Postulados de Euclides 1

Transcripción

1 Postulados de Euclides 1 En cualquier triángulo cuando se prolonga uno de sus lados, el ángulo exterior producido es mayor que cualquiera de sus ángulos interiores no adyacentes. Guía para la Construcción en Geogebra Paso1: Se abre la página Geogebra en la ventana vista y gráfica, donde se realizará la construcción. se elige la vista algebraica y vista Paso2: Como se quiere construir un triángulo: Se trazaran los vértice del triángulo, para ello, haz clic en la ventana Punto y elige punto con lo que marcas los tres puntos A, B, C en vista gráfica.

2 a) Luego se trazaran los lados del triángulo por lo que se hace clic en la ventana recta y se elige segmento uniendo los puntos en el siguiente orden primero A y B, luego A y C y por último se C y B; con lo que quede construido el triángulo. b) Ahora se va prolongar el segmento CB para lo que haz clic en la ventana recta y se elige una semirrecta que pase por C y B

3 Paso3: Para determinar el valor del ángulo exterior del triángulo entre el segmento prolongado y el lado BC: a) Primero haz clic en la ventana punto y elige punto colocando un punto D en el segmento prolongado. b) Luego haz clic en la ventana ángulo y elige ángulo para determina el valor del ángulo exterior del triángulo; para ello marca los puntos en el siguiente orden D,B y A.

4 Paso4: Como se quiere demostrar el ángulo exterior producido es mayor que cualquiera de sus ángulos interiores y no adyacentes del triángulo: a) En este caso si deseamos probar el valor del ángulo A es menor que el ángulo exterior, haz clic en la ventana ángulo y elige ángulo marcando los puntos en el siguente orden C, A y B. b) De igual forma si se quere probar con el ángulo C, haz clic en la ventana ángulo y se elige ángulo marcando los puntos en el siguiente orden B,C y A; con lo que queda demostrado el postulado.

5 Postulados de Euclides 2 Si cuando una transversal intersecta dos rectas dadas hace con ellas ángulos alternos iguales entonces las rectas son paralelas. Guía para la Construcción en Geogebra Paso1: Se abre la página Geogebra en la ventana vista y gráfica, donde se realizará la construcción. se elige la vista algebraica y vista Paso2: Se desea construir una transversal que interseca dos rectas dadas: a) Se marca un punto A sobre el eje y; dibujando una recta f perpendicular a dicho eje, pasando por A y de igual forma repetimos el mismo procedimiento utilizando ahora el punto B y la recta perpendicular g pasando por B.

6 b) Marco los puntos C y D en la recta f,el primero lejos de A y el otro cerca de C; de la misma manera marco los puntos E y F en la recta g, donde ahora el primero es cerca de B y el otro lejos de E pero a la misma distancia de D. c) Luego trazamos la recta h pasando por el punto C y E; con lo que queda construir la transversal que interseca las dos rectas dadas, en este caso las rectas f y g.

7 Paso3: Ahora buscamos los ángulos alternos para demostrar que las rectas son paralelas. a) Marcamos el ángulo ACE y luego el ángulo FEC alterno al ángulo anterior, con lo que queda demostrado que las rectas f y g son paralelas; ya que, dichos ángulos tienen la misma medida.

8 Postulados de Euclides 3 Sea L y M dos rectas paralelas y t una transversal, entonces los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos interiores de un lado de t, suman 180º. Guía para la Construcción en Geogebra Paso1: Se abre la página Geogebra en la ventana vista y gráfica, donde se realizará la construcción. se elige la vista algebraica y vista Paso2: Se desea construir L y M dos rectas paralelas y t una transversal: a) Se marca un punto A donde trazamos una recta L paralela al eje x; de igual forma repetimos el mismo procedimiento utilizando ahora el punto B donde trazamos la recta M paralela al eje x.

9 b) Marco los puntos C y D en la recta L, el primero lejos de A y el otro cerca de C; de la misma manera marco los puntos E y F en la recta M, donde ahora el primero es cerca de B y el otro lejos de E pero a la misma distancia de D. c) Luego trazamos la recta t pasando por el punto E y C; con lo que queda construir la transversal que interseca las dos rectas dadas, en este caso las rectas M y L.

10 Paso3: Ahora buscamos demostrar que los ángulos alternos internos son iguales y los ángulos interiores de un lado de t, suman 180º. a) Marcamos el ángulo DCE (en este caso α) y luego el ángulo BEC (en este caso β) alterno al ángulo anterior, y como tienen la misma medida queda demostrado que dichos ángulos son iguales. b) Ahora marcando el ángulo CEF (γ) adyacente al ángulo β demostramos que la suma de los ángulos del mismo lado de la transversal t suman 180º; es decir, γ + α = 180º.

11 Postulados de Euclides 4 El problema de la geometría Euclidiana es la unicidad de las paralelas y no la existencia de la misma. Guía para la Construcción en Geogebra Paso1: Se abre la página Geogebra en la ventana vista y gráfica, donde se realizará la construcción. se elige la vista algebraica y vista Paso2: Demostrar la unicidad de las paralelas y no la existencia de la misma. a) Marcamos dos puntos A y B trazando una recta por dichos puntos que llamaremos f, de color azul además marcamos un punto C exterior a dicha recta.

12 b) Tracemos una recta g paralela a la recta f que pase por el punto C y le cambiamos el color a rojo. c) Luego colocamos un punto de D en el plano fuera de las rectas paralelas dibujadas.

13 d) Trazamos una recta h que pase por el punto C y por el punto D, cambie el color y grosor de la recta a su gusto; además, podemos ocultemos los puntos A y B. e) Colocamos un punto E a la derecha de la recta h sobre la recta g y determinamos el ángulo que está entre las rectas g y h.

14 f) Ahora podemos ocultar el punto E y D además hacemos clic en vista grafica para posicionar el deslizador, donde se va desplegar en la pantalla un cuadro donde elegimos ángulo y en el incremento colocamos 0.15º. Deslizador Cuadro desplegado en la pantalla.

15 g) Luego en la barra de entrada escribimos i= Rota [h,β,c] lo que permite que la recta h gire para cambiar su ángulo de inclinación y comprobar la unicidad de la recta paralela. Mueva el deslizador y observen este caso dos movimientos del deslizador en diferentes ángulos.

16 h) Si observas que la única forma en que la recta h sea paralela a la recta f es que quede exactamente sobre la recta g, con lo que hemos demostrado que existe una única recta que es paralela a la recta f; es decir, la unicidad de las paralelas.