4 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Transcripción

1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Una ruleta está dividida en cuatro sectores de 90º de los que dos opuestos por el vértice son Azules, y los otros dos son uno Blanco y el otro Rojo. Conderemos el experimento aleatorio constente en hacer girar la ruleta dos veces y anotar el par ordenado de resultados. Al cada sector Azul le agnamos 50 puntos, al Blanco 00 y al Rojo 50. Definamos ahora la variable aleatoria X: Ω R que a cada suceso elemental le agna la suma de puntos de sus dos tiradas. a) Construir el espacio muestral, Ω, asociado a la experiencia. b) Calcular la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales. c) Determinar el espacio imagen Ω* X(Ω). d) Construir la función de probabilidad imagen de X (ley de probabilidad de X), f(x). e) Construir la función de distribución de X, F(x). f) Calcular E(X), Var(X) y DT(X). a) y b) Sea U {A, V, R}. El espacio probabilístico asociado al experimento es: Ω U U {(A,A), (A,B), (A,R), (B,A), (B,B), (B,R), (R,A), (R,B), (R,R)} P R {/, /8, /8, /8 /6 /6 /8 /6 /6 c) y d) La variable aleatoria X: Ω R queda descrita por: Ω {(A,A), (A,R), (R,A), (A,B), (B,A), (R,R), (B,R), (R,B), (B,B)} X R Ω* { } La probabilidad imagen viene dada por: P( X 00 ) P P( X 0 ) P P( X 50 ) P P( X 00 ) P P( X 50 ) P P( X 00 ) P [ X ( 00 )] P [{( A,A )}] [ X (0 )] P [{( A,R ),( R,A )}] [ X ( 50 )] P [{( A,B ),( B,A )}] [ X (00 )] P [{( R,R )}] 6 8 [ X (50 )] P [{( B,R ),( R,B )}] [ X ( 00 )] P [{( B,B )}] e) Podemos representar la distribución de probabilidades (diagrama de barras) y la función de distribución acumulativa, F : R R, definida por F(x) P(X x), con EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 69

2 EXCEL, como hicimos con las correspondientes de una distribución estadística discreta (ver tema ): f) E[ X ] pi xi 5 i V [ X ] E[ X ] i i i i σ V [ X ] 87,5 9,86 ( E[ X ]) p x p x 906, , 5 i i 70 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

3 Sea Ω el espacio muestral de 0 elementos asociado a la extracción de una carta de una baraja española. Si se agnan puntos a cada as, a cada rey, a cada caballo, a cada sota y 0 a cada una de las cartas restantes se tiene una variable aleatoria X. a) Determinar el espacio imagen Ω* X(Ω). b) Construir la función de probabilidad imagen de X (ley de prob. de X). c) Construir la función de distribución de X. d) Calcular E(X), Var(X) y DT(X). a) El espacio muestral asociado al experimento es ΩA & R & C & S & O, donde A, R, C, S y O son el conjunto de ases, reyes, caballos, sotas y otras, respectivamente, con P(x) /0 para cada x Ω. La variable aleatoria X: Ω R queda descrita por: x Ω,,, x a X ( x ),, 0, x A x R x C x S x O El espacio muestral imagen es Ω * {0,,,, }: b) La probabilidad imagen queda determinada por: * P ( ) P( X ) P * P ( ) P( X ) P * P ( ) P( X ) P * P () P( X ) P * P (0 ) P( X 0 ) P [ X ( )] P[ A] [ X ( )] P[ R] [ X ( )] P[ C] [ X ()] P[ S] [ X ( 0 )] P[ O] EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 7

4 c) Podemos representar la distribución de probabilidades (diagrama de barras) y la función de distribución acumulativa, F: R R, definida por F(x) P(X x), con EXCEL, como en el ejercicio anterior: d) E[ X ] pi xi i V [ X ] E[ X ] i i i i σ V [ X ], ( E[ X ]) p x p x i i 7 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

5 Sea X una variable aleatoria que toma los valores 0, y con probabilidades 0,, 0,5 y p, respectivamente. a) Calcular el valor de p. b) Calcular la esperanza matemática y la varianza de X. c) Definir y representar la función de distribución, F(x). a) X: Ω Ω* {0,,}, con P(X0) 0,, P(X) 0,5 y P(X) -(0,+0,5) 0,. b) E[ X ] p x 0, 9 ; V [ X ] E[ X ] ( E[ X ]), (0,9 ) 0, 9 c) σ i i i V [ X ] 0,9 0 7, EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 7

6 Se lanza un dado cúbico del que tres caras están marcadas con, dos caras con y una cara con 6. a) Después de lanzar el dado se anota la puntuación aparecida. Se degna por X la variable aleatoria que a cada jugada le asocia esa puntuación. Construir el espacio probabilístico imagen de X. Representar la función de probabilidad y la función de distribución acumulativa de X. b) Se lanza el dado dos veces y se degna por Z la variable aleatoria que a cada par ordenado de puntuaciones le agna la suma de puntos. Representar la función de probabilidad y la función de distribución acumulativa de Z. a) El espacio muestral del experimento es Ω {,,6} y el espacio probabilístico imagen es Ω* {,,6}, ya que la variable aleatoria X: Ω R es la función identidad sobre Ω: X(), X() y X(). Entonces, P(X) /6, P(X) /6 y P(X)/6. 7 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

7 Los parámetros estadísticos usuales son: E[ X ] p x,667 ; i i i V [ X ] E[ X ] ( E[ X ]), 89 ; σ V [ X ],89, 777 b) El espacio muestral del experimento es ahora el producto carteano Ω Ω Ω {(,), (,), (,6), (,), (,), (,6), (6,), (6,), (6,6)}, con P(i,,j)P(i) P(j), por independencia. El espacio probabilístico imagen de la v.a. Z es Ω* {,,,7,8,}. La probabilidad imagen viene dada por: 9 P( Z ) P[ Z ( )] P [{(,)} ] P( Z ) P[ Z ( )] P [{(, ),(,)} ] P( Z ) P[ Z ( )] P [{(, )] P( Z 7 ) P[ Z (7 )] P [{(,6 ),(6,)}] P( Z 8 ) P[ Z ( 8 )] P [{(,6 ),(6, )}] P( Z ) P[ Z ( )] P [{( 6,6 )] Los estadísticos usuales son: E[ X ] p x, ; i i i ( E[ X ]) 6, 777 V [ X ] E[ X ] ; σ V [ X ],89,5055 EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 75

8 76 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

9 5 La función de distribución acumulativa F:R R de una variable aleatoria X 0, x <, /, x < 0, viene definida por: x a F( x ) /, 0 x <,, x. a) Dibujar la gráfica de F. b) Describir la función de probabilidad de X y representarla mediante un diagrama de barras. c) Calcular las guientes probabilidades: P(X ), P(X ), P(X < ), P(X ), P(X ), P(0 < X < ), P(0 < X ), P( X ). Una vez representada la función de distribución, sabemos que las probabilidades de los valores discretos de x son los saltos de dicha función escalonada. Es decir: x i - 0 p i P(X x i ) / / / La función de probabilidad f:r R viene definida por: /, x /, x 0 x a f ( x ) /, x 0, en otro caso. EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 77

10 Ahora: P ( X ) 0 P ( X ) F() (También P ( X ) P( X ) + P( X 0 ) + ) P ( X < ) P( X 0 ) F(0 ) P ( X ) P ( X ) F( ) P (0 < X < ) 0 P ( 0 < X ) F( ) F(0 ) (También P (0 < X ) P( X ) ) P ( X ) P( X ) + P( < X ) 0 + F( ) F( ) 0 + (También P ( X ) P( X ) ) 78 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

11 6 La función de probabilidad de una variable aleatoria X es nula salvo en los puntos x {0,, }, en los que toma los valores P (X 0) c, P(X ) c 0c, P(X ) 5c, para un cierto c > 0. a) Calcular el valor de c. b) Describir y representar la función de distribución acumulativa, F. c) Calcular las probabilidades P(X < ), P(X ), P( < X ), P(0 < X < ). d) Hallar ( es que existe) el mayor valor de x tal que F (x) <. e) Hallar ( es que existe) el menor valor de x tal que F (x) >. a) Puesto que p0 + p + p P( X 0 ) + P( X ) + P( X ), se tiene que c + ( c 0c ) + ( 5c ) c 0c + 9c 0 ( c )( c )( c ) 0 Las soluciones de la ecuación anterior son c,c y c. Las dos primeras no son solución de nuestro problema, pues sería P ( X 0 ) >. Así, ha de ser c. 6 Entonces: p0, p y p b) La función de probabilidad y la función de distribución son: EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 79

12 La función de probabilidad f:r R viene definida por x a / 9, / 9, f ( x ) 6 / 9, 0, x 0 x x en otro caso. La función de distribución acumulativa F:R R viene definida por 0, / 9, x a F( x ) /,, x < 0, 0 x <, x <, x. c) P ( X < ) P( X 0 ) 9 P ( X ) P( X 0 ) + P( X ) + P( X ) 6 P ( < X ) P( X ) 9 6 P ( 0 < X < ) P( X ) + P( X ) d) Observando la definición o la gráfica de F(x), vemos que para todo x del intervalo ], [ es F ( x ) <, luego el valor pedido no existe: dicho intervalo no tiene máximo. e) Análogamente, observamos que para todo x del intervalo [, + [ es Ahora, este intervalo sí tiene un mínimo,, que es el valor pedido. F ( x ) >. 80 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

13 7 De una variable aleatoria X cuyos valores pobles son,,,..., n, se sabe que P (X k) es proporcional a k (esto es, existe un α tal que P(X k) α k ). Determinar la constante de proporcionalidad, α, la función de probabilidad, f, y la n(n + ) función de distribución, F. (Recuérdese que n ). n Como P( X k ), ha de ser α k, luego α k. Teniendo en cuenta la k n k n k n( n + ) fórmula de la suma de los n primeros naturales, se tiene que α, luego α. n ( n + ) Así, k p k P( X k ). n( n + ) La función de probabilidad f:r R viene definida por x a f ( x ) P( X 0, x x ), n( n + ) en x {,,, K,n} otro caso La función de distribución acumulativa F:R R viene definida por Es decir x a F( x ) P( X x ) k x P( X k ) x ], [... F(x) 0 x [, [... F(x) F() P( X ) n( n + ) 6 x [, [... F(x) F() P( X ) + P( X ) + n( n + ) n( n + ) n( n + ) x [n,+ [... F(x) F(n) P ( X ) + P( X ) +...P( X n ) EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 8

14 8 Se sabe que el número de minutos, x, que uno tiene que esperar un tren en cierta estación del metro es una variable aleatoria discreta, X, con la guiente función 0, x k /0 para k {0,,,..., 0}, de probabilidad: x a f(x) /, x {0; 0'; 0'6; 0'9; '; '; '7; '0}, / 9, x {'; '5; '8}. a) Representar f por un diagrama de barras y dibujar la gráfica de la correspondiente función de distribución, F. b) Sea A el suceso constente en que uno tiene que esperar un tiempo x [0,] y sea B el suceso constente en que uno tiene que esperar un tiempo x [,]. Calcular las probabilidades P(A), P(B), P(A B), P(A B) y P(A B). a) 8 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

15 b) P ( A ) P( x [0, ]) P(0 ) + P(0, ) + P(0,6 ) + P(0,9 ) + P(, ) + P(,5 ) + P(,8 ) P ( B ) P( x [,]) P(, ) + P(,5 ) + P(,8 ) + P(,) + P(, ) + P( 7, ) + P( ) P ( A B ) P( x [, ]) P(, ) + P(,5 ) + P(,8 ) P( A B ) / P ( A B ) P( B ) / P( A B ) P( A ) + P( B ) P( A B ) + ( P ( A B ) P( Ω*) ) EPR VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS 8

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