ribera Problema v ab : «la velocidad de a medida con respecto a b»

Transcripción

1 Problema Parte I Un hombre desea cruzar un río de 500 m de anchura, es decir, quiere llegar al punto directamente opuesto a su punto de partida. El río fluye con una rapidez de 2.0 km/h. Su rapidez al remar (con respecto al río) es de 3.0 km/h. (a) Hacia qué dirección debe remar para llegar a su destino en el tiempo más corto posible? (b) Cuánto tiempo le tomaría? Parte II Sin embargo, el hombre se da cuenta de que puede caminar a 5.0 km/h, más rápido de lo que rema. Por ello, decide que es de hecho mejor idea remar hasta algún punto al otro lado del río, y de ahí caminar a lo largo de la orilla hasta su destino. (c) Halle la trayectoria (que ahora combina remo y caminata) que debe tomar para llegar a su destino en el tiempo más corto. (d) Cuánto tiempo le tomaría? Fue más rápido que solamente remar? Solución Parte I Definamos primero un sistema de coordenadas x-y fijo con respecto a la ribera (orilla) del río, como se muestra en la figura 1. Q y río ribera x P Figura 1. (a) Para resolver el problema es necesario especificar muy bien las velocidades del bote y del río en los distintos sistemas de coordenadas. Usemos la siguiente notación para describir cualquier vector de velocidad en el problema: v ab : «la velocidad de a medida con respecto a b» Analicemos ahora qué velocidades conocemos y cuál debemos determinar para contestar la pregunta. Usemos las siguientes tres letras para indicar el bote, el río y la orilla (ribera), respectivamente: r : río b : bote o barca o : orilla (ribera) del río 1

2 El enunciado dice primero «El río fluye con una rapidez de 2.0 km/h». Es claro que esta rapidez está medida con respecto a la ribera (orilla). Como el río fluye hacia +x en este sistema de coordenadas, y no tiene componente de velocidad en la dirección y, el vector de velocidad correspondiente es: v ro (2.0 km/h)î +0ĵ v r î donde hemos definido la cantidad positiva v r +(2.0 km/h). El otro pedazo de información es «[la rapidez del hombre] al remar (con respecto al río) es de 3.0 km/h». Esta rapidez se mide con respecto al río, no a la orilla. No conocemos la dirección (eso es lo que nos piden calcular), pero sabemos que el vector tiene la siguiente forma: r r,x î+r,y ĵ donde desconocemos el valor de las dos componentes. o que buscamos es encontrar cuáles son estas dos componentes. o que sí conocemos es la magnitud del vector, 3.0 km/h: r 3.0 km/h donde hemos definido +(3.0 km /h). Ahora sirve preguntarnos: cuál es esta velocidad con respecto a la orilla del río? Es claro que esa velocidad tendrá solamente una componente vertical, pues los puntos P y Q están alineados verticalmente. Desde el punto de vista de la ribera, el hombre partió de P, remó en dirección y y llegó a Q algún tiempo después. Esta velocidad tiene entonces la forma: o 0î +o,y ĵ donde o,y es la componente-y, la cual desconocemos. Tenemos ahora tres vectores de velocidad: la velocidad del bote medida desde el río, la misma pero desde la orilla, y la velocidad relativa entre el río y la ribera. a transformación de velocidades de Galileo nos permite relacionarlas de la siguiente forma: r o +v or El truco mnemónico para recordar esta regla es que los vectores del lado derecho están «encadenados» por el índice que tienen en común (la «o»): el primer vector lo tiene en la segunda posición y el segundo en la primera posición. os dos índices que sobran leen «br», que son los índices del vector único del lado izquierdo. Antes de escribir los vectores completos, nótese que no conocemos v or, sino v ro. Sin embargo, esos dos vectores se relacionan de forma simple: v or v ro puesto que la velocidad con la que la orilla ve el río debe ser el negativo de la velocidad con la que el río ve a la orilla (por reciprocidad). a transformación de velocidad puede entonces escribirse también como: r o v ro 2

3 Escribamos la expresión completa de cada vector en esta ecuación: r,x î+r,y ĵ o,y ĵ v r î Igualando las componentes en la misma dirección, obtenemos dos ecuaciones: r,x v r (1) r,y o,y (2) a primera nos dice que la componente-x de la velocidad del bote con respecto al río debe ser v r 2.0 km/h. Esto tiene sentido: como el río empuja el bote hacia la derecha, el homre debe remar de tal forma a «cancelar» este movimiento. a forma de lograrlo es remar «en contra» del río (también decimos «río arriba») con la misma rapidez con la que el río fluye con respecto a la ribera. Tenemos entonces ya la primera componente del vector r : r,x v r 2.0 km/h A partir de este dato podemos encontrar r,y, pues conocemos la magnitud del vector r. Ésta puede escribirse en términos de sus componentes como: r 2 2 r,x +r,y Despejando r,y de aquí: r,y r 2 2 r,x v 2 2 b v r (3 km/h) 2 (2 km/h) km/h 5 km/h 2.23 km/h a segunda ecuación (ec. (2)) nos dice que la componente-y de la velocidad del bote es la misma si se mide con respecto al río que si se mide con respecto a la orilla (ribera). Como el movimiento del río con respecto a la ribera es en dirección x, lo que pasa en dirección y se ve igual desde cualquiera de los dos marcos de referencia. Con esto ya obtuvimos la segunda componente del vector r y por lo tanto ya está completamente determinado: r v r î+ v 2 2 b v r ĵ ( ) ( 2.0 km/h)î+ 5 km/h ĵ Se puede constatar que estas dos componentes producen una magnitud de 3 km/h: En la figura 2 hemos dibujado este vector: r (2 km/h) 2 +(2.23 km/h) km/h 3

4 Q r r,x θ P Figura 2. r,y río De la figura se ve que la tangente del ángulo θ que forma con la vertical es: tanθ r,x r,y v r v 2 2 b v r 2 km/h 5 km/h de manera que el ángulo θ vale: 2 θ tan ř Entonces la respuesta a este inciso es que el hombre debe remar río arriba en una dirección a 41.8ř con respecto a la vertical, con una componente horizontal de 2 km/h y una componente vertical de 2.23 km/h (con respecto al río). (b) El tiempo que le toma cruzar el río puede obtenerse ahora fácilmente. Si es la distancia (vertical) entre las dos riberas, entonces el tiempo que le toma cruzar depende de la componente-y de su velocidad con respecto a la orilla: t o,y Como 500 m0.5 km, y obtuvimos que o,y r,y 5 km/h (ver la ec. (2)), el tiempo es: Solución alterna Parte I 0.5 km t 5 km/h h 13.4 min Hay una forma más simple de resolver esta parte. Todo está en elegir el sistema de referencia adecuado. En lugar de usar la orilla (lo que nos parecería «natural»), empleemos el sistema de referencia que se mueve con el río. En este sistema de referencia, el río está inmóvil, y es la orilla la que se mueve. Si definimos los ejes coordenados de este sistema paralelos a los de nuestro sistema original, entonces como v ro v or la ribera se mueve hacia la izquierda ( x) con una rapidez de v r 2 km/h. Esto quiere decir que el punto Q, a donde el bote quiere llegar, también se mueve hacia x con esta rapidez. a rapidez del bote con respecto a este río inmóvil sigue siendo 3 km/h. Para intercepar el punto Q, que ahora se mueve, el bote debe apuntar con cierto ángulo de forma que su trayectoria (una línea recta) coincida con una posición futura de Q (ver figura 3). 4

5 Q(t1) v r t 1 ribera Q θ río inmóvil P Figura 3. Sea t 1 el tiempo que le toma al bote alcanzar su destino. Durante este tiempo, el punto Q ha recorrido una distancia v r t 1 hacia la izquierda y el bote ha avanzado sobre el río inmóvil. Entonces, la hipotenusa del triángulo en la figura 3 mide, al cateto opuesto al ángulo θ mide v r t 1 y el cateto adyacente mide, el ancho del río. Si tomamos el seno de θ, tenemos y de ahí obtenemos directamente el ángulo θ: senθ v rt 1 v r θ sen 1 vr 41.8ř el cual es el mismo resultado que antes. El tiempo t 1 podemos entonces obtenerlo tomando ahora el coseno de θ, y despejando: cosθ t 1 cosθ h 13.4 min De nuevo recuperamos el resultado anterior, aunque esta solución es mucho más simple. Veremos este fenómeno con cierta frecuencia: escoger el sistema de referencia adecuado puede simplificar muchísimo la solución de un problema. Solución Parte II El problema ahora se complica: aparte de remar, el hombre puede caminar sobre la ribera del río. Mientras que en la primera parte había una sola solución al problema, ahora hay muchas, dependiendo de qué tan largo o corto sea el tramo que decide caminar el hombre. Se nos pide encontrar la solución óptima, la que minimiza el tiempo total del recorrido. Primero hay que notar que cualquier solución está caracterizada solamente por el ángulo θ con el que el bote parte de P, medido con respecto al río. Entonces, para resolver esta parte debemos encontrar una expresión que nos dé el tiempo total del recorrido como función θ, es decir, t(θ). Habiendo logrado esto, podremos aplicar cálculo para encontrar cuál θ da el tiempo mínimo. 5

6 Puesto que resultó una solución más simple el tomar el río como marco de referencia, haremos lo mismo en esta parte. En la figura 4, hemos graficado la trayectoria combinada que sigue el hombre. Primero, rema con rapidez r durante un tiempo t 1 y con un ángulo θ, hasta alcanzar la orilla opuesta. uego, se baja del bote y camina durante un tiempo t 2 con rapidez hasta alcanzar el punto Q (el cual, recordamos, se desplaza a la izquierda con rapidez v r ). Aquí, el subíndice «c» indica la rapidez del hombre cuando va caminando (medida en este caso con respecto al río). Q(t) t 2 x 1 Q ribera θ P Figura 4. Antes de proceder, hay que notar que la rapidez con la que el hombre camina en este sistema no es 5 km/h, pues ese dato está dado con respecto a la ribera, no al río. Escribiendo la transformación de velocidades de Galileo, tenemos que: v co +v or Como el hombre caminará hacia la izquierda ( x en cualquiera de los dos marcos), v co v c î, donde v c 5 km/h es el dato adicional que se da en el problema. Y desde el punto de vista del río, la orilla se mueve a la izquierda con rapidez v r : v or v r î. Entonces, sustituyendo en la ecuación anterior: v c î v r î (v c +v r )î Es decir, la rapidez con la que el hombre camina en la orilla (con respecto al río) es de 7 km/h. Ahora sí, enfoquémonos en el recorrido del hombre mostrado la figura 4. Primero, recorre remando un segmento de longitud, donde t 1 es el tiempo que toma la parte de remo, y desembarca en la ribera opuesta a una distancia x 1 de la posición original de Q. uego, recorre un segmento a pie de longitud v c t 2, donde t 2 es el tiempo que toma la parte caminando del recorrido. El tiempo total es tt 1 +t 2. Al mismo tiempo que el hombre hacía esto, el punto Q se movía hacia la izquierda con rapidez v r, de forma que la distancia total que recorre es v r tv r (t 1 +t 2 ). Si el hombre ha estar en la posición del punto Q al tiempo t, las distancias v r t y x 1 + t 2 deben ser iguales (ver la figura 4): v r t x 1 + t 2 (3) De la geometría de la figura, por trigonometría tenemos tanθx 1 /, de forma que sabemos que x 1 mide: x 1 tanθ Además, podemos escribir t 2 t t 1. Entonces, sustituyendo x 1 y t 2 en la ecuación (3): v r t tanθ+ (t t 1 ) (4) 6

7 Para obtener t 1, también por trigonometría tenemos: de donde cosθ t 1 cosθ Sustituyendo esto en (4): v r t tanθ+ ( t tanθ+ t cosθ cosθ ) De aquí podemos ya despejar t, el tiempo total del recorrido: Multiplicando toda la ecuación por 1: (v r )t tanθ ( cosθ tanθ 1 cosθ vcr 1 ( v r )t cosθ tanθ ) Finalmente, despejando el tiempo total: t(θ) v r ( vcr ) 1 cosθ tanθ (5) Esta expresión nos da el tiempo total de viaje como función del ángulo θ con el que parte el bote (pueden ver la gráfica de esta función al final, figura 5). Analizando su comportamiento podremos determinar cuál ángulo produce el menor tiempo de viaje. Para hacer esto, recordemos la técnica que aprendimos en cálculo para encontrar los valores extremos (mínimos o máximos) de una función. En un valor extremo, la derivada de la función se vuelve cero. Entonces, derivando, igualando a cero, y despejando la variable independiente podemos localizar dónde ocurre el extremo de la función. Hagamos esto. Queremos encontrar para qué valor de θ la función t(θ) tiene un mínimo. Derivando (5) con respecto a θ, tenemos: dt dθ d [ ] vcr 1 dθ v r cosθ tanθ d vcr 1 v r dθ cosθ tanθ ( vcr d 1 v r dθ cosθ d ) dθ tanθ ( vcr senθ v r 1 ) 1 vcr v r cos 2 senθ 1 θ (6) 7

8 donde la derivada de 1/cosθ se obtuvo aplicando la regla de la cadena: d 1 dθ cosθ d dθ (cosθ) 1 (cosθ) 2 d dθ cosθ 1 cos 2 ( sen θ) θ senθ y la de tanθ se obtuvo usando el hecho que tanθ senθ/cosθ, la identidad sen 2 θ+1, y aplicando la regla del cociente: d dθ tanθ d senθ ( dθ cosθ ) d senθ d cosθ senθ cosθ dθ dθ (cosθ)cosθ senθ( senθ) cos2 θ+ sen 2 θ 1 Para t mínimo, la derivada de t(θ), ec. (6), debe ser igual a cero: ( v r ) 1 vcr cos 2 senθ 1 θ Para que el lado izquierdo dé cero, al menos uno de los factores debe ser cero. Pero el primero sólo contiene constantes y no es nulo, y el segundo, 1/, no puede nunca ser cero, pues el rango de la función cosθ es [ 1,1 ]. Entonces, la única opción es que el tercero sea cero: o bien, despejando sen θ: senθ 1 0 senθ De aquí ya podemos calcular el ángulo que da el tiempo mínimo: θ sen 1 vb 25.4ř Finalmente, evaluando la expresión de t(θ), ec. (5), usando este valor, obtenemos el tiempo mínimo de viaje: t h 12.6 min 0 Constatamos que efectivamente es menor que si el hombre cruza de forma «directa». 8

9 En la figura 5 hemos graficado esta función para el rango de valores θ [0ř, 65ř]. Se comprueba visualmente que θ 25.4ř es el ángulo que produce el tiempo mínimo, el cual es t 12.6 min. El valor que obtuvimos en la primera parte, θ 41.8ř, claramente no da la solución más rápida Tiempo [minutos] Angulo [grados] Figura 5. 9