GUÍA 6. Diego Luis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escuela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia

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1 GUÍA 6 Diego Lis Aristizábal R., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia Roberto Fabián Retrepo A., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia Carlos Alberto Ramírez M., M. Sc. en Física Profesor Asociado Escela de Fïsica Universidad Nacional de Colombia

2 Página Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales Objetivo General Hacer análisis de la incertidmbre en los procesos de medición con base en la última versión tanto del VIM (Vocablario Internacional de Términos Fndamentales y Generales de Metrología versión 008 ) como del GUM (Gide to the Expression of Uncertainty in Measrement ver corrección 008 de la version 1995 ) Objetivos específicos Definir los términos básicos relacionados con el concepto de incertidmbre con base el VIM y en el GUM. Mostrar el protocolo para calclar y expresar la incertidmbre de na medida de acerdo al GUM. Introdcción Desde s pblicación en 1995 la Gía para la Expresión de la Incertidmbre de Medida o GUM, constitye la referencia necesaria en cada instancia o pblicación en la qe se habla de la incertidmbre o de aqel parámetro qe caracteriza la dispersión asignable razonablemente a la propiedad qe se mide. La pblicación de este docmento en 1995, a través de ISO, fe n momento importante en la historia de la reflexión sobre el concepto de la incertidmbre en metrología y de cómo evalarla estadísticamente ofreciendo n método relativamente consensado, independientemente de las controversias qe han generado algnas inconsistencias detectadas en él. En todo caso, estas controversias y debates o discsiones sobre la GUM feron y continúan siendo el origen o motivación de na gran cantidad de pblicaciones qe en n ftro probablemente se sarán para mejorarla. Paralelamente, la indstria y el comercio recibieron en 1995 n docmento práctico para caracterizar la incertidmbre, paramétro sin el cal no es posible evalar adecadamente la conformidad de los prodctos y la comparabilidad de las mediciones; la necesidad e importancia de so se ven reflejados en el desde entonces creciente reqisito de qe los laboratorios de calibración y ensayo la evalúen e informen y en s so actal por organismos fiscalizadores de algnos gobiernos. En este resmen aparecerá con color verde la definición tal cal aparece en el VIM o en el GUM; en algnos casos se complementará con na breve explicación. Algo my importante qe se debe reconocer, es qe la natraleza básica del proceso de medición hace qe la NO EXACTITUD sea inherente a la misma medición.

3 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 3 La medición El objetivo de na medición es determinar el valor de la magnitd específica a medir denominada mensrando y en ella intervienen varios factores qe determinan s resltado: El objeto de medición El procedimiento de medición El instrmento de medición El ambiente de medición El observador El método de cálclo Además del mensrando el resltado de la medición es afectado por la denominada magnitdes de inflencia: Condiciones ambientales (temperatra, presión, hmedad, lminosidad, ) Flctaciones breves de los instrmentos de medición. Valores asociados con los patrones de medición Datos de referencia necesarios para completar el proceso de medición. Una medición comienza con na definición apropiada de: El mensrando El método de medición (y s principio de medición: Doppler, termoeléctrico,.. ) El procedimiento de medición: Conjnto de operaciones para realizar la medición con base en n método de medición La medición es n proceso ENTRADAS ( x i ) Variables independientes SALIDA (y) Variable dependiente PROCESO DE MEDICIÓN yf(x 1,x,, x n )

4 Página 4 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales Proceso de estimación de la incertidmbre Toda medición lleva implícita na incertidmbre qe según el VIM es n parámetro qe caracteriza la dispersión de los valores atribidos a n mensrando, con base en la información sada. Un resltado de medición se expresa generalmente como n valor medido único y na incertidmbre de la medida: x ± x Si la incertidmbre de la medida se considera despreciable para algún propósito, el resltado de la medición pede expresarse como n único valor medido de la magnitd. En mchos campos ésta es la forma sal de expresar n resltado de medición. Las incertidmbres se clasifican en tipo A (provenientes de evalaciones por mediciones múltiples y análisis estadístico) y tipo B (el resto). Medida directa La medida o medición es directa cando se dispone de n instrmento de medida qe la obtiene. Ejemplos: na longitd medida con na regla, n intervalo de tiempo medido con n cronómetro o na temperatra medida con n termómetro. Las fentes de la incertidmbre en la medida de na magnitd peden ser varias. Por ejemplo si se mide n intervalo de tiempo con n cronómetro qe indiqe hasta censtisegndos mediante medidas repetidas, fentes de incertidmbre son la apreciación del cronómetro (0,01 s) y la desviación estándar de la media: la primera es de tipo B y la segnda de tipo A. Inclso si se tviera dispo nible el certificado de calibración del cronómetro, el GUM exige qe también se debe introdcir la incertidmbre reportada en este, qe también es de tipo B. Combinación de las incertidmbres Si na medida es afectada por diferentes fentes de incertidmbre, se deben combinar estas incertidmbres para reportar n incertidmbre resltante. El GUM las combina en forma geométrica. Por ejemplo spóngase el caso del cronómetro del ejemplo anterior en el cal se spso tres fentes de incertidmbre: + + t 1t t 3t en donde 1t, t y 3t son respectivamente las incertidmbres estandarizadas debido respectivamente a las fentes de incertidmbre: apreciación del cronómetro, a las medidas repetidas y al certificado de calibración.

5 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 5 Es necesario anotar qe la incertidmbre se debe reportar con na cifra significativa. Qé son las incertidmbres estándar? El GUM exige qe para combinar las incertidmbres éstas deben estandarizarse y para ello es necesario asignarle n modelo de distribción estadístico a cada fente de incertidmbre. Algnos ejemplos: Distribción gassiana o normal Medidas repetidas: se asigna el modelo de distribción gassiana, en cyo caso la incertidmbre estandarizada corresponde a la desviación estándar de la media. Sean x 1, x,, x n, n medidas bajo condiciones de repetibililidad de na magnitd X. Como mejor medida se debe reportar la media, x n i 1 n x i y como incertidmbre la desviación estándar de la media, y corresponderá a la incertidmbre estándar en la medida de x. σ x x n 1 n ( ) ( x xi ) n 1 i 1 es decir el resltado de la medición se reporta, x ± x También la incertidmbre indicada en los certificados de calibración generalmente obedece na distribción gassiana. En la distribción gassiana se garantiza qe el 68 % de las medidadas de la magnitd X bajo condiciones de repetibilidad estarán dentro del rango (figra 1, area roja), x ± x

6 Página 6 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales y el 95 % de las medidas estarán dentro del rango (figra 1, área roja más area azl), x ± x Distribción rectanglar o niforme Figra 1 Son ejemplos de fentes de incertidmbre qe se les asigna este modelo de distribción: la apreciación del instrmento, la información técnica sobre la tolerancia de n instrmento y la incertidmbre relacionada con el número finito de cifras significativas de datos tomados de la literatra (siempre y cando no haya indicios qe la incertidmbre en realidad es mayor qe la incertidmbre relacionada con la última cifra significativa). En esta distribción la incertidmbre se estandariza así, x a 1 en donde a corresponde al último dígito significativo (lectra digital), la mínima division del instrmento (lectra análoga), la tolerancia del instrmento, a la última cifra significativa (en n dato de la literatra). En esta distribción cada valor del rango x ± x tiene la misma probabilidad (figra ).

7 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 7 Figra Distribción trianglar En esta distribción el valor del rango x ± x qe se encentra en el centro tiene mayor probabilidad y ésta disminye linealmente hacia los extemos del mismo hasta cero (figra 3). Figra 3

8 Página 8 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales En esta distribción la incertidmbre se estandariza así, x a 4 Medida indirecta Una vez obtenida la incertidmbre de las medidas directas, se calclan las de las medidas indirectas. Spóngase na medida indirecta y qe se obtiene a partir de medidas directas mediante la expresión matemática: yf(x 1,x,, x n ) en donde f es na fnción de n variables independientes. La incertidmbre combinada de y viene dada por: C ( y) [ c ( x )] ( x ) en donde los c i se denominan coeficientes de sensibilidad y se definen como, i i i i f x i i f ci x i La expresión para calclar la incertidbre combinda en na medición indirecta se denomina ley de propagación de la incertidmbre y sólo es aplicable para combinar incertidmbres estándar. Se debe anotar qe esta expresión sólo es válida cando las variables consideradas como independientes, x i, no estén, en la práctica, correlacionadas; de no ser así se debe emplear otra expresión más compleja la cal se pede consltar en la GUM.

9 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 9 Incertidmbre expandida, U Corresponde al prodcto de na incertidmbre estándar combinada de medida y n factor nmérico mayor qe no (denominado factor de cobertra: salmente se representa por la letra k), Cando se pede atribir na distribción normal (gasiana) al mensrando y la incertidmbre típica asociada a la estimación de salida tiene la sficiente fiabilidad, debe tilizarse el factor de cobertra sal k. La incertidmbre expandida asociada corresponde a na probabilidad de cobertra de, aproximadamente, n 95%. Estas condiciones se cmplen en la mayoría de los casos. De no ser así se debe hacer n estdio más complejo qe involcra el análisis de los denominados grados de libertad y el factor t-stdent (para esto consltar el GUM). Resltado de la medida del mensrando y El resltado de la medida se reportará como, U k c ( y) y ± U Prespesto de incertidmbre Declaración de na incertidmbre de medida, de los componentes de esa incertidmbre, y de s cálclo y combinación NOTA El prespesto de incertidmbre debería inclir el modelo de medición, estimados de las incertidmbres de medición de las magnitdes en el modelo de medición, covarianzas, tipo de fnciones de densidad de probabilidad consideradas, grados de libertad, tipo de evalación de la incertidmbre y factor de cobertra. El prespesto de incertidmbre se sele presentar en forma de hoja de cálclo. A coninación se ilstran varios ejemplos. Ejemplo 1: Para medir la distancia entre dos pntos A y B se hacen 10 mediciones bajo condiciones de repetibilidad con na cinta métrica cya minima division está en mm y se obtvieron como resltados, en cm: 10,; 119,; 118,3;10,1;10,3;118,7;10,4;119,7;118,7;10,. Hacer el prespesto de incertidmbre y reportar la medida con n factor de cobertra de.

10 Página 10 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales Como la medida es directa el modelo es my simple (diríamos qe trivial): y l El valor de la medida y, distancia entre los pntos A y B, es el promedio de los resltados de las 10 mediciones: y 1,1958 m Se considerarán dos fentes de incertidmbre en la medida de esta longitd: la apreciación del instrmento de medida y la desviación estándar de la media de las medidas repetidas. La incertidmbre estándar asociada con la apreciación del instrmento es (se asme distribción rectanglar): 0,001 m 1 1 l 0, m La incertidmbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de la media (se asme distribción gassiana): σ l l 0, m Hay n sólo coeficiente de sensibilidad: dy c1 cl 1 dl La incertidmbre estándar combinada es: c [ c ] + [ c ] ( ) + ( ) 0, m l 1 l l l 1l l En la tabla 1 se ilstra el prespesto de incertidmbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resltado de la medición.

11 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 11 MEN- SURANDO S Longitd Medidas Xi Fentes de incertidmbre Tipos de distribción Incertidmbres Estándar (xi) Coeficientes de sensibildad Contribciones de cada fente de incertidmbre X1l 1,1958 m Apreciación de la cinta métrica Rectanglar 1l 0, m Repetibilidad Gassiana l 0, m c1cl1 cl 1l0, m cl l 0, m La incertidmbre combinada c es: c [(cl 1l) +(cl l) ] 1/ 0,005 m La medida de y con n factor de cobertra de se reportará como l±c: 1,196 m ± 0,005 m Tabla 1

12 Página 1 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales Ejemplo : Para obtener el periodo P de n péndlo simple se midió con n cronómetro digital qe marca hasta centésimas de segndo 10 veces el tiempo qe inivirtió en hacer 10 oscilaciones siendo los resltados en s:,15; 1,83; 1,9;,4;,09; 1,40; 1,79;,38;,1; 1,67. Hacer el prespesto de incertidmbre y reportar la medida con n factor de cobertra de. Aqí la medida es indirecta y el modelo es (el mensrando qe se mide indirectamente es yp): P t 10 El valor de la medida del tiempo para las 10 oscilaciones es el promedio: t 1,968 s La medida para el periodo es, P 1,968 s 10,196 8 s Se considerarán dos fentes de incertidmbre en la medida del tiempo en este experimento: la apreciación del instrmento de medida y la desviación estándar de la media de las medidas repetidas. La incertidmbre estándar asociada con la apreciación del instrmento es (se asme distribción rectanglar): 0,01 s 1 t 0, s 1 La incertidmbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de la media (se asme distribción gassiana): t σ t 0, s

13 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 13 Hay n sólo coeficiente de sensibilidad: c dp dt 1 ct 1 10 La incertidmbre estándar combinada es: c t 1 t t t 1t t [ c ] + [ c ] + 0, s En la tabla se ilstra el prespesto de incertidmbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resltado de la medición. Ejemplo 3: Para medir la gravedad g se empleó n péndlo simple. Si la medida de la longitd l de este péndlo corresponde a los datos en el ejemplo 1 y la medida de s periodo P corresponde a los datos del ejemplo, reportar el valor de la aceleración de la gravedad con n factor de cobertra de empleando el modelo de péndlo simple para peqeñas oscilaciones y hacer n prespesto de incertidmbre. Aqí la medida es indirecta y el modelo es (el mensrando qe se mide indirectamente es yp): P l π g g 4π l P La incertidmbre combinada para la medida de la aceleración de la garvedad, cg es: c + c cg l en donde cl y cp corresponden a las respectivas incertidmbres combinadas de la longitd y del periodo ya reportadas en los prespestos de incertidmbre de los ejemplos 1 y, es decir, cl P cp cl 0,005 m cp 0,01s

14 Página 14 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales MENSURAN- DOS Medidas Xi Fentes de incertidmbre Tipos de distribción Incertidmbres Estándar (xi) Coeficientes de sensibildad Contribciones de cada fente de incertidmbre Tiempo X1 t 1,968 s Apreciación del cronómetro Rectanglar 1t 0, s c1 ct 0,1 ct 1t 0, s Repetibilidad Gassiana t 0, s ct t 0, s La incertidmbre combinada c es: c [(ct 1t) +(ct t) ] 1/ 0,01 s La medida de PP con n factor de cobertra de se reportará como P±c:,0 s ± 0,0 s Tabla

15 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 15 y los coeficientes de sensibilidad c l y c P son, c l g l 4π P c P g 8π l 3 P P siendo l y P los valores reportados en los prespestos de incertidmbre de los ejemplos 1 y, es decir, y por lo tanto, l 1,196 m P,0 s c l 8, s c P -3 8, m s Calclando la incertidmbre combinada en la medida de la gravedad se obtiene, cg - - [ 8, ,005] + [ 8, ,01] m s 0, m s El valor calclado de la gravedad reemplazando los valosres de l y P en el modelo es, g 9, m s Por lo tanto el reporte del valor de g con n factor de cobertra de es, g - 9,8 m s ± 0, m s - El valor convencionalmente verdadero reportado en la cidad de Medellín (donde se realizó el experimento) es 9,78 m s - por lo qe el porcentaje de error es del 0,0 %. El prespesto de incertidmbre se ecnentra en la tabla 3. Se observa en el resltado qe anqe el error fe my bajo la incertidmbre relativa fe mcho más alta: para n 68% de confianza es de 0,9 % y para el 95% de confianza de 1,8 %. Si se analizan bien las medidas se observan nas desviaciones estándar altas comparadas con las apreciaciones de los instrmentos; estas se peden disminir sstancialmente siendo más cidadosos con las medidas.

16 Página 16 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales En el prespesto de incertidmbre además de las tablas 1 y se reporta la tabla 3: Mensrandos Medida Incertidmbre estándar Coeficiente de sensibilidad Longitd 1,196 m 0,005 m 8, s Periodo,0 s 0,01 s 8, m s 3 Gravedad La incertidmbre combinada: cg 0,09 m s Reporte de la medida de g con n factor de cobertra de : 9,8 m s ±0, m s Tabla 3 Ejemplo 4: Para determiner la masa m de na mestra se realizan cinco medidas en na balanza digital con apreciación de 0,01 g y se obtienen los sigientes resltados en g: 3 001,01; 3 001,00; 3 001,0; 3 001,0; 3 001,00. Adicionalmente se conoce de la hoja técnica de la balanza qe s EMP (Error Máximo Permisible) en el rango de medición entre 000 g y g es ± 0,03 g. Elaborar n prespesto de incertidmbre y reportar el valor de la medida con n factor de cobertra de. Nota: El EMP de n instrmento de medición es el valor extremo del error permitido por especificacioes, reglamentos, etc. Como la medida es directa el modelo es my simple (diríamos qe trivial): y m El valor de la medida y, masa de la metsra, es el promedio de los resltados de las 5 mediciones: y 3001,01 g Se considerarán tres fentes de incertidmbre en la medida de esta masa: la apreciación del istrmento de medida, la desviación estándar de las medidas repetidas y el EMP reportado en la hja técnica. La incertidmbre estándar asociada con la apreciación del instrmento es (se asme distribción rectanglar): 0,01 1 g 1 m 0,00 9 g

17 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 17 La incertidmbre estándar asociada con la repetibilidad en las medidas es la desviación estándar de la media (se asme distribción gassiana): m σ m 0,0045 g La incertidmbre asociada con el EMP (se asme distribción rectanglar): 0,06 g 1 3 m 0,0173g Hay n sólo coeficiente de sensibilidad: dy c1 c m 1 dm La incertidmbre estándar combinada es: c [ c ] + [ c ] + [ c ] ( ) + ( ) + ( ) 0,0181 g m 1 m m m m 3m 1m m 3m En la tabla 4 se ilstra el prespesto de incertidmbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resltado de la medición. Ejemplo 5: En el laboratorio se dispone de n Diodo Láser de 650 nm de longitd de onda λ (reportada por el fabricante) del cal se desconoce los detalles de s información metrológica. Mediante el experimento de difracción de Franhofer a través de na rendija rectanglar, se pretende verificar el valor de esta longitd de onda. Para medir las distancias se empleó na cinta métrica cya apreciación es 1 mm y la rendija rectanglar empleada es la referencia Pasco OS de niqel de ancho b0,040 mm cya tolerancia es ± 0,00 mm. Para na distancia de d80,0 cm de la rendija a la pantalla se repitió seis veces la medida de la distancia δ entre el máximo central y el primer mínimo en el patrón de difracción y se obtvieron los sigientes valores en cm:,6;,7;,5;,5;,5;,4. Hacer el prespesto de incertidmbre y reportar la medida con n factor de cobertra de. Aqí la medida es indirecta y el modelo es (el mensrando qe se mide indirectamente es yλ):

18 Página 18 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales MENSURAN- DOS Masa Medidas Xi Fentes de incertidmbre Tipos de distribción Incertidmbres Estándar (xi) Coeficientes de sensibildad Contribciones de cada fente de incertidmbre Apreciación de la balanza Rectanglar 1m 0,00 9 g cm 1m0,00 9 g X1m 3 001,01 g c1cm1 Repetibilidad Gassiana m 0,004 5 g cm m 0,004 5 g EMP Rectanglar 3m 0,0173 g cm 3m 0,0173 g La incertidmbre combinada c es: c [(cm 1m) +(cm m) +(cm 3m) ] 1/ 0,018 1 g La medida de y con n factor de cobertra de se reportará como m±c: 3 001,01 g ± 0,04 g Tabla 4

19 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 19 bδ λ d Las fentes de incertidmbre qe se considerarán son: en el valor de b la tolerancia reportada por el fabricante; en la medida de δ la apreciación de la cinta métrica y la desviación estándar de la media debido a medidas repetidas; en la medida de d la apreciación de la cinta métrica. Incertidmbre estándar debido a la tolerancia del ancho b de la rendija reportada por el fabricante (se spone distribción rectanglar): b 0,004mm 0, m 1 Incertidmbre estándar debido a la apreciación de la cinta métrica en la medida de δ (se spone distribción rectanglar): 1 mm 1 1 δ 0, m Incertidmbre estándar debido a las medidas repetidas de δ (se spone distribción gassiana: por lo tanto es igal a la desviación estándar de la media): Incertidmbre estándar debido a la apreciación de la cinta métrica en la medida de d (se spone distribción rectanglar): El valor promedio de δ es: El valor del mensrando λ es: d δ 0, m 1 mm 0, m 1 δ 0, m bδ 0,00004m 0,053333m λ 0, m d 0,80 m

20 Página 0 Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales Los coeficientes de sensibilidad son: c c c λ b δ d 0, ,800 1 cb λ δ b d 0, ,800 cδ 0, , λ bδ 0, ,0533 d d 3 cd ( 0,800) La incertidmbre estándar combinada de la medida de λ es: 0, c [ c ] + [ c ] + [ c ] + [ c ] 0, m b b δ 1δ δ δ d d En la tabla 5 se ilstra el prespesto de incertidmbre. En el mismo, en la última fila, se reporta el resltado de la medición.

21 Universidad Nacional de Colombia Facltad de Ciencias, Escela de Física, Sede Medellín Página 1 MEN- SURANDOS Ancho de la rendija, b Distancia entre máximo central y primer mínimo, δ Distancia de la rendija a la pantalla, d Medidas Xi Fentes de incertidmbre Tipos de distribció n Incertidmbres Estándar (xi) Coeficientes de sensibildad X1 b0,00004 m Tolerancia b O, m c1 cb 0, cbb 0, X δ0, m Apreciación de la cinta métrica 1δ O, m c cδ 0, cδ1δ 0, δ O, m cδδ 0, X3 d0,80 m Apreciación de la cinta métrica Contribciones de cada fente de incertidmbre Rectanglar Rectanglar Repetibilidad Gassiana Rectanglar d O, m c3 cd 0, cdd 0, La incertidmbre combinada c es: c [(cb b) +(cδ 1δ) +(cδ δ) +(cdd) ] 1/ 0, m La medida de y con n factor de cobertra de se reportará como λ±c: 633 nm ± 3 nm (*) Tabla 5: (*) En algnas sitaciones es conveniente reportar la incertidmbre con dos cifras significativas con el objeto de dar mayor claridad.

22 Página Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Natrales Maestría en Enseñnza de las Ciencias Exactas y Natrales Facltad de Ciencias Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín Escela de Física Correo: dfisica_med@nal.ed.co Profesor Diego Lis Aristizábal R Correo: daristiz@nal.ed.co