Distribuciones binomial y normal ACTIVIDADES

Transcripción

1 0 ACTIVIDADES 57

2 La probabilidad, p, que falta es X =. Como la suma de todas las probabilidades tiene que ser, tenemos que: 0, + 0, + 0, + 0, + 0,5 + p = p = 0, µ= 0,+ 0,+ 0,+ 4 0,+ 5 0,+ 6 0,5=,9 σ= 0, + 0, + 0, + 4 0, + 5 0, + 6 0,5,9 =,55 58

3 Determinamos el espacio muestral, siendo C = «Cara» y + = «Cruz»: E = {CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++} Son un total de 8 sucesos probables. Calculamos las probabilidades de los sucesos elementales: P( X= ) = P( X= ) = P( X= ) = P( X= 0) = Las funciones de probabilidad y de distribución serían, respectivamente: si x= 0 o x= 8 f( x) = si x= o x= 8 0 en el resto de los valores 0 si x< 0 si 0 x< 8 F( x) = si x< 7 si x< 8 si x f(x) F(x) 59

4 La variable es discreta y mide la cantidad de veces que se repite un suceso («Salir»), que no depende de los sucesos anteriores. La probabilidad de que ocurra ese suceso es, por tanto, la variable aleatoria sigue una 4 distribución B, 4. P( X= 0) = = = P( X= ) = = = P( X= ) = = = P( X= ) = = Calculamos la media y la varianza: µ= = = σ = = = np= = =µ npq= = =σ P( X = 4) = 0,6 0,4 = 0, 4 a) 4 4 d) P( X 5) = P( X= ) + P( X= 4) + P( X= 5) = 0,65 b) P( X< ) = P( X= 0) + P( X= ) = 0,0085 e) P( X 7) = P( X= 8) = 0,98 c) P( X 6) = P( X= 6) + P( X= 7) + P( X= 8) = 0,5 f) P(0< X< 8) = ( P( X= 0) + P( X= 8) ) = 0,

5 La gráfica de f(x) es: b h k = = = k k= x Para 0 x, la función de distribución es el área del triángulo de base x y de altura. Por tanto: 0 si < x< 0 x F( x) = si 0 x 4 si < x<+ Para 0 x, la función de distribución es el área del rectángulo de base x y de altura. Por tanto: 0 si < x< 0 F( x) = x si 0 x si < x<+ 5

6 Tipificamos las distribuciones para compararlas: Tipificar 0 80 Ebanista: 0 = 0, 00 Tipificar Fontanero: 00 = 0, 80 0, < 0, Es mejor oferta la del fontanero. X c) P( X 4) = P = P( Z 0,5) = P( Z 0, 5) = 0,085 X d) P( X 6) = P = P( Z 0,5) = 0,085 X e) P( X< 7) = P = P( Z< ) = 0, 84 X f) P( X 8) = P = P( Z,5) = 0,9 5

7 SABER HACER a) Es una variable discreta que cuenta el número de veces que ocurre un suceso determinado («Tener gigivitis»), y que ocurra ese suceso es independiente de si ha ocurrido o no antes. Por tanto, la variable estadística X sigue una binomial: El número de experimientos es 7. La probabilidad de que ocurra el suceso es 0,5 8 = Por tanto, X B(7; 0,5). b) P( X= ) = 0,68 c) P( X= 0) = 0,9 d) µ= 7 0,5= 0, 875 σ = 7 0,5 0,875= 0,766 5

8 Dibujamos la función de densidad: f(x) Como se ve en la figura, entre 0 y la función de distribución F(x) representa el área de un trapecio formado por un rectángulo que tiene por lados y x, y un triángulo de base x y altura x. Por tanto, entre 0 y : k x x x F( x) = x+ k = x+. Para que sea función de distribución se tiene que cumplir: k 9 F() = + = 4k= 9 k= k 4 0 si x< 0 Así, tenemos que la función de distribución es x F( x) = x si 0 x 9 si < x Entre y la función de distribución F(x) sería el área del rectángulo que tiene como uno de los lados k y su otro lado mide la distancia de a x, es decir, x. Por tanto, entre y F(x) = k( x). Para que sea función de distribución se tiene que cumplir: F() = k( ) = k= Así, tenemos que la función de distribución sería: 0 x< x F( x) = x x> a) P( Z 0,7) = P( X 0,7) = 0,4 b) P( Z,7) = P( X,7) = 0,04 c) P( Z,0) = P( X,0) = 0,0 a) P(0, Z 0,9) = P( Z 0,) P( Z 0,9) = 0,7 b) Por simetría de la normal, tenemos: P(,9 Z,) = P(, Z,9) = P( Z,) P( Z,9) = 0,086 54

9 a) P( Z,) = P( X, ) = 0,0968 c) P( Z,8) = P( X, 8) = 0,9656 b) P( Z,) = P( X,) = 0,90 d) P( Z,8) = P( X,8) = 0,044 a) P( Z< a) = 0,8907 a=, b) P( Z< b) = 0,446 P( Z< b) = 0,446= 0,6554 b= 0,4 b= 0,4 c) P( Z< a) = 0,49 P( Z< a) = 0,49= 0,5 a= 0,05 a= 0,05 d) P( Z< a) = 0, P( Z< a) = 0,= 0,9 a=,8 a=,8 X,5 X, P(, X,5) P( X,5) P( X,) P P = = = 0,6 0,6 0,6 0,6 = P( Z 0,8) P(Z,) = P( Z 0,8) ( P(Z, )) = 0,705 X = «Diámetro de las piezas producidas» X N(45; σ ) X P( X> 50) = 0,006 P P Z P Z 0,006 P Z > = > = = = 0,994 =,5 σ=,99 σ σ σ σ σ σ,, P( X,) 0,67 P µ Z µ = = 0,67 = 0,44 σ σ 6,7 6,7 6,7 P( X 6,7) 0,09 P µ Z P µ Z µ > = > = = 0,09= 0,9 =,4 σ σ σ Resolvemos el sistema planteado por las dos ecuaciones:, µ = 0,44 σ µ= 0 6,7 µ σ= 5 =,4 σ 55

10 La distribución que rige esta variable es B(70; 0,5). Como n p = 0,5 > 5 y n ( p) = 59,5 > 5 podemos aproximarla por una normal: X B(70; 0,5) N(0,5 ;,987) La probabilidad pedida será: 8 0,5 5 0,5 P(5 X 8) = P( X 8) P( X 5) P Z P Z = 0,994 0,945= 0,06,987,987 ACTIVIDADES FINALES a) Determinamos el espacio muestral, siendo B = «Blanca» y A = «Azul»: E = {BBB, BBA, BAB, BAA, ABB, ABA, AAB, AAA} Los sucesos no tienen la misma probabilidad, ya que cada extracción no es independiente. El total de bolas es 7. Calculamos las probabilidades de los sucesos elementales: 6 P( X= 0) = = = AAA P( X= ) = + + = = BBA BAB ABB P( X= ) = + + = = BAA ABA AAB P( X= ) = = = BBB Las funciones de probabilidad y de distribución son, respectivamente: si x= 0 5 si x= 5 f(x) = 8 si x= 5 4 si x= 5 0 en el resto de los valores 0 si x< 0 si 0 x< 5 F( x) = si x< 5 si x< 5 si x 56

11 f(x) F(x) b) Determinamos el espacio muestral, siendo F = «Fresa», N = «Naranja» y M = «Menta»: E = {FF, FN, FM, NN, NF, NM, MF, MN} Los sucesos no tienen la misma probabilidad, ya que cada extracción no es independiente. El total de caramelos es 7. Calculamos las probabilidades de los sucesos elementales: 6 P( X= 0) = + + = = FF FM MF P( X= ) = = = FN MN NF NM 4 P( X= ) = = = NN Las funciones de probabilidad y de distribución son, respectivamente: si x= si x= f(x) = 7 si x = 7 0 en el resto de los valores 0 si x< 0 si 0 x< F( x) 7 = 5 si x< 7 si x f(x) F(x) c) Determinamos el espacio muestral, siendo V = «Varón» y A = «Mujer»: E = {VVVV, VVVM, VVMV, VMVV, MVVV, VVMM, VMMV,VMVM,MVMV, MVVM, MMVV, MMMV, MMVM, MVMM, VMMM, MMMM} Los sucesos tienen la misma probabilidad, y el número total es 6. Calculamos las probabilidades de los sucesos elementales: P( X= 0) = 6 4 P( X= ) = = P( X= ) = = 6 8 Las funciones de probabilidad y de distribución son, respectivamente: 4 P( X= ) = = 6 4 P( X= 4) = 6 57

12 si x= 0 o x= 4 6 si x= o x= f (x) = 4 si x = 8 0 en el resto de los valores 0 si x< 0 si 0 x< 6 5 si x< 6 F( x) = si x< 6 5 si x< 4 6 si 4 x f(x) F(x) a) + + = No es una función de probabilidad b) = 69 No es una función de probabilidad c) = No es una función de probabilidad d) 0,+ 0,+ 0,+ 0,+ 0,4= Es una función de probabilidad. Su función de distribución es: 0 si x< x 0, si x x< x 0, si x x x F( x) < = 0,4 si x x < x4 0,6 si x4 x< x5 si x5 x 58

13 4 a) P(Sacar bola de U ) = = P(Sacar bola de U ) = = Todos los sucesos tienen la misma probabilidad: P( X= x i ) = b) si x=,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, o f (x) = 0 en el resto de los valores 0 si x< [ x] F( x) = si x< si x µ= 6,5 σ =,967 σ=,45 Comprobamos que es una función de probabilidad: 0,4 + 0,08 + 0, + 0,5 + 0,5 = Es función de probabilidad. 0 si x< 0,4 si x< 0,48 si x F( x) < = 0,6 si x < 4 0,85 si 4 x< 5 si 5 x f(x) F(x) 59

14 a) P( X> ) = P( X ) = F() = 0,4 b) P( X ) = F() = 0,48 c) P(< X 4) = P( X 4) P( X ) = F(4) F() = 0,7 d) µ=,67; σ=,556 P( µ σ< x<µ+σ ) = P(,4 < X< 4,6) = P( X< 4,6) P( X,4) = F(4,6) F(,4) = 0,45 a) Como la ficha sacada se vuelve a meter en la urna, la probabilidad de sacar una ficha roja es siempre la misma: 5 9 P(Sacar ficha roja) = P(No sacar ficha roja) = 4 4 Determinamos el espacio muestral, siendo R = «Sacar rojo» y N = «No sacar rojo»: E = {NNN, NNR, NRN, RNN, NRR, RNR, RRN, RRR} Los sucesos no tienen la misma probabilidad. Calculamos las probabilidades de los sucesos elementales: 9 79 P( X= 0) = = P( X= ) = = P( X= ) = = P( X= ) = = Así, las probabilidades serán: 50

15 9 79 P( X= 0) = = P( X= ) = = si x= si x= 744 f(x) = 5 si x= si x= en el resto de los valores P( X= ) = = P( X= ) = = si x< 0 79 si 0 x< si x< 744 F( x) = 79 si x< si x< si 4 x a) X P(X = xi) Y P(Y = yi) b) µ X= 4 σ X=,7 µ = σ =,7 Y Y c) 5 P( X< 4) = 4 d) P( X 5) = 8 5

16 a) b) c) X P(X = xi) P( X> 9) = = P( X 5) = = P(Sacar bola de B ) = P(Sacar bola de B ) = P(Sacar un par ( b, b )) = = Algunos resultados no son posibles porque no se pueden obtener multiplicando los números de las bolsas. X Posibilidades P(X = xi) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) 4 (, 4) (4, ) (, ) 5 (, 5) 6 (, ) (, ) 8 (, 4) (4, ) 9 (, ) 0 (, 5) (, 4) (4, ) 5 (, 5) 6 (4, 4) 0 (4, 5) P( X> ) = 0 5

17 X B(4; 0,5) 0 4 P(X = xi) 0,64 0,49 0,09 0,0469 0,009 5

18 a) X B(; 0,9) 0 µ=,7 P(X = xi) 0,00 0,07 0,4 0,79 σ= 0,596 b) X B(5; 0,5) µ= 0,75 P(X = xi) 0,447 0,95 0,8 0,048 0,00 0,00008 σ= 0,7984 a) Es una B(50; 0,97) µ= 48,5 El caso con mayor probabilidad es 49. b) Es una B(5; 0,) µ= 0,6 El caso con mayor probabilidad es 0. c) Es una d) Es una B 0; 6 µ=,67 El caso con mayor probabilidad es. B 7; µ=,5 Los casos con mayor probabilidad son y 4. e) Es una B ( 0; 0,7) µ= 4 El caso con mayor probabilidad es 4. f) Si la variable aleatoria fuese saber si se han titulado en el tiempo mínimo sí sería una binomial, pero esta variable no sigue una binomial. a) P( X= 0) = 0, 40 P( X< ) = 0, 657 P( X ) = 0, 087 b) P( X= 7) = 0,67 P( X 4) = 0, 8 P( X> 6) = 0, 67 c) P( X= 8) = 0, 047 P( X ) = 0, 055 P( X< 0) = 0,

19 Sea X = «Tirar una moneda al aire 8 veces y apuntar el número de caras» X B 8; P( X 5) = 0, 8555 Sea X = «Cuántos grifos son defectuosos de una muestra de 9 grifos» X B( 9; 0,06) a) P( X> ) = P( X ) = 0,0978 b) P( X= 0) = 0,57 55

20 Sea X = «Cuántas chicas hay en el grupo de 6 estudiantes» X B 6; a) P( X ) = 0, 656 b) P( X= 0) = 0, 056 c) P( X= ) = 0, 5 Por cada chica hay tres chicos, es decir, P (Chica) = 4 X B 6; 4 a) P( X ) = 0, 964 b) P( X= 0) = 0,78 c) P( X= ) = 0, 8 Sea X = «Cuántos enfermos sanarán del grupo de 0» X B( 0; 0,8) P(0< X< 5) = P( x< 5) P( X 0) = 0,9 Sea X = «Cuántos 5 salen en los 4 dados» X B 4; 6 a) P( X= ) = 0, 57 b) P( X> ) = 0, 06 c) P( X ) = P( X= 0) = 0,577 El orden sería: b) < a) < c). Sea X = «Cuántas canastas encesta de 5 lanzamientos» X B( 5; 0,4) a) P( X= 4) = 0, 0768 c) P( X ) = 0, 686 b) P( X> ) = 0,087 d) P( X= 0) = 0,

21 Sea X = «Cuántos encuestados responden 'NS/NC' de los 5» X B( 5; 0,) a) P( X 0) = 0,00000 b) P( X= ) = 0,88 Sea X = «Cuántas revisiones son no aptas de los 5 vehículos» X B 5; a) P( X= ) = 0,4 b) P( X= 0) = 0, 0476 c) P( X< 0) a) f(x) forma un rectángulo con el eje X con lados de longitud 0,5 y El área bajo f(x) es 0,5 =, por tanto, es función de densidad. b) f(x) forma un rectángulo con el eje X con lados de longitud 5 y tanto, es función de densidad. 6 = El área bajo f(x) es =, por 5 a) f(x) forma dos rectángulos con el eje X con los lados de las siguientes longitudes: k y Área = k 4k y Área = 4k Para ser función de densidad, el área bajo f(x) debe ser k+ 4k= k=. 5 57

22 La función de distribución es: b) Dibujamos f(x): 0 si x< 0 x si 0 x< 5 F( x) = 4x si x< 5 si x f(x) Como se ve en la figura, entre 0 y k la función de distribución F(x) representa el área de un trapecio formado por un rectángulo cuyos lados miden 4 y x, y un triángulo de base x y altura x. Por tanto, el valor de la 4 función de distribución entre 0 y k sería: x x F( x) = + 4 = 4 8 x x + x Para ser función de densidad, la función de distribución en x = k debe valer, por tanto: k + k k= 4 F( k) = = k + k 8= 0 8 k= Como en la definición vemos que k > 0 k =. Así, la función de distribución queda: 0 si x< 0 x + x F( x) = si 0 x< 8 si x c) Dibujamos f(x): f(x) k= k= 0 Como se ve, k debe valer como mínimo, porque de otro modo f(x) no sería siempre positiva, algo imprescindible para ser función de densidad. Además, si hacemos k=, el área bajo f(x) sería un triángulo de base y altura k= para que f(x) sea función de densidad. cuya área es. Por tanto La función de distribución entre y, es el área del trozo de triángulo entre y x o, lo que es lo mismo, menos el área del triángulo entre x y : 58

23 x+ ( x) 0,5 x+ ( x) x x+ F( x) = = = 4 La función de densidad es: 0 si x< 0 x x+ F( x) = si x 4 si < x f(x) en [, 8] forma un rectángulo con el eje X de cuyos lados miden 6 y 6, y cuya área mide 6=. Por tanto, 6 es una función de densidad cuya función de distribución es: 0 si x< x x+ F( x) = si x 4 si < x a) b) c) P( X< ) = F( x) = ( ) = 6 6 P( X 5) = P( X 5) P( X< ) = F(5) F() = = 6 P( X> 6) = P( X 6) = = 6 x x x La función forma un triángulo con el eje X de base x y altura, cuya área es A( x ) =. De esta forma, el área bajo f(x) será: A(6) A(4) = = Es función de densidad. 0 0 La función de distribución en [4, 6] será A(x) A(4), así: 0 si x< 4 x 6 F( x) = si 4 x 6 0 si 6< x a) P( X< 4,5) = F(4,5) = 0,5 b) P(4,5 X 5) = P( X 5) P( X 4,5) = F(5) F(4,5) = 0,75 c) P( X> 5) = P( X 5) = F(5) = 0,55 59

24 a) P(0,5< X<,5) = F(,5) F(0,5) = 0,4065 c) P( X<,5) = F(,5) = 0,49 b) P(< X< ) = F() F() = 0,875 d) P( X>,) = F(,) = 0,784 a) b) P( X ) = F() F() = c) P(,5 X,5) = F(,5) F(,5) = P( X ) = F() = d) P( X> ) = F() = 540

25 a) P( Z< 0,6) = 0,757 e) P( Z<,) = 0,8907 b) P( Z 0,9) = 0,8 f) P( Z,0) = 0,9778 c) P( Z<,) = 0,90 g) P( Z 0,07) = 0,579 d) P( Z,4) = 0,998 h) P( Z< 0,) = 0,67 a) P( Z 0,6) = P( Z 0,6) = 0,74 e) P( Z=,) = 0 b) P( Z> 0,9) = P( Z 0,9) = 0,84 f) P( Z>,6) = P( Z,6) = 0,0548 c) P( Z>,5) = P( Z,5) = 0,0668 g) P( Z> 0,0) = P( Z 0,0) = 0,488 d) P( Z ) = P( Z ) = 0,08 h) P( Z,) = P( Z, ) = 0,06 a) P( Z 0,4) = P( Z 0,4) = 0,446 e) P( Z<,5) = P( Z,5) = 0,006 b) P( Z,6) = P( Z,6) = 0,056 f) P( Z,76) = P( Z,76) = 0,09 c) P( Z<,) = P( Z,) = 0,007 g) P( Z< 0,) = P( Z 0,) = 0,448 d) P( Z =,05) = 0 h) P( Z,07) = P( Z,07) = 0,4 a) P( Z>,7) = P( Z,7) = 0,898 e) P( Z= 0,) = 0 b) P( Z,0) = P( Z, 0) = 0,978 f) P( Z,04) = P( Z, 04) = 0,8508 c) P( Z >,5) = P( Z, 5) = 0,95 g) P( Z> 0,09) = P( Z 0, 09) = 0,559 d) P( Z ) = P( Z ) = 0,977 h) P( Z,) = P( Z, ) = 0,

26 a) P( Z>,) = P( Z, ) = 0,5 e) P( Z< 0,) = P( Z 0,) = 0,707 b) P( Z 0,9) = P( Z 0,9) = 0,76 f) P( Z> 0,45) = P( Z 0, 45) = 0,64 c) P( Z,9) = P( Z,9) = 0,0 g) P( Z ) = P( Z ) = 0,587 d) P( Z= 0) = 0 h) P( Z,) = P( Z, ) = 0,986 a) P Z = 0, 695 b) P Z P Z = = 0, c) P Z P Z > = = 0, d) P Z P Z < = = 0, e) P Z = 0, f) P Z P Z = = 0, 006 a) P(0,4< Z,8) = P( Z,8) P( Z 0,4) = 0,086 b) P( 0,6 Z 0,9) = P( Z 0,9) P( Z 0,6) = P( Z 0,9) ( P( Z 0,6)) = 0,5496 c) P(,5 Z< 0,64) = P( Z 0,64) P( Z,5) = P( Z 0,64) ( P( Z,5)) = = P( Z,5) P( Z 0,64) = 0,956 a) P(,8< Z,8) = P( Z,8) P( Z,8) = P( Z,8) ( P( Z,8)) = P( Z,8 ) = 0,98 b) P(,06 Z,06) = P( Z, 06) = 0,9606 c) P(,5 Z<,5 ) = P( Z, 5) = 0,

27 a) P( Z< k) = 0,9599 k=,75 b) P( Z> k) = P( Z k) = 0,975 k=,55 c) P( Z> k) = P( Z k) = 0,085 P( Z k) = 0,695 k= 0,5 d) P( Z< k) = P( Z k) = 0,056 P( Z k) = 0,9744 k=,95 e) P( Z k) = P( Z k) = 0,464 P( Z k) = 0,566 k= 0,6 f) P( Z> k) = P( Z k) = 0,5557 k= 0,4 f) X 08 f 08 f 08 P( X f ) = 0,777 P = 0,777 = 0,745 f= 9, P( k< Z< k) = P( Z k) ( P( Z k)) = P( Z k) a) b) 0,844+ P( k< Z< k) = 0,844 P( Z k) = = 0,907 k=,4 0,098+ P( k< Z< k) = 0,098 P( Z k) = = 0,599 k= 0,05 54

28 c) d) e) 0,8+ P( k< Z< k) = 0,8 P( Z k) = = 0,695 k= 0,5 0,4448+ P( k< Z< k) = 0,4448 P( Z k) = = 0,74 k= 0,59 0,8664+ P( k< Z< k) = 0,8664 P( Z k) = = 0,9 k=,5 Calculamos los extremos correspondientes, k y k, para N(0, ) y los transformamos en los extremos x, y de la normal correspondiente mediante las siguientes transformaciones: x µ = k x =µ σ k σ y µ = k x =µ+σ k σ a) b) c) 0,9+ P( k< Z< k) = 0,9 P( Z k) = = 0,95 k=,645 El intervalo es [0,55; 9,95]. 0,68+ P( k< Z< k) = 0,68 P( Z k) = = 0,84 k= 0,995 El intervalo es [4,05; 54,965]. 0,84+ P( k< Z< k) = 0,84 P( Z k) = = 0,9 k=,405 El intervalo es [48,95; 9,075]. a) P( k< Z< k) = P( Z< k) P( Z< k) = 0,076 k= 0, b) P( k< Z< k) = P( Z< k) P( Z< k) = P( Z< k) P( Z> k) = P( Z< k) + P( Z< k) = 0,574 P( Z< k) + P( Z< k) =,574 k= 0, c) P( k< Z< k) = P( Z< k) P( Z< k) = P( Z< k) P( Z> k) = P( Z< k) + P( Z< k) = 0,98 P( Z< k) + P( Z< k) =,98 k=,5 d) P( 5k< Z< k) = P(k< Z< 5 k) = P( Z< 5 k) P( Z< k) = 0,89 k= 0,4 a) 5 P( X< ) = P Z = P( Z 0,75) = P( Z 0,75) = 0,66 4 b) P( X 7,) = P( X 7,) = P( Z 0,575) = 0, 86 c) P( X 8, 4) = P( Z 0,85) = 0,80 544

29 d) P( X 8,04) = P( X 8,04) = P( Z,74) = P( Z,74) = 0,959 e) P(4< X 0) = P( X 0) P( X 4) = P( Z,5 ) P( Z 0,5) = P( Z,5 ) ( P( Z 0,5)) = 0,49 f) P(0 X< ) = P( X ) P( X 0) = P( Z 0,5) P( Z,5 ) = P( Z,5) P( Z 0,5) = 0,09 g) P( X< 6) = P( X 6) P( X ) = P( Z 0, 5) P( Z ) = P( Z 0,5) ( P( Z )) = 0,440 h) P(6 X 7) = P( X 7) P( X 6) = P( Z 0,5) P( Z 0,5) = 0, a) P( X< 86) = P Z = P( Z 0,55) = 0,7088 b) P( X 88) = P( X 88) = P( Z 0,7) = 0,7 c) P( X 75) = P( Z 0,45) = P( Z 0,45) = 0, d) P( X 68) = P( X 68) = P( Z,09) = P( Z,09) = 0,86 e) P(67< X 77) = P( X 77) P( X 67) = P( Z 0,7) P( Z,8 ) = P( Z,8 ) P( Z 0,7) = 0,746 f) P(76 X< 85) = P( X 85) P( X 76) = P( Z 0,45) P( Z 0,6) = P( Z 0,45) ( P( Z 0,6)) = 0,4 g) P( 70 X 7) = P( X 7) P( X 70) = P( Z 0, 7) P( Z 0,9) = P( Z 0,9) P( Z 0, 7) = 0,5 h) P(8 X> 80) = P( X 8) P( X 80) = P( Z 0,7 ) P( Z 0) = 0,064 a) P( X ) P µ Z µ = = 0,695 = 0,5 0,5σ+µ= σ σ 8 8 P( X 8) P µ Z µ < = = 0,998 =,5,5σ+µ= 8 σ σ 0,5σ+µ= µ= 5,5,5σ+µ= 8 σ= 7 b) P( X 5) P( X 5) P µ Z 0,056 P µ Z µ > = = = = 0,8944 =,5,5σ+µ= 5 σ σ σ 4,8 4,8 4,8 P( X 4,8) P( X 4,8) P µ Z P µ Z µ > = = = = 0,9 =,5,5σ+µ= 4,8 σ σ σ 74 µ= = 5,88,5σ+µ= 5,5σ+µ= 4,8 404 σ= = 7,

30 a) P( X> 70) = P( X 70) = P( Z 0,4) = 0,7 b) P( X< 68) = P( Z 0,5) = 0,5987 c) P(59 X 7) = P( X 7) P( X 59) = P( Z 0,5) P( Z 0,50) = P( Z 0,5) + P( Z 0,50) = 0,46 P( X ) P µ Z 0,76 P µ Z µ = = = 0,88 = 0,9 0,9σ+µ= σ σ σ P( X 9) P( X 9) P µ Z 0,0075 P µ Z µ > = = = = 0,995 =,4,4σ+µ= 9 σ σ σ 6 µ= = 4,66 0,9σ+µ= 56,4σ+µ= 9 5 σ= =,79 4 a) P(70 X 7) = P( X 7) P( X 70) = P( Z 0,75) P( Z,5) = P( Z,5) P( Z 0,75) = 0, b) P(78 X 80) = P( X 80) P( X 78) = P( Z,5) P( Z 0,75) = 0, c) P( X> 8) = P( X 8) = P( Z,5) = 0,0668 Para calcular el número de lubinas multiplicamos la probabilidad por el número de ejemplares extraídos. a) P( X 980) = P( X 980) = P( Z 0,4) = 0, ,446 4 lubinas b) P(750 X 00) = P( X 00) P( X 750) = P( Z ) P( Z 0,75) = = P( Z ) + P( Z 0,75) = 0,647= 6,47% de las lubinas 546

31 c) Las 0 lubinas más pequeñas representan la 0 = 0, parte menor de la probabilidad, por tanto, debemos 00 encontrar un número k tal que: k 900 k 900 P( X k) = 0, P( X k) = P Z P Z = = 0, k 900 k 900 P Z = 0,8 = 0,84 k= «Las 0 lubinas más pequeñas pesan menos de 7 g». d) Procedemos de forma similar al apartado anterior: k 900 P( X k) = = 0,5 P( X k) = P( X k) = P Z = 0, k 900 k 900 P Z = 0,75 = 0,675 k= «Las cuarta parte formada por las más grandes pesa más de 05 g». a) P( X> 500) = P( X 500) = P( Z,67) = 0,0478= 4,78% de bombillas b) P(5040 X 5070) = P( X 5070) P( X 5040) = P( Z 0,58) P( Z 0,) = 0,0896= 8,96% de las bombillas c) P(5 45 X 50) = P( X 50) P( X 5 45) = P( Z,9) P( Z,) = 0,0858= 8,58% de las bombillas X = «Tiempo de fabricación de una camisa» N(6,5; σ ) 7 6,5 0,5 P( X 7) = 9,70% = 0,97 P( X 7) = P Z = 0,97 =,5 σ= 0,7 X N(6,5; 0,7) σ σ Para calcular el número de días multiplicamos la probabilidad por el número total de días del año. P( X 7) = P( X 7) = P( Z,5) = 0,056 0,056 65= 8,544 9 días al año se superan los 7º. P( X 5) = P( Z 0,75) = 0,774 0,774 65= 8,9 8 días al año no se superan los 5 ºC. 547

32 Para calcular el número de manzanas multiplicamos la probabilidad por el número de kilos comprados. a) P( X 68) = P( Z 0,8) = P( Z 0,8) = 0,897 0, = 5845 kg de manzana s. b) P(70 X 80) = P( X 80) P( X 70) = P( Z 0,) P( Z 0, ) = = P( Z 0,) + P( Z 0,) = 0,585 0, = 77,5 kg de manzanas. c) P( X 60) = P( Z 0,6) = P( Z 0,6) = 0,74 0, = 4 4,5 kg de manzanas de menos de 60 g ,5= 0 885,5 kg de manzanas de más de 60 g. d) El peso, k, debe cumplir: k 75 P( X k) = = 0,5 P( X k) = P( X k) = P Z = 0,5 4 5 k 75 k 75 P Z = 0,75 = 0,675 k= 9,875 g será el peso de separación. 5 5 Sea X = «Cuántos discos son defectuosos de los 00 escogidos al azar» X B( 00; 0,) 00 0,= 0> 5 X B( 00; 0,) N( 0; ) 00 0,9= 90> 5 a) P (,5) (,5) (, 5) (,8) (,8) (,5) 0,009 X + = P X P X = P Z P Z = P Z P Z = b) P( X> ) = P( X ) = P( Z ) = P( Z ) = 0,9987 P (Acertar una pregunta) = Sea X = «Cuántas preguntas se han respondido correctamente de las 50» X B 50; 50 = 6,67> X B 50; N ; 50 =,67> 5 548

33 a) P( X> 4) = P( X 4) = P( Z,80) = P( Z,80) = 0,9999 b) P( X< 0) = P( Z ) = P( Z ) = 0,08 c) P( X 5) = P( X 5) = P( Z,50) = 0,006 Sea X = «Cuántas pruebas dan positivas de las 60» X B( 60; 0,) 60 0,= 8> 5 X B( 60; 0,) N( 8;,55) 60 0,7= 4> 5 a) P( X< 5) = P( Z,66) = P( Z,66) = 0,000 b) P( X ) = P( X ) = P( Z 4,79) = P( Z 4,79) Sea X = «Cuántas vacunaciones son efectivas de las 00 realizadas» X B( 00; 0,6) 00 0,6=,> 5 X B( 00; 0,6) N( 0; 6, 9) 00 0, 4= 80> 5 a) P 0 X 0 + = P( X 0,5) P( X 9,5) = P( Z,9) P( Z,06) = P( Z,06) P( Z,9) 0 b) P(80 X 0) = P( X 0) P( X 80) = P( Z 0) P( Z 5,77) = P( Z 5,77) P( Z 0) = 0,5 c) P( X 90) = P( Z 4,) = P( Z 4,) 549

34 550

35 55

36 55

37 PARA PROFUNDIZAR 55

38 Sea X = «Número de caras al lanzar la moneda 4 veces» X B( 4; p) 4 P( X = ) = p ( p) = 6 p ( p) = 6 p ( p) = 6 p( p) =± 6 6± 6 4 ± p = = 6 6p+ 6p± = 0 6± 6+ 4 ± 5 p= = 6 La única solución con 0< p< es En la primera elección podemos sacar cualquier bola. Es en la segunda donde hay diferencia: P= 00 P = P P = = p= P (Elegir dos zurdos) = = X B(5; 0,5) P( X ) = P( X< ) = 0 + = = 6 Sea X = «Cuántos relojes están defectuosos de los 000» X B( 000; 0,04) 000 0,04= 40> 5 X B( 000; 0,04) N( 40; 6,) 000 0,96= 960> 5 P( X< 0) = P( Z 4,84) = P( Z 4,84) P( X 9) P µ Z 0,0 P µ Z µ < = = = 0,97 =,88,88σ+µ= 9 σ σ σ 8,6 8,6 P( X 8,6) P( X 8,6) P µ Z 0,05 P µ > = = = Z = 0,95 σ σ 8,6 µ =,645,645σ+µ= 8,6 σ 60 µ= = 4,,88σ+µ= 9 5 X N(4,;,7),645σ+µ= 8,6 8 σ= =,7 47 P( X< 8) = P( Z,5) = P( Z,5) = 0,0 D d N + ; 0, ( D d) 554

39 P(Eliminar una bola) = P( X< d) + P( X> D) D d + d d D P( X< d) = P Z = P Z = P Z = P( Z,67) = 0,0475 0,( D d) 0,( D d) 0,6 D+ d D D d P( X> D) = P Z> = P Z> = P Z> = P( Z,67) = 0,0475 0,( D d) 0,( D d) 0,6 P(Eliminar una bola) = P( X< d) + P( X> D) = 0,

40 MATEMÁTICAS EN TU VIDA Un proceso de calidad consiste en extraer de forma aleatoria una muestra de tornillos de cada partida de elementos fabricados, comprobar si dichos elementos cumplen los estándares y se extrapolar los resultados obtenidos a toda la partida. Si la muestra ofrece por término medio unos datos incorrectos, se retira toda la partida y se vuelve a calibrar el proceso de fabricación. Una distribución normal. σ = 0,04 X = «Cuántos tornillos están defectuosos de una muestra de n». Y = «Medida de un tornillo». X B( n; p), donde p= PY ( < 4,5) + PY ( > 5,5) Con los datos del texto, tendríamos: p= PY ( < 4,5) + PY ( > 5,5) = P( Z,5) + P( Z>,5) = P( Z,5) + P( Z,5) = 0,04 X B( 000; 0,04) µ=,4 tornillos defectuosos. P(4,9 X 5,) = P( X 5,) P( X 4,9) = P( Z 0,5) P( Z 0,5) = P( Z 0,5 ) = 0, 89 Sea k la medida desde la media de los tornillos. P(5 k X 5 + k) = 0,0= 0,99 P( X 5 + k) = 0,99 P( X 5 + k) = 0, k 5 k k P Z = P Z = 0,995 =,575 k= 0,55 mm 0, 0, 0, Las medidas máxima y mínima serían, respectivamente, 5,55 y 4,485 mm. 556