Prof. María de los Ángeles Hernández Cifre

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1 Fundamentos Matemáticos de la Biotecnología DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Prof. María de los Ángeles Hernández Cifre Parte 1: Cálculo diferencial e integral Práctica n o 2: Ecuaciones, límites y derivadas 1. Resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones 1.1. Ecuaciones simples y cálculo aproximado de una raíz Si queremos utilizar las opciones de wxmaxima, introducimos en primer lugar la ecuación y a continuación seleccionamos la opción adecuada del menú Ecuaciones. Ecuaciones > Resultado Se ejecuta el comando solve (eqn,x) para resolver la ecuación eqn en la incógnita x. Si eqn no es una igualdad, se supone que se quiere resolver la ecuación eqn=0. El argumento eqn puede ser una expresión racional y puede contener funciones trigonométricas, exponenciales, etc. (%i1) solve(x^2-a^2=0,x); (%o1) [x=-a,x=a] Si no hemos introducido ninguna ecuación, al seleccionar Resolver del menú Ecuaciones nos aparece la pantalla de la izquierda, donde wxmaxima nos solicita la Ecuación a resolver y el nombre de la Incógnita. Ecuaciones > Raíces reales de un polinomio Se ejecuta el comando realroots (eqn) y calcula aproximaciones numéricas racionales de las raíces reales de la ecuación polinómica eqn de una variable. (%i2) realroots(x^2-x-1), numer; (%o2) [x= ,x= ] Ecuaciones > Raíces de un polinomio Se ejecuta el comando allroots (eqn) y calcula aproximaciones numéricas de las raíces reales y complejas de la ecuación polinómica eqn de una variable. (%i3) allroots(x^2+x+1); (%o3) [x= *%i-0.5,x= *%i-0.5] Hay ocasiones en que Maxima no resuelve nuestra ecuación: (%i4) solve(sin(x)+cos(x)=1,x); (%o4) [sin(x)=1-cos(x)] 1

2 En estos casos, podemos calcular numéricamente una solución, dentro de un cierto intervalo, con la función find root. Al seleccionar la opción Calcular raíz del menú Ecuaciones nos aparece la pantalla de la izquierda, donde wxmaxima solicita la Ecuación que debe resolver, el nombre de la Variable, y los valores de la Cota inferior y Cota superior donde debe buscar la raíz. A continuación se ejecuta el comando find root (eqn,x, inf, sup) para resolver numéricamente la ecuación eqn. El comando find root puede ser utilizado directamente en consola con los argumentos adecuados. (%i5) find_root(sin(x)+cos(x)=1,x,0,1); (%o5) 0.0 (%i6) find_root(sin(x)+cos(x)=1,x,1,2); (%o6) Para encontrar un intervalo adecuado debemos utilizar el teorema de Bolzano: si f : [a,b] R es una función continua verificando que f (a) f (b) < 0 entonces existe c (a, b) tal que f (c) = 0. Actividad 2.1: Resuelva las siguientes ecuaciones: a) 6x 2 7x + 2 = 0. b) 30x 3 29x 2 + 3x + 2 = 0. c) 30x 4 + x 3 26x 2 + 5x + 2 = 0. d) 42x x 3 74x 2 + 4x + 8 = 0. Actividad 2.2: Calcule dos soluciones aproximadas de cada una de las siguientes ecuaciones: a) x 2 + 2x + 1 e x = 0. b) sen(e 2cosx ) = Sistemas de ecuaciones Se puede introducir el sistema de ecuaciones a través del menú o directamente en la consola de comandos. Si se hace a través del menú, hay dos opciones, según el tipo de ecuaciones: Ecuaciones > Resolver sistema lineal El programa nos solicita varios datos: el n o de ecuaciones, las distintas ecuaciones del sistema y las variables o incógnitas. A continuación Maxima ejecuta el comando linsolve ([eqn 1,...,eqn m ], [x 1,...,x n ]) que resuelve la lista de ecuaciones lineales simultáneas para la lista de variables. Las expresiones [eqn 1,...,eqn m ] deben ser polinomios lineales respecto de las variables [x 1,...,x n ]. 2

3 Si se introduce desde la consola, pueden almacenarse las ecuaciones en variables (lo que aporta claridad y facilidad de lectura): (%i7) e1:x+2*y+z=1$ e2:3*x-y+2*z=2$ e3:x+y-2*z=3$ linsolve([e1,e2,e3],[x,y,z]); (%o7) [x=5/4,y=1/4,z=-3/4] Ecuaciones > Resolver sistema algebraico Su utilización es similar a los sistemas de ecuaciones lineales, pero se utiliza cuando las ecuaciones no son lineales. En este caso Maxima ejecuta el comando algsys ([eqn 1,...,eqn m ], [x 1,...,x n ]) El comando algsys siempre trabaja con listas, es decir, ecuaciones e incógnitas deben estar entre corchetes. Cuando Maxima no puede encontrar la solución exacta, este comando busca la solución por métodos numéricos. Otra utilidad es que permite seleccionar sólo las raíces reales. Para ello la variable realonly debe valer true; su valor por defecto es false. Si desconocemos el tipo de ecuaciones, también se puede hacer a través de la consola con el comando solve ([eqn 1,...,eqn m ], [x 1,...,x n ]) donde las ecuaciones [eqn 1,...,eqn m ] pueden ser lineales o no en las variables [x 1,...,x n ]. En el caso en que las soluciones no sean únicas, y dependan de parámetros, éstos aparecen denotados como %r1, %r2, y así sucesivamente. Por ejemplo: (%i8) solve([x+y=1,2*x+2*y=2],[x,y]); solve: dependent equations eliminated: (2) (%o8) [[x=1-%r1, y=%r1]] Actividad 2.3: Resuelva los sistemas de ecuaciones del Ejercicio 1.4 (Hoja 2 del Capítulo 1). 2. Cálculo de límites Se puede realizar a través del menú Análisis > Calcular límite y nos aparece una pantalla donde nos pide que introduzcamos la Expresión de la función, la Variable y el Punto. Si el punto es ± lo podemos seleccionar en el botón Especial. También debemos seleccionar, en la opción Dirección, si es un límite ordinario ( ambos lados ) o un límite lateral ( izquierda o derecha ). También se puede calcular el límite en la consola del siguiente modo: limit ( f (x),x,x 0 ); limit ( f (x),x,x 0,minus); limit ( f (x),x,x 0,plus); 3

4 donde x 0 puede tomar cualquier valor, incluyendo + (lo que se indica con inf) o (lo que se indica con minf). El resultado que proporciona Maxima es el valor del límite, si existe, o una de las siguientes palabras clave: ind: indefinido (pero acotado). und: indefinido (acotado o no). infinity: infinito. (%i9) limit(sin(x)/x,x,0); (%o9) 1 (%i10) limit(sin(x),x,inf); (%o10) ind (%i11) limit(abs(x)/x,x,0); (%o11) und Cuando el resultado sea ind o und, es conveniente calcular los correspondientes límites laterales: (%i12) limit(abs(x)/x,x,0,plus); (%o12) 1 (%i13) limit(abs(x)/x,x,0,minus); (%o13) -1 Actividad 2.4: Calcule los siguientes límites, si existen: a) lím x 0 x tgx x senx x 2 b) lím x 0 1 cosx c) lím x 1 x 3 1 lnx 2 x + 4 d) lím x 0 x x e) lím x 0 sen(3x) 3. Cálculo de derivadas Se puede realizar a través del menú Análisis > Diferenciar y nos aparece una pantalla donde nos pide que introduzcamos la Expresión de la función, la Incógnita o variable de derivación, y el n o de Veces que se quiere derivar. También se puede calcular la derivada en la consola del siguiente modo: diff (función, variable); diff (función, variable, n o veces); (%i14) diff(sqrt(x),x); (%o14) 1/(2*sqrt(x)) (%i15) y:x^3*exp(x)$ diff(y,x,3); (%o15) x^3*%e^x+9*x^2*%e^x+18*x*%e^x+6*%e^x 4

5 Cómo podemos utilizar la función derivada para calcular su valor en algún punto? Una posibilidad es guardar la derivada en una nueva función: (%i16) f(x):=sin(x)+cos(x)$ df(x):=diff(f(x),x,2)$ Si ahora calculamos, por ejemplo, df(2), obtenemos un error. Para evitarlo, debemos utilizar el comando define: (%i17) f(x):=sin(x)+cos(x)$ define(df(x),diff(f(x),x,2))$ df(2),numer; (%o17) Actividad 2.5: Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 1) f (x) = 4 4 x 2) g(x) = arcsen(1 x 2 ) 3) h(x) = 3/ x 3 4) i(x) = e x2 2x+1 5) j(x) = log 2x x 6) k(x) = x 3 e x2 Actividad 2.6: Con las funciones de la actividad anterior, calcule f (1), g (0) y h (2). Actividad 2.7: Encuentre la recta tangente a la curva f (x) = 3 x 2 en el punto de abscisa x = 1. Actividad 2.8: Estudie la monotonía de la función f (x) = (2x + 1)2 x El polinomio de Taylor El cálculo del polinomio de Taylor con Maxima es muy sencillo. Se puede realizar a través del menú Análisis > Calcular serie, y nos aparece una pantalla donde nos pide que introduzcamos la Expresión de la función, la Variable, el Punto y la profundidad (es decir, el orden que queremos para el polinomio de Taylor). El polinomio de Taylor también se puede calcular en la consola del siguiente modo: taylor ( f (x),x,x 0,n); (%i18) taylor(log(x), x, 1, 4); (%o18) /T/ x-1-(x-1)^2/2+(x-1)^3/3-(x-1)^4/4+... Actividad 2.9: Calcule los polinomios de Taylor que se indican a continuación: a) f (x) = 1 senx en x = 1 con grado n = 5, b) g(x) = en x = 0 con grado n = 6, 1 + x2 x + 1 e c) h(x) = x 1 + x 3 en x = 1 con grado n = 4. x 5

6 5. Máximos y mínimos de una función Si aplicamos el algoritmo teórico deberemos seguir los siguientes pasos: 1. Introducir la función f (x). 2. Calcular su derivada f (x). 3. Resolver la ecuación f (x) = 0. Sus soluciones son los puntos críticos. 4. Calcular la segunda derivada f (x). 5. Evaluar la segunda derivada en los puntos críticos. Si es positiva tenemos un mínimo, y si es negativa un máximo. Actividad 2.10: Calcule los extremos de las siguientes funciones, desarrollando en Maxima el algoritmo teórico: a) f (x) = x 2, b) g(x) = x2 + 6x 1, c) h(x) = sen(2x). A continuación, Maxima ejecuta el comando lbfgs: lbfgs ( f (x),[x],[x 0 ],ε,[i 1,i 2 ]); Maxima dispone de un método numérico para encontrar un mínimo a partir de un punto de partida, con un margen de error predeterminado. Para ello debemos seleccionar la opción del menú Análisis>Calcular mínimo y nos aparece una pantalla solicitándonos los siguientes datos: la Expresión de la función f (x), la Variable x, el Estimador inicial (el punto de partida) x 0, y el valor de Epsilon ε (el error aceptado). donde [i 1,i 2 ] son dos valores que controlan los mensajes de progreso que envía la función lbfgs (consúltese el manual de Maxima para ampliar la información). El comando lbfgs también puede utilizarse para calcular el máximo de una función teniendo en cuenta que x 0 es un máximo de f (x) si y sólo si x 0 es un mínimo de la función opuesta f (x): (%i19) lbfgs(-1/(1+x^2), [x], [1.0], 1e-4, [-1,0]); (%o19) [x=0.0] La función 1 alcanza un máximo en el punto x = x Calculando extremos con Maxima Si trabajamos con Maxima no es usual seguir el algoritmo teórico, ya que disponemos de herramientas sencillas (como la representación gráfica) que nos ayudarán en esta tarea. Para ilustrar el método, calculemos los extremos del siguiente polinomio: p(x) = x 5 + x 4 11x 3 9x x

7 Sabemos que como máximo habrá 5 raíces reales, y por tanto 4 extremos locales. Lo primero es determinar el intervalo que las contiene a todas; para ello podemos hacer varias representaciones gráficas, comenzando por un intervalo grande y haciéndolo cada vez más pequeño en función del resultado obtenido: [ 20, 20] [ 10, 10] [ 3, 3] Como vemos, en los intervalos [ 20,20] y [ 10,10] no se percibe bien el comportamiento del polinomio, pero al reducir al intervalo [ 3,3] ya se observa perfectamente la distribución de los extremos: un máximo relativo en [ 3, 2]. un mínimo relativo en [ 2, 1]. un máximo relativo en [0,1]. un mínimo relativo en [2,3]. Ahora debemos calcular exactamente dichos valores, que serán los ceros de la primera derivada p (x) que hay en los correspondientes intervalos: (%i20) define(dp(x),diff(p(x),x)) (%i20) solve(dp(x)); Lamentablemente, las soluciones proporcionadas por Maxima son poco útiles; el camino correcto pasa por calcular numéricamente las raíces con el comando find root: (%i21) extremos:[find_root(dp(x),x,-3,-2),find_root(dp(x),x,-2,-1), find_root(dp(x),x,0,1),find_root(dp(x),x,2,3)]; (%o21) [ , , , ] Por tanto, el polinomio p(x) tiene: dos máximos relativos, en los puntos de abscisa 2, y 0, dos mínimos relativos en los puntos de abscisa 1, y 2, Actividad 2.11: Calcule los extremos relativos de la siguiente función: f (x) = x 2 10x x 2 100x Indicación: Utilice el criterio de la segunda derivada para clasificar correctamente los extremos. 7