es el tercer término d 1 e: x 10 y 5? x 2 y a) x 2 y 2 b) x 3 y c) xy 3 d) x 2 y e) x y Indicar el sexto término de: 256x16 y 8 2x 2 y a) x 2 y 5 b) 8x 2 y 5 c) 2x y 5 d) x y 5 e) x y 10 Bloque III indicar el coeficiente del segundo término. 1. Desarrollar el C.N.: x 5 y 5 a) 3 3 b) 3 c) 27 indicar uno de los términos. d) 3 e) 9 a) x y b) xy 3 c) y 5 b) x + y e) -xy 3 5. Cuántos términos tiene el C.N.: 6 2 x 60 y? 5 a) 2 b) 6 c) 12 d) 5 e) Desarrollar el C.N.: x 3 y 3 indicar el producto de todos sus términos. a) xy b) xy 3 c) x 3 y 2 d) x 3 y e) x 3 y 3

4 3. Indique el cuarto término al desarrollar: x 30 y 5 x 2 y 3 a) xy 11 b) x 9 y 22 c) x 12 y 9 d) x 11 y 9 e) x 22 y 9. Cuántos términos tiene el desarrollo de: a 105 b 63 a 5 b 3? a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 2 x 3 y 3 III. 2 2 = x +xy + y a) V V V b) V F V c) V F F d) F F F e) F F V 8. Calcular el segundo término al desarrollar: x x 3 3 a) 3 b) 3x c) 3x 2 d) 3x 9 e) 3x 6 5. Indicar el número de términos del siguiente Cociente Notable: x 30 y 20 x 3 y 2 a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) Para qué valor de n, la división: 9. Desarrollar el Cociente Notable: x 7 y 7 e indicar el término central. a) xy b) x 2 y 2 c) x 3 y 3 d) x y e) x 5 y Qué valor debe tomar a para que: x a y 5a 8 2 x n y 6 x 2 y 9 x 27 y n genera un Cociente Notable a) 9 b) 12 c) 15 d) 18 e) no existe n genere un Cociente Notable? a) 10 b) 12 c) 1 d) 16 e) Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. II. x 5 y 5 3 = x - x y + x y - xy + y x y = x + x y + xy + y

5 Autoevaluación 1. Cuántos términos tiene:. Indicar uno de los términos de: 3 6 x 2 23x 10 y 30 y 3x 2 y 6? x 9 y a) 9xy 20 b) 27x y 6 c) 9x 8 y 36 d) 9x y 12 e) y 30 a) 1 b) 2 c) 3 d) e) 5 5. Indicar el cuarto término de: 2. Si tenemos el C.N. con su respectivo desarrollo: 625x 12 a 2 16x y 8x 3 xy 2xy 2 y 3 5x 3 a 6 1 er término 2 do término 3 er término to término a) 25x 6 a 6 b) a 18 c) 5x 3 a 12 En qué término se presenta un error? d) a 6 e) 25x 3 a 6 a) 1 ro b) 2 do c) 3 ro d) to e) Ninguno 3. Cuántos términos tiene el C.N.: 256n16 m 8? 2n 2 m a) b) 6 c) 8 d) 3 e) 2

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