Aplicación de teoría de grafos a redes con elementos autónomos

Transcripción

1 Utiliza matemáticas Aplicación de teoría de grafos a redes con elementos autónomos Nombre: Marta Apellidos: Vega Bayo marta.vega@edu.uah.es Modalidad: Universidad Estudios cursados en la UAH: Grado en Ingeniería en Tecnologías de las Telecomunicaciones (Escuela Politécnica Superior)

2 Índice Introducción... 3 Dificultades de redes con elementos autónomos... 4 Introducción a la teoría de grafos... 5 Plan de evacuación... 7 Diferentes divisiones del grafo... 9 División simétrica... 9 División por distancia de nodos División por reparto de peones División por comunidades Experimentos Clasificación de escenarios Densidad del grafo Centralidad Análisis de resultados Comparación de los distintos planes Comparación de los planes en los distintos tipos de escenarios Conclusiones y trabajo futuro Referencias

3 Introducción Tsumanis, terremotos o accidentes en centrales nucleares son ejemplos de catástrofes que pueden hacer necesaria la evacuación de grandes ciudades. En estas situaciones, la existencia de planes de evacuación y gestión de tráfico adecuados permiten reducir las consecuencias (en cuanto a daños humanas) derivadas de estas situaciones. El diseño de técnicas de evacuación para estas situaciones plantea múltiples dificultades. El principal problema es la necesidad de implementar un plan de evacuación que sea aceptado y seguido por los ciudadanos, ya que en última instancia son éstos quienes toman las decisiones, y lo hacen en general en situaciones de gran intensidad emocional (pánico) donde no puede esperarse un comportamiento racional óptimo. El segundo problema planteado en las evacuaciones es el gran tamaño y densidad de población de las ciudades implicadas, así como las congestiones y atascos que pueden originarse en el proceso. Puede la teoría de grafos contribuir a reducir los daños en la evacuación de grades ciudades? El siguiente documento pretende demostrar que efectivamente la teoría de grafos puede mejorar estas situaciones. La teoría de grafos puede ser empleada para automatizar la generación de planes de evacuación que tengan en cuenta la capacidad de decisión de las personas, que se adapten a cada ciudad en concreto y a cada instante. La idea propuesta es modelar las calles y vías de transporte mediante un grafo. Una vez se dispone del grafo, el diseño de técnicas de evacuación planteado consiste en dividir el sistema a evacuar en varios subsistemas interconectados que evolucionen de forma independiente. Los individuos pertenecientes a un subsistema serán quienes decidan si existen o no puntos de entrada al subsistema, así como la posible ubicación de estos puntos. De este modo, cuando se produzca un conflicto entre dos individuos de un subsistema al intentar acceder a un mismo punto, se les habrá dado un motivo para aceptar el plan de evacuación y ceder el paso: la garantía de que esa espera no les obligará a sufrir futuros conflictos, ya que pueden colocar las puertas de entrada a su subsistema de forma que esto no suceda. La modelización de las ciudades a evacuar mediante grafos permite, por un lado realizar divisiones del sistema que exploten las propiedades del grafo y, por otro lado, clasificar las ciudades en función de las métricas del grafo para poder aplicar en cada caso el método de división que mejor se adapte. 3

4 Dificultades de redes con elementos autónomos Muchos de los sistemas empleados actualmente, tales como tales como sistemas de comunicaciones, redes eléctricas o infraestructuras de transporte, puede ser modelados como redes: conjuntos de nodos interconectados. La falta de mecanismos que consigan soluciones optimas para los problemas de estos sistemas da lugar a ineficiencias tales como infrautilización de recursos, retardos o atascos. Unos sistemas de especial complejidad son las redes en las cuales existen elementos autónomos con capacidad de decisión, y en las cuales, además, puede cambiar de forma dinámica la estructura de la red y los elementos que forman parte del sistema. En estas redes hay un objetivo global al mismo tiempo que cada uno de los elementos autónomos tiene unos intereses y objetivos particulares. Las técnicas de optimización permiten alcanzar soluciones a nivel global en sistemas de gran tamaño, en general empleando esquemas de tipo "divide y vencerás" (divide and conquer, D&C). Sin embargo, estas estrategias tienden a fallar en sistemas donde existen elementos autónomos, ya que pueden tomar acciones que entren en conflicto con la solución óptima si creen que esto les favorece. Por otro lado, las técnicas de negociación son aplicables a sistemas con elementos autónomos e intereses particulares, pero presentan graves problemas de eficiencia al aumentar la complejidad y tamaño de la red. La evacuación de una ciudad puede ser modelada como una red con elementos autónomos, ya que se trata de una infraestructura de transporte en la que existen a elementos con capacidad de decisión, los automóviles. En un plan de evacuación, cada automóvil intentará salir lo antes posible, mientras que el objetivo a nivel social es que la ciudad quede evacuada en el menor tiempo posible. Este sistema cambia de forma dinámica, ya que cambia con el tiempo la ubicación de los automóviles y los puntos de congestión. Por tanto, la solución que se proponga para este sistema deberá tener en cuenta este dinamismo y adaptarse a la situación en cada instante. 4

5 Introducción a la teoría de grafos En la técnica de evacuación planteada, uso de grafos para el modelado y representación de las redes puede facilitar la adaptación del paradigma propuesto a diferentes dominios y aplicaciones. Además, creemos que la estructura de red del problema juega un papel primordial en el proceso, y por ello se va a emplear teoría de grafos para intentar derivar técnicas de división adecuadas para cada escenario o familia de escenarios concreta. Por ello, se va a comenzar con una breve introducción a la teoría de grafos que facilite la comprensión de conceptos empleados posteriormente en el documento. La teoría de grafos es una rama de la Topología aplicable a campos tan diversos como la química, la biología, la sociología o la teoría de redes. DEFINICIÓN DE GRAFO Se denomina grafo G al par de conjuntos V(G) y E(G), donde V(G) es un conjunto de vértices o nodos y E(G) es un conjunto de aristas, pares de elementos de V(G). La figura 1 muestra a modo de ejemplo un grafo G formado por el conjunto de nodos V(G)={,u,v,w,z} y por el conjunto de aristas E(G)={(u,w), (w,v), (w,x), (w,w), (v,x), (v,x)}. Fig 1: ejemplo de grafo Se dice que dos nodos son adyacentes si el grafo contiene al menos una arista que los une. Del mismo modo, dos aristas son adyacentes si poseen un vértice en común. El grado de un vértice v, denominado g(v), es el número de aristas de un grafo que inciden en v. Los vértices de grado 0 reciben el nombre de vértices aislados, mientras que los de grado 1 se denominan vértices terminal o extremo. Un lazo es una arista que tiene tanto como origen como por destino un nodo v, y contribuye de manera doble al grado de v. En el ejemplo de la figura 1, la arista ww se trata de un lazo. Un subgrafo de un grafo G es grafo cuyos vértices y aristas pertenecen a V(G) y E(G) respectivamente. CLASIFICACIÓN DE GRAFOS Un grafo simple es aquel en el que todo par de nodos está unido por, a lo sumo, una arista. Se denomina digrafo D o grafo orientado, a un grafo formado por un conjunto de nodos V(D) y un conjunto de arcos o aristas orientadas A(D). Fig 2:digrafo 5

6 Un grafo completo es un grafo en el que todos los pares de nodos son adyacentes estando conectados por una única arista. El número de arístas de un grafo de este tipo de n vértices es por tanto n(n-1)/2. Fig 3:Grafo completo Un grafo regular es aquel cuyos nodos tienen todos el mismo grado. El grafo de la figura 3 es un grafo completo y regular. Un grafo es bipartito si su conjunto de vértices V(G) puede expresarse como dos subconjuntos V1 y V2 de modo que todos las aristas de grafo unen nodos de conjuntos diferentes. El ejemplo de la figura 4 se trata de un grafo bipartito cuyos nodos podrían dividirse en los conjuntos V1={1,2} y V2={3,4,5} Fig 4:grafo bipartito Se dice que un grafo es conexo si todos sus vértices estás conectados a través de alguna secuencia de aristas del grafo. Fig 5:Grafo inconexo Se denomina trayectoria a un grafo cuyas aristas forman una secuencia en la que todos los nodos a excepción del primero y del último son diferentes. Una trayectoria en la que el primer y último vértice, y, coinciden se denomina circuito. Fig 6:Trayectoria 6

7 Plan de evacuación En las redes con estructura dinámica y elementos autónomos resulta especialmente complejo alcanzar soluciones eficientes, ya que ni las técnicas de optimización ni las de negociación se adaptan a las necesidades de estos sistemas. Por ello, es para este tipo de sistemas para los que se plantea un nuevo enfoque de división que tenga en cuenta la capacidad de decisión de los elementos autónomos y proporcione a los participantes incentivos para aceptar las soluciones. La idea consiste en dividir el sistema total en subsistemas interconectados, mundos, de forma que cada mundo pueda evolucionar de forma independiente y que los éstos se comuniquen e interactúen entre sí para establecer las interconexiones entre mundos. De este modo resulta eficiente la negociación ya que se produce sólo entre mundos. Además, añade a cada uno de los elementos autónomos un nuevo interés, la cooperación en el mundo para alcanzar la negociación entre mundos, lo cual favorece el alcance de una solución global optima. Como ejemplo que permita clarificar la idea anterior y su aplicación a los planes de evacuación se plantea el escenario de la evacuación de un tablero de ajedrez. Este escenario consiste en un tablero con obstáculos y una casilla de salida; a este tablero se añaden peones con capacidad de decisión que intentarán llegar a la salida por el camino más corto, moviéndose una posición en horizontal o vertical, produciéndose conflictos si dos peones intentan acceder a una casilla al mismo tiempo. En caso de conflicto, aleatoriamente se da el derecho de paso a uno de los peones implicados, mientras que el resto deciden aceptar o no la espera en función de la probabilidad de futuras esperas. Si alguno de los peones no acepta la solución, se Fig 7:Escenario del tablero de ajedrez produce un choque y todos los implicados en él quedan parados. En este escenario, el objetivo a nivel global es que el tablero quede vacio en el menor tiempo posible, mientras que el objetivo particular de cada peón será salir del tablero en un tiempo mínimo. Aplicando el paradigma propuesto al problema de la evacuación del tablero de ajedrez, el escenario queda dividido en varias regiones, "mundos", interconectados entre sí por una serie de puertas. Para establecer estas puertas, los peones de cada una de las regiones cooperan para restringir las entradas permitidas a su mundo, de modo que ninguno de los peones que ya están en él pueda verse perjudicado por los de fuera. Además, negocian la elección de la Fig 8:División del tablero del enfoque propuesto puerta de salida, eligiéndose, de entre las opciones que permitan los mundos adyacentes, la salida que convenga a más peones. De este modo, cuando se produzca un conflicto entre peones dentro de un mundo, los peones tendrán un incentivo para decidir ceder el paso a otro peón: la garantía de que esa espera no les obligará a sufrir futuros conflictos, ya que pueden colocar las puertas de entrada a su mundo de forma que esto no suceda. 7

8 Una vez generados los mundos y establecidas las puertas de estos, los peones se mueven hacia la salida de su mundo. En caso de que los obstáculos impidan a un peón alcanzar la salida de su mundo, se considera que éste se moverá por el tablero completo, ignorando los mundos creados, aunque no los obstáculos. El proceso de división del sistema, negociación de interconexiones y movimiento de peones se repite hasta que no quedan peones en el escenario. La teoría de grafos puede ser aplicada para modelizar y generalizar el escenario descrito. El tablero de ajedrez y los obstáculos de éste se pueden representar como un grafo en el que cada nodo simboliza una de las casillas sin obstáculos del tablero, mientras que las aristas conectan las casillas sin obstáculos adyacentes en horizontal y vertical. Los peones, dibujados en verde en el ejemplo de la figura 9, se sitúan en los nodos y se desplazan a través del grafo hacia la salida. Los grafos generados de este modo son grafos simples no orientados. Fig 9:Representación del tablero mediante un grafo La modelización del sistema mediante un grafo permite la aplicación directa del paradigma propuesto a otro tipo de red, así como el empleo de las propiedades de grafos para la clasificación de escenarios o la implementación de diferentes divisiones del sistema, como se explica en el siguiente apartado. 8

9 Diferentes divisiones de la red En el paradigma propuesto, la división del sistema completo para generar mundos puede realizarse atendiendo a múltiples criterios. A continuación se plantean cuatro criterios de división del sistema diferentes. La primera división del tablero planteada consiste en dividir éste de forma simétrica. En las siguientes divisiones se aplica la teoría de grafos para realizar la división de forma más genérica, de modo que pueda ser aplicable a otras redes y de manera que se pueda explotar la estructura del grafo. La segunda división planteada se basa en generar los mundos agrupando nodos con distancias semejantes a la salida. En la tercera se generan los mundos de modo que los peones queden repartidos entre estos. Por último, se plantea la división del grafo en comunidades para la formación de los mundos. DIVISIÓN SIMÉTRICA La primera división del tablero planteada consiste en obtener el menor cuadrado que contiene a todos los peones y a la salida, y, a continuación, dividir dicho cuadrado en cuatro partes iguales. En primer lugar hay que reducir el tablero y obtener el menor cuadrado, para lo cual se asigna como propiedad de cada nodo sus coordenada en el tablero. A continuación se obtiene la posición del peón más alejado de la salida en el sentido de la coordenada Y, y la posición de los dos peones más alejados entre sí en el sentido X. Con estas posiciones se obtienen las medidas X e Y del tablero mínimo. Como además se desea que el tablero reducido sea cuadrado y de medida par, se toma el número par inmediato superior de la mayor medida antes obtenida como medida del cuadrado final. Fig 10:Mínimo cuadrado del tablero La figura 10 muestra en color morado el mínimo tablero cuadrado que contiene todos los peones en un escenario de ejemplo. Una vez obtenido el mínimo tablero cuadrado, se divide este en cuatro partes iguales, a partir de cada una de las cuales se forma un mundo. La siguiente imagen muestra la división del escenario ejemplo con éste método: Grafo completo Grafo dividido 9

10 DIVISIÓN POR DISTANCIA DE NODOS En teoría de grafos, la distancia entre dos nodos es el número mínimo de aristas que es necesario recorre para unir dos vértices. La división del tablero planteada ahora consiste en formar los mundos agrupando los nodos con distancias a la salida semejante. En cada iteración del algoritmo se comienza reduciendo el grafo para obtener grafo con el mínimo número de nodos que contiene a todos los peones y a la salida. Para realizar esta reducción del tablero se obtiene la distancia a la salida del nodo más alejado. A continuación, se eliminan todos aquellos nodos cuya distancia a la salida sea mayor, ya que estos nodos no van a ser empleados por los peones en sus movimientos. La siguiente imagen muestra un ejemplo de la reducción del tablero y permite comprobar cómo son eliminados los nodos cuya distancia a la salida es mayor de 11, ya que ésta es la distancia de los peones más alejados. Grafo completo Grafo reducido Una vez reducido el grafo, se divide este en tres secciones o conjuntos de mundos: una primera sección que contiene la salida del tablero; un segundo conjunto de mundos que no contienen la salida pero que son adyacentes al mundo que la contiene; y un tercer conjunto de mundos que se encuentran separados de mundo con la salida por un mundo del segundo grupo. Con la división en tres secciones se pretende limitar a tres el número máximo de mundos que un peón se verá obligado a atravesar en su camino hacia la salida. La primera sección está formada por los nodos cuya distancia a la salida esté comprendida entre 0 y 1/3 de la distancia máxima, es decir, cuya distancia a la salida sea menor o igual que 1/3 de la distancia máxima del grafo. La segunda sección está formada por los nodos cuya distancia es mayor de 1/3 y menor o igual que 2/3. Finalmente, la tercera sección se forma con los nodos restantes, nodos a distancia mayor que 2/3.La siguiente imagen muestra las secciones formadas: Grafo completo Secciones del grafo A partir de la primera sección se genera el primer mundo. A continuación, se procede a dividir las secciones dos y tres en varios mundos, ya que estas secciones pueden tener componentes inconexos o ser muy extensas, en cuyo caso una única salida beneficiaría a unos pocos peones, pero podría estar muy alejada o incluso aislada de otros. Para realizar la división, se comienza obteniendo los componentes no comunicados de los grafos de cada sección, para tratarlos de forma independiente. En este ejemplo, tanto la sección dos como la tres están formadas por dos componentes. 10

11 Una vez obtenidos los componentes, para cada uno de ellos se calcula la máxima distancia de sus nodos. Si esta distancia es menor que dos veces la distancia empleada en la generación de la sección (1/3 de la distancia máxima), se trata de un componente pequeño, por lo que se genera directamente un mundo a partir de él. De este modo se genera en el ejemplo de la figura 11 un mundo en ambas secciones. Fig 11:Caso 1 de división de sección Por el contrario, si la distancia es mayor, se procede a analizar el componente para tratar de dividirlo. En primer lugar, se obtiene los nodos que conectan el componente con la sección anterior. Si existe un único nodo de conexión del componente con la sección anterior, no se divide el componente sino que se genera directamente un mundo a partir de él, ya que dividirlo supondría aislar de la salida a la mitad de los nodos. La figura 12 permite observar la formación del segundo mundo de la sección dos con este criterio. Fig 12: Caso 2 de división de sección Si el componente tiene más de un nodo de conexión, se divide el componente en dos mundos de modo que ambos posean al menos un nodo de conexión. Para ello se obtienen los dos nodos de conexión más alejados entre sí, nodos marcados en amarillo en el ejemplo de la figura 3. Cada uno de esos nodos se asigna a un mundo, y los dos mundos se van creando añadiendo paso a paso los nodos vecinos hasta que todos los nodos estén asignados a uno de los mundos. Esto hace que se esté dividiendo el componente en dos mundos de igual distancia. La figura 13 muestra la división del componente mayor de la sección tres en dos mundos con este método, así como los nodos de inicio y el sentido de expansión desde éstos para la formación de los mundos. Fig 13: Caso 3 de división de sección El resultado final de la división del grafo en mundos siguiendo éste criterio en el ejemplo planteado es el siguiente: Grafo completo Grafo dividido en mundos 11

12 DIVISIÓN POR REPARTO DE PEONES El tercer método de división del tablero propuesto consiste en dividir el tablero en 5 mundos de modo que los peones queden repartidos equitativamente entre estos. En cada iteración se comienza reduciendo el tablero del mismo modo que se realizaba en la división por distancias. Una vez obtenido el grafo reducido, se divide éste en tres secciones, cada una de las cuales contendrá 1/5, 2/5 y 2/5 de los peones respectivamente. Las secciones dos y tres serán posteriormente divididas en dos mitades, con lo que finalmente se tendrán 5 mundos con 1/5 de los peones cada uno de ellos. La primera sección, que dará lugar a un mundo, se obtiene partiendo de la salida total y expandiéndose hacia sus vecinos hasta alcanzar a 1/5 de todos los peones. A continuación, se determinan los nodos "frontera", es decir, los nodos no pertenecientes a la sección 1 pero adyacentes a esta. A partir de estos nodos "frontera" se va a formar la sección 2 expandiéndose hasta alcanzar a 2/5 de los peones. Finalmente, los nodos restantes forman la tercera sección, que contendrá 2/5 de todos los peones. Si al formar las secciones 1 y 2 en un paso se alcanzase y superase la cantidad de peones correspondiente a la sección para el reparto equitativo, todos esos peones serían asignados a la sección, haciendo que en esos caso el reparto no sea estrictamente igual. La figura 14 muestra un ejemplo de la división de un grafo en secciones, marcadas en morado. Se pueden observan además Fig 14:Formación de las tres secciones los nodos de inicio de formación de las secciones 1 y 2, los cuales son la salida total y los nodos "frontera" respectivamente, y el sentido de expansión desde estos para la formación de las secciones. Por el motivo antes explicado, las secciones 1 y 2 poseen más de 1/5 y 2/5 de los peones. Una vez obtenidas las secciones, se forma el primer mundo y se procede a dividir secciones. Para ello, al igual que el método anterior, se obtienen los componentes del grafo que forma la sección. Si el número de peones de un componente es menor que la mitad de los peones de la sección, se forma directamente un mundo a partir de ese componente. Esto es los que ocurre en la sección 3, la cual está formada por 5 secciones, todas ellas con menos de la mitad de los peones de la sección. Fig 15: División de la sección a partir de sus componentes aislados Por el contrario, si un componente posee más peones y el número de nodos de conexión con la sección anterior es mayor de uno, se divide el componente en dos mitades de modo que los peones queden repartidos equitativamente. Para ello, al igual que el método anterior, se obtienen los nodos de "frontera" más alejados entre sí y se comienza la expansión desde estos. En esta ocasión, a diferencia del otro método, la expansión continua hasta que uno de los mundos que se están formando contenga la mitad de los nodos del componente. El resto de nodos son asignados al otro mundo si están conectados a él, o pasan a formar un tercer mundo en caso contrario. La figura 16 muestra la división de la sección a partir de los dos nodos frontera más alejados hasta que el mundo de la parte inferior izquierda alcanza a más de cuatro peones. Fig 16:División de una sección en dos mitades 12

13 La división final del tablero en mundos con el método de reparto equitativo de peones se puede observar en la siguiente imagen: Grafo completo Grafo dividido en mundos DIVISIÓN POR COMUNIDADES En teoría de grafos una comunidad es un conjunto de nodos muy conectados entre sí pero con pocas conexiones con los nodos no pertenecientes a la comunidad. Existen múltiples algoritmos en teoría de grafos para la detección de comunidades, clasificados en tres grupos: algoritmos aglomerativos, algortimos de división y algoritmos de maximización de modularidad. Entre los algoritmos aglomerativos se encuentra el algoritmo "hierarquical clustering", basado en agrupar progresivamente los nodos con mayor número de conexiones entre sí. Entre los algoritmos de división se encuentra el algoritmo de mínimo número de cortes y el propuesto por Girvan_Newman. El de mínimo número de cortes genera las comunidades de modo que se minimicen las conexiones entre ellas, mientras que el de Girvan_Newman elimina progresivamente las aristas con mayor centralidad de intermediación hasta generar subgrafos aislados. Los algoritmos basados en maximización de modularidad, como el algoritmo Louvain, buscan la partición del grafo con mayor modularidad, medida de un grafo que relaciona la cantidad de conexiones dentro de una comunidad con la cantidad de conexiones existentes entre nodos de diferentes comunidades. La división de nuestro tablero de ajedrez planteada ahora consiste en generar tantos mundos como comunidades se generen en el grafo. En cada iteración del algoritmo, al igual que se hacía en la división anterior, se reduce el tablero para obtener el mínimo grafo que contiene a todos los peones. A continuación, empleando el algoritmo Louvain, se obtiene la partición del grafo con mayor modularidad. A partir de cada uno de los conjuntos de nodos obtenidos en la partición se genera un mundo. A continuación se muestra un ejemplo de división del tablero aplicando este método: Grafo completo Grafo dividido en mundos En la imagen se puede comprobar que se han eliminado los nodos situados una distancia mayor que 13, distancia del peón más alejado. Además se observan los seis mundos generados a partir de la partición con mayor modularidad. 13

14 Experimentos Escenarios de los experimentos Los cuatro métodos de división del sistema anteriormente explicados, sí como el método de solución sin aplicar ningún tipo de control ni división, van a ser probados en tableros de ajedrez de 8x8 con 8,12,16 o 20 obstáculos y 8, 12, 16 ó 20 peones. De cada tipo de escenario se van a generar 50 grafos, los cuales van a ser resueltos 50 veces cada uno. Tiempo de evacuación El tiempo de evacuación es el tiempo que tarda el último peón en abandonar el tablero, es decir el tiempo que tarda el tablero en quedar vacio. Este tiempo va a ser empleado como criterio de comparación de los diferentes métodos de evacuación diseñados. Se van a calcular las pérdidas de un método de solución para un escenario concreto como el incremento, expresado en porcentaje, del tiempo de evacuación obtenido con respecto al tiempo ideal de la mejor solución posible. Análisis de la varianza: anova Para comparar si k grupos de muestras tomados pertenecen a poblaciones diferentes existen varias posibilidades. Una posibilidad es comparar dos a dos las distribuciones de todos los pares de grupos, lo cual, en el caso de k grupos haría necesarias comparaciones. Otra posibilidad es aplicar el análisis de la varianza, anova, para comparar simultáneamente todos los grupos. Anova permite contrastar la hipótesis nula,, de que las medias de todos los grupos son iguales, frente a la hipótesis de que al menos alguna de las medias es diferente al resto. Esto se realiza comparando la variabilidad que existe dentro del grupo con la que hay entre grupos. [3]Para poder aplicar ANOVA deben cumplirse los siguientes tres requisitos: Independencia de las k muestras Normalidad de las distribuciones de probabilidad de las poblaciones analizadas Homocedasticidad, es decir, homogeneidad en las varianzas de los distintos grupos El análisis ANOVA va a ser empleado para comprobar si los resultados de los distintos planes de evacuación son diferentes y para determinar si las propiedades de los grafos influyen en los tiempos de evacuación y en el funcionamiento de cada uno de los planes de evacuación. 14

15 Densidad del grafo Clasificación de escenarios Creemos que la estructura de red del problema juega un papel primordial en el enfoque de división. Por ello, en este apartado se van a clasificar los escenarios en función de las propiedades de los grafos para poder después analizar el comportamiento de los diferentes métodos de solución propuestos en cada tipo de escenario. En primer criterio de clasificación de los escenarios va a ser la densidad de sus grafos. A continuación se va a plantear la clasificación en función de la centralidad de los nodos, medida de la importancia de éstos dentro del grafo. DENSIDAD DEL GRAFO La densidad de un grafo es la relación entre el número el número de aristas del grafo y el número de aristas máximo, el cual es el número de aristas de un grafo completo con el mismo número de nodos. Se denomina grafo disperso a aquel cuya densidad tiene un valor pequeño, mientras que los grafos densos son aquellos que poseen gran número de aristas. En los grafos de los tableros de ajedrez generados, la densidad será menor cuanto mayor sea el número de obstáculos ya que añadir un obstáculo supone no solo eliminar 4 aristas, sino también eliminar un nodo. En concreto, los grafos empleados en los experimentos tienen densidades comprendidas entre y Para clasificarlos escenarios en función de la densidad de los grafos, se ha dividido el rango anterior en cuatro intervalos equiespaciados, repartiéndose así los escenarios en cuatro conjuntos según el valor de su densidad. Para determinar si la densidad del grafo es un factor influyente en los tiempos de evacuación, se va realizar el análisis de anova. Se va a partir de los tiempos de evacuación obtenidos en los experimentos lo los diferentes planes de evacuación para los 16 tipos de tableros de ajedrez distintos. Estos datos se van a agrupar en k=4 poblaciones en función de la densidad del grafo empleado en cada experimento. El p-valor obtenido en el análisis anova es e-073, lo cual implica que la hipótesis nula no es correcta y que por tanto la densidad del grafo es un factor influyente en los resultados. La siguiente gráfica muestra las pérdidas de los tiempos de evacuación en escenarios con diferentes densidades: Influencia de la densidad del grafo < D < < D < < D < < D < Pérdidas(%) La grafica permite observar que cuantos mayor es la densidad, o lo que es lo mismo, mayor número de obstáculos, menores son las pérdidas. 15

16 CENTRALIDAD En teoría de grafos, la centralidad es una medida de la importancia relativa de un nodo dentro del grafo. Esta importancia no es una propiedad intrínseca del nodo, si no que viene determinada por la posición de éste en el grafo. Existen múltiples métricas que permiten determinar la centralidad de un nodo. Estas métricas se clasifican en dos grupos: métricas radiales y mediales. En las métricas radiales el nodo en cuestión es origen o destino de caminos generados con un cierto criterio, y la métrica de centralidad determina la cantidad de caminos existentes (métrica de volumen) o la longitud de estos (métrica de longitud). Sin embargo, en las métricas mediales se emplea para determinar la centralidad de los nodos la cantidad de caminos que atraviesan dicho nodo. Algunas de las métricas de centralidad más importantes son la centralidad de grado, de cercanía, de proximidad y de vector propio. Métricas de centralidad: Centralidad de grado La centralidad de grado es una medida radial de volumen que se calcula como el número de aristas incidentes en el vértice. Esta medida da una idea de la conectividad de un nodo. La figura 17 muestra la escala de centralidad de grado de los nodos de un grafo, en una escala en la que mayor oscuridad significa mayor centralidad. Fig 17: Centralida de grado de los nodos Centralidad de cercanía: La centralidad de cercanía es una métrica radial de longitud calculada como la inversa del valor medio de las distancias mínimas desde ese nodo al resto de nodos del grafo. Por tanto, cuanto mayor sea la distancia media menor será la centralidad del nodo y viceversa. Centralidad de intermediación: Fig 18: Centralidad de cercanía de los nodos La centralidad de intermediación es una medida de centralidad medial que viene dada por la fracción de caminos más cortos entre nodos del grafo que atraviesan el nodo en cuestión. Se calcula mediante la siguiente ecuación: donde es el conjunto de nodos del grafo, es el número de caminos más cortos existentes en el grafo entre los nodos y, y puente. es la cantidad de esos caminos en los que actúa de Fig 19: Centralidad de intermediación de los nodos La figura 19 muestra la escala de centralidad de intermediación de los nodos. 16

17 Entropía del grafo Centralidad de vector propio: Otra medida de centralidad radial de volumen es la centralidad de vector propio. Esta métrica mide la influencia de un nodo en el grafo de modo que esta centralidad será elevada si un nodo está conectado a muchos nodos, los cuales están a su vez conectados a muchos nodos. Fig 20: Centralidad de vector propio de los nodos Clasificación de grafos en función de su centralidad: En este apartado se propone la clasificación de los grafos empleados en el escenario del tablero de ajedrez según su centralidad. Para ello, se ha calculado la entropía de la centralidad de sus nodos. Asignando a cada nodo un valor, su centralidad, se obtiene una función de los nodos del grafo función es transformada en una función de probabilidad. Esta, ya que esta función cumple que la suma de probabilidades es igual a uno. A partir de esta función probabilidad creada se calcula la entropía. Por tanto, la entropía de información de un grafo parametrizado se calcula como Cuanto mayor sea la entropía mayor será la diferencia de centralidad de sus nodos. Partiendo de los tiempos de evacuación del problema de evacuación mediante la solución descentralizada y mediante los cuatro técnicas de división propuestas, se ha realizado el análisis de la varianza empleando como criterio de clasificación de los resultados la entropía de centralidad de grado del grafo empleado, la entropía de centralidad de cercanía, la entropía de centralidad de intermediación y la entropía de centralidad de vector propio. En los cuatro casos se han obtenido p-valores muy pequeños y pérdidas mayores en los escenarios de mayor entropía, es decir, en los menos homogéneos. A continuación se muestra el resultado del análisis empleando como criterio de clasificación de los grafos la entropía de centralidad de intermediación: [1] Influencia de la entropía del grafo < E < < E < < E < < E < Pérdidas(%) Esto significa que los escenarios con peores tiempos de evacuación son aquellos que tienen mayor entropía de intermediación, lo cual implica que los nodos de su grafo presentan mayores diferencias de centralidad. 17

18 Enfoque empleado Análisis de resultados A continuación se van a analizar los resultados obtenidos al solucionar el problema de evacuación del tablero de ajedrez mediante diferentes métodos. La primera solución analizada es la solución descentralizada en la que los peones se mueven libremente por el tablero completo. Los siguientes métodos analizados consisten en aplicar el enfoque de división y meta-negociación empleando los 4 criterios de división del escenario anteriormente explicados. Estos 5 métodos de solución del problema de evacuación van a ser comparados con mejor solución posible, solución que se obtendría si todos los peones tomasen su ruta más corta y aceptasen la espera en caso de conflicto. COMPARACIÓN DE LOS DISTINTOS PLANES Para poder determinar si los resultados obtenidos con los diferentes métodos son significativamente diferentes, se va a aplicar el análisis de la varianza, anovan. El análisis de anova permite saber si un criterio genera conjuntos significativamente diferentes dentro de una población, comparando la varianza dentro del conjunto con la varianza de toda la población. Realizando el análisis de anova con las pérdidas de los tiempos de evacuación y criterio para generación de grupos el métodos de evacuación empleado, el p-valor obtenido es 0. Esto indica que los tiempos de evacuación dependen de la técnica de evacuación empleada. La siguiente gráfica muestra el valor medio de las pérdidas para cada uno de los métodos empleados y los intervalos de confianza al 95% de estos valores: Comparación de los distintos enfoques Referencia División simétrica División por distancias División por nº de peones División por comunidades Pérdidas(%) La gráfica anterior permite comprobar que la aplicación del enfoque planteado proporciona importantes mejoras en la solución del problema, ya que las pérdidas en los tiempos de evacuación son reducidas del 160% al 60%. El mejor método de solución del problema de evacuación propuesto es el método de la división simétrica, seguido por el de la división por comunidades. La obtención de buenos resultados en el método de división por comunidades concuerda con los resultados obtenidos en la clasificación de grafos en función de la entropía de centralidad de intermediación, ya que en el análisis anterior se obtuvo que los grafos con menores pérdidas eran los de menor entropía (es decir, los más homogéneos) y este método de división se basa en la eliminación de los nodos con mayor centralidad de intermediación. 18

19 Plan de evacuación y entropía de centralidad de intermediación COMPARACIÓN DE LOS PLANES EN LOS DISTINTOS TIPOS DE ESCENARIO A continuación se va a analizar el funcionamiento de los diferentes planes de evacuación en cada tipo de escenario, clasificando los escenarios en función de la densidad de sus grafos y de la entropía de centralidad de sus nodos. Influencia de la densidad en cada plan de evacuación: La siguiente gráfica muestra las pérdidas en los tiempos de evacuación de los diferentes planes de evacuación propuestos en escenarios con grafos de diferentes densidades, donde los planes y entropías indicados son los mostrados en la tabla de la derecha: Plan 5 Plan 4 Plan 3 Plan 2 Plan 1 Densidad 3 Densidad 2 Densidad 1 Densidad 0 Plan de división simétrica Plan de división por comunidades Plan de división por reparto de peones Plan de división por distancia Referencia, plan sin división < D< < D < < D < < D < Influencia de la entropía de centralidad de intermediación en los distintos planes de evacuación Plan=5,Densidad=3 Plan=4,Densidad=3 Plan=3,Densidad=3 Plan=2,Densidad=3 Plan=1,Densidad=3 Plan=5,Densidad=2 Plan=4,Densidad=2 Plan=3,Densidad=2 Plan=2,Densidad=2 Plan=1,Densidad=2 Plan=5,Densidad=1 Plan=4,Densidad=1 Plan=3,Densidad=1 Plan=2,Densidad=1 Plan=1,Densidad=1 Plan=5,Densidad=0 Plan=4,Densidad=0 Plan=3,Densidad=0 Plan=2,Densidad=0 Plan=1,Densidad= Pérdidas(%) La gráfica anterior muestra, en primer lugar, que las diferencias entre unos planes de evacuación u otros son mayores en los escenarios con menores densidades (escenarios con menos obstáculos). Además se observa que es en estos escenarios de baja densidad en los que los beneficios de los planes diseñados en comparación con la solución si aplicar divisiones es mayor, llegando a superar el 100% de diferencia. En el conjunto de escenarios generado existen pocos grafos de densidad mayor de , lo cuál es el motivo que se estén obteniendo intervalos de confianza tan amplios y hace que los resultados obtenidos para densidades elevadas no sean significativos Por otro lado, analizando los resultados del método de división simétrico (plan 5) se observa que este método no se ve influenciado por la densidad del grafo, lo cual es razonable ya que la división no tiene en cuenta el grafo. Por último, la gráfica muestra que el método de división basado en reparto equitativo de peones (plan 3), en los grafos de baja densidad introduce mejoras de hasta el 50% en comparación con la solución de referencia, mientras que en los escenarios de baja densidad proporciona las mismas pérdidas. Esto muestra la importancia de realizar un análisis previo de las propiedades del grafo antes de aplicar un método de evacuación. 19

20 Plan de evacuación y entropía de centralidad de intermediación Influencia de la entropía de centralidad en cada plan de evacuación: La siguiente gráfica muestra las pérdidas en los tiempos de evacuación de los diferentes planes de evacuación propuestos en escenarios con grafos de diferentes entropías de centralidad de intermediación, donde los planes y entropías indicados son los mostrados en la tabla de la derecha: Plan 5 Plan 4 Plan 3 Plan 2 Plan 1 Entropía 3 Entropía 2 Entropía 1 Entropía 0 Plan de división simétrica Plan de división por comunidades Plan de división por reparto de peones Plan de división por distancia Referencia, plan sin división < E < < E < < E < < E < Influencia de la entropía de centralidad de intermediación en los distintos planes de evacuación Plan=5,Entropía=3 Plan=4,Entropía=3 Plan=3,Entropía=3 Plan=2,Entropía=3 Plan=1,Entropía=3 Plan=5,Entropía=2 Plan=4,Entropía=2 Plan=3,Entropía=2 Plan=2,Entropía=2 Plan=1,Entropía=2 Plan=5,Entropía=1 Plan=4,Entropía=1 Plan=3,Entropía=1 Plan=2,Entropía=1 Plan=1,Entropía=1 Plan=5,Entropía=0 Plan=4,Entropía=0 Plan=3,Entropía=0 Plan=2,Entropía=0 Plan=1,Entropía= Pérdidas(%) La grafica muestra que los beneficios de los planes de evacuación diseñados en comparación con la solución sin realizar divisiones son mayores en los escenarios con grafos de mayor entropía de centralidad de intermediación, grafos en los que además se obtienen las mayores pérdidas. En la gráfica se observa también que la entropía de centralidad de intermediación afecta especialmente al los planes de división por distancias y división por reparto equitativo de peones, mientras que la división simétrica y la división por comunidades se ven menos afectados. 20

21 Conclusiones y trabajo futuro Muchos de los sistemas empleados actualmente, tales como tales como sistemas de comunicaciones, redes eléctricas o infraestructuras de transporte, puede ser modelados como redes: conjuntos de nodos interconectados. Unos sistemas de especial complejidad son las redes en las cuales existen elementos autónomos con capacidad de decisión, y en las cuales, además, puede cambiar de forma dinámica la estructura de la red y los elementos que forman parte del sistema. En estas redes hay un objetivo global al mismo tiempo que cada uno de los elementos autónomos tiene unos intereses y objetivos particulares. El plan de evacuación de una ciudad es un ejemplo de sistema con elementos autónomos y estructura dinámica. Para automatizar el diseño de planes de evacuación se ha propuesto emplear la teoría de grafos para modelar las vías de transporte y estructura de la ciudad como un grafo. Una vez se dispone del grafo, la técnicas de evacuación diseñada consiste en dividir el sistema a evacuar en varios subsistemas interconectados que evolucionen de forma independiente. Los individuos pertenecientes a un subsistema serán quienes decidan si existen o no puntos de entrada al subsistema, así como la posible ubicación de estos puntos. De este modo, cuando se produzca un conflicto entre dos individuos de un subsistema al intentar acceder a un mismo punto, se les habrá dado un motivo para aceptar el plan de evacuación y ceder el paso: la garantía de que esa espera no les obligará a sufrir futuros conflictos, ya que pueden colocar las puertas de entrada a su subsistema de forma que esto no suceda. Los experimentos realizados han permitido comprobar que este plan de evacuación permite reducir el tiempo de evacuación hasta casi un 100% en comparación con el tiempo que se obtiene sin aplicar ningún plan de evacuación. La aplicación de la teoría de grafos ha permitido además diseñar divisiones del sistema que tienen en cuenta la estructura del grafo y que son aplicables a redes y sistemas generales. Además ha permitido clasificar los escenarios en función de las propiedades de los grafos. Por último, se ha mostrado la necesidad de realizar un análisis previo de las propiedades y estructura de grafo antes de aplicar un método de evacuación, ya que los diferentes planes de evacuación no proporciona los mismos beneficios en grafos con diferentes propiedades. En la línea del trabajo realizado quedaría realizar experimentos con grafos de mayor tamaño y con grafos aleatorios, ya que los experimentos mostrados en este documento han sido realizados con unos escenarios muy concretos. La realización de experimentos con otros grafos permitiría determinar la influencia de propiedades de los grafos como el número de nodos o el diámetro del grafo. Por otro lado, sería el trabajo comenzado con este documento continuaría aplicando los planes de evacuación diseñados a grafos de ciudades reales. 21

22 Referencias [1] Mowshowitz, A., & Dehmer, M. (2012). Entropy and the complexity of graphs revisited. Entropy, 14(3), [2] Dehmer, M., & Popovscaia, M. (2010). Towards structural network analysis.buletinul Academiei de Stiinte a Republicii Moldova, 1(62), [3] [4]YYLiu, JJ Slotine, AL Barabási-Nature,2011. Controllability of complex networks 22