SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DINÁMICOS CUADRÁTICOS. LA FAMILIA LOGÍSTICA
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- Nicolás Serrano de la Fuente
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1 SISTEMAS DINÁMICOS SISTEMAS DINÁMICOS CUADRÁTICOS. LA FAMILIA LOGÍSTICA
2 S.dinámicos cuadraticos. La familia logística La familia logística es la formada por las aplicaciones f c :[0,1] [0,1] de la forma f c (x)=cx(1-x), con c real. Vamos a ver cómo varía el comportamiento, según varía c en IR + Para c=0, f 0 (x)=0, y la órbita de cualquier punto x es O + (x)={x,0,0,0,...}.
![aplicaciones f c :[0,1] [0,1] de la forma f c (x)=cx(1-x), con c real.](/docs-images/42/8086571/images/page_2.jpg "Vamos a ver cómo varía el comportamiento, según varía c en IR + Para c=0, f")
3 La familia logística (0<c<1) Por ejemplo, para c=0.55 Existe un punto fijo atractivo, 0, y otro repulsivo, p c =(c-1)/c A(0)=((c-1)/c,(1-c)/c) La órbita de los demás puntos diverge a
4 La familia logística (0<c<1) Algo análogo ocurre para c=0.75
5 La familia logística (0<c<1) La iteración de las gráficas es c=0.75
6 La familia logística (c=1) Existe un único punto fijo, 0, atractivo por la derecha y repulsivo por la izquierda A(0) = [0,1] La órbita de los demás puntos diverge a
7 La familia logística (c=1) La iteración de las gráficas es c=1
8 Bifurcación para c=1 Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c<1 se transforma en atractivo (bifurcación transcrítica). c=0.75
9 Bifurcación para c=1 Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c<1 se transforma en atractivo (bifurcación transcrítica). c=1
10 Bifurcación para c=1 Al pasar por c=1, el punto fijo atractivo 0 se convierte en repulsivo, mientras que el punto fijo repulsivo que existe para c<1 se transforma en atractivo (bifurcación transcrítica). c=1.25
11 La familia logística (1<c<3) Como fc '(0) = c > 1 0 es repulsivo para todo c>1. Y como fc'( pc) = 2 c < 1, si 1< c< 3 p c va a ser atractivo para estos valores de c.
12 La familia logística (1<c<3) Por ejemplo, para c=1.5 Existe un punto fijo atractivo, p c y otro repulsivo, 0 A(p c )=(0,1) f c (1)=0 La órbita de los demás puntos diverge a
13 La familia logística (1<c<3) La iteración de las gráficas es c=1.5
14 La familia logística (1<c<3) Para c=2 Existe un punto fijo atractivo, p c y otro repulsivo, 0 A(p c )=(0,1) f c (1)=0 La órbita de los demás puntos diverge a
15 La familia logística (1<c<3) La iteración de las gráficas es c=2
16 La familia logística (1<c<3) Para c=2.5 Existe un punto fijo atractivo, p c y otro repulsivo, 0 A(p c )=(0,1) f c (1)=0 La órbita de los demás puntos diverge a
17 La familia logística (1<c<3) La iteración de las gráficas es c=2.5
18 La familia logística (c=3) El punto fijo atractivo, p c, es indiferente, aunque atractivo, anunciando una bifurcación. A(p c )=(0,1) f c (1)=0 La órbita de los demás puntos diverge a
19 La familia logística (c=3) La iteración de las gráficas es c=3
20 q La familia logística (c>3) Para c>3 los 2 puntos fijos son repulsivos. Si existen puntos 2-periódicos serán solución de que tiene por soluciones 2 2 c 1 c 2 2 f ( x) = x c c+ 1 ( c+ 1)( c 3) c+ 1 + ( c+ 1)( c 3) = y q = 2c 2c {q 1, q 2 } será un 2-ciclo atractivo si 1 2 ( f )'( q) = ( f )'( q ) = 1 ( c+ 1)( c 3) < 1 3< c<
21 La familia logística (3<c<3.449) Por ejemplo, para c=3.25, los 2 puntos fijos son repulsivos Existe un 2-ciclo atractivo {q 1,q 2 } A({q 1,q 2 })=(0,1) excepto los puntos eventualmente fijos La órbita de los demás puntos diverge a
22 La familia logística (3<c<3.449) El 2-ciclo atractivo se ve en la siguiente figura que representa un estado avanzado de la órbita del punto anterior.
23 La familia logística (3<c<3.449) La iteración de las gráficas es c=3.25 donde se ve tanto el 2-ciclo atractivo como los puntos fijos y eventualmente fijos
24 La familia logística (3.449<c< λ =3.570) Por ejemplo, para c=3.5 existe un 4-ciclo atractivo. Su cuenca de atracción es (0,1) excepto los puntos eventualmente fijos y 2-periódicos. La órbita de los demás puntos diverge a
25 La familia logística (3.449<c< λ =3.570) El 4-ciclo atractivo se ve en la siguiente figura que representa un estado avanzado de la órbita del punto anterior
26 La familia logística (3.449<c< λ =3.570) La iteración de las gráficas es c=3.5 donde se ve tanto el 4-ciclo atractivo como los puntos fijos y 2-periódicos y eventualmente fijos y eventualemente 2-periódicos
27 La familia logística (3.449<c< λ =3.570) Para c=3.56 existe un 8-ciclo atractivo Su cuenca de atracción es (0,1) excepto los puntos eventualmente fijos, 2-periódicos y 4-periódicos La órbita de los demás puntos diverge a
28 La familia logística (3.449<c< λ =3.570) El 8-ciclo atractivo se ve en la siguiente figura que representa un estado avanzado de la órbita del punto anterior
29 La familia logística (3.449<c< λ =3.570) La iteración de las gráficas es c=3.56 donde se ve tanto el 8-ciclo atractivo como los puntos fijos, 2-periódicos y 4-periódicos y eventualmente fijos, 2-periódicos y 4-periódicos
30 La familia logística (c=λ =3.570) Para c= λ existe un 2 n -ciclo repulsivo, n IN Existe un conjunto de Cantor atractivo cuya cuenca de atracción es (0,1) excepto los puntos eventualmente 2 n -periódicos La órbita de los demás puntos diverge a
31 La familia logística (c=λ =3.570) Construcción del conjunto de Cantor:
32 La familia logística (c=λ =3.570) El conjunto de Cantor atractivo se ve en la siguiente figura que representa un estado avanzado de la órbita del punto anterior
33 La familia logística (c=λ =3.570) La iteración de las gráficas es c=3.57 donde se ve tanto el conjunto de Cantor atractivo como los puntos fijos y 2 n -periódicos y eventualmente fijos y eventualmente 2 n -periódicos
34 El diagrama de Feigenbaum Si representamos en unos ejes los puntos a los que converge la órbita de f cn (1/2), para los diferentes valores de c obtenemos el diagrama de Feigennaum
35 El diagrama de Feigenbaum El utilizar la órbita del punto 1/2 se basa en el siguiente:
36 El diagrama de Feigenbaum Teorema. Si f:ir IR cumple f'''( x) 3 f''( x) entonces para todo punto fijo Sf( x) = f'( x) 2 '( ) f x o periódico p se tiene que: o bien A(p) es un intervalo infinito o bien existe un punto crítico de f en A(p) o bien p es repulsivo. 2 0
37 El diagrama de Feigenbaum Un detalle del diagrama de Feigenbaum
38 El diagrama de Feigenbaum Un detalle del diagrama de Feigenbaum
39 El diagrama de Feigenbaum > feigen:=proc(a,b,m,n,r) > local l,i,s,c,j,k; > l:=[]: > for i from 0 to r do: > s:=1/2; c:=a+(b-a)*i/r: > for j to m do: > s:=evalf(c*s*(1-s)): > od: > for k from 1 to n do: > s:=evalf(c*s*(1-s)); l:=[op(l),[c,s]]; > od; > od; > plots[pointplot](l,style=point,symbol=point); > end:
40 Por qué la duplicación del periodo? La gráfica de f 32 contiene dos cuasiparábolas equivalentes a la gráfica de f 1 f 2 3 f 1
41 Por qué la duplicación del periodo? Según aumenta el parámetro, la altura de las cuasiparábolas aumenta f f 1.5
42 Por qué la duplicación del periodo? El comportamiento de f c para c>3 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, 2 del comportamiento para c>1 f 1.5 f 3.2
43 La constante de Feigenbaum Sea m(1)=3, m(2) =3.449, m(3),..., los puntos en que se produce duplicación del periodo. Entonces si d(k)=m(k+1)-m(k) y D(k)=d(k)/d(k+1), para todo k, se tiene Duplicación m(k) d(k) D(k) 1 a a a a a a a δ= δ es la constante de Feigenbaum o constante del caos.
44 La constante de Feigenbaum Entonces d(k) es aproximadamente geométrica de razón δ. Por tanto δ d(1) λ = lim mk ( ) m(1) + = k δ 1 Una mejor aproximación sería δ d(2) λ = lim mk ( ) m(2) + = k δ 1 O mejor aun δ d(6) λ = lim mk ( ) m(6) + = k δ 1 Aunque λ depende de la familia logística, la constante de Feigenbaum es universal (es la misma para una gran variedad de familias).
45 Por qué se divide el diagrama en m 1? Vanos a ver lo que ocurre tras el punto de Feigenbaum. Sea m 1 = el punto de unión de las dos ramas.
46 Por qué se divide el diagrama en m 1? La gráfica de f m12 contiene dos cuasiparábolas cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f 4. f m1 2 f 4
47 Por qué se divide el diagrama en m 1? La gráfica de f m12 contiene dos cuasiparábolas cuya imagen rellena el cuadrado correspondiente y que son por tanto equivalentes a la gráfica de f 4.Esos cuadrados son invariantes por f m12 y atraen f 2 m1 las órbitas situadas fuera. f 4
48 Por qué se divide el diagrama en m 1? Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.
49 Por qué se divide el diagrama en m 1? Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.
50 Por qué se divide el diagrama en m 1? Según disminuye el parámetro, la altura de las cuasiparábolas disminuye y las imágenes de los intervalos ya no son los intervalos completos.
51 Por qué se divide el diagrama en m 1? El comportamiento de f c para c menor que m 1 va a ser un reflejo, con alternancia entre esos dos intervalos, del comportamiento para c menor que 4.
52 La familia logística (λ =3.570<c<4) Esto provoca la creación de las dos ramas. Cada una de las ramas es, para valores menores de m 1, similar a todo el diagrama para valores menores que 4.
53 La familia logística (λ =3.570<c<4) Existe m 2 <m 1 en el que cada franja se divide a su vez. El comportamiento de f c en (m 2,m 1 ) será un reflejo, con alternancia entre cuatro intervalos, del comportamiento de f c en (m 1,4).
54 La familia logística (λ =3.570<c<4) Existe una sucesión m 1 >m 2 >m 3 >...de puntos en los que se produce división de franjas tales que f c en (m i+1,m i ) es, con alternancia entre 2 i intervalos, como f c en (m 1,4).
55 La familia logística (λ =3.570<c<4) Además el valor del límite cuando n tiende a infinito de los mk + 1 mk puntos m k es λ, y el de las razones m es la constante de Feigenbaum. k + 2 mk + 1
56 La familia logística (λ =3.570<c<4) A la derecha de m 1 se pueden ver franjas correspondientes a 3-ciclos, 5-ciclos, 7-ciclos,..., atractivos. Para c=3.828 hay un 3-ciclo atractivo Para c=3.74 hay un 5-ciclo atractivo
57 La familia logística (λ =3.570<c<4) En (m 2,m 1 ) aparecerán franjas correspondientes a ciclos de periodo de la forma 2 por números impares, en (m 3,m 2 ) corresponderán a periodos de la forma 4 por impares,...
58 La familia logística (λ =3.570<c<4) Éstos, junto con los ciclos atractivos de periodo 2 k que aparecían en la franja (0, m 1 ) nos dan ciclos atractivos de todos los periodos posibles.
59 Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828? Para c=3.82, f 3 tiene la siguiente forma
60 Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828? Para c=3.828, f 3 tiene la siguiente forma
61 Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828? Para c=3839, f 3 tiene la siguiente forma Así, para c=3.828, f 3 tiene una bifurcación tangente
62 Por qué surge un 3-ciclo en c=3.828? La proximidad de una bifurcación tangente produce un fenómeno de intermitencia, que se ve si comparamos la órbita de 1/2 para c=3.82 y c=3.828
63 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=1 f 3 tiene la siguiente forma
64 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=2 f 3 tiene la siguiente forma Corresponde al punto fijo superatractivo, que también es 4-ciclo
65 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3 f 3 tiene la siguiente forma
66 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3.2 f 3 tiene la siguiente forma
67 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3.5 f 3 tiene la siguiente forma
68 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3.6 f 3 tiene la siguiente forma
69 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3.82 f 3 tiene la siguiente forma
70 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3.828 f 3 tiene la siguiente forma
71 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3839 f 3 tiene la siguiente forma Así, para c=3.828, f 3 tiene una bifurcación tangente
72 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=3.9 f 3 tiene la siguiente forma
73 Cuantos 3-ciclos aparecen? Para c=4 f 3 tiene la siguiente forma Así, hay exactamente 1 bifurcación tangente de f 3 que dan lugar a la aparición de 4-ciclos atractivos
74 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=1 f 4 tiene la siguiente forma
75 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=2 f 4 tiene la siguiente forma Corresponde al punto fijo superatractivo, que también es 4-ciclo
76 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=3 f 4 tiene la siguiente forma
77 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c= f 4 tiene la siguiente forma Corresponde al 2-ciclo superatractivo, que también es 4-ciclo
78 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c= , f 4 tiene la siguiente forma Corresponde al 4- ciclo superatractivo tras la a duplicación del periodo
79 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=3.6 f 4 tiene la siguiente forma
80 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=m 1 = f 4 tiene la siguiente forma
81 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=3.8 f 4 tiene la siguiente forma
82 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=3.9 f 4 tiene la siguiente forma
83 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=3.95 f 4 tiene la siguiente forma
84 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=3.96 f 4 tiene la siguiente forma
85 Cuantos 4-ciclos aparecen? Para c=4 f 4 tiene la siguiente forma Así, hay exactamente 1 bifurcación tangente de f 4 que dan lugar a la aparición de 4-ciclos atractivos
86 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=m 1 = f 5 tiene la siguiente forma
87 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.738, f 5 tiene la siguiente forma Así, para c=3.738, f 5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo Para c<3.738, f 5 no tiene puntos fijos distintos del punto fijo de f
88 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.8, f 5 tiene la siguiente forma
89 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.86, f 5 tiene la siguiente forma
90 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.9055, f 5 tiene la siguiente forma Así, para c=3.9055, f 5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo
91 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.946, f 5 tiene la siguiente forma
92 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.974, f 5 tiene la siguiente forma
93 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=3.99, f 5 tiene la siguiente forma Así, para c=3.9902, f 5 tiene una bifurcación tangente que da lugar a la aparición de un 5-ciclo atractivo
94 Cuantos 5-ciclos aparecen? Para c=4, f 5 tiene la siguiente forma Así, hay exactamente 3 bifurcaciones tangentes de f 5 que dan lugar a la aparición de 5-ciclos atractivos
95 La familia logística (c=4) La órbita de un punto es La órbita no parece estabilizarse
96 La familia logística (c=4) La iteración de las gráficas es Los puntos periódicos son densos Todos son repulsivos La imagen de cualquier intervalo acaba siendo todo (0,1)
97 La familia logística (c=4) Para ver que la imagen de cualquier intervalo acaba siendo todo (0,1), calculamos la órbita de un intervalo
98 La familia logística (c=4) Si comparamos la serie temporal de
99 La familia logística (c=4) y la serie temporal de Vemos que hay sensibilidad a las condiciones iniciales, las órbitas de puntos arbitrariamente cercanos se separan
100 La familia logística (c>4) Por ejemplo, para c=4.1 La órbita de algunos puntos del intervalo [0,1] sale de [0,1], pasa a ser negativa y se va a
101 La familia logística (c>4) Vamos a ver los puntos cuya órbita no se va a El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en una iteración es un intervalo abierto centrado en 1/2
102 La familia logística (c>4) El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 2 iteraciones son 2 intervalos abiertos situados a ambos lados del anterior
103 La familia logística (c>4) El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 3 iteraciones son 4 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores
104 La familia logística (c>4) El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 4 iteraciones son 8 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores
105 La familia logística (c>4) El conjunto de puntos que sale del intervalo [0,1] en 5 iteraciones son 16 intervalos abiertos situados a los huecos dejados por los anteriores
106 La familia logística (c>4) El conjunto de puntos cuya órbita no se va a es un Conjunto de Cantor C, que es invariante
107 La familia logística (c>4) La iteración de las gráficas es Existen puntos periódicos de todos los periodos Todos son repulsivos y densos en C Para todo intervalo abierto I, f ck (C I) (0,1)
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