PREDICCION DE SERIES DE VENTAS: UN ANALISIS DE COINTEGRACION CON EL PIB

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1 PREDICCION Revista ABANTE, DE Vol. SERIES 1, Nº DE 1, VENTAS pp (abril 1998) 89 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS: UN ANALISIS DE COINTEGRACION CON EL PIB PABLO MARSHALL* ABSTRACT This study considers different methodologies for times series prediction of Sales. Given the specification of a bivariate autoregressive time series model for Sales and GDP, the paper derives classical models of prediction, such as a regression model, a regression model with error correction, a transfer function, and an ARIMA model. The study discusses the relevance of these models when the Sales series are cointegrated with GDP and when they are not. Results for 20 quarterly Sales time series between 1983 y 1996, show that GDP does not significantly explain short-term variations in Sales. The long-term variations in sales are completely explained by GDP in 6 out of the 20 series. The best results for short-term out-of-sample predictions are obtained with the ARIMA model. For long-term predictions, if the Sales time series are cointegrated with the GDP, the best is the regression model. Otherwise, the ARIMA model gives better results. The results of this study are a contribution to the selection of the best methodologies for short- and long-term time series prediction of Sales. RESUMEN En este trabajo se analizan distintas metodologías para la predicción de series de ventas. A partir de la especificación de un modelo autorregresivo bivariado para una serie de ventas y la serie del PIB, se derivan modelos clásicos en ejercicios de predicción tales como un modelo de regresión, un modelo de regresión con corrección de errores, un modelo de función de transferencia y un modelo ARIMA. Se discute la relevancia de estos modelos para series de ventas cointegradas (que poseen una relación estable de niveles) y no cointegradas con el PIB. Los resultados de la estimación de los distintos modelos para 20 series de ventas trimestrales, con observaciones entre 1983 y 1996, muestran que la serie del PIB no explica de manera significativa los movimientos * Escuela de Administración, Pontificia Universidad Católica de Chile. Casilla 76, Correo 17. Santiago-Chile.

2 90 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 de corto plazo en las series de ventas, mientras que los movimientos de largo plazo en las ventas son completamente explicados por la serie del PIB en 6 de las 20 series. En un ejercicio de predicción con los distintos modelos se muestra que las mejores predicciones en el corto plazo se obtienen con el modelo ARIMA. En el largo plazo, el modelo con la mejor predicción depende de la cointegración entre la serie de ventas y el PIB. Para series cointegradas, el modelo con las mejores predicciones es un modelo de regresión que relaciona la tendencia de la serie de ventas con el PIB. Para series no cointegradas, el modelo con las mejores predicciones es el modelo ARIMA debido a que la serie del PIB no aporta, de una manera significativa, a la explicación de los movimientos de corto plazo de las series de ventas. Los resultados del estudio constituyen un aporte para la selección de la mejor metodología en ejercicios de predicción de series de ventas y muestran la relevancia del PIB en las predicciones de corto y largo plazo. La predicción de las ventas futuras en una empresa tiene gran importancia en la evaluación de nuevos proyectos de inversión, en la planificación de estrategias de marketing, en el control eficiente de los canales de distribución y en el manejo de inventarios. En muchas empresas en las cuales se hacen predicciones de ventas se utilizan criterios o métodos subjetivos basados en opiniones de expertos, o en encuestas a los vendedores o a los clientes. Son relativamente pocos los casos de empresas en las cuales se aplican métodos estadísticos o econométricos para hacer predicciones. La literatura especializada en el tema de predicción de variables económicas contiene numerosos trabajos orientados a comparar métodos de predicción. Uno de los más significativos es el de Granger y Newbold (1976), en el cual se comparan distintos métodos basados en modelos de series de tiempo y se concluye que cuando las series contienen más de 50 observaciones, la metodología ARIMA presenta los mejores resultados. Otros estudios, especialmente en lo que se refiere a predicciones de corto plazo, son los de Wheelwright y Maridakis (1985), Nerlove, Grether y Carvalho (1979), Harvey y Todd (1983) y Fuenzalida (1996). El desarrollo de los conceptos de cointegración de variables económicas, que se refiere a la existencia de tendencias comunes entre las variables, de manera que los movimientos de largo plazo entre éstas están completamente relacionados, ha renovado el interés en el tema de predicción desde una nueva perspectiva. En este contexto se enmarcan los trabajos de Engle y Yoo (1991) y Engle, Granger y Hallman (1991). En el estudio de Engle y Yoo (1991) se muestra que, en series cointegradas, las predicciones de modelos que imponen correctamente la restricción de cointegración producen mejores predicciones. Sin embargo, estas mejorías en las predicciones no se observan en el corto plazo, sino después de aproximadamente 6 períodos en el horizonte de predicción. El trabajo de Engle, Granger

3 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 91 y Hallman (1991) considera de una manera conjunta la predicción de corto y largo plazo. El objetivo fundamental de este trabajo es comparar distintas metodologías para la predicción de series trimestrales de ventas en empresas del sector productivo, a la luz de los conceptos de cointegración desarrollados en la literatura econométrica de los últimos años. Otros objetivos del trabajo, más específicos, son estudiar el nivel de los errores que se podrían producir al considerar predicciones de series agregadas de ventas basadas en modelos como los mencionados, estimar el crecimiento en el tamaño de los errores de predicción al aumentar el horizonte de predicción y evaluar las ventajas marginales de utilizar modelos más sofisticados. El trabajo está basado en series trimestrales de ventas reales de cada una de 20 sociedades anónimas chilenas. Las empresas seleccionadas corresponden a empresas de distintos sectores productivos y para las cuales se dispone de observaciones en un período de tiempo relativamente largo. Las observaciones de las series comprenden el período desde el primer trimestre de 1982 hasta el segundo trimestre de El subperíodo comprendido entre el tercer trimestre de 1993 y el segundo trimestre de 1996 se utiliza para evaluar los distintos métodos de predicción propuestos fuera de la muestra. Los principales resultados del estudio muestran que en 6 de las 20 empresas las series de ventas están cointegradas con la serie del PIB, de manera que el PIB explica completamente las tendencias en las ventas. En las otras series de ventas el aporte del PIB a la tendencia es sólo parcial. En relación con el aporte de la serie del PIB a la explicación de los movimientos de corto plazo en las series de ventas, los resultados de este estudio muestran que éste es prácticamente nulo en la mayoría de los casos. Al comparar las distintas metodologías de predicción propuestas, los resultados de este estudio muestran que, en predicciones con un horizonte de hasta 6 trimestres, las mejores predicciones están dadas por la metodología ARIMA, mientras que para series cointegradas con el PIB, las mejores predicciones de largo plazo son las que hacen uso de esta relación. El Cuadro 1 muestra las series de ventas consideradas en el estudio, el sector de actividad económica al cual pertenecen y las transformaciones aplicadas para poder estimar los modelos que se proponen en las secciones siguientes. Todas las series fueron consideradas en logaritmo, después de realizar un análisis de la transformación apropiada a cada una según la metodología propuesta por Guerrero (1993). A cinco de las veinte series se les aplicó, además de la transformación logarítmica, una transformación por observaciones inusuales. Esta transformación consistió en reemplazar observaciones inusuales, que en el ajuste de un modelo ARIMA univariado reportaron residuos estandarizados superiores a 4 en valor absoluto, por los valores ajustados de los modelos correspondientes. En la Sección I de este trabajo se presentan distintas metodologías para la predicción de series de ventas. A partir de la especificación de un modelo autorregresivo bivariado para una serie de ventas y la serie del PIB se derivan modelos clásicos en ejercicios estadísticos de predicción, tales como un modelo

4 92 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 CUADRO 1 SERIES ORIGINALES, SECTOR DE ACTIVIDAD ECONOMICA Y TRANSFORMACIONES Empresas en la muestra, sector de actividad económica al cual pertenecen y transformación de Guerrero (1993) para estabilizar la varianza de la serie. En las empresas que se indica se reemplazaron valores inusuales o outliers por las predicciones de modelos ARIMA. Empresa Sector Transformación Carozzi Alimenticias log Cervezas Bebidas y Licores log Inforsa Papel y Celulosa log CCT Manufacturas Diversas log Melón Construcción log Maderas Construcción log Masisa Construcción log Pizarreño Construcción log Lirquén Construcción log y outliers Elecmetal Metalmecánicas y Art. Eléctricos log y outliers CTI Metalmecánicas y Art. Eléctricos log y outliers CAP Metalúrgicas Básicas log y outliers Sanitas Productos Químicos y Deriv. del Petróleo log Sintex Productos Químicos y Deriv. del Petróleo log Carolina Vitivinícolas log Copec Comerciales y Distribuidoras log Agricultor Comerciales y Distribuidoras log y outliers Inmurbana Inmobiliarias log Minera Inversiones log Hornos Turismo y Hoteles log de regresión clásica, un modelo de regresión clásica con corrección de errores por la autocorrelación de los residuos, un modelo de función de transferencia que relaciona las variaciones en las ventas con las variaciones en el PIB y un modelo autorregresivo integrado de medias móviles ARIMA univariado. Se discute la relevancia de estos modelos para la predicción de series de ventas cointegradas y no cointegradas con la serie del PIB. En la Sección II del trabajo se estiman los distintos modelos propuestos y se hace un análisis de cointegración entre las series de ventas y la serie del PIB. De este análisis se desprende que 6 de las 20 series de ventas están cointegradas con las serie del PIB. Esto quiere decir que la tendencia de la serie de ventas evoluciona conjuntamente con la tendencia de la serie del PIB. En las series no cointegradas, la tendencia en las ventas no está determinada exclusivamente por la serie del PIB. En la Sección III se efectúa un ejercicio de predicción fuera de muestra con los distintos modelos. Para cada modelo estimado se hacen 15 predicciones fuera de la muestra, con horizontes de predicción que varían entre 1 y 12 trimestres. Los resultados indican que las mejores predicciones en horizontes de predicción de hasta 6 trimestres se obtienen con el modelo ARIMA, mientras que en el largo plazo el modelo con las mejores predicciones depende de la cointegración entre

5 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 93 la serie de ventas y la serie del PIB. Para series de ventas cointegradas con el PIB, el modelo con las mejores predicciones es un modelo de regresión que relaciona la tendencia de la serie de ventas con el PIB. Para series no cointegradas, el modelo con las mejores predicciones es el modelo ARIMA debido a que la serie del PIB no aporta, de una manera significativa, en la predicción de corto plazo de las series de ventas. En la Sección IV se presentan las conclusiones del estudio. I. Modelos Alternativos de Predicción: Una Visión Unificada En esta sección se proponen modelos alternativos para predecir series de ventas en una visión unificada. A partir del supuesto de cointegración entre las series de ventas y la serie de PIB, en un modelo que podría incluir eventualmente otras variables explicativas, se considera la especificación de un vector autorregresivo de orden uno para una serie de ventas y la serie del PIB. Según se muestra en el desarrollo de esta sección, varios de los modelos tradicionalmente considerados en ejercicios de predicción son casos particulares o que se pueden derivar del modelo autorregresivo señalado. Entre estos modelos se pueden mencionar el modelo de regresión clásica, en el cual la serie de ventas de interés se relaciona linealmente con el PIB y, eventualmente, con otras variables relevantes; el modelo de regresión clásica con corrección de errores, en la cual los residuos del modelo anterior son relacionados con valores pasados de estos residuos y de las variaciones en el PIB y en otras variables; el modelo autorregresivo integrado de medias móviles (ARIMA) univariado, en el cual las observaciones son explicadas en base a su propio pasado y el modelo de función de transferencia, en el cual se generaliza el modelo ARIMA para incluir como variables explicativas no sólo el pasado de la serie de ventas, sino también el pasado del PIB y de otras variables. Otros modelos que se usan habitualmente en ejercicios de predicción de ventas, como los modelos de suavizamiento exponencial y los modelos univariados puramente autorregresivos, son casos particulares de los considerados aquí. Sea {y 1t, t=1,, T} la serie de PIB y sea {y 2t, t=1,, T} una serie de ventas. Supongamos por el momento que las dos series son cointegradas y que su comportamiento, para efectos de simplificar la exposición y sin pérdida de generalidad, se puede representar por un modelo autorregresivo de orden uno, AR(1), de la forma ( 1 φ L)( 1 L) y = ε 11 1t 1t ( 1 φ Ly ) = φ Ly + ε 22 2t 21 1t 2t (1) Donde L es el operador de rezago usual definido como Lx t = x t 1, para cualquier secuencia de valores {X t, t=1,, T}, φ 11, φ 21 y φ 22 son parámetros o coeficientes que satisfacen las restricciones.

6 94 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 0 < φ 11 <1, 0 < φ 22 <1, y los residuos o errores aleatorios ε lt y ε 2t tienen media cero, varianzas constantes en el tiempo y no presentan correlación temporal. Los residuos ε lt a ε 2t podrían presentar correlación contemporánea, de manera de capturar una eventual correlación contemporánea entre las series observadas. El modelo (1) supone una relación de causalidad unidireccional de y 1t a y 2t. Esto es, de la serie del PIB a la serie de ventas. La primera de estas ecuaciones corresponde a un modelo para la serie del PIB en el cual, a falta de otras variables relevantes en el análisis, esta serie se determina en base a su propio pasado. El factor (1 L) en el lado izquierdo de la ecuación corresponde a una raíz unitaria en la serie del PIB que captura la tendencia de la serie a partir de su pasado. Este factor, aplicado a la serie de ventas, representa la tasa de crecimiento de la serie. El factor (1 φ 11 L), por su parte, representa a un efecto transitorio que especifica la forma como la serie del PIB se ajusta a su tendencia histórica a partir de desviaciones generadas por el residuo aleatorio ε 1t. La segunda ecuación en el sistema (1) explica el comportamiento de la serie de ventas en términos de la serie del PIB y del residuo ε 2t. El hecho de que ésta sea una ecuación que relacione las dos variables en términos de los niveles y no en términos de las variaciones, a pesar de que las series tienen tendencias, implica que las series están cointegradas. Desde otro punto de vista, las tendencias de las series están estrechamente relacionadas, de manera que la tendencia de la serie de ventas se explica completamente por la tendencia de la serie del PIB. La especificación (1) puede extenderse a un modelo autorregresivo de mayor orden, a un modelo con más variables endógenas y a un modelo con algunas componentes determinísticas como tendencias, efectos estacionales y efectos de días hábiles. La segunda ecuación del sistema (1) se puede escribir en la forma de un modelo de corrección de error al aplicar diferencias y arreglar términos. Esto es, Donde ( 1 Ly ) = ( φ 1)( y βy ) + ε (2) 2t 22 2t 1 lt 1 2t φ β = 21 1 φ 22 es el coeficiente de cointegración que determina la relación de largo plazo entre las series. Para mayores detalles sobre la forma de corrección de error de un modelo con variables cointegradas, ver Engle y Granger (1987) y Watson (1994). La ecuación (2) muestra que las variaciones de la serie de ventas dependen de la discrepancia entre los niveles de las ventas y su tendencia, y de valores rezagados en las diferencias de la serie del PIB. Una formulación alternativa, aunque equivalente, a la ecuación (2) es desarrollada en Watson (1994) con el nombre de representación de tendencias comunes. Esta representación es particularmente útil para hacer predicciones, y por tanto en el contexto de este estudio, y tiene la forma:

7 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 95 ( 1 φ L)( y βy ) = β( 1 L) y + ε 22 2t 1t 1t 2t (3) En esta ecuación se muestra que las desviaciones de la serie de ventas respecto de su tendencia de largo plazo, y β y, 2t 1t se explican en términos de su propio pasado y en términos de las diferencias pasadas de la serie del PIB. A partir del modelo en la forma (3) se pueden desprender tres procedimientos de predicción alternativos que coinciden con procedimientos clásicos en ejercicios de predicción. En primer lugar, considerando sólo la tendencia de largo plazo en la determinación de la serie de ventas, al no tomar en cuenta efectos transitorios representados por variables rezagadas en la forma de diferencias, se tiene el modelo y = β y + u (4) 2t 1t t Donde u t captura el residuo ε 2t y las variables diferenciadas y rezagadas en (3). Se puede mostrar que, a pesar de que el residuo u t no satisface los supuestos usuales de un modelo de regresión clásica, el estimador de mínimos cuadrados en (4) es consistente en el sentido que, para muestras grandes, este estimador converge al valor verdadero de β. Este resultado fue demostrado por Stock (1987) en el contexto de series cointegradas. La ecuación (4) representa un modelo de regresión clásica para predecir una serie de ventas mediante la serie del PIB y, eventualmente, otras variables determinísticas como una tendencia lineal, las variables mudas para los efectos estacionales y la variable de días hábiles. A este modelo lo llamamos modelo clásico de regresión. Ahora, los residuos de (4) están correlacionados debido a que el modelo de regresión sólo estima la relación de largo plazo entre las series. Así, debiera esperarse que si las series son cointegradas (4) entreguen buenas predicciones para la tendencia en las ventas, pero no necesariamente para la componente transitoria que acerca las observaciones a este nivel de tendencia. Si denominamos por u t a los residuos estimados de (4), la representación (3) y el procedimiento de estimación de dos etapas propuesto por Engle y Granger (1987) sugieren, para la componente transitoria en la serie de ventas, un modelo de la forma ( 1 φ Lu ) = β( 1 Ly ) + v 22 t 1t t (5) En esta especificación, los residuos del modelo de regresión dependen de su propio pasado y de las diferencias en la serie del PIB. Las ecuaciones (4) y (5) representan el segundo modelo utilizado en el ejercicio de predicciones. Este modelo es denominado modelo de corrección de error. Un modelo de predicción alternativo que se usa habitualmente en aplicacio-

8 96 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 nes es el llamado modelo de función de transferencia. En esta clase de modelos, las series de ventas y del PIB son relacionadas después de diferenciar cada una de las series, de manera de hacerlas estacionarias. Esto difiere de los modelos anteriores debido a que las series se hacen estacionarias antes de estudiar una relación entre ellas, mientras que en las especificaciones (1) y (2) las relaciones entre las series se establece en los niveles. Esta diferencia en los dos tipos de modelos es importante, por cuanto en el primer tipo de modelos se establece una relación entre las tendencias, mientras que en los modelos de función de transferencia las tendencias son estimadas sólo en función del pasado de la serie de ventas. El modelo de función de transferencia corresponde exactamente a la expresión (2) si se omite la componente de corrección de error (y 2t 1 βy 1t 1 ). Así, el modelo de función de transferencia es un modelo incorrectamente especificado y tiene la forma de la ecuación (2), pero sin la componente de corrección de error. Para mayores detalles respecto del modelo de función de transferencia, ver Box y Jenkins (1976). Finalmente, el clásico modelo autorregresivo integrado de medias móviles ARIMA univariado, en el cual las ventas se explican sólo en base a su propio pasado, se puede obtener a partir de las especificaciones (1) y según se muestra en el trabajo clásico de Zellner y Palm (1974). Reemplazando la primera ecuación de (1) en la segunda, ( 1 φ L)( 1 φ L)( 1 L) y = φ Lε + ( 1 L)( 1 φ L) ε t 21 1t 22 2t (6) lo cual corresponde a un modelo ARIMA, por cuanto la expresión al lado derecho de esta ecuación representa un modelo de medias móviles. Así, el modelo (6) corresponde al modelo ARIMA en nuestro ejercicio de predicción. Los desarrollos anteriores suponen que la serie de ventas es cointegrada con la serie del PIB. Si éste no es el caso, la segunda ecuación en (1) debe reemplazarse por la especificación ( 1 φ L)( 1 L) y = φ L( 1 L) y + ε 22 2t 21 1t 2t debido a que las diferencias de las series son estacionarias y se relacionan de una manera estable en el largo plazo. Los modelos de corrección de error y el modelo de regresión clásica, que captura la relación de largo plazo entre la serie de ventas y la serie del PIB, están incorrectamente especificados cuando las series no están cointegradas, mientras que el modelo de función de transferencia está ahora correctamente especificado. El modelo ARIMA derivado en (6) sigue siendo válido, aunque su forma estructural podría ser diferente. Esto debido a que cualquier serie de ventas y 2t, derivada de un proceso autorregresivo bivariado, tiene una representación ARIMA. En resumen, cuando la serie de ventas está cointegrada con la serie del PIB, un modelo de regresión clásica estima correctamente la tendencia de largo plazo en la serie de ventas y un modelo dinámico sobre los residuos captura la compo-

9 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 97 nente transitoria. El modelo de función de transferencia está incorrectamente especificado, por cuanto no establece la relación entre las variables en términos de los niveles sino en términos de las series diferenciadas. Finalmente, y de acuerdo con un resultado clásico de Zellner y Palm (1974), un modelo ARIMA univariado se desprende de las especificaciones anteriores y se puede usar para hacer predicciones. Si las series no son cointegradas, el modelo de regresión clásica y el modelo de corrección de error están incorrectamente especificados. En cambio el modelo de función de transferencia está correctamente especificado. El modelo ARIMA univariado también se desprende de las especificaciones en este caso, por cuanto tiene validez independientemente de si las series consideradas en el análisis están cointegradas o no. II. Estimación de Modelos Los modelos presentados en la sección anterior fueron estimados para las 20 series trimestrales de ventas reportadas en el Cuadro 1 y para el período comprendido entre el primer trimestre de 1983 y el segundo de Antes de estimar los distintos modelos, un análisis de cointegración permitió distinguir las series de ventas que estaban cointegradas con la serie del PIB de las series que no estaban cointegradas. El Cuadro 2 presenta distintos test de hipótesis para el análisis de cointegración de cada una de las series de ventas. En la primera parte de este cuadro se presenta un test de raíz unitaria, que es un requisito previo para el análisis de cointegración y que consiste en un test de la hipótesis que establece que la serie de ventas es estacionaria, lo cual significa que tiene un comportamiento estable y no explosivo a través del tiempo. El test realizado corresponde al test de Dickey y Fuller (1979) en su versión ampliada y los valores críticos fueron obtenidos de Mackinnon (1991). La diferencia entre los dos es que el test con constante, en la primera columna, supone que no existe una tendencia lineal determinística, mientras que el test con tendencia, en la segunda columna, supone que sí existe esta tendencia. La hipótesis nula de que la serie tiene una raíz unitaria es aceptada con un nivel de significancia del 5% en todas las series si la tendencia determinística es una constante y en todos los casos, con excepción de las series Carozzi, Melón y Copec, si la tendencia determinística es lineal. Estos test de hipótesis aplicados al PIB entregaron estadígrafos iguales 0.16 y a Así, con un nivel de significancia del 1%, el PIB también se considera como una serie con raíz unitaria. En la tercera y en la cuarta columna del Cuadro 2 se muestran los test de cointegración de Engle y Granger (1987). La hipótesis nula de cointegración se acepta en 6 de las 20 series: Masisa, Pizarreño, CTI, Sanitas, Sintex e Inmurbana. Los estadígrafos de cointegración también son grandes en valor absoluto en algunas series, para las cuales se tenían ciertas dudas de la presencia de una raíz unitaria, según los test en las dos primeras columnas. Estas series no fueron consideradas como cointegradas con el PIB.

10 98 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 CUADRO 2 TEST DE RAIZ UNITARIA Y TEST DE COINTEGRACION CON PIB Test de raíz unitaria de Dickey y Fuller (1979) ampliado con constante y con tendencia lineal y test de cointegración de Engle y Granger (1987) con la variable PIB con constante y con tendencia lineal. Las variables son ajustadas por efectos estacionales determinísticos. Al final del cuadro se presentan los valores críticos asintóticos de los test de acuerdo con Mackinon (1991). Valores absolutos pequeños de los estadígrafos aceptan las hipótesis nula de raíz unitaria y no cointegración. Raíz Unitaria Cointegración Empresa Constante Tendencia Constante Tendencia Carozzi Cervezas Inforsa CCT Melón Maderas Masisa Pizarreño Lirquén Elecmetal CTI CAP Sanitas Sintex Carolina Copec Agricultor Inmurbana Minera Hornos % % % Los modelos de predicción que se desarrollaron en la Sección I, considerados en el proceso de estimación, corresponden a las ecuaciones (4) para el modelo de regresión clásica, (5) para el modelo de corrección de errores, (2) sin el factor de corrección de error para el modelo función de transferencia y (6) para el modelo ARIMA. Las estimaciones no corresponden exactamente a los modelos de la sección anterior, por cuanto típicamente contenían un mayor número de rezagos en las especificaciones y contenían componentes determinísticas. Los rezagos 2, 4 y 5 fueron incluidos en la especificación de los modelos para la mayoría de las series, mientras que las variables determinísticas consideradas en las estimaciones co-

11 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 99 rresponden a variables mudas para los efectos estacionales, a la variable tiempo para representar una tendencia determinística y a la variable número de días hábiles. Las formas específicas de los modelos considerados son las siguientes. Para el modelo de regresión clásica, se considera: 4 y2t = mt + β iy1t i + ut i= 0 donde m t representa a una constante, una tendencia lineal y a variables mudas para capturar los efectos estacionales y β i, i=0,, 4 son coeficientes fijos. La componente u t representa al residuo. En el modelo de corrección de errores, la especificación considerada es 4 ( 1 φl)( 1 ΦL ) u = β ( 1 L) y + v t 4 i= 0 i 1t i t Donde φ, Φ, β i, i=0,, 4 son coeficientes y ν t es el residuo. Por su parte, el modelo de función de transferencia tiene la forma 4 ( 1 φl)( 1 ΦL)( 1 Ly ) = β ( 1 Ly ) + ε 2t 4 i= 0 i 1t i t En esta ecuación, m t representa a una constante y a los efectos estacionales, φ, Φ, β i, i=0,, 4 son coeficientes y ε t es el residuo. Finalmente, la especificación del modelo ARIMA coincide con esta última ecuación si se impone la restricción que β i =0, i=0,, 4. Los modelos también fueron estimados con las series de ventas diferenciadas estacionalmente. Esto es, en variaciones de un trimestre respecto del mismo trimestre del año anterior. Sin embargo, la especificación de variables mudas en las series y sin diferencias estacionales reportó mejores resultados. El Cuadro 3 muestra, para cada una de las series de ventas y cada uno de los modelos estimados, los estadígrafos R2, para el aporte total del modelo en la explicación de la variable dependiente, y el estadígrafo R2(1) para el aporte marginal de la variable PIB. Esto quiere decir que el estadígrafo R2(1) mide la reducción en la suma de cuadrados del modelo al incluir la variable PIB. También se reportan en el Cuadro 3 los valores p, para la significancia estadística del modelo completo, y los valores p(1) para la significancia marginal del aporte de la variable PIB. Valores p menores al nivel de significancia, usualmente 5%, implican rechazar la hipótesis nula de que las variables correspondientes no tienen un aporte significativo. Los valores p y los estadígrafos R2 en el modelo de regresión deben ser considerados con precaución, por cuanto los supuestos usuales sobre los cuales se calculan estos indicadores no se cumplen cuando las series no son cointegradas.

12 100 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 CUADRO 3 ESTADISTICAS DE LOS MODELOS AJUSTADOS Estadígrafo R2 para el modelo de regresión general y estadígrafo R2 (1) para el aporte marginal de la variable PIB y valores p y p 1 para la significancia estadística de estos aportes. Estadígrafo R2 para el modelo de función de transferencia y estadígrafo R2 (1) para el aporte marginal de la variable PIB y valores p para los test de hipótesis correspondientes. Estadígrafo R2 para el aporte marginal de la dinámica en el modelo de corrección de error y valores p para la significancia estadística. Las series cointegradas con el PIB son marcadas con un (*) Regresión Función de transferencia Corrección de error Empresa R2 R2 (1) p p 1 R2 R2 (1) p p 1 R2 R2 (1) p p 1 Carozzi Cervezas Inforsa CCT Melón Maderas Masisa(*) Pizarreño(*) Lirquén Elecmetal CTI(*) CAP Sanitas(*) Sintex(*) Carolina Copec Agricultor Inmurbana(*) Minera Hornos

13 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 101 Un aspecto que llama la atención en el Cuadro 3 es que los estadígrafos R2(1) que miden el aporte marginal de la variable PIB, tanto en los modelos de función de transferencia como en los modelos de corrección de errores, son bastante bajos. En general, se puede concluir de esto que en versiones estacionarias de las series de ventas el poder explicativo de la serie del PIB es bajo. La bondad de los distintos modelos ajustados se estudió en base a versiones gráficas y a test de hipótesis sobre los residuos de los modelos. Los test de hipótesis considerados son el test de normalidad de Jarque y Bera (1987), el test de igualdad de varianzas de Goldfeld y Quandt (1972) y el test de autocorrelación de residuos de Ljung y Box (1978). En términos generales, se puede decir que en todas las series y en los cuatro modelos considerados se aceptan los test de igualdad de varianzas y normalidad. Aunque inicialmente los test de normalidad no eran aceptados en cuatro de las 20 series, y en casi todos los modelos, por la presencia de observaciones inusuales, estas observaciones fueron reemplazadas por estimaciones en forma previa al ajuste de los modelos. Los test de autocorrelación, tanto en base a autocorrelaciones individuales de orden 1 y 4 como en base al test de Ljung y Box (1978) mostraron clara evidencia de correlación temporal en los residuos del modelo de regresión en, prácticamente, todas las series. Sólo en 4 de las 20 series se aceptó la hipótesis de que no había correlación de residuos. Los otros tres modelos considerados en el estudio mostraron ser capaces de capturar la autocorrelación de manera apropiada. III. Predicción Fuera de la Muestra Los modelos presentados en la sección anterior fueron ajustados con observaciones hasta el cuarto trimestre de 1989; esto es, con 28 de las 54 observaciones originales. Los modelos estimados fueron utilizados para hacer predicciones fuera de la muestra para los 12 trimestres siguientes a la última observación utilizada en la estimación. Luego los modelos fueron estimados, en forma sucesiva, agregando una observación a la vez hasta el segundo trimestre de En cada estimación, se obtenían nuevas predicciones fuera de muestra para los 12 trimestres siguientes. Este proceso iterativo de estimaciones y predicciones generó 15 predicciones con sus correspondientes errores de predicción, para cada uno de los 12 horizontes de predicción y cada una de las 20 empresas en la muestra. En cada uno de estos casos se calcularon errores relativos promedio, tales como el promedio de los cuocientes entre los errores de predicción absolutos y los valores observados. Para el cálculo de estos promedios se disponía inicialmente de 15 observaciones y éstos fueron definidos como promedios recortados al 10%; esto corresponde a promedios que eliminan el 10% de las observaciones en cada extremo con el objeto de eliminar la influencia de errores muy grandes o muy pequeños en el cálculo del promedio. Se intentó con varios otros indicadores de resumen como el promedio de las 15 observaciones, la mediana y el promedio recortado al 5% y 20%. Los resultados no cambian demasiado al utilizar las dis-

14 102 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 tintas medidas de posición mencionadas, aunque el indicador seleccionado parece resumir de mejor forma los errores relativos observados. Como un indicador alternativo al error relativo de predicción, se calcularon también los estadígrafos U definidos por Theil (1958). Este estadígrafo se define de la siguiente forma. Dadas las observaciones {y 1,, y 15 } y las predicciones correspondientes {y 1,, y 15 }, el estadígrafo U es: U = ( y yˆ ) y i i i 2 yˆ 2 2 i Se puede mostrar que este indicador toma valores entre 0 y 1, y mientras menor es el valor de U mejor es la predicción. Un aspecto que es necesario destacar en relación con la predicción de los distintos modelos es que tanto en el modelo de regresión, como en los otros modelos que utilizan variables exógenas o independientes, al hacer las predicciones de las ventas se requieren predicciones de las variables independientes. En realidad, todas las variables independientes utilizadas en este estudio son perfectamente predecibles, con la excepción del PIB. Las predicciones de los distintos modelos se calcularon en base a valores observados del PIB. Esto puede parecer como un ejercicio poco realista, pero supone que el PIB observado, más que la predicción que podría obtenerse con el modelo (1), representa las predicciones efectivas a que tienen acceso los agentes económicos. De cualquier manera, para efectos de medir el impacto que podría tener sobre las predicciones de las ventas el usar predicciones más que valores efectivos, se calcularon predicciones del PIB mediante un modelo ARIMA y en el modelo de regresión se usaron tanto los valores observados como las predicciones del PIB. Las predicciones del modelo de regresión, usando el PIB observado, no difieren en más de 1% con las predicciones en el modelo en el cual se utilizan predicciones del PIB. Esto se debe, en parte, a que el nivel del PIB se puede predecir al menos en el corto plazo con bastante precisión y a que la variable PIB no sólo tiene efectos instantáneos, sino también rezagados, sobre las series de ventas. Si consideramos que el test de cointegración entre la serie de ventas y la serie del PIB es aceptado para algunas de las series, y no para otras, los resultados del ejercicio de predicción fuera de la muestra son presentados de manera separada para las series cointegradas y las series no cointegradas. En primer lugar, en el Cuadro 4 se presenta el promedio, a través de las empresas, de los errores relativos de predicción definidos como los errores en valor absoluto y divididos por la observación para cada uno de los modelos ajustados y cada uno de los 12 horizontes de predicción en las series cointegradas. Los promedios calculados para las empresas también corresponden a promedios recortados al 10%, de manera de eliminar empresas con errores relativos extremos o empresas que equivocadamente pudieran haber sido clasificadas como cointegradas con el PIB. En el Cuadro 5 se presenta, siempre para las series

15 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 103 cointegradas, el estadígrafo U para cada uno de los cuatro modelos estimados y para los 12 horizontes de predicción. Los resultados referentes a la capacidad predictiva de los modelos son muy similares entre el Cuadro 4, con los errores relativos promedio, y el Cuadro 5, con los estadígrafos U. Para predecir a 1 trimestre, el modelo ARIMA univariado que considera exclusivamente la historia de la serie es superior a los otros modelos. Con respecto al modelo de función de transferencia, los errores del modelo ARIMA son menores en 1%; con respecto al modelo de corrección de error, los errores son menores en un 2.7% y con respecto al modelo de regresión, los errores son menores en 5.2%. Los niveles de los errores de predicción son similares a los reportados en otros estudios de predicción de series con características similares, ver Wheelwright y Maridakis (1985). Al aumentar el horizonte de predicción hasta los 12 trimestres, el comportamiento de los errores relativos de predicción es muy distinto al observado en los errores de predicción a 1 trimestre y difiere de manera significativa en los distintos modelos. En el modelo de regresión los errores de predicción aumentan hasta llegar a un nivel casi constante de, aproximadamente, 15%. Este nivel se alcanza, en forma aproximada, en la predicción a 4 ó 5 trimestres. El modelo de regresión supera al modelo ARIMA a partir de la predicción a 7 trimestres. El modelo de función de transferencia presenta errores que crecen, pero menos de lo que crecen los errores del modelo ARIMA. Así, en la predicción a 12 trimestres el modelo de función de transferencia tiene errores 3.3% menores que el modelo ARIMA. El horizonte a partir del cual el modelo de función de transferencia es superior al modelo ARIMA es el trimestre 7; el mismo horizonte en el cual el modelo de regresión supera al modelo ARIMA. El modelo de corrección de error se comporta, en el largo plazo, y de acuerdo con lo esperado, de manera muy similar al modelo de regresión. En la predicción a 1 trimestre, el modelo de corrección de error supera al modelo de regresión en sólo 2.5% y despúes de 3 trimestres no parece haber diferencias significativas entre estos dos métodos de predicción para series cointegradas. Se desprende de este análisis que, con series trimestrales de ventas, la componente transitoria que conduce las observaciones hacia su nivel de tendencia de largo plazo no es demasiado significativa. En el Cuadro 5 se presentan los resultados correspondientes al estadígrafo U para las series cointegradas. Los resultados son muy similares a los reportados en el Cuadro 4 para los errores relativos. En la predicción de hasta 4 ó 5 trimestres los modelos ARIMA son los mejores. En el más largo plazo, y en virtud de la cointegración entre las series de ventas y la serie del PIB, las mejores predicciones se obtienen con el modelo de regresión y con el modelo de corrección de error. El modelo de función de transferencia es, en el largo plazo, superior al modelo ARIMA, pero debido a que, bajo la hipótesis de cointegración el modelo de función de transferencia está incorrectamente especificado, sus errores de predicción superan a los del modelo de regresión. Los Cuadros 6 y 7 presentan los errores relativos de predicción y los estadígrafos U para las series no cointegradas. En este caso, tanto el modelo de

16 104 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 Cuadro 4 ERRORES RELATIVOS DE PREDICCION PARA SERIES COINTEGRADAS. Medias (recortadas al 10%) de los errores relativos de predicción correspondientes a la media (recortada al 10%) de las empresas cointegradas según cada uno de los métodos de predicción. Trimestres Modelo Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error CUADRO 5 ESTADIGRAFO U DE THEIL PARA SERIES COINTEGRADAS. Estadígrafo U de Theil para los errores de predicción de las series originales correspondientes a la media de las series cointegradas según cada uno de los métodos de predicción. Trimestres Modelo Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error

17 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS 105 CUADRO 6 ERRORES RELATIVOS DE PREDICCION PARA SERIES NO COINTEGRADAS Medias (recortadas al 10%) de los errores relativos de predicción correspondientes a la media (recortada al 10%) de las series no cointegradas según cada uno de los métodos de predicción. Trimestres Modelo Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error CUADRO 7 ESTADIGRAFO U DE THEIL PARA SERIES NO COINTEGRADAS Estadígrafo U de Theil para los errores de predicción de las series originales correspondientes a la media de las series cointegradas según cada uno de los métodos de predicción. Trimestres Modelo Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error

18 106 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 regresión como el modelo de corrección de error están incorrectamente especificados, por cuanto las variables utilizadas en el modelo de regresión no capturan adecuadamente la tendencia de largo plazo en las series de ventas. Esto se manifiesta muy claramente en los resultados porque estos dos modelos presentan, especialmente en el largo plazo, los mayores errores de predicción. El modelo de función de tranferencia y el modelo ARIMA univariado reportan los menores errores de predicción. Sin embargo, entre estos dos modelos, el que presenta los mejores resultados en la predicción de corto y largo plazo es el modelo ARIMA. Este último resultado puede parecer un tanto extraño, por cuanto el modelo de función de transferencia es una versión más general del modelo ARIMA univariado que incluye como variables explicativas, además de la historia de la serie de ventas, el presente y la historia de la serie del PIB. Este resultado se puede explicar por dos razones. En primer lugar, y según se muestra en el Cuadro 3 para el modelo de función de transferencia, la serie del PIB en diferencias explica una proporción relativamente pequeña de las diferencias en las ventas. Así, en muchos de los modelos estimados en el ejercicio de predicción los coeficientes de la serie del PIB son poco significativos, lo cual se traduce en mayores errores de predicción. Esto es especialmente válido en la predicción de largo plazo. Además, el período utilizado en la estimación del modelo es distinto a los períodos en los cuales se hacen las predicciones. Los gráficos 1, 2, 3 y 4 presentan los indicadores de los errores de predicción. GRAFICO 1 ERROR MEDIO RELATIVO SERIES COINTEGRADAS Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error Trimestres

19 PREDICCION DE SERIES DE VENTAS GRAFICO 2 ESTADIGRAFOS U DE THEIL SERIES COINTEGRADAS Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error Trimestres GRAFICO 3 ERROR MEDIO RELATIVO SERIES NO COINTEGRADAS Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error Trimestres GRAFICO 4 ESTADIGRAFOS U DE THEIL SERIES NO COINTEGRADAS Regresión ARIMA Función de Transferencia Corrección de Error Trimestres

20 108 REVISTA ABANTE, VOL. 1, Nº 1 IV. Conclusiones En este trabajo se consideran metodologías alternativas para la predicción de series de ventas. Modelos usuales en ejercicios de predicción son derivados a partir de un modelo autorregresivo bivariado para una serie de ventas y la serie del PIB. Entre estos modelos se pueden mencionar el modelo clásico de regresión; el modelo de regresión con corrección de errores, en el cual los residuos del modelo son relacionados con valores pasados de estos residuos y de las variaciones en el PIB; el modelo autorregresivo integrado de medias móviles (ARIMA) univariado y el modelo de función de transferencia, en el cual los cambios en las ventas se explican por cambios históricos en la serie de ventas y por cambios en valores presentes y pasados del PIB. La estimación de los modelos mostró que la serie del PIB no explica de manera significativa los movimientos de corto plazo en las series de ventas. En la explicación de la tendencia de las series de ventas, en cambio, el PIB sí es importante. En 6 de las 20 series en la muestra, la de ventas está cointegrada con el PIB y, por tanto, las tendencias en las series están completamente relacionadas. En la predicción a 1 trimestre, los modelos ARIMA tienen errores relativos de predicción menores a los observados en los otros modelos. En la predicción de más largo plazo, el modelo de regresión y el modelo de corrección de error reportan los menores errores relativos cuando la serie de ventas está cointegrada con la serie del PIB. Cuando las series no están cointegradas con el PIB, el modelo ARIMA entrega las mejores predicciones. En este caso, el modelo de regresión y el modelo de corrección de error tienen las peores predicciones. Referencias Box, G.E.P. y G.M. Jenkins (1976). Time Series Analysis, Forecasting and Control. Holden Day. Engle, R.F. y C.W.J. Granger (1987). Cointegration and error correction: Representation, estimation and testing. Econometrica 55, Engle, R.F., C.W.J. Granger y J.J. Hallman (1991). Merging short and long run forecasts. An application of seasonal cointegration to monthly electricity sales forecasting. En Long-run Economic Relationships. Readings in Cointegration. Editado por R.F. Engle y C.W.J. Granger. Oxford University Press. Engle, R.F. y S. Yoo (1991). Forecasting and testing in cointegrated systems. En Long-run Economic Relationships. Readings in Cointegration. Editado por R.F. Engle y C.W.J. Granger. Oxford University Press. Fuenzalida, L. (1996). Métodos Alternativos de Predicción. Tesis Pregrado, Departamento de Estadística, Facultad de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Chile. Goldfeld, S.M. y R.E. Quandt (1972). Nonlinear Methods in Econometrics. North Holland. Granger, C.W.J. y P. Newbold (1976). Forecasting Economic Time Series. Academic Press. Guerrero, V.M. (1993). Time-series analysis supported by power transformations. Journal of Forecasting 12, Harvey, A.C. y P.H.J. Todd (1983). Forecasting economic time series with structural and Box-Jenkins models. Journal of Business and Economic Statistics 1, Jarque, C.M. y A.K. Bera (1987). A test for Normality of observations and regression residuals. International Statistical Review. 55,