Formulación conservativa de restricciones en sistemas multicuerpo

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1 Universidad Politécnica de Madrid Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Formulación conservativa de restricciones en sistemas multicuerpo Trabajo de investigación Roberto Andrés Ortega Aguilera Ingeniero Civil Madrid, Octubre 6

2 Formulación conservativa de restricciones en sistemas multicuerpo Trabajo de investigación Universidad Politécnica de Madrid Madrid, Octubre 6 La composición del texto ha sido realizada con T E X MACS y aplicaciones GNU/Linux Roberto Andrés Ortega Aguilera Ingeniero Civil Director: Juan Carlos García Orden Doctor Ingeniero Aeronáutico Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras Universidad Politécnica de Madrid Profesor Aranguren s/n Madrid 84 Correo electrónico: roberto.ortega@mecanica.upm.es Página web: rortega

3 Resumen En este trabajo de investigación se ha hecho una revisión de las principales metodologías que permiten resolver la dinámica de un sistema multicuerpo, que puede estar compuesto por sólidos rígidos o deformables conectados por diversos tipos de uniones. Dentro de las metodologías estudiadas se destaca la formulación de Lagrange aumentado. Esta formulación combina la técnica de multiplicadores de Lagrange y el método de penalización. Ambos métodos son usados tradicionalmente para resolver sistemas de ecuaciones sujetos a restricciones. La ventaja principal del método de Lagrange aumentado, frente a otros métodos, es que conduce al cumplimiento exacto de las restricciones, con una simple implementación numérica y utilizando bajos parámetros de penalización. Esto conduce a una obtención satisfactoria de las fuerzas asociadas a las restricciones (multiplicadores de Lagrange), y además se evita el mal condicionamiento numérico provocado por los altos valores del parámetro penalizador en el método de penalización. Con estos ingredientes se desarrolla la formulación conservativa del método de Lagrange aumentado, basándose en el integrador energía-momento. Este algoritmo se formula imponiendo la conservación exacta de la energía total, dando eficiencia y robustez al esquema de integración propuesto. Así es posible utilizar valores altos en el penalizador para mejorar la eficiencia del método, puesto que el integrador energía-momento muestra un muy buen comportamiento frente a este tipo de problemas (sistemas diferenciales de carácter stiff ), y permite integrar con grandes pasos de tiempo los problemas dinámicos. Esta estrategia de solución se aplica a modelos de contacto, motivado por su gran interés en muchos casos prácticos, producto del carácter realista que otorga al mecanismo la introducción de este fenómeno en los problemas dinámicos.

4 Agradecimientos En primer lugar quiero agradecer a todas las personas que forman parte del grupo de investigación, al cual pertenezco, que me ayudaron durante todo este proceso de formación. Principalmente a mi tutor del trabajo de investigación, el Dr. Juan Carlos García Orden, por su incondicional apoyo y por orientarme durante mi labor investigadora.

5 Índice Índice Introducción Motivación Estado del arte Objetivos Contenido Formulación dinámica general Parametrización con coordenadas naturales Formulación de restricciones Multiplicadores de Lagrange Lagrange Estabilizado Penalización Penalización generalizada Lagrange aumentado Lagrange aumentado generalizado Implementación computacional del método de Lagrange aumentado Ecuaciones de movimiento Lagrange aumentado Lagrange aumentado con iteraciones simultáneas Lagrange aumentado con iteraciones anidadas Lagrange aumentado con integradores estándar Integradores estándar Ensayos numéricos representativos Iteraciones simultáneas Iteraciones anidadas

6 Índice 4 Formulación conservativa de restricciones Formulación conservativa con penalización Restricción general Restricción escalar Restricción escalar sobre punto Restricción escalar entre puntos Formulación conservativa con Lagrange aumentado Restricción general Restricción escalar Restriccion escalar sobre punto Restricción escalar entre puntos Aplicaciones Restricciones de sólido rígido Péndulo simple esférico Mecanismo biela-manivela Aplicación a modelos de contacto Formulación conservativa de restricciones holónomas Formulación conservativa del contacto Aplicación: Contacto con superficie plana Aplicación: Contacto con superficie esférica Problemas numéricos especiales Conclusiones y trabajo futuro Conclusiones Aportaciones Propuesta de trabajo futuro Apéndice A Bibliografía

7 Capítulo Introducción. Motivación La dinámica de sistemas multicuerpo es la teoría que permite el análisis cinemático y dinámico de mecanismos generales. El enfoque tradicional es considerar un sistema mecánico o «mecanismo» como un conjunto de elementos rígidos indeformables, móviles unos respecto de otros, unidos entre sí mediante diferentes tipos de uniones, llamadas pares cinemáticos (pernos, uniones de contacto, pasadores, etc.), cuyo propósito es la transmisión de movimientos y fuerzas. Hoy en día existe un gran número de aplicaciones en ingeniería en los que se hace necesario introducir la flexibilidad de los sólidos que componen el sistema para obtener resultados más precisos, analizar las vibraciones del sistema en condiciones generales de funcionamiento, prevenir el degaste de ciertos componentes, etc. Aplicaciones de éste tipo se pueden encontrar en la industria de automoción, aeronáutica espacial, robótica, biomecánica, militar, etc. En el estudio y simulación dinámica de sistemas de sólidos rígidos y flexibles se emplean técnicas avanzadas de análisis mecánico teniendo como herramienta el ordenador (mecánica computacional). Es muy importante por este motivo representar de manera eficiente la configuración de un sistema mecánico. El conjunto de parámetros cuyo valor define perfectamente la posición de un sistema mecánico se denominan «coordenadas generalizadas». Por tanto, la variación de estos parámetros a lo largo del tiempo describe el movimiento del sistema. La elección de las coordenadas que van a definir un sistema mecánico o mecanismo es de gran trascendencia, ya que determina aspectos fundamentales del análisis. Una forma de clasificar las coordenadas permite dividirlas en grupos: coordenadas dependientes y coordenadas independientes. Las primeras corresponde al caso de emplear tantos parámetros como «grados de libertad.» posea el 3

8 4 Introducción mecanismo. Se trata, por tanto, del número mínimo de coordenadas posible. Las coordenadas dependientes. son superiores en número a los grados de libertad, y pretenden definir el movimiento de cada elemento del mecanismo. Su carácter de dependientes se explica por estar ligadas mediante ecuaciones que relacionan estas coordenadas, que se denominan «ecuaciones de restricción». Así, cada conjunto de variables dependientes, tiene asociadas unas ciertas ecuaciones de restricción. La ventaja de estas coordenadas frente a las independientes, es que dan lugar a procedimientos sistemáticos, muy aptos por tanto para su programación e implementación computacional. Dentro de las coordendas dependientes son bien conocidos tres grupos: las coordenadas relativas, las coordenadas de punto de referencia y las coordenadas naturales [G. de Jalón y Bayo (994)]. Estas últimas son un ingrediente escencial en la formulación dinámica de sistemas multicuerpo dentro del contexto de este trabajo, puesto que permiten obtener matrices de masa constantes tanto para los cuerpos rígidos como para los deformables, lo que tiene trascendencia en la formulación de un integrador numérico conservativo. Por el tipo de coordenadas utilizadas en la modelación de un sistema mecánico o por diversos otros motivos, como por ejemplo, obligar a un componente del sistema a permanecer sobre una determinada superficie, el movimiento de un mecanismo en muchos casos prácticos esta restringido. Un importante ejemplo es la dinámica de sistemas mecánicos multicuerpo, donde las restricciones son empleadas para representar las uniones de conectividad entre los diferentes cuerpos. Es posible emplear diferentes estrategías para abordar un problema dinámico sujeto a satisfacer un conjunto de restricciones. La diferencia básica entre ellos es el método empleado para imponer las restricciones. Cada uno tiene sus propias particularidades, y plantea exigencias especiales sobre el método numérico empleado para resolver las ecuaciones. En este trabajo se proporciona una descripción de estas formulaciones y se presenta un desarrollo más detallado de la formulación con Lagrange aumentado.3... En física y mecánica, grado de libertad se refiere a cada una de las coordenadas o parámetros necesarios para definir el estado cinemático de un mecanismo o sistema mecánico. El número de grados de libertad coincide con el número de ecuaciones necesarias para describir el movimiento... El objetivo es emplear suficientes variables para definir perfectamente la posición de cada elemento del mecanismo..3. Una de las formulación básica para imponer restricciones es el método de multiplicadores de Lagrange, que representan las fuerzas de enlace que aseguran el cumplimiento de las restricciones. La formulación conocida como método de penalización consiste básicamente en introducir un muelle que obliga al cumplimiento de las restricciones. Considerando estas formulaciones, Lagrange aumentado puede entenderse como una combinación entre las dos formulaciones descritas anteriormente.

9 . Estado del arte 5 Sin embargo, la solución numérica de estas formulaciones posee algunas dificultades, relacionadas sobre todo con temas de estabilidad. Se propone el uso de un algoritmo de integración temporal energía-momento, que consigue una estabilidad y robustez notables con conservación exacta de la energía total. Este método resuelve de forma adecuada las ecuaciones con carácter «stiff» que resultan como consecuencia de un problema mal condicionado numéricamente, y que combinado con la formulación de Lagrange aumentado conduce a un cumplimiento exacto de las ecuaciones de restricción. La conservación exacta de la energía discreta no garantiza la estabilidad incondicional para los casos no lineales, pero definitivamente la mejora. Esta es la principal motivación detrás de este trabajo, que tiene como objetivo extender el trabajo previamente desarrollado con la formulación conservativa de penalización, que muestra muy buenos resultados [Garc ía O. y Goicolea (), Goicolea y Garc ía O. (), Garc ía O. y Goicolea ()], a la formulación conservativa de Lagrange aumentado.. Estado del arte Se deben considerar varios puntos importantes cuando se intentan realizar simulaciones rápidas y exactas en la dinámica de sistemas multicuerpo: la elección de las coordenadas que modelan el sistema, la elección de la formulación dinámica y el esquema de integración numérica junto con la implementación computacional. Todas estas materias son muy importantes para decidir a si un método específico es bueno o no para un propósito particular. Algunos de los métodos más robustos para la dinámica de sistemas multicuerpo hacen uso de las coordenadas naturales en la modelación del sistema [G. de Jalón y Bayo (994)]. Estas coordenadas son dependientes, y conducen a un sistema de ecuaciones del movimiento diferenciales-algebraicas (DAEs) [Brenan et al. (996)] cuando se aplica la conocida técnica de multiplicadores de Lagrange [Arnold (983)]. Se han desarrollado diferentes formulaciones que pueden ser usadas para resolver estas ecuaciones de movimiento en coordenadas naturales, como la técnica de estabilización de las restricciones [Baumgarte (97)], esquemas de penalización y Lagrange aumentado [Bayo et al. (988)], o transformación de las velocidades [Serna et al. (98), Wehage y Haugh (98)].

10 6 Introducción Las formulaciones basadas en los métodos de penalización y Lagrange aumentado tienen las ventajas de ser muy simples, de bajo costo computacional y muy robustas en presencia de configuraciones singulares o restricciones redundantes [Bayo y Avello (996)]. En general, se puede decir que la formulación dinámica utilizada determina la elección del integrador numérico. En esta dirección diversos autores propusieron varias opciones para integrar con éxito las ecuaciones que se presentan en un sistema multicuerpo restringido, usando los integradores que tienen su origen en el campo de la dinámica de estructuras [G. de Jalón y Bayo (994), Geradin y Cardona (), Cuadrado et al. ()]. En [Bayo y Ledesma (996), Cuadrado et al. ()] se propone el uso de la técnica de Lagrange aumentado con penalización sólo en el término de posición junto con la regla trapezoidal como integrador numérico. Para garantizar el correcto cumplimiento de las restricciones, se proponen diversas clases de proyección de velocidades y aceleraciones. Recientemente [Cuadrado et al. (4)], propone el uso de Lagrange aumentado con otros integradores de la familia α- Generalizado junto con proyecciones, que proporciona muy buen comportamiento para aplicaciones en tiempo real. Por otro lado, en el trabajo de los autores [Goicolea y García O. (), García O. y Goicolea (), García O. y Goicolea ()] se ha desarrollado una formulación basada en la conservación de la energía total con la formulación de penalización, imponiendo las restricciones en posición, y aplicado a la dinámica de sistemas multicuerpo parametrizados con coordenadas naturales. En este caso, el uso de penalización de las restricciones en posición tiene la ventaja que permite derivar las fuerzas de restricción de una función potencial: la energía de restricción. La formulación consiste en el empleo del integrador conservativo energía momento [Simo y Wong (99), González y Simó (996)], que consiste en imponer la conservación de la energía total en la construcción del algoritmo. Aquí, la estabilización de las ecuaciones del movimiento formuladas con penalización se presenta de una manera natural en el esquema de integración. Debe observarse que la energía «real» no coincide exactamente con la energía total del sistema, correspondiendo la diferencia a la energía de las restricciones. Esta última está siendo continuamente intercambiada con la del resto del sistema. Sin embargo, empleando factores elevados de penalización, la violación de las restricciones y su energía asociada puede mantenerse suficientemente pequeña para la mayoría de las aplicaciones prácticas.

11 .3 Objetivos 7 Por último, se quiere extender el trabajo desarrollado anteriormente en la formulación conservativa con penalización, que se muestra con excelentes propiedades de estabilidad, a la formulación conservativa con Lagrange aumentado. Este método originalmente fue introducido en el campo de la optimización con restricciones [Bertsekas (3)] y se utiliza en una amplia variedad de aplicaciones de ingeniería, como por ejemplo mecánica de contacto/impacto [Wiggers (), Laursen ()], análisis del comportamiento dinámico de sistemas multicuerpo [Bayo y Ledesma (996)], etc. Esto permitiría obtener un esquema de integración robusto y eficiente, además se impondría el cumplimiento exacto de las restricciones en posición. Como la energía total asociada a las restricciones sería nula, la energía total se conservaría de forma exacta, sin necesidad de incluir la energía de restricción, y por tanto coincidiría con la energía real del sistema..3 Objetivos El objetivo principal de este trabajo es desarrollar una formulación dinámica de restricciones basada en dos ingredientes de interesantes características: el integrador conservativo energía-momento y el método de Lagrange aumentado. La idea es aprovechar las propiedades de robustez y eficacia de un método de integración fundado en la conservación exacta de la energía total para resolver la dinámica no lineal de un sistema multicuerpo general formulada con un método que conduce al cumplimiento exacto de las ecuaciones de restricción. Es necesario, para el cumplimiento metódico de este objetivo básico, conseguir una serie de objetivos parciales:. Estudio en detalle del método de Lagrange aumentado, con la intención de establecer las características principales de esta formulación, haciendo una comparación con las formulaciones dinámicas para sistemas mecánicos restringidos más tradicionales.. Analizar las dos formas mas usuales de implementación computacional del método de Lagrange aumentado y comparar los resultados obtendios con los distintos integradores de amplia utilización en temas de dinámica de sistemas multicuerpo.

12 8 Introducción 3. Teniendo como punto de partida la formulación conservativa del método de penalización para el tratamiento de restricciones en sistemas multicuerpo generales, extender teóricamente la idea al método de Lagrange aumentado, manteniendo las propiedades conservativas del integrador temporal e imponiendo el cumplimiento exacto de las restricciones. 4. Aplicar esta formulación conservativa propuesta y ver reflejadas las ventajas del procedimiento en un problema común en sistemas multicuerpo, como por ejemplo, los diferentes contactos que pueden producirse en sistemas mecánicos reales..4 Contenido Este trabajo comienza con la formulación dinámica general de un sistema mecánico que se plantea a través de la Mecánica Lagrangiana, descrita en el Capítulo. El punto de partida es una introducción al uso de coordenadas naturales para determinar la configuración de un sistema multicuerpo. En este capítulo se describen también los principales métodos que permiten abordar problemas dinámicos que estan obligados a satisfacer unas ciertas ecuaciones de restricción. La teoría es acompañada de ejemplos cuantitativos que tienen por objetivo una mejor compresión de las principales ideas planteadas. En el Capítulo 3 se analiza en detalle el método de Lagrange aumentado desde el punto de vista computacional, se revisan los detalles relacionados con la implementación numérica del método. Además, se hace un análisis de diversos algoritmos de integración temporal, resaltando las propiedades interesantes de algunos integradores y prestando atención a los resultados obtenidos cuando la implementación numérica del método de Lagrange aumentado se plantea de dos maneras distintas. El Capítulo 4 desarrolla el algoritmo conservativo energía-momento para sistemas multicuerpo. Comienza introduciendo la formulación conservativa de restricciones con el método de penalización, que permitirá revisar algunos aspectos básicos e importantes, y dará paso a la extensión de esta formulación conservativa al método de Lagrange aumentado. Esta es la principal contribución del trabajo de investigación realizado. La formulación propuesta es acompañada de algunos ensayos numéricos representativos que permiten cuantificar las ventajas de esta formulación.

13 .4 Contenido 9 El Capítulo 5 desarrolla un análisis de la dinámica del contacto, utilizando un modelo basado en fuerzas derivadas de una formulación con restricciones. Esto corresponde a una interesante aplicación en el campo de la dinámica de sistemas multicuerpo. Se utiliza la formulación conservativa propuesta en el capítulo anterior para resolver una situación de interés en este ámbito, como es el contacto de componentes de un sistema multicuerpo con una superficie definida de forma analítica. El Capítulo 6 presenta las conclusiones y una propuesta de trabajo futuro a las vista de los resultados obtenidos.

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15 Capítulo Formulación dinámica general En este capítulo se describen las principales formulaciones que permiten abordar problemas dinámicos de sistemas multicuerpo. Primero, una introducción a la dinámica general formulada con el principio de D Alambert y las ecuaciones de Lagrange. Luego, un estudio de los principales métodos que permiten resolver sistemas mecánicos restringidos, acompañando cada formulación con un ejemplo que permite visualizar las ventajas y desventajas de cada método.. Parametrización con coordenadas naturales Para formular la dinámica de un sistema mecánico, formado por un conjunto de cuerpos rígidos y deformables ligados entre sí, es necesario determinar la configuración del sistema mediante coordenadas con respecto a un sistema referencial, las cuales pueden ser dependientes o independientes. Se denominan coordenadas generalizadas a un conjunto cualquiera de parámetros {q i, i =,, 3, n} que sirven para determinar de manera unívoca la configuración del sistema. [Goicolea ()]... Este conjunto de variables ha de ser suficiente para describir cualquier configuración del mecanismo. Las coordenadas generalizadas suelen ser distancias, ángulos, etc., absolutos o relativos, y se intenta, siempre que sea posible, que estén asociadas a distancias y ángulos fácilmente identificables en el mecanismo: posición de un punto característico (rótula, centro de inercia de un miembro, etc.), ángulo relativo entre dos miembros articulados, distancia entre dos puntos de dos miembros enlazados por una guía prismática, etc. [Foix y Costa ()]

16 Formulación dinámica general Determinar la configuración de un sistema mecánico mediante la parametrización con coordenadas naturales. (primero en [G. de Jalón et al. (98-a), G. de Jalón et al. (98-b), Serna et al. (98)] para casos bidimensionales y extendida su implementación a sistemas mecánicos tridimensionales en [G. de Jalón et al. (986), G. de Jalón et al. (987)]) corresponden al caso de escoger como parámetros para definir unívocamente la configuración del sistema las coordenadas cartesianas de una serie de puntos (q i : i =,, N). Esto constituye un conjunto de coordenadas dependientes que se relacionan a través de unas ecuaciones de restricción.3. Esta parametrización presenta dos ventajas muy interesantes; permite obtener matrices de masa constantes tanto para los cuerpos rígidos como para los deformables, y facilita la definición sistemática de sistemas complejos. Denotamos por q R 3N al conjunto que contiene las coordenadas de los N puntos seleccionados, expresado como q = ( q T q T q N T ) T, que configuran un sistema mecánico sometido a enlaces.4 lisos. El principio de D Alambert en coordenadas generalizadas se puede expresar como, [ ( ) d T δq T T ] dt q q QG =, δq compatibles con las ligaduras (.) donde T = q TMq es la energía cinética del sistema y Q G las fuerzas generalizadas (donde no intervienen las fuerzas de reacción de los enlaces lisos, que no realizan trabajo virtual). ( ) El término d T = Mq corresponde a las fuerzas de inercia y el término T dt q q puede interpretarse como fuerzas ficticias procedentes de la elección de las coordenadas generalizadas. Cuando en la parametrización se utilizan coordendas cartesianas este término desaparece T q =. Si existen fuerzas generalizadas que proviene de un potencial V (Q V ) y otras que no (Q N ) se puede escribir, Q G = Q V + Q N = V q + QN (.).. Las coordenadas naturales describen la posición de cada elemento por medio de coordenadas cartesianas de puntos situados en los pares cinemáticos del sistema (en ingeniería mecánica se denomina par cinemático a una unión entre dos miembros de un mecanismo) y por medio de componentes cartesianas de vectores unitarios situados también en los pares..3. Cuando las coordenadas generalizadas no sean «libres» o independientes, se deberá a que subsisten condiciones de restricción formuladas de manera explícita. Estas se traducirán en relaciones entre las q i (y también sus derivadas q i para restricciones no holónomas)..4. Las palabras enlace, ligadura y restricción son utilizadas indistintamente en la literatura de Mecánica Clásica [Goldstein (99)] [Arnold (983)] para referirse a las condiciones que limitan o restringen el movimiento de un sistema mecánico.

17 . Formulación de restricciones 3 Sustituyendo la expresión (.) en la ecuación (.) y agrupando términos se obtiene, [ ( d T δq T dt q ) ] (T V ) Q N q =, δq compatibles (.3) Se define la función Lagrangiana: L T V. Como el potencial V no depende de las velocidades q, se verifica T = L. Finalmente (.) se puede escribir, q q [ ( ) ( ] d L L δq T ) Q dt q N =, δq compatibles (.4) q La expresión dentro de corchetes [ ] se conoce como las ecuaciones de Lagrange en su forma estándar, aplicable cuando parte de las fuerzas dependen de un potencial Q V y existen fuerzas no conservativas Q N. Puesto que q corresponde a un conjunto de coordenadas dependientes, no se anulan necesariamente los coeficientes por los que va multiplicado cada elemento del vector δq en (.4). Es, por tanto, necesario introducir de alguna manera el efecto de las restricciones. En el siguiente apartado se describen varios procedimientos que permiten introducir las restricciones.. Formulación de restricciones El uso de coordenadas cartesianas, como es el caso de las coordenadas naturales [G. de Jalón y Bayo (994)], en la modelación de sistemas multicuerpo conduce al uso de ecuaciones de restricción entre los puntos que definen un cuerpo o elemento, debido a que este tipo de coordenadas no son independientes. Por ejemplo, para la modelación de un sistema formado por un único cuerpo rígido, se deben imponer ecuaciones de restricción para expresar la distancia relativa constante entre los puntos que lo definen. Diversos métodos permiten resolver problemas en los cuales es necesario imponer restricciones, y cada uno de ellos conduce a distintas formulaciones para las ecuaciones de movimiento. En este apartado se estudiarán las tres formulaciones básicas: multiplicadores de Lagrange, penalización y Lagrange aumentado... Multiplicadores de Lagrange Considerése un sistema multicuerpo, formado por un conjunto de cuerpos rígidos y deformables ligados entre sí, cuya configuración está caracterizada por n coordenadas cartesianas, representadas mediante el vector q R n, relacionadas por m restricciones de tipo holónomo.5, representadas por el vector Φ R m : Φ(q, t) = (.5)

18 4 Formulación dinámica general El punto de partida es obtener la variación del vector de restricciones: δφ = Φ ( ) T Φ q δq = δqt = (.6) q Se introduce ahora unos multiplicadores λ i, i =,, m, de valores arbitrarios y agrupados en un vector λ R m. Multiplicando por los valores λ i la ecuación (.6) seguirá valiendo cero: δq T (Φ q T λ ) = (.7) donde Φ q = Φ es el Jacobiano del vector de restricciones. El término (.7), al ser q nulo, puede sumarse a la ecuación dinámica (.4) sin ser alterada, resultando: [ ] d )+Φ T q λ Q N δq T ( L dt q ) ( L q = (.8) Puesto que los multiplicadores son arbitrarios, se pueden elegir de forma que se anulen los m primeros coeficientes de la suma expresada en (.8). Puesto que el sistema posee (gdl = n m) grados de libertad, será posible elegir de forma independiente los (n m) desplazamientos virtuales correspondientes, de manera que se anulan los (n m) coeficientes restantes. Así por un motivo o por otro, han de anularse los n coeficientes entre corchetes en (.8). El sistema queda entonces planteado con (n + m) ecuaciones, ( ) ( ) d L L +Φ T dt q q q λ Q N = (.9) Φ(q, t) = Utilizando las expresiones de la energía cinética y la energía potencial para un sistema mecánico se obtienen las ecuaciones del movimiento con el método de multiplicadores de Lagrange, Mq +Φ q T λ = Q(q, q,t) (.) Φ(q, t) = (.) donde M es la matriz de masa, λ R m el vector de multiplicadores de Lagrange y Q(q, q,t) el vector de todas las fuerzas aplicadas..5. Se consideran holónomos cuando es posible expresar la condición de restricción mediante una relación entre las posiciones y el tiempo exclusivamente. A su vez, las restricciones holónomas se denominan esclerónomas si no dependen del tiempo, y reónomas en caso contrario. Las no-holónomas son en general todas aquellas que no son holónomas, no pudiendo expresarse mediante ecuaciones del tipo como Φ(q, t) =. El caso más usual de enlace no-holónomo es aquél que depende también de la velocidad, mediante una relación del tipo Φ(q, q, t) =.

19 . Formulación de restricciones 5 Las ecuaciones (.) y (.) constituyen un sistema formado por n ecuaciones diferenciales de segundo orden y m ecuaciones algebraicas, lo que en conjunto se denomina sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas (DAE:Differential Algebraic Equation) de índice 3.6. Este tipo de sistemas se puede resolver de diversas maneras, una de ellas es la solución directa de las ecuaciones con un algoritmo de integración específico para este tipo de problemas, que generalmente se basan en integradores numéricos estándar.7 que funcionan bien en sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias «stiff» (métodos Runge-Kutta, métodos BDFs, etc.) [Brenan et al. (996), Hairer y Wanner (996)]. Otra forma muy utilizada es la reducción de índice del sistema, derivando las ecuaciones de restricción Φ. Si se deriva la ecuación de restricción una vez, se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas de índice : Mq +Φ q T λ = Q(q, q,t) (.) Φ (q, q,t) = (.3) donde Φ = Φ q q + Φ t (con Φ t = Φ ), es la primera derivada con respecto al tiempo t del vector de restricciones Φ. Este tipo de problemas se puede resolver de igual forma que en el caso anterior, con un integrador específico para sistemas DAE. Si se deriva una vez más la ecuación (.3) se obtiene un sistema de ecuaciones diferenciales-algebraicas de índice. Mq +Φ q T λ = Q(q, q,t) (.4) Φ (q, q,q, t) = (.5) donde Φ = Φ q q + Φ qq + Φ t, es la segunda derivada con respecto al tiempo del vector de restricciones Φ. Agrupando esta expresión junto con la ecuación (.4) se obtiene un sistema de la forma: ( M Φ q T Φ q ){ } { } q Q = λ Φ qq Φ t (.6).6. El índice de un sistema DAE es el número de derivaciones de Φ necesarias para convertir el sistema DAE en un sistema de ecuaciones difereciales ordinarias (ODE)..7. Se considera como integrador estándar los algorítmos de integración numérica que usualmente se utilizan en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de cualquier orden, representados normalmente por la expresión general ẏ = f(y, t).

20 6 Formulación dinámica general Este sistema de ecuaciones se puede utilizar para resolver de manera simultánea las aceleraciones y los multiplicadores de Lagrange. De forma alternativa, se puede resolver primero la ecuación (.4) para obtener una expresión para las aceleraciones: q = M ( Q Φ T q λ ) (.7) sustituyendo (.7) en la ecuación Φ = Φ q q = Φ qq Φ t, se obtiene ( Φ q M Q M Φ T q λ ) = Φ qq Φ t (.8) y despejando λ de la ecuación (.8), se obtiene una expresión para los multiplicadores de Lagrange: λ = ( Φ q M Φ ) ( T ( q Φ qq +Φ t +Φ q M Q )) (.9) sustituyendo la expresión (.9) en la ecuación (.4): Mq = Q Φ ( T q Φ q M Φ ) ( ) T q Φ qq +Φ t +Φ q M Q (.) Del sistema de ecuaciones expresado en (.6) se han eliminado los multipladores de Lagrange, obteniéndose en (.) un sistema de ecuaciones exclusivamente diferencial (ODE: Ordinary Differential Equation), que puede ser integrado por un algoritmo estándar de integración numérica. Las ventajas que este método presenta son: Es muy simple de comprender, comparado con otros métodos, y su implementación numérica no requiere demasiado trabajo. Permite obtener las fuerzas asociadas a las restricciones (que dependen de los multiplicadores de Lagrange). Sin embargo, se deben considerar sus principales desventajas: Se agregan incognitas adicionales al problema: los multiplicadores de Lagrange. La manipulación de las ecuaciones de restricción para imponer la segunda derivada de Φ (reducción a DAE de indice ), que permite la trasnformación de un sistema diferencial-algebraico (DAE) a uno puramente diferencial (ODE), genera problemas de estabilidad, debido a la violación progresiva de las ecuaciones de restricción.

21 . Formulación de restricciones 7 Ejemplo.. Un simple pero representativo ejemplo permitirá reflejar los inconvenientes del método de los multiplicadores de Lagrange discutidos anteriormente. Se considera un péndulo simple que en todo momento se mueve en el plano XY, como el que se muestra en la Figura.. De masa y longitud unidad, modelizado con coordenadas cartesianas q = (x, y ) T y bajo la acción de una gravedad ficticia de valor unidad. Las condiciones iniciales son: para la posición q = (, ) T, y para la velocidad q =(, ) T. Y X O g ϕ l m Figura.. Péndulo simple. Al utilizar coordenadas cartesianas para modelizar el péndulo simple se requiere de ecuación de restricción (Φ ): distancia constante entre el extremo móvil del péndulo, donde se sitúa la masa, y el origen de coordenadas (extremo fijo del péndulo). { } x q= y ; Φ(q)={Φ }= { x + y l } = El sistema tiene grado de libertad (gdl = n m = ; n: número de coordenadas dependientes; m: número de restricciones ). La restricción se introduce en la ecuación dinámica mediante la técnica de multiplicadores de Lagrange considerando la reducción de indice a y transformando el sistema a uno exclusivamente diferencial, ecuación (.). El movimiento se integra numéricamente durante [seg] con la regla trapezoidal y un paso de tiempo t =.5 [seg]. En la figura siguiente se muestra la evolución del ángulo ϕ y del multiplicador de Lagrange λ en el tiempo (en este ejemplo el vector λ está compuesto por sólo un elemento λ = {λ }). Los resultados obtenidos se comparan con la solución exacta La solución exacta se ha obtenido integrando numéricamente la ecuación ϕ + g sen(ϕ) = (que l govierna el movimiento del péndulo utilizando el ángulo ϕ como coordenada generalizada) con la regla trapezoidal, un paso de tiempo pequeño ( t =.) y una tolerancia para el error del orden de 5.

22 8 Formulación dinámica general Angulo [rad] Variación de ϕ en el tiempo R. trapezoidal ( t =.5) S. exacta (a) Angulo vs. tiempo M. Lagrange Variación de λ en el tiempo R. trapezoidal ( t =.5) S. exacta (b) Mult. de Lagrange vs. tiempo Figura.. Comparación de ϕ y λ con la solución exacta. Los resultados obtenidos con este método son bastante buenos y aproximados a la solución exacta. Como se ha comentado anteriormente, una de las principales desventajas de este método es su inestabilidad, producto de la violación progresiva de las ecuaciones de restricción, como se puede apreciar para este ejemplo en la Figura.3. Restricción en posición Evolución de Φ en el tiempo.35.3 R. trapezoidal ( t=.5) Restricción en velocidad Evolución de Φ en el tiempo 8.e-4 7.e-4 R. trapezoidal ( t=.5) 6.e-4 5.e-4 4.e-4 3.e-4.e-4.e-4.e+ -.e Restricción en aceleración Evolución de Φ en el tiempo.5e-5 e-5 R. trapezoidal ( t=.5).5e-5 e-5 5e-6-5e-6 -e-5 -.5e-5 -e Figura.3. Comportamiento de restricciones: en posición Φ, velocidad Φ y aceleracion Φ. Método de los multiplicadores de Lagrange. El problema de inestabilidad se debe al hecho de no imponer realmente las restricciones en posición, sino que las restricciones en aceleración (segunda derivada

23 . Formulación de restricciones 9 de las restricciones), como se justificará en el apartado siguiente. Es por este motivo que el cumplimiento de las restricciones en posición se ve afectado con el tiempo, y por el contrario, las restricciones en aceleración son cumplidas satisfactoriamente (Φ ). Lagrange Estabilizado Como se estudio en el apartado anterior, el método de multiplicadores de Lagrange no es estable por el hecho de imponer el cumplimiento de las derivadas segundas de las restricciones, Φ = (.) La solución de esta ecuación diferencial es la siguiente, Φ=at +b (.) Aunque las condiciones iniciales del problema cumplan correctamente las ecuaciones de restricción en posición, velocidad y aceleración para el instante inicial (a =, b = ), los errores introducidos en la integración numérica provocan que el incumplimiento de las restricciones aumente de forma lineal, como se puede observar en la Figura.3, de manera que la solución obtenida se aleje de la correcta en simulaciones de larga duración. Para solucionar este problema es posible estabilizar el sistema de ecuaciones no imponiendo el cumplimiento de Φ =, sino que utilizar en su lugar la siguiente expresión [Baumgarte (97)], Φ + ωξφ +ω Φ = (.3) donde ξ y ω, son constantes escogidas adecuadamente. Utilizando la expresión de la segunda derivada (Φ =Φ q q +Φ qq +Φ t), la ecuación (.3) y reemplazando en el sistema de ecuaciones (.6), resulta: ( M Φ q T Φ q ){ } { } q Q = λ Φ qq Φ t ωξφ ω Φ (.4)

24 Formulación dinámica general Transformando el sistema en uno exclusivamente diferencial, de igual manera que se procedió en el apartado anterior, y con algo de trabajo algebraico, se obtiene la expresión para los multiplicadores de Lagrange, λ= ( Φ q M Φ ) ( ) T q Φ qq +Φ t +ωξ(φ q q +Φ t ) +ω Φ +Φ q M Q que sustituyendo en la ecuación (.4), se obtiene el sistema, Mq = Q Φ ( T q Φ q M Φ ) ( ) T q Φ qq +Φ t +ωξ(φ q q +Φ t ) +ω Φ +Φ q M Q que se puede resolver por un integrador numérico estándar. Las ventajas del procedimiento propuesto por [Baumgarte (97)] son, Estabilización de la solución, impidiendo que el incumplimiento de las restricciones en posición aumente progresivamente. La similitud de la expresión (.3) con la ecuación que representa un sistema de grado de libertad en oscilaciones libre, permite identificar los parémetros ξ y ω, como el amortiguamiento relativo y la frecuencia natural del sistema, pudiendo controlar de manera eficaz la discipación de energía. Sus principales desventajas, No se cumplen exactamente las restricciones en posición, velocidad y aceleración. El término correspondiente a la restricción en velocidad ωξφ, introducido en la expresión (.3) provoca disipación de energía. Ejemplo.. Para complementar el procedimiento teórico del método de los multiplicadores de Lagrange con estabilización [Baumgarte (97)], se retoma el problema del péndulo simple, descrito en el apartado anterior (ejemplo.). Se consideran los siguientes parámetros para la ecuación (.3): ξ = y ω =.

25 . Formulación de restricciones Los valores usualmente empleados para estos parámetros (ξ, ω) varían entre y [G. de Jalón y Bayo (994)], pero la experiencia demuestra que el comportamiento del método no depende significativamente de los valores que toman estos parámetros. Se considera ξ =, que corresponde al amortiguamiento crítico, y que combinado con ω =, producen una menor disipación de la energía total del sistema.9 [Bayo y Ledesma (996), Dopico (4)]. Nuevamente el movimiento se integra numéricamente durante [seg] con la regla trapezoidal y un paso de tiempo t=.5 [seg]. Restricción en posición Evolución de Φ en el tiempo e-4 8e-5 R. trapezoidal ( t=.5) 6e-5 4e-5 e-5 -e-5-4e-5-6e-5-8e (a) Φ vs. tiempo Restricción en velocidad Evolución de Φ en el tiempo 5e-4 R. trapezoidal ( t=.5) 4e-4 3e-4 e-4 e-4 e+ -e-4 -e-4-3e-4-4e (b) Φ vs. tiempo Restricción en aceleración 3.e-3.e-3.e-3.e+ -.e-3 Evolución de Φ en el tiempo R. trapezoidal ( t=.5) Restricción estabilizada 3e-4 e-4 e-4 -e-4 -e-4 Evolución de Φ + ξω Φ + ω Φ en el tiempo R. trapezoidal ( t=.5) -.e (c) Φ vs. tiempo (d -3e ) Φ + ξωφ + ω Φ vs. tiempo Figura.4. Comportamiento de las restricciones en posición, velocidad y aceleración. Método de los multiplicadores de Lagrange estabilizado. En la Figura.4 se reflejan los efectos provocados por la estabilización del sistema de ecuaciones para el problema del péndulo simple. Como se comentó anteriormente, por un lado, se logra impedir la violación progresiva de la restricción en posición, y por otro, las restricciones Φ,Φ y Φ no son cumplidas exactamente,.9. A través de un simple análisis de la variación de los paramétros ξ y ω se puede comprobar que los resultados obtenidos no varían considerablemente, y que esta combinación corresponde a una buena elección que genera una menor disipación de la energía total del sistema.

26 Formulación dinámica general pero sus valores se mantienen en un rango aceptable. Además, se cumple que la expresión (Φ + ωξφ + ω Φ), debido a que esta restricción es la impuesta realmente en este método. El principal inconveniente provocado por el método estabilizado, es la discipación de energía. En la Figura.5 se muestra el comportamiento de la energía total del sistema. Energía [J] Energía [J] Energía total E = T + V R. trapezoidal ( t=.5) E Figura.5. Evolución de la energía total del sistema. Integrador numérico: regla trapezoidal. Paso de tiempo t =.5 [seg]. Para este ejemplo en particular, en teoría la energía total se debe conservar (E =.5 [J]), pero la resolución numérica de las ecuaciones dinámicas a través del método de multiplicadores de Lagrange con estabilización, provoca una disminución progresiva de la energía total del sistema, debido al término ξωφ introducido en la ecuación (.3) que provoca un efecto de amortiguamiento numérico. En la Figura.5 a simple vista se puede apreciar que la energía total se conserva, pero modificando la escala del gráfico se observa que la energía disminuye con el aumento del tiempo de integración.

27 . Formulación de restricciones 3.. Penalización Como se estudió en la sección anterior, la técnica de los multiplicadores de Lagrange conduce a una formulación en general inestable y, que por otro lado, aumenta el número de incognitas del problema dinámico (q T, λ T ). En esta sección se estudiará el método de penalización, que consiste en introducir las fuerzas de restricción derivadas de un potencial de la forma, V Φ (q)= ΦT αφ (.5) donde α R m m es la matriz de penalización.. Con esta expresión se puede obtener el vector de fuerzas asociado al potencial de restricción (.5), f Φ = V Φ q f Φ = Φ q T αφ resultando la correspondiente ecuación dinámica Mq = V Φ q + Q, Mq +Φ q T αφ = Q (.6) Esta formulación conduce a un sistema de n ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE) que puede resolverse por un integrador numérico estandar. El método de penalización puede interpretarse como una aproximación al método de multiplicadores de Lagrange, de tal manera que λ αφ. Se puede comprobar que esta aproximación de los multiplicadores de Lagrange es más exacta (αφ λ) a medida que aumentan los valores de α (α i ). Las ventajas que esta formulación presenta, Conduce a un sistema de ecuaciones exclusivamente diferencial. El tamaño del sistema de ecuaciones es de n n. No se agregan incógnitas adicionales al problema, como en el caso de los multiplicadores de Lagrange. El grado de cumplimiento de las ecuaciones de restricción (Φ) se puede mejorar, tanto como se quiera, aumentando los valores de penalización. Sin embargo, tiene inconvenientes, Las restricciones en posición Φ, velocidad Φ y aceleración Φ no se cumplen de manera exacta aunque los valores de penalización aumenten... La matriz α es diagonal y en general puede tener todos sus términos α i diferentes entre sí. Usualmente se define con un sólo parámetro α, de tal manera que α = α, donde es la matriz unidad.

28 4 Formulación dinámica general Utilizar un elevado valor de penalización para conseguir un mejor cumplimiento de las restricciones (Φ ) provoca un mal condicionamiento numérico del sistema de ecuaciones, otorgándole un carácter «stiff», siendo necesario el uso de integradores específicos que presenta un mejor comportamiento frente a este tipo de problemas [Hairer y Wanner (996), Garc ía O. (999), Dopico (4)]. Ejemplo.3. Nuevamente se considera el ejemplo del péndulo simple, descrito en la sección anterior, para el análisis del método de penalización. La Figura.6 muestra el comportamiento del ángulo ϕ y de la restricción en posición Φ. Se considera un penalizador de α = 4 (α = α). El integrador numérico es la regla trapezoidal con paso de tiempo t =.5 seg. Angulo [rad] Variación de ϕ en el tiempo R. trapezoidal ( t =.5) S. exacta Restricción en posición Evolución de Φ en el tiempo 3.e-4 R. trapezoidal ( t=.5).5e-4.e-4.5e-4.e-4 5.e-5.e+ -5.e-5 -.e Figura.6. Variación del ángulo ϕ y comportamiento de la restricción Φ. Integrador numérico: regla trapezoidal. Penalizador α = 4. Se puede observar que los resultados obtenidos son aceptables y que la restricción en posición Φ se cumple dentro de un rango razonable, pero las restricciones en velocidad y aceleración no se cumplen satisfactoriamente, como se muestra en la figura siguiente. Restricción en velocidad Evolución de Φ en el tiempo.e- R. trapezoidal ( t=.5) 5.e-3.e+ -5.e-3 -.e- -.5e Restricción en aceleración Evolución de Φ en el tiempo.5 R. trapezoidal ( t=.5) Figura.7. Comportamiento de las restricciones en velocidad Φ y en aceleración Φ. Integrador numérico: regla trapezoidal. Paso t =.5 [seg]. Penalizador α = 4.

29 . Formulación de restricciones 5 Para obtener un mejor cumplimiento de las restricciones se puede aumentar el valor del penalizador. En la Figura.8 se muestra una comparación del comportamiento de las restricciones en posición Φ, velocidad Φ y aceleración Φ, utilizando penalizadores distintos α = 6 y α = 8. Restricción en posición Penalizador α = 6 Penalizador α = 8 Evolución de Φ en el tiempo 3.e-6 R. trapezoidal ( t=.5) α = 6.5e-6.e-6.5e-6.e-6 5.e-7.e+ -5.e-7 -.e Restricción en posición Evolución de Φ en el tiempo.e-5 R. trapezoidal ( t=.5) α = 8.5e-5.e-5 5.e-6.e+ -5.e-6 -.e-5 -.5e-5 -.e Restricción en velocidad Restricción en aceleración Evolución de Φ en el tiempo.e-3 R. trapezoidal ( t=.5) α = 6.5e-3.e-3 5.e-4.e+ -5.e-4 -.e-3 -.5e Evolución de Φ en el tiempo 3 R. trapezoidal ( t=.5) α = Restricción en velocidad Restricción en aceleración Evolución de Φ en el tiempo R. trapezoidal ( t=.5) α = Evolución de Φ en el tiempo 8 R. trapezoidal ( t=.5) α = Figura.8. Comparación de resultados para Φ, Φ y Φ. Penalizadores distintos α = 6 y α = 8. Integrador numérico: regla trapezoidal. Paso de tiempo t =.5 [seg]. Se puede ver en la Figura.8 que al utilizar penalizadores de valores más altos se logra obtener un mejor cumplimiento de las restricciones en posición Φ, como se aprecia en los resultados para este ejemplo cuando se utiliza un penalizador de valor α = 6, pero si se aumenta demasiado el valor del penalizador se puede hacer inestable la solución y obtener resultados incorrectos, como ocurre para un penalizador de valor α = 8. Con penalizadores muy grandes la solución no es estable y los valores de Φ,Φ y Φ, aumentan descontroladamente.

30 6 Formulación dinámica general Los altos valores del penalizador provocan un mal condicionamiento del problema desde el punto de vista numérico, ya que introducen una componente de alta frecuencia, otorgándole un carácter «stiff». En particular para este problema del péndulo simple, modelizado en coordenadas cartesianas y con una restricción, formulado con el método de penalización, representa físicamente a un péndulo simple deformable. En este caso, la rigidez del péndulo deformable corresponde al penalizador. Se puede ver la correspondencia al escribir las ecuaciones para el péndulo deformable. y ϕ k Figura.9. Péndulo simple deformable. l m s x g Las ecuaciones dinámicas el movimiento de la masa m: kssen(ϕ) = m ẍ kscos(ϕ) m g = m ÿ De la Figura.9, se obtiene, sen(ϕ) = cos(ϕ) = s = x + y Reemplazando estas expresiones en las ecuaciones dinámicas, k( x x + y l ) = m ẍ x + y k( x y + y l ) mg = m ÿ x + y reordenando, l ) x x + y y x + y que describen l m ẍ + kx ( = (.7) x + y ) l m ÿ + ky ( x + y = mg (.8) Las ecuaciones (.7) y (.8) son iguales al caso de utilizar el método de penalización para resolver el problema { del péndulo simple, imponiendo la restricción de distancia constante como Φ(q) = x + y l }, donde M= ( m m ), T Φq = x x + y y x + y Mq +Φ T q αφ = Q { } y Q= mg

31 . Formulación de restricciones 7 Sustituyendo en la ecuación (.6) ( ){ } x m ẍ + x + y α( x m ÿ y + y l ) = x + y { } mg y desarrollando algebraicamente estas expresiones, se obtiene, ) l m ẍ +αx ( = (.9) x + y ) l m ÿ +αy ( x + y = mg (.3) Comparando las ecuaciones (.9) y (.3) con (.7) y (.8) se puede ver la correspondencia del penalizador α con la rigidez k del muelle. Algunos algoritmos de integración numérica presentan un mejor comportamiento frente a este tipo de problemas, como es el caso de uno de los métodos multipaso lineales conocido como familia BDF (Backward Differentiation Formulae) [Hairer y Wanner (996)]. En la Figura. se muestran los resultados obtenidos en la simulación del péndulo simple utilizando el integrador BDF de orden (BDF-). El paso de tiempo utilizado es t =.5 [seg] y el valor del penalizador α =. Angulo [rad] Variación de ϕ en el tiempo BDF- ( t =.5) α = S. exacta Restricción en posición Evolución de Φ en el tiempo 3e-7 BDF- ( t=.5) α =.5e-7 e-7.5e-7 e-7 5e-8-5e Restricción en velocidad Evolución de dotφ en el tiempo 3.e- BDF- ( t=.5) α =.5e-.e-.5e-.e- 5.e-3.e+ -5.e Restricción en aceleración Evolución de Φ en el tiempo BDF- ( t=.5) α = Figura.. Comportamiento del ángulo ϕ y de las restricciones en posición Φ, en velocidad Φ y aceleración Φ. Integrador: BDF de orden. Penalizador α =.