Econometría Aplicada

Transcripción

1 Econometría Aplicada Series de Tiempo II Víctor Medina

2 Estacionalidad Estacionalidad

3 Estacionalidad Variación estacional Las series de tiempo pueden presentar variación estacional. Ejemplos claros de este fenómeno son: Mediciones de temperaturas Ventas del retail Consumo de electricidad El siguiente gráfico corresponde a la data original de Box-Jenkins (vista anteriormente en clases pero en su version desestacionalizada) Numero de pasajeros (miles) Time

4 Estacionalidad Variación estacional Para modelar series de tiempo con variaciones estacionales, las observaciones deben ser transformadas quitándoles la componente estacional. Una vez desestacionalizada la serie, se puede modelar usando las técnicas discutidas anteriormente (ARIMA). El pronóstico se puede llevar a cabo para la serie sin estacionalidad y luego aplicar la transformación utilizada en su forma inversa. Con fines ilustrativos realizaremos un ejemplo que presenta variación con estacionalidad trimestral. Sin embargo, el procedimiento puede ser ajustado para incorporar otras frecuencias de estacionalidad (mensual, anual, etc.)

5 Estacionalidad Ejemplo: Frecuencia trimestral Consideremos la siguiente información sobre la demanda trimestral de electricidad en un edificio gubernamental Meses A2011 A2012 A2013 A Ene-Mar Abr-Jun Jul-Sep Oct-Dic Por la naturaleza de la serie, es razonable suponer que existe una variación estacional. En el invierno el consumo de electricidad es mayor que en el verano.

6 Estacionalidad Ejemplo: Frecuencia trimestral Un gráfico de la data se muestra a continuación Demanda Periodo Pareciera que además de la estacionalidad también existe tendencia.

7 Estacionalidad Frecuencia trimestral Consideramos t con frecuencia trimestral con n observaciones Sea x t la observación en el periodo t, entonces podemos descomponer x t de la siguiente forma x t = µ t + v t + s t para t = 1,..., n donde µ t es la tendencia en el periodo t, v t es el error aleatorio con media cero y s t es la variación estacional en t. Se asume que s t toma los valores s I, s II, s III y s IV en los trimestres I, II, III y IV respectivamente. Por convención se asume que s I + s II + s III + s IV = 0 El procedimiento usual antes de desestacionalizar es suavizar la data. Existen varios métodos para hacer esto. Por ejemplo, el ajuste a la media con 5 términos que veremos a continuación.

8 Estacionalidad Para variaciones trimestrales podemos usar ajuste a la media de 5 términos con los coeficientes siguientes ( 1 8, 1 4, 1 4, 1 4, 1 8) que se debe aplicar a todas las observaciones t excepto los dos primeros y dos últimos valores. Este ajuste para t = 3,..., n 2 tiene la forma y t = 1 8 xt (xt 1 + +xt + xt+1) xx+2 y definimos los siguientes residuos (no confundir!) e t = x t y t para t = 3,..., n 2 Para calcular las variaciones estacionales en cada trimestre, primero promediamos e t sobre todas observaciones para el primer trimeste. Llamemos a este promedio ŝ I. Análogamente, se obtienen ŝ II, ŝ III y ŝ IV para los trimestres 2, 3 y 4.

9 Estacionalidad Para asegurarnos que las variaciones suman cero, definimos s I = ŝ I c s II = ŝ II c s III = ŝ III c = ŝ IV c con c = 1 (ŝi + ŝ II + ŝ III + ŝ ) IV 4 Luego, la serie desestacionalizada se obtiene restando la variación estacional correspondiente a x t. Por ejemplo, si es el trimestre I, entonces s 1 = s I. Esto crea una serie de la forma z t = µ t + v t La tendencia µ t se puede remover usando las diferencias si es un modelo ARIMA (o filtros, no vistos) s IV Obs: Para frecuencias distintas a las trimestrales, se debe usar otro método de suavización. Por ejemplo, si la frecuencia es mensual, una elección común de suavizamiento es la siguiente y t = 1 24 xt (xt xt+5) xt+6

10 Estacionalidad Volviendo al ejemplo Para la data con las demandas de electricidad, tenemos Trimestre Meses xt yt et 1 I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic 40.00

11 Estacionalidad Ejemplo Posteriormente calculamos ŝ I = , ŝ II = 11.92, ŝ III = 42.13, ŝ IV = y c = Como resultado tendemos s I = s II = s III = s IV = 40.35

12 Estacionalidad Ejemplo Entonces la serie sin la estacionalidad quedaría Trimestre Meses xt yt et xt_des 1 I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic 40.00

13 Estacionalidad Ejemplo Gráficamente se vería Demanda 80 Serie xt xt_des Periodo

14 Descomposición de Tendencia Descomposición de Tendencia

15 Descomposición de Tendencia Tendencia Hasta ahora hemos descrito tendencia de una serie de tiempo como el cambio de largo plazo en la media, E(x t). Por otra parte, ya hemos presentado la descomposición x t = µ t + v t + s t para t = 1,..., n donde µ t es la tendencia en el periodo t, s t la componente estacional en t y v t el error aleatorio con media cero. Asumimos también que s t + s t s t+d 1 = 0 con d el periodo de la componente estacional (eg. d = 4 para el caso trimestral). Este modelo se conoce como modelo de descomposición clásica Vimos como estimar la componente estacional s t Ahora discutiremos métodos para remover la tendencia µ t

16 Descomposición de Tendencia Remover la tendencia El supuesto principal de este modelo es que removiendo la componente s t y µ t eventualmente podríamos quedar con un proceso estocástico estacionario, los cuales ya conocemos como tratarlos (ARMA). Luego, para hacer pronóstico realizamos el proceso contrario (a los valores estimados le agregamos las componentes s t y µ t) Ya hemos mencionado el uso del operador diferencias para remover tendencias (eg. procesos ARIMA) Existen otros dos procedimientos comunes con el mismo propósito Ajustar una función a la data (eg. y t = ax t + b) Filtros Mencionaremos algunos de los filtros

17 Descomposición de Tendencia Filtros El proceso conocimo como filtro lineal convierte la serie de tiempo x t en otra y t usando la formula β y t = c ix t+i i=α donde {c i, i = α, α , β} es un conjunto de coeficientes. Los valores y t son las observaciones suavizadas. Estas observaciones son usadas como una estimación de la tendencia, es decir, ˆµ t = y t. Hace sentido que c i = 1 (promedio ponderado). Ejemplo: ya vimos el filtro lineal utilizado para el ajuste estacional trimestral c 2 = 1/8, c 1 = c 0 = c 1 = 1/4, c 2 = 1/8 Cuál era un filtro posible para una frecuencia anual?

18 Descomposición de Tendencia Volviendo al ejemplo trimestral Teniamos Trimestre Meses xt yt et xt_des 1 I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic I Ene-Mar II Abr-Jun III Jul-Sep IV Oct-Dic 40.00

19 Descomposición de Tendencia Ejemplo Demanda 80 Serie xt xt_des yt Periodo

20 Descomposición de Tendencia Ejemplo: Box-Jenkins Al principio vimos la serie original de Box-Jenkins Numero de pasajeros (miles) Time

21 Descomposición de Tendencia Ejemplo: Box-Jenkins Si utilizamos el filtro y t = 1 24 xt (xt xt+5) + 1 xt+6 tenemos 24 lo siguiente Decomposition of additive time series random seasonal trend observed Time El problema de este tipo de filtro es que perdemos un periodo completo de data. Una solución es utilizar filtros que no estén centrados (eg. suavización exponencial) o ajustar un polinomio a las observaciones ya suavizadas.

22 Descomposición de Tendencia Problema de las colas El siguiente gráfico está corregido para el comienzo y final de las observaciones remainder trend seasonal data time

23 Descomposición de Tendencia Pronóstico Para hacer pronóstico primero debemos ver si la serie de los residuos es estacionaria. Aplicando DF obtenemos ## ## Augmented Dickey-Fuller Test ## ## data: remainder ## Dickey-Fuller = , Lag order = 5, p-value = 0.01 ## alternative hypothesis: stationary Se rechaza hipótesis nula. Es decir, la serie es consistente con el supuesto de estacionaridad.

24 Descomposición de Tendencia Ajuste de ARMA Analizamos ACF y PACF. Series remainder Series remainder ACF Partial ACF Lag Lag El resultado no es decisivo, sin embargo para efectos ilustrativos, ajustamos un proceso ARMA(2,0).

25 Descomposición de Tendencia Ajuste ARMA El resultado del ajuste ARMA(2,0) es el siguiente (ustedes pueden probar otros modelos) ## Estimate Std. Error t value Pr(> t ) ## ar e+00 ## ar e-07 ## intercept e-01

26 Descomposición de Tendencia Pronóstico El pronóstico para los 24 meses siguientes viene dado por Pronostico para los proximos 12 meses

27 Vectores Autorregresivos (VAR) Vectores Autorregresivos (VAR)

28 Vectores Autorregresivos (VAR) Introducción En clases pasadas estudiamos las propiedades de dos series no estacionarias que cointegran (ambas I(1)) Asumimos que una variable era la dependiente (y t) y la otra independiente (x t) Tratamos la relación entre y t y x t como un modelo de regresión Sin embargo, si no existiera ninguna razón aparente, podríamos haber tratado a y t como independiente y a x t como dependiente Es decir, y t = β 10 + β 11x t + e y t, e y t N(0, σy) 2 x t = β 20 + β 21y t + e x t, e x t N(0, σ 2 x) Es mejor expresar y = f(x) o x = g(y)? Reconocer que existen relaciones donde las variables x e y están simultáneamente determinadas? El objetivo de este capítulo es explorar la relación causal entre par de series temporales

29 Vectores Autorregresivos (VAR) Modelo VAR Supongamos que existen dos series de tiempo y t y x t y generalicemos la relación dinámica entre ellas a y t = β 10 + β 11y t 1 + β 12x t 1 + v y t x t = β 20 + β 21y t 1 + β 22x t 1 + v x t Es decir, cada variable está en función de su propio rezago y del rezago de la otra variable en el sistema (en este caso sólo consideraremos dos variables en el sistema). El sistema de ecuaciones anterior se denomina vector autorregresivo de orden 1, VAR(1). Es de orden 1 porque el número máximo de rezagos es 1 Notar la analogía con el modelo AR para el caso univariado Si ambas variables son estacionarias I(0), entonces se estima con MC Si, por otra parte, x e y son I(1) y no cointegran, entonces y t = β 11 y t 1 + β 12 x t 1 + v y t x t = β 21 y t 1 + β 22 x t 1 + vt x Todas las variables son ahora I(0) y los coeficientes pueden ser obtenidos a través de MC

30 Vectores Autorregresivos (VAR) Si existe cointegración Si x y y son I(1) y cointegran, entonces modificamos el sistema de ecuaciones para rescatar la relación de cointegración entre las variables: Usar información valiosa que nos entrega la cointegración Usar mejores técnicas matemáticas que tomen en cuenta las propiedades de las series Modelo Cuando tenemos dos series que son I(1) y cointegran, al modelo se le conoce como Vector de Corrección de Error, o VEC. y t = β 0 + β 1x t + e t y ê t I(0), donde ê t son los residuos estimados. Obs: Notar que podríamos haber normalizado en x t. Elegir una u otra es usualmente determinado por razones económicas. Sin embargo, el punto importante es que puede existir sólo una relación entre las dos variables.

31 Vectores Autorregresivos (VAR) Modelo VEC El modelo VEC es un caso particular de un modelo VAR para series I(1) que cointegran. El sistema modificado es el siguiente y t = α 10 + α 11(y t 1 β 0 β 1x t 1) + v y t o expresado de otra forma x t = α 20 + α 21(y t 1 β 0 β 1x t 1) + v x t y t = α 10 + (α )y t 1 α 11β 0 α 11β 1x t 1 + v y t x t = α 20 + α 21y t 1 α 21β 0 (α 21β 1 1)x t 1 + v x t Obs: Si se compara el sistema anterior con el sistema VAR, se puede notar que VEC es un VAR con coeficientes comunes en ambas ecuaciones. Los coeficientes α 11 y α 21 se denominan coeficientes de corrección de error

32 Vectores Autorregresivos (VAR) Estimación del modelo VEC Existe más de un método para estimar el modelo VEC (MC no lineal y ML, por ejemplo). Sin embargo, el más sencillo es el método MC de dos etapas. 1. Se usa MC para estimar la cointegración y t = β 0 + β 1x t + e t y se generan los residuos con rezago 1 ê t 1 = y t 1 ˆβ 0 ˆβ 1x t 1 2. Se usa MC para estimar las ecuaciones y t = α 10 + α 11ê t 1 + v y t x t = α 20 + α 21ê t 1 + v x t Notar que las tres variables ( y, x y ê) en las ecuaciones anteriores son estacionarias.

33 Vectores Autorregresivos (VAR) Ejemplo El siguiente gráfico muestra el PIB real de Australia y EEUU, normalizadas a 100 para el año tdata usa aus Time

34 Vectores Autorregresivos (VAR) Ejemplo Se puede verificar que ninguna de las series es estacionaria ( cómo se podría?). Por otra parte, para verificar que cointegran calculamos (omitimos la constante porque no tiene sentido económico) lo cual no da a t = β 1u t + e t Estimate Std. Error t value Pr(> t ) usa luego, calculamos los residuos ê t = a t 0.985u t que se verian gráficamente residuos

35 Vectores Autorregresivos (VAR) Ejemplo Debemos checkear si los residuos son estacionarios ## Dickey-Fuller ## Como estamos considerando el modelo sin intercepto, el valor crítico al 5% es Es decir, rechazamos la nula de no-cointegración. La economía de Australia está relacionada con la de EEUU Un cambio de una unidad en el PIB de EEUU, incrementaría en el de Australia Sin embargo, la economía de Australia puede que no responda exactamente a este valor en un trimestre. Para saber cómo responde, debemos estimar el modelo con corrección de errores.

36 Vectores Autorregresivos (VAR) Ejemplo La estimación es a t = ê t 1 u t = ê t 1 Los resultados muestran El coeficiente de error negativo en el primer término indica que a decrece si el error de cointegración es positivo El coeficiente de error negativo en el segundo término indica que u incrementa si el error de cointegración es positivo El coeficiente indica que el ajuste trimestral de a t será alrededor de un 10% de la desviación de a t 1 con respecto a su valor de cointegración de 0.985u t 1 El valor de 0.03 indica que u t prácticamente no reacciona al error de cointegración (economía grande versus una más pequeña)