LA WEB SEMÁNTICA. LÓGICA DE DESCRIPCIONES

Transcripción

1 PROPÓSITO Introducir la lógica de descripciones para formalizar bases de conocimientos. INTRODUCCIÓN La lógica de descripciones es una familia de lenguajes formales para expresar conocimiento sobre un problema. Las teorías escritas con tales lenguajes se denominan bases de conocimiento. Estructuralmente la base de conocimiento consta de una terminología o Tbox (Terminology box) y una descripción del mundo o Abox (Assertion box). La terminología formaliza un conocimiento general del problema haciendo uso de conceptos y roles y la descripción del mundo formaliza un conocimiento particular del problema haciendo uso de asertos. La lógica de descripciones codifica su expresividad usando nemotécnicos. CONCEPTOS. SINTAXIS Y SEMANTICA Sea A un concepto atómico, R un rol atómico y los constructores de conceptos (negacion), T (top), (bottom), (conjunción), (para todo) y (existe), entonces los conceptos se definen sintácticamente como: C ::= A T A C D R.C R.T (nemotécnico AL) C R.C (nemotécnico C) (>= n R) (<= n R) (nemotécnico N) Y semánticamente, para una interpretación con dominio, como : A, R ={(a,b) }, =, T =, A = \ A, (C D) = C D, ( R.C) = {a b((a,b) R a C )}, ( R.T) = {a b((a,b) R a T )} ( ( C D)) = C D, ( R. C) = ( R.C)

2 (>= n R) = {a count((a,b) R ) >= n}, ( <= n R) = {a count((a,b) R ) <= n} TERMINOLOGÍA. AXIOMAS Una terminología es un conjunto de axiomas de la forma: C D (inclusiones) o C D (equivalencias) Las equivalencias de la forma A D, se denominan definiciones, siendo A el concepto definido y D su definición. Por ejemplo, en la definición Madre Mujer tienehijo.persona, Madre es el concepto definido y Mujer tienehijo.persona su definición. Ejemplo (Terminología ): Mujer Persona Femenino Hombre Persona Mujer Madre Mujer tienehijo.persona Padre Hombre tienehijo.persona Abuela Madre tienehijo.(padre Madre) MadreConMuchosHijos Mujer (>= 3 tienehijo) MadreSinHija Mujer tienehijo. Mujer En toda terminología podemos distinguir dos conjuntos de conceptos: (a) conceptos base (o conceptos sin definición) y (b) conceptos definidos. Dada una terminología, sea una interpretación para los conceptos base y sea una extensión de J, con el mismo dominio, que interpreta los conceptos definidos de. Entonces, se dice que es definicional si toda interpretación base tiene una única extensión que es modelo de (cumple todos los axiomas de ). Una definición A D es cíclica si A ocurre en D y no cíclica en caso contrario. Ejemplo (definición cíclica): H Humano tienedescendiente.h (Proposición) Toda terminología sin definiciones cíclicas es definicional.

3 La expansión de una terminología es la terminología resultante de sustituir cada concepto definido por su definición. Las terminologías no cíclicas tienen expansiones finitas. Ejemplo (Expansión de terminología ): Mujer Persona Femenino Hombre Persona ( Persona Femenino) Madre Persona Femenino tienehijo.persona Padre Persona ( Persona Femenino) tienehijo.persona Abuela Persona Femenino tienehijo.(( Persona ( Persona Femenino) tienehijo.persona) (Persona Femenino tienehijo.persona)) MadreConMuchosHijos Persona Femenino (>= 3 tienehijo) MadreSinHija Persona Femenino tienehijo. ( Persona Femenino) (Proposición) Si es una terminología sin ciclos y exp su expansión entonces: (a) y exp tienen los mismos conceptos base y conceptos definidos. (b) y exp son equivalentes. (c) y exp son definicionales. TERMINOLOGÍAS CON DEFINICIONES CÍCLICAS. SEMÁNTICA DE PUNTO FIJO Las terminologías que contienen definiciones cíclicas no son definitorias (toda interpretación base tiene más de una extensión posible). Ejemplo (semántica de punto fijo): = { H Humano tienehijo.h } Supongamos la interpretación base: = { Carlos, Juan, Antonio, Raúl, Ignacio} Humano, tienehijo = {(Antonio, Raúl), (Raúl, Ignacio)},

4 (1ª iteración). La interpretación base se extiende con: H = {Carlos, Juan, Ignacio} obteniendo 1. Justificación: (Carlos, _) tienehijo, (Juan, _) tienehijo e (Ignacio, _) tienehijo. Por tanto, {Carlos, Juan, Ignacio} tienehijo.h) (2ª iteración). La interpretación base se extiende con: H = {Carlos, Juan, Ignacio, Raúl} obteniendo 2. Justificación: (Raúl, Ignacio) tienehijo. Por tanto, {Carlos, Juan, Ignacio, Raúl} tienehijo.h) (3ª iteración). La interpretación base se extiende con: H = {Carlos, Juan, Ignacio, Raúl, Antonio} obteniendo 3. Justificación: (Antonio, Raúl) tienehijo. Por tanto, {Carlos, Juan, Ignacio, Raúl, Antonio} tienehijo.h) Las distintas extensiones obtenidas mediante semántica de punto fijo permiten constituir un conjunto de interpretaciones ordenado por. Cuando esto ocurre hay dos interpretaciones destacadas que pueden servir de modelos de referencia: el modelo conocido como menor punto fijo y el modelo conocido como mayor punto fijo. En nuestro ejemplo, suponiendo la interpretación base, tenemos Por tanto, 1 sería el modelo de con semántica de menor punto fijo e 3 sería el modelo de con semántica de mayor punto fijo. En general, la existencia de menor y mayor punto fijo no está asegurada. Por ejemplo, para una terminología = { A R. A } con interpretación base : = {a, b} y R = {(a,b), (b,a)}. Las extensiones de conteniendo A 1 = {a} y A 2 = {b} son modelos de pero son modelos no comparables. (Proposición) Si todo concepto en una terminología está afectado por un número par de negaciones (0, 2, 4,...) entonces existen el menor y mayor modelo (semánticas de punto fijo). TERMINOLOGÍAS CON DEFINICIONES CÍCLICAS. Todo axioma de la forma C D se puede transformar en un axioma de la forma C C D.

5 Una terminología se dice que es generalizada si contiene axiomas de tipo equivalencia e inclusión. Toda terminología generalizada puede normalizarse haciendo uso de la transformación anterior. (Proposición) Sea una terminología generalizada y su normalización, entonces: (a) Todo modelo de es de y (b) Para todo modelo de existe un modelo de que es expansión de. DESCRIPCIONES DEL MUNDO El segundo componente de una base de conocimiento es la descripción del mundo o ABox. La descripción del mundo está compuesta por un conjunto de asertos. Hay dos tipos de asertos: los asertos de conceptos y los asertos de roles. SINTAXIS: Aserto de individuo: Hombre(Juan) Aserto de rol: tienehijo(antonio, Ignacio) Cada individuo presente en el ABox se le asocia un elemento del dominio. Supondremos UNA (suposición de nombre único), es decir, los individuos con distinto nombre son individuos distintos. Se dice que satisface C(a) si a C. Se dice que satisface R(a,b) si (a,b ) R. Una interpretación satisface un ABox si ésta satisface todos su asertos. Las terminologías pueden incluir ocurrencias de individuos mediante recursos tales como: (a) {a1,...,an} (conjuntos por extensión) (b) (R:a) (dominio) La semántica de estas construcciones: (a) { a 1,.., a n } = {a 1,.., a n } (b) (R:a) = {d (d,a ) R }, LENGUAJE DE DESCRIPCIONES Y LOGICA DE PREDICADOS La lógica de descripciones se puede expresar dentro de la lógica de predicados de primer orden. Morfismos: C C(x), R R(x,y), R.C y(r(x,y) C(y)), R.C y(r(x,y) C(y)),

6 (<= n R) y 1..y n+1 (R(x,y 1 ).. R(x,y n+1 ) (i,j=1..n+1,i<j) y i =y j ), (>= n R) y 1..y n (R(x,y 1 ).. R(x,y n ) (i,j=1..n,i<j) y i y j ) INFERENCIAS Un concepto C es consistente con respecto a una terminología si existe un modelo de donde C no es vacío. Un concepto C es subsumido por otro concepto D con respecto a una terminología si para todo modelo de se cumple que C D. Un concepto C es equivalente a otro concepto D con respecto a una terminología si para todo modelo de se cumple que C = D. Un concepto C es disjunto a otro concepto D con respecto a una terminología si para todo modelo de se cumple que C D =. (reducción a subsunción) C inconsistente equivale a C subsumido por. C y D equivalentes equivale a C subsumido por D y D subsumido por C. C y D disjuntos equivale a C D subsumido por. (reducción a inconsistencia) C subsumido por D equivale a C D inconsistente C y D equivalentes equivale a C D y C D inconsistentes C y D disjuntos equivale a C D inconsistente.

7 SEMÁNTICA DE MUNDO CERRADO Y SEMÁNTICA DE MUNDO ABIERTO A menudo se establece una analogía entre la base de datos relacional y el ABox. Sin embargo hay una diferencia semántica fundamental: la base de datos representa un único modelo mientras que el ABox representa muchos modelos diferentes. El siguiente ejemplo muestra esta diferencia: = {tienehijo(yocasta, EDIPO), tienehijo(edipo, POLÍNICES), tienehijo(yocasta, POLÍNICES), tienehijo(polínices, TERSANDRO), Parricida(EDIPO), Parricida(TERSANDRO)} Consulta: = ( tienehijo.(parricida tienehijo. Parricida))(YOCASTA)? Con una semántica de mundo cerrado haríamos el siguiente razonamiento: YOCASTA tiene dos hijos, EDIPO y POLÍNICES, (b) EDIPO es parricida y POLÍNICES no, (c) POLÍNICES es hijo de EDIPO. Por tanto, de (a), (b) y (c) concluimos que la respuesta es SÍ, EDIPO. Con una semántica de mundo abierto haríamos el siguiente razonamiento: YOCASTA tiene dos hijos, EDIPO y POLÍNICES, (b) EDIPO es parricida y POLÍNICES puede serlo o no. Si POLÍNICES es parricida entonces, POLÍNICES al ser hijo de EDIPO, impide que éste sea respuesta a la consulta planteada. Sin embargo, POLÍNICES tiene un hijo, TERSANDRO, que no es parricida. La respuesta sería: SÍ, POLÍNICES. Si POLÍNICES no es parricida entonces la conclusión es igual a la obtenida con una asunción del mundo cerrado. REGLAS Las bases de conocimiento pueden extenderse con reglas de la forma C D. El significado de C D es: si se prueba que un individuo es instancia de C entonces dicho individuo es instancia de D. Para dar semántica a las bases de conocimiento con reglas, = (,, ), se define el modelo epistémico W de. La definición de dicho modelo cuenta con las siguientes suposiciones: (a) dominio de interpretación único (infinito), (b) individuos con interpretación fija en dicho dominio y (c) W es maximal conteniendo todos los modelos de interpretación posibles de. Por ejemplo,

8 el conjunto de todos los modelos de (, ) es el único modelo epistémico para = (,, ). La extensión procedural = (,, ) equivale la base de conocimiento proc = (, ) donde contiene los asertos de más las inferencias obtenidas al aplicar las reglas sobre individuos en. (proposición) Sea = (,, ) una base de conocimiento con (, ) consistente entonces tiene un único modelo epistémico. Ejemplo 1: Sea = (, 1, ) con 1 = {Estudiante(PEDRO)} y = {Estudiante come.comidabasura} W = 1 { come.comidabasura (PEDRO)} Justificación: todo modelo W debe satisfacer Estudiante(PEDRO). Puesto que satisface come.comidabasura, el aserto come.comidabasura (PEDRO) se satisface en. Para cualquier otro elemento del dominio hay al menos una interpretación en la éste no es estudiante. Por lo tanto, PEDRO es el único elemento del dominio al que se aplica la regla come.comidabasura. Ejemplo 2: Sea = (, 2, ) con 2 = { come.comidabasura (PEDRO)} y = {Estudiante come.comidabasura} Justificación: Por la maximalidad de W hay al menos una interpretación en W en la que PEDRO es estudiante y otra en la que PEDRO no lo es. Por tanto, W = 2 ( se satisface porque el antecedente es falso). (proposición) Sea = (,, ) una base de conocimiento. Si (, ) es consistente entonces el modelo epistémico de está formado por los modelos de la extensión procedural proc = (, ). LOGICA DE DESCRIPCIONES. EXTENSIONES CONSTRUCTORES DE ROL Sean S,R dos roles atómicos entonces se define la intersección de roles (S R), la unión de roles (S R), complemento de rol ( R), composición de roles (R S), clausura transitiva de un rol (R+) e inverso de un rol (R-). La semántica de estos constructores es:

9 (S R) = (S R ), (S R) = (S R ), ( R) = {(a,b) \R }, (S R) = {(a,c) b ((a,b) S (b,c) R )}, (R-) = {(b,a) (a,b) R }, (R+) = i>=1 ( R ) i (proposición) ALCN + conjunción de roles + disyunción de roles + complemento de roles + inverso de roles es decidible. RESTRICCIONES NUMÉRICAS CUALIFICADAS Ejemplo: >= 2 tienehijo.masculino <= 5 tienehijo.femenino ALC + restricciones numéricas cualificadas es decidible. ROLES FUNCIONALES Un rol f es funcional sii {(a,b),(a,c)} f b = c Mediante roles funcionales se pueden definir los siguientes constructores de conceptos : acuerdo(f,g) = {a b ((a,b) f (a,b) g )} desacuerdo(f,g) = {a b 1,b 2 ((a, b 1 ) f (a, b 2 ) g b 1 <>b 2 )} SINTAXIS ALTERNATIVA Lenguajes como OWL definen una sintaxis basada en XML para la lógica de descripciones. También, muchas herramientas tienen su propia sintaxis alternativa. Por ejemplo, la sintaxis usada por Protégé (editor de ontologías): Lógica de descripciones T (top) (bottom) (conjunción) (unión) Protege Thing Nothing and or

10 (para todo) only (existe) some (no) not >= min <= max = exactly EquivalentTo subclassof

11 TRABAJO PROPUESTO 1. Formalice una terminología para el siguiente problema. Contexto: Universidad. Los estudios universitarios se clasifican, de forma excluyente, en estudios de grado y estudios de postgrado. Los estudios de postgrado se clasifican, de forma excluyente, en estudios de máster y estudios de doctorado. Los estudios se organizan en cursos y los cursos programan un conjunto de asignaturas. Cada asignatura se adscribe a un departamento. Cada departamento imparte docencia en un conjunto de centros y fija su residencia en un único centro. Los alumnos universitarios se clasifican según los estudios en los que están matriculados. Los profesores universitarios se clasifican, de forma excluyente, en profesores titulares, profesores colaboradores y profesores ayudantes. Todo profesor da clases en un conjunto de asignaturas. Cada asignatura está adscrita a un único departamento y coordinada por un único profesor. La publicación de una tesis doctoral otorga el título de doctor. Los profesores titulares deben ser doctores. No es necesario ser doctor para ser profesor colaborador o ayudante. Diagrama de clases UML para el problema propuesto. 2. Programe los siguientes conceptos basándose en la terminología obtenida en el problema 1. (a) Individuos que sean alumnos y profesores. (b) Autores de tesis que no sean profesores. (c) Individuos que sean doctores y profesores. (d) Individuos que sean profesores y no doctores. (e) Individuos que sean profesores titulares y no doctores. (f) Individuos que sean ayudantes y titulares. (g) Alumnos que han publicado una tesis (h) Individuos que han publicado más de 1 tesis

12 (i) Individuos que han publicado alguna tesis y no dan clase en ninguna asignatura. (j) Profesores doctores que no dan clase. 3. Suponiendo la terminología programada en el problema 1 y la semántica del mundo cerrado, justifique la consistencia o no de los conceptos programados en el problema 2. Para cada concepto consistente debe aportarse además sus superclases y subclases. 4. Suponiendo la terminología programada en el problema 1 y la semántica del mundo abierto, justifique la consistencia o no de los conceptos programados en el problema 2. Para cada concepto consistente debe aportarse además sus superclases y subclases.