Tema 2: Bases de Gröbner

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1 Tema 2: Bases de Gröbner Miguel Ángel Olalla Acosta Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Febrero de 2018 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

2 Contenido 1 Introducción 2 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n ] 3 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n ] 4 Ideales monomiales y Lema de Dickson 5 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner 6 Propiedades de las Bases de Gröbner 7 Algoritmo de Buchberger Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

3 Introducción Problemas 1.- El problema de la descripción del ideal Tiene todo ideal I k[x 1,..., x n ] una base finita? Es decir, puede escribirse I = f 1,..., f s con f i k[x 1,..., x n ]? Esto ya lo hemos resuelto mediante el Teorema de la base de Hilbert. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

4 Introducción Problemas 2.- El problema de la pertenencia a un ideal Dados f k[x 1,..., x n ] y un ideal I = f 1,..., f s, es posible decidir si f I? Geométricamente este problema está estrechamente relacionado con el problema de determinar si V(f 1,..., f s ) está sobre la variedad V(f ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

5 Introducción Problemas 3.- El problema de la resolución de las ecuaciones polinómicas Encontrar todas las soluciones en k n de un sistema de ecuaciones polinómicas f 1 (x 1,..., x n ) = = f s (x 1,..., x n ) = 0. Es lo mismo que preguntarse si se pueden calcular los puntos de V(f 1,..., f s ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

6 Introducción Problemas 4.- El problema de la implicitación Sea V k n dado paramétricamente por x 1 = g 1 (t 1,..., t m ),. x n = g n (t 1,..., t m ). Si las funciones g i son polinomios (o funciones racionales) en las variables t j, entonces V será una variedad afín o parte de una. El problema, entonces, es calcular un sistema de ecuaciones polinómicas que defina la variedad. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

7 Introducción Algunos casos resueltos Ejemplo (1.1) Dado un ideal I k[x], hemos demostrado que I = g para algún g k[x]. También hemos visto que para comprobar si f I = g dividimos f entre g: f = q g + r, donde q, r k[x] y r = 0 o deg(r) < deg(g). Hemos probado que f I si y solo si r = 0. Así que tenemos un algoritmo para resolver el problema de la pertenencia a un ideal en el caso n = 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

8 Introducción Algunos casos resueltos Ejemplo (1.2) Consideremos el sistema lineal 2x 1 + 3x 2 x 3 = 0, x 1 + x 2 1 = 0, x 1 + x 3 3 = 0. Reduciendo por filas la matriz del sistema obtenems su forma reducida escalonada por filas: Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

9 Introducción Algunos casos resueltos Ejemplo (1.2) La forma de esta matriz prueba que x 3 es una variable libre, poniendo x 3 = t tenemos x 1 = t + 3, x 2 = t 2, x 3 = t. Estas son las ecuaciones paramétricas de una recta L en k 3. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

10 Introducción Algunos casos resueltos Ejemplo (1.3) Consideremos ahora la variedad lineal afín V k 4 parametrizada como sigue: x 1 = t 1 + t 2 + 1, x 2 = t 1 t 2 + 3, x 3 = 2t 1 2, x 4 = t 1 + 2t 2 3. Dejando las t i y x j en el lado izquierdo de cada ecuación y los términos independientes en el derecho, tenemos un sistema lineal de matriz: Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

11 Introducción Algunos casos resueltos Ejemplo (1.3) Cuya forma escalonada reducida por filas es: / /4 1/ /4 1/ /4 1/2 3. Las dos últimas filas se corresponden con ecuaciones si términos con t j : { x1 (1/4)x 3 (1/2)x 4 3 = 0, x 2 (3/4)x 3 + (1/2)x 4 3 = 0. Estas dos ecuaciones definen V en k 4. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

12 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Algunos casos ya vistos En k[x] para dividir dos polinomios ordenamos sus términos por el grado. Es decir, el orden para los monomios es > x m+1 > x m > > x 2 > x > 1. En el caso de las ecuaciones lineales en k[x 1,..., x n ] hemos visto en los ejemplos anteriores que se usan los algoritmos sobre matrices para calcular formas escalonadas reducidas por filas. Al disponer los coeficientes en las matrices estamos estableciendo un orden entre los monomios: x 1 > x 2 > > x n. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

13 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Ordenando monomios Sea α = (α 1,..., α n ) Z n 0, recordemos que escribimos x α = x α 1 1 x n αn. Esto establece una correspondencia biunívoca entre los monomios de k[x 1,..., x n ] y Z n 0. Es decir, que ordenar monomios es lo mismo que establecer un orden en Z n 0. Por tanto, si α > β en un orden determinado, también diremos que x α > x β. Qué propiedades queremos que verifique un orden para los monomios de k[x 1,..., x n ]? Para comenzar, queremos que poder ordenar todos los términos de un polinomio sin ambigüedad. Es decir, queremos que sea un orden total. O sea, que dados dos monomios x α y x β exactamente una de las siguientes afirmaciones sea verdadera. x α > x β, x α = x β, x α < x β Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

14 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Ordenando monomios También exigiremos que el orden sea transitivo. Es decir, si x α > x β y x β > x γ se tiene que x α > x γ. También queremos que, de alguna forma, el orden entre los monomios sea compatible con la estructura de anillo de k[x 1,..., x n ]. Para esto requeriremos, si x α > x b eta y x γ k, que x α+γ > x β+γ. O en términos de los exponentesm esto quiere decir que si α > β y γ k n entonces α + γ > β + γ. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

15 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Orden monomial Definición (2.1) Un orden monomial > sobre k[x 1,..., x n ] es una relación sobre Z 0, satisfaciendo: (i) > es un orden total sobre Z n 0. (ii) Si α > β y γ Z n 0 entonces α + γ > β + γ. (iii) > es un buen orden sobre Z n 0. Es decir, todo subconjunto no vacío de Z n 0 tiene un menor elemento. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

16 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Orden monomial Lema (2.2) Una relación de orden > sobre Z n 0 es un buen orden si y solo si existe toda sucesión estrictamente decreciente en Z n 0 α(1) > α(2) > α(3) > eventualmente termina. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

17 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Orden lexicográfico Definición (2.3 - Orden lexicográfico) Sean α = (α 1,..., α n ) y β = (β 1,..., β n ) en Z n 0. Decimos que α > lex β si la entrada no nula más a la izquierda de α β Z n es positiva. Escribiremos x α > lex x β si α > lex β. Proposición (2.4) El orden lexicográfico sobre Z n 0 es un ordn monomial. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

18 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Órdenes graduados Nota Sea α = (α 1,..., α n ) Z n 0, recordemos que α = n α i. i=1 Definición (2.5 - Orden lexicográfico graduado) Sean α, β Z n 0. Decimos que α > grlex β si α > β o bien α = β y α > lex β. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

19 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Órdenes graduados Definición (2.6 - Orden lexicográfico reverso graduado) Sean α, β Z n 0. Decimos que α > grevlex β si α > β o bien α = β y la entrada no nula más a la derecha de α β Z n es negativa. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

20 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Definiciones Definición (2.7) Sea f = α a αx α un polinomio no nulo en k[x 1,..., x n ] y sea > un orden monomial. (i) El multigrado de f es multideg(f ) = máx(α Z n 0 a α 0). (ii) El coeficiente ĺıder de f es lc(f ) = a multideg(f ) k. (iii) El monomio ĺıder de f es lm(f ) = x multideg(f ). (iv El término lider de f es lt(f ) = lc(f ) lm(f ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

21 Orden sobre los monomios de k[x 1,..., x n] Multigrado Lema (2.8) Sean f, g k[x 1,..., x n ] polinomios no nulos. Entonces: (i) multideg(fg) = multideg(f ) + multideg(g). (ii) Si f + g 0, entonces multideg(f + g) máx(multideg(f ), multideg(g)). Si además multideg(f ) multideg(g) se tiene la igualdad. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

22 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Ejemplo 3.1 En k[x, y] con el orden lexicográfico y x > y, dividimos f = xy entre f 1 = xy + 1 y f 2 = y + 1. xy xy + 1 y + 1 xy 2 + y y 1 y + 1 y 1 2 Por tanto xy = y (xy + 1) + ( 1) (y + 1) + 2. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

23 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Ejemplo 3.2 En k[x, y] con el orden lexicográfico y x > y, dividimos f = x 2 y + xy 2 + y 2 entre f 1 = xy 1 y f 2 = y 2 1. x 2 y + xy 2 + y 2 xy 1 y 2 1 x 2 y x x + y 1 xy 2 + x + y 2 xy 2 y x + y 2 + y y 2 1 x+y+1 Luego x 2 y + xy 2 + y 2 = (x + y) (xy 1) + 1 (y 2 1) + x + y + 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

24 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Algoritmo de división en k[x 1,..., x n ] Teorema (3.3 - Algoritmo de división) Sea > un orden monomial en Z n 0 y sea F = (f 1,..., f s ) una s upla ordenada de polinomios en k[x 1,..., x n ]. Entonces todo f k[x 1,..., x n ] puede escribirse como f = q 1 f q s f s + r, donde q i, r k[x 1,..., x n ], y o bien r = 0, o bien r es una combinación lineal de monomios, ninguno de los cuales es divisible por ningún lt(f 1 ),..., lt(f s ). Decimos que r es un resto de la división de f entre F. Además, si q i f i 0, entonces multideg(f ) multideg(q i f i ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

25 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Algoritmo de división Input: f 1,..., f s, f. Output: q 1,..., q s, r. q 1 := 0;... ;q s := 0; r := 0 p := f WHILE p 0 DO i := 1 divisionoccurred :=false WHILE i s AND divisionoccurred =false DO IF lt(f i ) divides lt(p) THEN q i := q i + lt(p)/lt(f i ) p := p (lt(p)/lt(f i ))f i divisionoccurred :=true ELSE i := i + 1 Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

26 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Algoritmo de división IF divisionoccurred =false THEN r := r + lt(p) p := p lt(p) RETURN q 1,..., q s, r Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

27 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Ejemplo 3.4 En k[x, y] con el orden lexicográfico y x > y, dividimos f = x 2 y + xy 2 + y 2 entre f 1 = y 2 1 y f 2 = xy 1. x 2 y + xy 2 + y 2 y 2 1 xy 1 x 2 y x x + 1 x xy 2 + x + y 2 xy 2 x 2x + y 2 2x+1 y 2 1 Luego x 2 y + xy 2 + y 2 = (x + 1) (y 2 1) + x (xy 1) + 2x + 1. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

28 Un algoritmo de división en k[x 1,..., x n] Ejemplo 3.5 Sean f 1 = xy 1 y f 2 = y 2 1 en k[x, y] con el orden lexicográfico y x > y. Dividiendo f = xy 2 x entre F = (f 1, f 2 ), el resultado es xy 2 x = y (xy 1) + 0 (y 2 1) + ( x + y). Pero dividiendo entre F = (f 2, f 1 ) se obtiene xy 2 x = x (y 2 1) + 0 (xy 1) + 0. Luego f f 1, f 2, aunque el resto de la división entre F = (f 1, f 2 ) no es nulo. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

29 Ideales monomiales y Lema de Dickson Ideal monomial Definición (4.1) Un ideal I k[x 1,..., x n ] es un ideal monomial si existe un subconjunto A Z n 0 (posiblemente infinito) tal que I = x α α A. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

30 Ideales monomiales y Lema de Dickson Pertenencia a un ideal monomial Lema (4.2) Sea I = x α α A un ideal monomial. Entonces un monomio x β pertenece a I si y solo si x β es divisible por x α para algún α A. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

31 Ideales monomiales y Lema de Dickson Pertenencia a un ideal monomial I = x 4 y 2, x 3 y 4, x 2 y 5. LOs exponentes de los monomios de I están en ((4, 2) + Z 2 0) ((3, 4) + Z 2 0) ((2, 5) + Z 2 0). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

32 Ideales monomiales y Lema de Dickson Pertenencia a un ideal monomial Lema (4.3) Sea I un ideal monomial y sea f k[x 1,..., x n ]. Entonces son equivalentes: (i) f I. (ii) Cada término de f pertenece a I. (iii) f es una combinación lineal de monomios en I. Corolario (4.4) Dos ideales monomiales son iguales si y solo si contienen los mismos monomios. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

33 Ideales monomiales y Lema de Dickson Lema de Dickson Teorema (4.5 - Lema de Dickson) Sea I = x α α A k[x 1,..., x n ] un ideal monomial. Entonces se puede escribir I = x α(1),..., x α(s), donde α(1),..., α(s) A. En particular, I tiene una base finita. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

34 Ideales monomiales y Lema de Dickson Buen orden Corolario (4.6) Sea > una relación sobre Z n 0 satisfaciendo: (i) > es un orden total sobre Z n 0. (ii) Si α > β y γ Z n 0 entonces α + γ > β + γ. Entonces > es un buen orden si y solo si α 0 para todo α Z n 0. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

35 Ideales monomiales y Lema de Dickson Base minimal Proposición (4.7) Un ideal monomial I k[x 1,..., x n ] tiene una base con la siguiente propiedad: x α(i) no divide a x α(j) para i j. Además esta base es única, se llama base minimal de I. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

36 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Ideal de los términos ĺıderes Definición (5.1) Sea I k[x 1,..., x n ] un ideal distinto de {0}, y fijemos un orden monomial en k[x 1,..., x n ]. Entonces: (i) Denotamos por lt(i ) al conjunto de los términos ĺıderes de los elementos no nulos de I. Es decir, lt(i ) = {cx α existe f I \ {0} con lt(f ) = cx α }. (ii) Denotamos por lt(i ) al ideal generado por los elementos de lt(i ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

37 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Ideal de los términos ĺıderes Sea I = f 1,..., f s k[x 1,..., x n ]. Es claro que lt(f 1 ),..., lt(f s ) lt(i ). Sin embargo ambos ideales no tienene por qué ser iguales. Por ejemplo... Ejemplo (5.2) En k[x, y] con el orden lexicográfico graduado, sean f 1 = x 3 2xy y f 2 = x 2 y 2y 2 + x, consideremos el ideal I = f 1, f 2. Observemos que x (x 2 y 2y 2 + x) y (x 3 2xy) = x 2, luego x 2 I. Sin embargo x 2 no es divisible por lt(f 1 ) = x 3 ni lt(f 2 ) = x 2 y, luego x 2 / lt(f 1 ), lt(f 2 ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

38 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Teorema de la base de Hilbert Proposición (5.3) Sea I k[x 1,..., x n ] un ideal distinto de {0}. (i) lt(i ) es un ideal monomial. (ii) Existen g 1,..., g t I tales que lt(i ) = lt(g 1 ),..., lt(g t ). Teorema (5.4 - Teorema de la base de Hilbert) Todo ideal I k[x 1,..., x n ] tiene un conjunto finito de generadores. Es decir, I = g 1,..., g t para algún g 1,..., g t t. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

39 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Bases de Gröbner Definición (5.5) Fijemos un orden monomial sobre el anillo de polinomios k[x 1,..., x n ]. Un subconjunto finito G = {g 1,..., g t } de un ideal I k[x 1,..., x n ] distinto de {0} se dice una base de Gröbner (o base estándar) si lt(g 1 ),..., lt(g t ) = lt(i ). Conveniendo que = {0}, definimos el conjunto vacío como la base de Gröbner del ideal cero {0}. Corolario (5.6) Fijado un orden monomial, todo ideal I k[x 1,..., x n ] tiene una base de Gröbner. Además, cualquier base de Gröbner de un ideal I es una base de I. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

40 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Ejemplos Consideremos el ideal I = f 1, f 2 k[x, y] del ejemplo 5.2, con f 1 = x 3 2xy y f 2 = x 2 y 2y 2 + x. Ya vimos que x 2 lt(i ) pero x 2 / lt(f 1 ), lt(f 2 ). Por tanto {f 1, f 2 } no es una base de Gröbner para I. Consideremos ahora los polinomios g 1 = x + z y g 2 = y z de R[x, y, z]. Sea J = g 1, g 2, el conjunto {g 1, g 2 } es una base de Gröbner de J R[x, y, z] con el orden lexicográfico. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

41 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Condición de Cadena Ascendente Teorema (5.7 - Condición de Cadena Ascendente) Sea I 1 I 2 I 3 una cadea ascendente de ideales en k[x 1,..., x n ]. Entonces existe un N 1 tal que I N = I N+1 = I N+2 =. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

42 El teorema de la base de Hilbert y bases de Gröbner Variedad de un ideal Definición (5.8) Sea I k[x 1,..., x n ] un ideal. Denotamos por V(I ) al conjunto V(I ) = {(a 1,..., a n ) k n f (a 1,..., a n ) = 0 para todo f I }. Proposición (5.9) V(I ) es una variedad afín. En particular, si I = f 1,..., f s, entonces V(I ) = V(f 1,..., f s ). Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

43 Propiedades de las Bases de Gröbner Propiedades de las Bases de Gröbner Proposición (6.1) Sean I k[x 1,..., x n ] un ideal y G = {g 1,..., g t } una base de Gröbner para I. Entonces dado f k[x 1,..., x n ] existe un único r k[x 1,..., x n ] con las siguientes propiedades: (i) Ningún término de r es divisible por ningún lt(g 1 ),... lt(g t ). (ii) Existe g I tal que f = g + r. En particular, r es el resto de dvidir f entre G sin importar el orden entre los elementos de G al usar el algoritmo de división. Corolario (6.2) Sea G = {g 1,..., g t } una base de Gröbner de un ideal I k[x 1,..., x n ] y sea f k[x 1,..., x n ]. Entonces f I si y solo si el resto de la división de f entre G es cero. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

44 Propiedades de las Bases de Gröbner Resto de la división Definición (6.3) Escribiremos como f F el resto de la división de f entre la s-upla ordenada F = (f 1,..., f s ). Si F es una base de Gröbner para f 1,..., f s entonces, por la proposición 6.1, se puede ver F com un conjunto no necesariamente ordenado. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

45 Propiedades de las Bases de Gröbner S-polinomios Definición (6.4) Sean f, g k[x 1,..., x n ] polinomios no nulos. (i) Si multideg(f ) = α y multideg(g) = β, entonces sea γ = (γ 1,..., γ n ), donde γ i = máx(α i, β i ) para cada i. Decimos que x γ es el mínimo común múltiplo de lm(f ) y lm(g). Escribiremos x γ = lcm(lm(f ), lm(g)). (ii) El S-polinomio de f y g es la combinación S(f, g) = x γ lt(f ) f x γ lt(g) g. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

46 Propiedades de las Bases de Gröbner S-polinomios Lema (6.5) Supongamos que tenemos una suma s i=1 p i, donde multideg(p i ) = δ Z n 0 para cada i. Si multideg( s i=1 p i) < δ, entonces s i=1 p i es una combinación lineal, sobre k, de los S-polinomios S(p j, p l ) para 1 j, l s. Además, cada S(p j, p l ) tiene multigrado < δ. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

47 Propiedades de las Bases de Gröbner El criterio de Buchberger Teorema (6.6 - Criterio de Buchberger) Sea I k[x 1,..., x n ] un ideal. Entonces una base G = {g 1,..., g t } de I es una base de Gröbner de I si y solo si para cada par i j, el resto de la división de S(g i, g j ) entre G es cero. Ejemplo Consideremos el ideal I = y x 2, z x 3 de la cúbica alabeada en R 3. Entonces G = {y x 2, z x 3 } es una base de Gröbner de I para el orden lexicográfico con y > z > x. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

48 Algoritmo de Buchberger Ejemplo 7.1 En el anillo Q[x, y] con el orden lexicográfico graduado, sea el ideal I = f 1 = x 3 2xy, f 2 = x 2 y 2y 2 + x. Ya vimos anteriormente que F = {f 1, f 2 } no es una base de Gröbner. S(f 1, f 2 ) F = x 2 f 3 = x 2, F = {f 1, f 2, f 3 }. S(f 1, f 3 ) F = 2xy f 4 = 2xy, F = {f 1, f 2, f 3, f 4 }. S(f 1, f 4 ) F = 0. S(f 2, f 3 ) F = 2y 2 + x f 5 = 2y 2 + x, F = {f 1, f 2, f 3, f 4, f 5 }. S(f 2, f 4 ) F = S(f 2, f 5 ) F = S(f 3, f 4 ) F = S(f 3, f 5 ) F = S(f 4, f 5 ) F = 0. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

49 Algoritmo de Buchberger Algoritmo de Buchberger Teorema (7.2 - Algoritmo de Buchberger) Sea I = f 1,..., f s {0} un ideal de k[x 1,..., x n ]. Se puede construir una base de Gröbner de I mediante el siguiente algoritmo: Input: F = {f 1,..., f s } Output: una base de Gröbner G = {g 1,..., g t } para I, con F G. G := F REPEAT G := G FOR cada par {p, q}, p q de G DO r := S(p, q) G IF r 0 THEN G = G {r} UNTIL G = G RETURN G Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

50 Algoritmo de Buchberger Base de Gröbner minimal Lema (7.3) Sea G una base de Gröbner de I k[x 1,..., x n ]. Sea p G un polinomio tal que lt(p) lt(g \ {p}). Entonces G \ {p} es también una base de Gröbner de I. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

51 Algoritmo de Buchberger Base de Gröbner minimal En el ejemplo 7.1 hemos visto que {f 1 = x 3 2xy, f 2 = x 2 y 2y 2 + x, f 3 = x 2, f 4 = 2xy, f 5 = 2y 2 + x} es una base de Gröbner del ideal I = f 1, f 2 Q[x, y]. Como lt(f 1 ) = x lt(f 3 ) y lt(f 2 ) = (1/2)x lt(f 4 ), podemos eliminar f 1 y f 2. Dividiendo por los respectivos coeficientes ĺıderes se obtiene una base de Gröbner minimal { f 3 = x 2, f 4 = xy, f 5 = y 2 (1/2)x}. Obsérvese que la base de Gröbner minimal no es única. De hecho es fácil comprobar que {ˆf 3 = x 2 + axy, f 4 = xy, f 5 = y 2 (1/2)x} es también una base minimal de I, con a Q. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52

52 Algoritmo de Buchberger Base de Gröbner reducida Definición (7.4) Una base de Gröbner reducida para un ideal de polinomios I es una base de Gröbner G para I tal que (i) lc(p) = 1 para todo p G. (ii) Para cada p G, ningún monomio de p está en lt(g \ {p}). Teorema (7.5) Sea I {0} un ideal polinómico. Entonces, para un orden monomial dado, I tiene una base de Gröbner reducida que además es única. Olalla (Universidad de Sevilla) Tema 2: Bases de Gröbner Febrero de / 52