aletos TEMA 3.7 ONDAS ESTACIONARIAS EN CUERDAS

Transcripción

1 ísica para Ciencias e Ingeniería Ondas estacionarias en cuerdas as propiedades de las ondas estacionarias estudiadas anteriormente se pueden aplicar a cuerdas tensas en dos casos distintos, según que la cuerda tenga sus dos extremos fijos, o bien tenga un extremo fijo y el otro sujeto, por ejemplo, al extremo de una de las dos ramas de un diapasón que vibra con una cierta frecuencia No obstante, antes de aplicar tales propiedades hay que justificar que si se produce un pulso transversal en una cuerda, en cualquiera de las condiciones mencionadas anteriormente, se producen ondas estacionarias En el estudio de las ondas transversales en una cuerda horizontal, homogénea, flexible y elástica, de longitud y con una cierta masa por unidad de longitud, se supuso que su extremo derecho se encontraba sujeto a un soporte rígido muy alejado, con objeto de que las perturbaciones reflejadas en dicho extremo, propagándose de derecha a izquierda, no tuviesen tiempo de superponerse con las perturbaciones producidas en el extremo izquierdo, que se propagaban de izquierda a derecha Ahora vamos a analizar el comportamiento de la cuerda cuando una onda, o un pulso transversal, que se propaga a lo largo de la misma, llega al extremo, que está sujeto al soporte rígido, y que, evidentemente, permanecerá en reposo en todo instante Vamos a fijar nuestra atención en el tramo de cuerda próximo al extremo fijo, y, supondremos que el extremo izquierdo O se encuentra muy alejado Consideraremos como sistema de referencia un sistema plano de coordenadas cartesianas XY, con origen en el extremo izquierdo de la cuerda y cuyos ejes OX y OY, son, respectivamente, la dirección horizontal de la cuerda y la perpendicular vertical trazada a la cuerda por su extremo V IG 37-1 X IG 37-2 a expresión matemática de dicho pulso es, en general, ξ = f (x Vt) Para comprender el desarrollo de este proceso vamos a suponer que el extremo no está fijo y que la cuerda, no acaba en dicho extremo, sino que se prolonga indefinidamente hacia la derecha Conviene analizar detenidamente los fenómenos que se van produciendo en el extremo fijo como si los observásemos a cámara lenta El punto a medida que avanzase el pulso producido en la cuerda, se desplazaría verticalmente pasando por las posiciones indicadas en la figura 37-2, que tratan de reflejar este proceso como si se tratase de una serie de fotografías instantáneas del tramo de cuerda que contiene al extremo, tomadas sucesivamente Puesto que el extremo, en realidad está fijo, no puede, evidentemente, efectuar tales desplazamientos Cuando dicho pulso llega al soporte rígido, el extremo derecho de la cuerda produce una sacudida y, por consiguiente, un impulso sobre el soporte Este, a su vez, por el principio de acción y reacción, ejerce sobre el extremo de la cuerda otro impulso de igual módulo y dirección, pero de sentido contrario, que origina un nuevo pulso que se produce instantáneamente, el cual se propaga a lo largo de la cuerda en sentido contrario, de derecha a izquierda, con la misma velocidad y con igual amplitud Todo ocurre como si desde la parte de cuerda ficticia que hemos imaginado que se prolonga a la derecha del extremo se propagase de derecha a izquierda, con la misma velocidad V, un pulso ficticio cuya forma geométrica fuese simétrica respecto del extremo fijo, del pulso real que se propaga en la cuerda, de izquierda a derecha, como muestra la figura 373

2 2 aletos ísica para Ciencias e Ingeniería IG 37-3

3 ísica para Ciencias e Ingeniería 3 El pulso que se ha dibujado en la parte superior del plano XY en las diferentes formas de la cuerda representadas en la figura 37-2 representa el pulso que llega al extremo, suponiendo, como se ha indicado anteriormente, que la cuerda se prolongase a lo largo de un cierto tramo, a la derecha de Y en la parte inferior se ha representado el pulso que origina, por reacción, el soporte rígido que sujeta al extremo Naturalmente, en la realidad no observamos los dos pulsos, sino el pulso resultante de ambos- El resultado de la superposición de dichos pulsos se obtiene sumando algebráicamente las ordenadas correspondientes a cada punto de abscisa x Si el pulso que se propaga de izquierda a derecha a lo largo de la cuerda tiene por ecuación, ξ = f (x Vt) tomando como origen de coordenadas su extremo izquierdo O, la ecuación respecto al extremo es ξ ' = f (x ' Vt) El pulso originado por la reacción del soporte fijo es simétrico respecto del extremo Y V P x O ξ x x ξ X P V IG 37-4 De forma que, geométricamente, su ecuación referida a como origen, es ξ '' = f (x ' Vt) = f ( x '+Vt) Ahora bien como el pulso ficticio se propaga de derecha a izquierda, hay que cambiar el signo de la velocidad V, con lo cual, ξ '' = f ( x ' Vt) inalmente, hay que referir el pulso x al origen de coordenadas O, para lo cual basta tener en cuenta que la abscisa del punto P respecto al origen es x, siendo negativa, como puede observarse en la figura 37-3, y respecto del origen O, es x, estando ambas relacionadas por, x = x, de donde, x = x, con lo cual resulta, ξ 1 = f (x Vt) y el pulso ξ, que, por uniformidad en las expresiones le vamos a denominar ξ 2, tiene por ecuación, ξ 2 = ξ '' = f(x '' Vt) = f ( x ' Vt) = f ( x + Vt) a elongación ξ correspondiente a cada punto, debida al pulso resultante, se obtiene sumando algebráicamente las elongaciones de los pulsos que se superponen, ξ = ξ 1 + ξ 2 = f (x Vt)+ f( x + Vt) = f(x Vt) f ( x + Vt) Si se propaga a lo largo de la cuerda un tren continuo de ondas armónicas, en lugar de un solo pulso, el soporte rígido origina en el extremo otro tren continuo de ondas armónicas de igual amplitud, que se propagan a lo largo de la cuerda, de derecha a izquierda, con la misma velocidad y con la misma frecuencia con la que llegan, puesto que las reacciones producidas por el soporte rígido sobre el extremo de la cuerda son instantáneas, es decir, se producen sin demora de tiempo

4 4 aletos ísica para Ciencias e Ingeniería Por consiguiente, si el tren de ondas armónicas que se propaga con una velocidad V a lo largo de la cuerda, hacia la derecha, tiene por ecuación y 1 = A sen (kx ωt) la expresión del tren de ondas generado por el soporte rígido, según se ha visto anteriormente, será y 2 = A sen ( kx ωt) = A sen (kx +ωt) = Asen (kx +ωt) y la elongación resultante es, por tanto, la suma algebráica de ambas elongaciones y = y 1 +y 2 = A sen (kx ωt)+ Asen (kx +ωt) = A sen (kx ωt)+ sen (kx +ωt) = kx ωt + kx +ωt kx ωt kx ωt = 2A sen cos = 2Asenkx cos( ωt) = 2A senkx cosωt 2 2 que corresponde a una onda estacionaria, como se vio anteriormente Una vez justificada la producción de ondas estacionarias en cuerdas tensas con uno, al menos, de sus extremos fijo, o los dos, nos interesa calcular, especialmente, las diferentes longitudes de onda y frecuencias que se pueden producir 37-2 Ondas estacionarias en cuerdas con sus dos extremos fijos Supongamos que disponemos de una cuerda horizontal de longitud, homogénea, flexible y elástica, con una cierta masa por unidad de longitud Supondremos asimismo que la cuerda se encuentra en equilibrio en posición horizontal, sujeta entre dos soportes fijos, sometida a una tensión de módulo Esta situación puede presentarse de forma muy diversa os puntos fijos de la cuerda aparecen de muy diferentes formas y en condiciones muy distintas Por ejemplo, la situación que se suele plantear más frecuentemente, y que es al mismo tiempo la más sencilla, es una cuerda de cualquier instrumento musical IG 37-5 Otro ejemplo que puede plantearse es el indicado en la figura 37-5, en el que una cuerda horizontal, que está delimitada por dos cuñas prismáticas triangulares, se prolonga pasando por dos pequeñas poleas sin masa ni rozamiento, de cuyos extremos cuelgan dos bloques de igual masa que mantienen la cuerda tensa En este caso, la longitud efectiva de cuerda sometida a vibración es la comprendida entre las aristas de las dos cuñas, ya que a partir de dichas aristas se amortigua totalmente cualquier vibración producida en el tramo de longitud Este dispositivo tiene la ventaja de disponer de una cuerda vibrante de longitud variable, por desplazamiento de las cuñas que delimitan dicha porción de cuerda Otra situación distinta es la correspondiente a una cuerda horizontal que pasa por una polea fija sin masa ni rozamiento, uno de cuyos extremos está sujeto a un soporte fijo en una pared, y el otro sostiene un bloque que mantiene la cuerda tensa, como muestra la figura 37-6 En este caso, la longitud efectiva de cuerda que puede vibrar es la que está comprendida desde el extremo fijo en la pared hasta el punto en el que la cuerda hace contacto con la polea, ya que, a partir de dicho punto, el contacto de la cuerda con la polea amortigua totalmente IG 37-6 cualquier vibración producida en el tramo de longitud Por tanto, el tramo vertical de cuerda que sostiene al bloque no vibra os casos citados en los ejemplos anteriores no son los únicos que se presentan como ejemplos de cuerdas vibrantes con sus dos extremos fijos Todavía se pueden plantear más situaciones, pero nos limitaremos a estudiar la propagación de una onda transversal armónica en una cuerda, siendo sus extremos dos puntos fijos sin preocuparnos cómo están sujetos Nos interesa calcular, como se ha indicado anteriormente, las diferentes longitudes de onda y frecuencias de las ondas estacionarias que se pueden producir

5 ísica para Ciencias e Ingeniería 5 Puesto que los dos extremos fijos serán permanentemente dos nodos, la onda estacionaria más simple que se puede producir es la correspondiente a una onda con dos nodos en dichos extremos y un antinodo P 3, equidistante de ambos, como indica la figura 37-7 Hay que advertir que, en esta figura y en las que representarán sucesivamente las diferentes ondas estacionarias que pueden producirse en las cuerdas y en los tubos sonoros, las amplitudes de los puntos que vibran están considerablemente exageradas para una mejor comprensión del fenómeno P 1 P 2 P 3 P 1 P 2 P 3 N 1 P 1 P 2 P 3 IG 37-7 De la figura, se deduce que si tomamos como origen de coordenadas el extremo izquierdo de la cuerda, que es el nodo, y como origen de tiempos el instante en que la cuerda pasa por su posición de equilibrio, desplazándose hacia arriba, la ecuación de la onda estacionaria es y = 2Asenkx senωt ya que para x = 0, es y = 0, como corresponde al nodo Y puesto que la distancia entre dos nodos consecutivos es = λ/2, la longitud de onda está relacionada con la longitud de onda por medio de de modo que para x =, es asimismo y = 0 = λ 2 Se comprende, igualmente, a la vista de la figura, por qué la amplitud de la onda estacionaria tiene por expresión, 2A sen kx ya que la amplitud de la vibración varía de unos puntos a otros, como queda claramente reflejado en la figura: os puntos P 1 y P 2 de abscisas x 1 y x 2, respectivamente, vibran con las amplitudes P 1 P 1 = 2A sen kx 1 P 2 P 2 = 2A sen kx 2 El punto P 3, cuya abscisas es x 3 = /2, vibra con una amplitud P ' 3 P " 3 = 2A sen kx 3 = 2Asen k 2 = 2Asen 2π λ λ 4 = 2Asen π 2 = 2A es el antinodo A Si hubiésemos tomado como origen de coordenadas otro punto distinto, habríamos tenido que ajustar la función armónica que contiene el término kx de forma que los extremos de la cuerda hubiesen sido dos nodos Por ejemplo, si tomamos como origen de coordenadas el punto medio de la cuerda, y como origen de tiempos el instante en que la cuerda pasa por su posición de equilibrio, desplazándose hacia arriba, la ecuación de la onda estacionaria debe ser tal que para x = ± /2, debe ser y = 0 Por consiguiente la ecuación debe ser del tipo, y = 2Acos kxsen ωt ya que para x = ±/2, es y = 2A cos 2π λ (± 2 ) senωt = 2Acos (± π λ ) senωt = 2Acos (± π λ λ 2 ) senωt = 2Acos (± π 2 ) senωt = 0 En este tipo de onda todos los puntos de la cuerda vibran de tal forma que cuando cualquiera de ellos pasa por su posición de equilibrio, moviéndose hacia arriba, o hacia abajo, todos los restantes puntos pasan asimismo por su posición de equilibrio, moviéndose de igual forma Y cuando cualquiera de ellos alcanza su máximo desplazamiento, en sentido positivo o negativo, todos los restantes puntos alcanzan igualmente su máximo desplazamiento, en sentido positivo o negativo Todos los puntos vibran en fase Para obtener las posibles ondas estacionarias que se pueden producir en la cuerda de longitud basta ir aumentando sucesivamente el número de nodos en una unidad, lo que lleva consigo un aumento igual del número de antinodos a siguiente forma de onda estacionaria que puede producirse en la cuerda es, pues, la que tiene tres nodos y dos antinodos, como muestra la figura 37-8

6 6 aletos ísica para Ciencias e Ingeniería En este caso, los puntos de la cuerda vibran de tal forma que cuando los puntos del tramo de cuerda comprendidos entre los nodos y pasan por su posición de equilibrio, moviéndose hacia arriba, los puntos comprendidos entre los nodos y pasan igualmente por su posición de equilibrio moviéndose hacia abajo y viceversa λ/2 λ/2 IG 37-8 a longitud de la cuerda es en este caso, Y cuando los puntos del primer tramo alcanzan su máximo desplazamiento en sentido positivo, los puntos del segundo tramo alcanzan igualmente su máximo desplazamiento pero en sentido negativo y viceversa os puntos de la primera mitad de la cuerda vibran en oposición fase con los de la segunda = 2 λ 2 a onda estacionaria siguiente es la que muestra la figuras 37-9 λ/2 λ/2 λ/2 IG 37-9 os puntos del tramo de la figura 37-9 vibran en oposición de fase con los del tramo, y en fase con los del tramo a relación entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda es, = 3 λ 2 a onda estacionaria siguiente es la que muestra la figuras N 5 λ/2 λ/2 λ/2 λ/2 os puntos del tramo de la figura vibran en oposición de fase con los de los tramos y N 5, y en fase con los del tramo a relación entre la longitud de la cuerda y la longitud de onda es, IG = 4 λ 2 Si continuamos aumentando el número de nodos y, consecuentemente, el de antinodos, la longitud de la cuerda es siempre un múltiplo entero de la semilongitud de onda de la onda estacionaria que se produzca en cada caso = n λ 2 [37-1] siendo n un número natural, n 1 os posibles valores de λ se obtienen dando valores a n en λ = 2 n [37-2] y puesto que la frecuencia f está relacionada con la longitud de onda por medio de V = λf, y recordando que la velocidad de propagación de una onda en una cuerda viene dada por siendo la tensión de la cuerda y su densidad lineal de masa, se deduce que V = f = V λ = n V 2 = n 1 2

7 ísica para Ciencias e Ingeniería 7 f = n 1 2 [37-3] De esta última expresión se deduce que en una cuerda de un instrumento musical, cuyos extremos están fijos, la frecuencia del sonido que es capaz de producir es inversamente proporcional a su longitud y a la raíz cuadrada de su densidad lineal de masa y directamente proporcional a la raíz cuadrada de su tensión Esto explica por qué las cuerdas de un contrabajo, que son de gran longitud, gruesas, y están sometidas a una tensión muy pequeña, emiten sonidos graves de baja frecuencia Y en cambio las cuerdas de un violín, que son de pequeña longitud, muy delgadas, y están muy tensas, emiten sonidos agudos de elevada frecuencia as diferentes frecuencias que es capaz de producir una cuerda se denominan armónicos Sus frecuencias se obtienen dando valores a n en la expresión de la frecuencia f Para n = 1 se obtiene la frecuencia más baja que se puede producir en la cuerda, y recibe el nombre de primer armónico o armónico fundamental f 1 = 1 2 [37-4] Para n = 2, n = 3, etc, se obtienen el segundo armónico, tercer armónico, etc, que resultan ser f 2 = f 3 = = 2f 1 = 3f 1 Cuando una cuerda vibra, lo hace de forma que, en general, están presentes el armónico fundamental f 1 y varios de sus múltiplos enteros 2f 1, 3f 1, etc as diferentes formas que adopta la cuerda cuando vibra con sus diferentes armónicos, es decir, con sus frecuencias propias, se denominan modos normales de vibración En el caso de que las frecuencias producidas sean audibles, la cantidad de armónicos presentes en un sonido y sus respectivas amplitudes determinan la cualidad del sonido que se denomina timbre El tono de un sonido es su frecuencia, y así se habla de tonos graves cuando la frecuencia es baja o de tonos agu - dos cuando la frecuencia es elevada a intensidad depende fundamentalmente de la amplitud de la vibración o vibraciones que componen un sonido 37-2 Ondas estacionarias en cuerdas con un extremo fijo, y el otro sujeto a un dispositivo vibrante Esta situación se presenta cuando, por ejemplo, uno de los extremos de la cuerda está sujeto a una de las ramas de un diapasón que vibra con una frecuencia dada Dicho extremo es un antinodo ya que, en todo instante, vibra con la frecuencia del diapasón que origina la vibración de toda la cuerda originando ondas estacionarias Vamos a calcular las diferentes longitudes de onda y las diferentes frecuencias de las ondas estacionarias que se pueden producir en este tipo de cuerdas a onda más simple que se puede producir es la que corresponde a la existencia de un nodo en el extremo fijo y un antinodo en el extremo sujeto a la rama del diapasón, que no aparece representado en la figura N λ/4 IG A En este tipo de onda todos los puntos de la cuerda vibran de tal forma que cuando cualquiera de ellos pasa por su posición de equilibrio, moviéndose hacia arriba, o hacia abajo, los restantes puntos pasan asimismo por su posición de equilibrio, moviéndose de igual forma Y cuando cualquiera de ellos alcanza su máximo desplazamiento, en sentido positivo o negativo, los restantes puntos alcanzan igualmente su máximo desplazamiento, en sentido positivo o negativo Todos los puntos vibran en fase

8 8 aletos ísica para Ciencias e Ingeniería a longitud de la cuerda es igual a un cuarto de longitud de onda, = λ 4 Para obtener las posibles ondas estacionarias que se pueden producir en la cuerda basta ir aumentando sucesivamente el número de nodos en una unidad, lo que lleva consigo un aumento igual del número de antinodos a siguiente forma de onda estacionaria que puede producirse en la cuerda es, pues, la que tiene dos nodos y dos antinodos, como muestra la figura En este caso, los puntos de la cuerda A 1 A 2 vibran de tal forma que cuando los puntos del tramo de cuerda comprendidos entre los nodos y, pasan por su posición de equilibrio, moviéndose hacia arriba, los puntos comprendidos entre el nodo N λ/2 λ/4 2 y el antinodo A 2 pasan por su posición de equilibrio moviéndose hacia abajo y viceversa IG Y cuando los puntos del tramo alcanzan su máximo desplazamiento en sentido positivo, los puntos del tramo A 1 A 2 alcanzan igualmente su máximo desplazamiento pero en sentido negativo y viceversa os puntos del primer tramo de la cuerda vibran en oposición fase con los del segundo a longitud de la cuerda es en este caso, = λ 2 + λ 4 = 3 λ 4 a onda estacionaria siguiente es la que muestra la figura A 1 A 2 A 3 λ/2 λ/2 λ/4 os puntos del tramo, de la figura vibran en fase con los del tramo A 3, y en oposición de fase con los del tramo a longitud de la cuerda es en este caso, = λ 2 + λ 2 + λ 4 = 5 λ 4 IG a onda estacionaria siguiente es la que muestra la figura A 1 A 2 A 3 A 4 λ/2 λ/2 λ/2 λ/4 IG os puntos del tramo, de la figura vibran en fase con los del tramo,, y en oposición de fase con los del tramo y A 4 a longitud de la cuerda es en este caso, = λ 2 + λ 2 + λ 2 + λ 4 = 7 λ 4 Si continuamos aumentando el número de nodos y, consecuentemente, el de antinodos, obtendremos que la longitud de la cuerda es siempre un múltiplo entero impar de un cuarto de la longitud de onda de la onda estacionaria que se produzca en cada caso Es decir, = (2n 1) λ 4 [37-5] siendo n un número natural, n 1 os posibles valores de λ se obtienen dando valores a n en 4 λ = (2n 1) [37-6]

9 ísica para Ciencias e Ingeniería 9 y puesto que la frecuencia f está relacionada con la longitud de onda por medio de V = λf, y recordando que la velocidad de propagación de una onda en una cuerda viene dada por V = siendo la tensión de la cuerda y su densidad lineal de masa, se deduce que f = V λ = (2n 1) V 4 = (2n 1) 1 4 2n 1 f = 4 [37-7] as diferentes frecuencias de los armónicos que es capaz de producir una cuerda de este tipo se obtienen dando valores a n en la expresión de la frecuencia f Para n = 1 se obtiene la frecuencia más baja que se puede producir en la cuerda, y recibe el nombre de primer armónico o armónico fundamental f 1 = 1 4 Para n = 2, n = 3, etc, se obtienen el segundo armónico, tercer armónico, etc, que resultan ser f 2 = f 2 = = 3f 1 = 5f 1 Cuando vibra una cuerda de este tipo, lo hace de forma que, en general, están presentes el armónico fundamental f 1 y varios de sus múltiplos enteros impares, 3f 1, 5f 1, etc y además, os modos de vibración de este tipo de cuerdas se diferencian de los de una cuerda que tiene sus dos extremos fijos, en que en ésta última se producen el armónico fundamental y todos sus múltiplos, tanto pares como impares la frecuencia del armónico fundamental de una cuerda con sus dos extremos fijos es doble de la frecuencia del armónico fundamental producido por una cuerda de igual longitud que tiene con un sólo extremo fijo