1. Recuerda que el examen dura dos horas, y que durante ese tiempo debes completar tanto el cuestionario como las dos preguntas escritas.

Transcripción

1 Univ. de Alcalá. Fac. de Biología Dpto. de Matemáticas Grado en Biología Estadística Curso 2011/2012. Examen de enero. Fecha: Martes, 17/1/2012, 10h. LEER ATENTAMENTE ESTAS INSTRUCCIONES 1. Recuerda que el examen dura dos horas, y que durante ese tiempo debes completar tanto el cuestionario como las dos preguntas escritas. 2. CUESTIONARIO: Contesta a las preguntas con cuatro cifras significativas (salvo en el caso de fracciones), como en los últimos exámenes parciales. 3. PARTE ESCRITA: Contesta a una y sólo una pregunta de cada bloque. Debes esforzarte en escribir la respuesta como si se lo estuvieras explicando a alguien. En estos ejercicios se valorará la claridad de la explicación junto con la corrección del resultado obtenido. Para los cálculos que necesites hacer puedes utilizar el ordenador. Si lo haces, la explicación debe incluir el software que has usado, con los detalles suficientes como para poder reproducir tus cálculos. Preguntas BLOQUE A (A1) Se ha realizado un estudio sobre niños que padecen de dolor en el pecho. Se ha hallado que, de 137 niños que tenían dolor en el pecho, 100 mostraban radiografías de tórax normales. Obtener un intervalo de confianza del 95 % de la proporción de niños con dolor en el pecho que mostraron radiografías de tórax normales. Respuesta: Se trata de construir un intervalo de confianza para estimar el valor p de la proporción de niños con dolor en el pecho que mostraron radiografías de tórax normales. Hemos estudiado este tema en la sesión 21 del 29/11/2011. Allí vimos la expresión del intervalo de confianza, que es p = ˆp ± z α/2 ˆp ˆq n. En esta expresión ˆp representa la proporción muestral, en una muestra de tamaño n, mientras que ˆq = 1 ˆp. El valor z α/2 es el valor crítico de la distribución normal, que deja en su cola derecha una probabilidad igual a α/2, siendo 1 α = 0.95 el nivel de confianza deseado. Esta expresión del intervalo es válida siempre que el tamaño de la muestra sea suficientemente grande, y al mismo tiempo las probabilidades p y q no sean demasiado pequeñas, de manera que se cumplan las siguientes dos condiciones: En este ejercicio es por lo que n ˆp > 5, n ˆq > 5. n = 137, ˆp = , ˆq = , n ˆp = 100 > 5, n ˆq = 37 > 5 así que esas condiciones se cumplen holgadamente. Además, en este ejercicio, es 1 α = 0.95, por lo que tenemos α/2 = y el valor z (que se puede calcular con R haciendo qnorm(1-0.05/2), o con Calc haciendo DISTR.NORM.ESTAND.INV(1-0,05/2)) es aproximadamente Sustituyendo todos estos valores en la fórmula se obtiene ( es la semianchura del intervalo) p = ± o lo que es lo mismo p

2 que es el intervalo de confianza al 95 % que se pedía. Este intervalo se puede obtener directamente con R, introduciendo los datos del problema en el fichero IntervaloConfianzaProporcionPoblacionNormaMuestraGrande.R que está disponible en Moodle y que hemos usado durante el curso. Aquí tienes una versión, adaptado a los datos de este ejercicio. (A2) Los siguientes datos corresponden a diámetros de pie de 10 arbustos de una especie común. Suponiendo la normalidad de la población, se pide construir un intervalo de confianza para la varianza, con un nivel de confianza del 95 %. Arbusto número: Diámetro en cm. 15,7 15,4 15,9 16,1 16,7 15,8 16,3 16,4 15,7 16 Respuesta: Se trata de construir un intervalo de confianza para la varianza σ 2 de la variable aleatoria X = {diámetro del pie de los arbustos de esa especie}. Hemos estudiado este tema en la sesión 22, del del 02/12/2011. Allí vimos la expresión del intervalo de confianza para la varianza, que es (n 1)s 2 χ 2 k,α/2 σ 2 (n 1)s2 χ 2, con k = n 1. k,1 α/2 En esta expresión s 2 representa la cuasivarianza muestral, en una muestra de tamaño n (k = n 1 son los grados de libertad), mientras que los valores χ 2 k,α/2 y χ2 k,1 α/2 son los valores críticos de la distribución normal, que dejan en su cola derecha (derecha en ambos casos) una probabilidad igual a α/2 y 1 α/2 repectivamente, siendo 1 α = 0.95 el nivel de confianza deseado. Para que esta expresión del intervalo sea válida, debemos suponer que la variable X sigue una distribución normal. Esa suposición es lo más común cuando se estudian parámetros físicos en biología, y salvo que haya evidencia en contra de la hipótesis de normalidad. El cálculo de s 2 (la cuasivarianza muestral) se puede realizar en R directamente introduciendo los comandos: datos<-c(15.7,15.4,15.9,16.1,16.7,15.8,16.3,16.4,15.7,16) var(datos) ya que la función var de R calcula la cuasivarianza muestral s. En Calc debemos utilizar la función VAR (y no VARP, que es la varianza poblacional, que vale ). En cualquier caso se obtiene s , es decir, s El nivel de confianza deseado en este ejercicio, es 1 α = 0.95, y los grados de libertad son k = 10 1 = 9, por lo que tenemos α/2 = 0.025, 1 α/2 = y se obtienen los valores χ 2 k,α/2 = χ2 k, , χ 2 k,1 α/2 = χ2 9, que se pueden calcular con R, usando qchisq( ,df=9) para χ 2 k,0.025, mientras que para para χ 2 k,0.975 usamos qchisq( ,df=9), o con Calc haciendo CHISQINV(0,025;9) y CHISQINV(0,975;9). Sustituyendo estos valores en la fórmula del intervalo se obtiene: σ que es el intervalo de confianza al 95 % que se pedía. Este intervalo se puede obtener directamente con R, introduciendo los datos del problema en el fichero IntervaloConfianzaDesviacionTipicaPoblacionNormal.R (hay que descomentar unas líneas para obtenerlo directamente; si no, el que se obtiene es σ para la desviación típica y hay que elevar al cuadrado los extremos) o con el fichero Calc IntervaloConfianzaDesviacionTipica-PoblacionNormal.ods ambos disponibles en Moodle, y que hemos usado durante el curso. Aquí tienes versiones de esos ficheros adaptados a los datos de este ejercicio: y. 2

3 Preguntas BLOQUE B (B1) La inspección de trabajo de una comunidad autónoma está interesada en averiguar si su índice de absentismo laboral (entendido como la proporción de personas ausentes de su puesto de trabajo en una jornada laboral) es menor que la media europea, que es del 9 %. Se selecciona una muestra aleatoria de 200 trabajadores, y se obtiene una proporción de absentismo del 5 %. Confirman estos datos que el índice de absentismo laboral es menor que la media europea? Utilizar un nivel de confianza del 95 %. Respuesta: El ejercicio plantea la comparación entre el índice de absentismo laboral de una comunidad autónoma y el valor de ese índice en Europa. El índice de absentismo laboral, como señala el enunciado, es una proporción. Por lo tanto, vamos a realizar un contraste de hipótesis sobre proporción. Llamaremos p al índice de absentismo laboral de la comunidad autónoma, y p 0 a la media europea, con lo que p 0 = 0.09 (el 9 %). La hipótesis que propone la inspección de trabajo es que p es menor que p 0. Esta es la hipótesis que vamos a considerar como hipótesis alternativa H a (ver el párrafo final). Y consideraremos como hipótesis nula H 0 la contraria, es decir: H 0 = {p p 0 }, mientras que H a = {p < p 0 }. Para realizar este contraste, se ha obtenido la muestra, con n = 200, que produce una proporción muestral ˆp = Puesto que la muestra es suficientemente grande, podemos utilizar el estadístico (ver sesión 21, del 29/11/2011, pág. 3 y siguientes): Z = ˆp p 0 p0 q 0 n (aquí q 0 = 1 p 0 ) del que sabemos que, si la hipótesis nula es cierta, su distribución muestral es la normal estándar N(0, 1). Calculamos el valor de Z con estos datos: Z = = Si la hipótesis nula fuese cierta, sería muy extraño (muy improbable) obtener valores de ˆp mucho más pequeños que p 0. Esos valores raros de ˆp se corresponden con valores negativos de Z, más grandes cuanto más raro sea el valor. Es decir, son los valores que forman la cola izquierda de la distribución normal N(0, 1). Para saber cómo de improbable es el valor Z = que hemos obtenido calculamos el p-valor del contraste, que en este caso es la probabilidad de la cola izquierda que le corresponde. Para ello usamos, por ejemplo, R con o Calc, con pnorm(-1.977)= DISTR.NORM.ESTAND(-1,977)= El nivel de confianza establecido es el 95 %, que corresponde a tomar α = Para saber si debemos rechazar la hipótesis comparamos el p-valor con α, y puesto que: < 0.05 = α rechazamos la hipótesis nula (observa que no la rechazaríamos al 99 %). Es decir, los datos respaldan (a ese nivel de confianza) la afirmación de la inspección de trabajo, de que su índice de absentismo laboral es menor que la media europea. Otra manera de plantear el ejercicio es usar la región de rechazo para ese nivel de confianza, que en este caso es (pág. 4 de la sesión 21): ˆp < p 0 + z 1 α p0 q 0 n. Aquí z 1 α es el valor cuya cola derecha en N(0, 1) tiene probabilidad 1 α = 0.95, o lo que es lo mismo, cuya cola izquierda tiene probabilidad α = Se puede calcular en R con qnorm(0.05)= (o en Calc con DISTR.NORM.ESTAND.INV(0,05)). Por lo tanto, la región de rechazo es: ˆp <

4 Y puesto que ˆp = 0.05 < , este otro método también nos llevaría a rechazar la hipótesis nula. Cuando se organizan así las cuentas, el p-valor debe calcularse de forma independiente. Una duda que algunos os habréis planteado es por qué usamos un contraste unilateral, y no uno bilateral? Si usáramos un contraste bilateral pondríamos como hipótesis nula H 0 = {p = p 0 }. Pero en tal caso, si tomamos una muestra en esa comunidad autónoma, y obtenemos, por ejemplo, un valor de absentismo laboral p = 0.2 (un 20 %, que es una barbaridad) habríamos rechazado la hipótesis nula diciendo que el índice de absentismo laboral en la comunidad autónoma es distinto de la media europea. Evidentemente, lo que la inspección de trabajo quiere probar en este ejemplo es que ese índice es menor, no simplemente distinto. Por eso usamos un contraste unilateral. (B2) Se ha recibido un envío de latas de conserva, de las que se afirma que el peso medio son 1000 gramos. Al examinar una muestra aleatoria de 5 latas se obtuvo un peso medio muestral de 995 gramos, con una cuasivarianza muestral s 2 = Al nivel de confianza 95 %, se puede aceptar que el peso medio son 1000 gramos? Obtener también el p-valor de este contraste. Respuesta: Queremos contrastar un valor medio. Por lo tanto, vamos a realizar un contraste de hipótesis sobre la media aritmética. Llamaremos µ 0 al peso medio que se supone que deberían tener las latas de conserva (es decir, que µ 0 = 1000), y llamaremos µ a la media que realmente tienen. Está claro que el contraste debe comparar µ con µ 0, usando para ello una muestra de n = 5 latas (anotamos que la muestra es pequeña), con media muestral X = 995 y cuasivarianza muestral s 2 = 19.6 (por lo tanto s = 4.427). La siguiente pregunta que nos debemos plantear es cuál es la hipótesis nula (y alternativa) que vamos a usar en el contraste. En este sentido, este ejercicio es más abierto que el anterior. Quizá lo más natural es pensar que el que ha recibido el envío de latas es un cliente de la fábrica. Si el cliente piensa que la fábrica le está enviando latas con menos peso del debido, se sentirá engañado. Está claro que un cliente en esa situación querría contrastar la hipótesis alternativa H a = {µ < µ 0 } (lo que el cliente sospecha) frente a la hipótesis nula (lo que afirma la fábrica) H 0 = {µ µ 0 }. En este caso el contraste será unilateral (de una cola, en concreto la cola izquierda). Pero puede pensarse también en otra posibilidad. Imaginemos que el que ha recibido las latas es el sistema de control de calidad de la fábrica. Naturalmente, la fábrica está interesada en que el peso se ajuste lo más posible al valor de 1000 gramos: si las latas pesan menos de lo debido, la fábrica tendrá problemas con los clientes. Pero si pesan significativamente más de lo debido, la fábrica está perdiendo dinero. Así que, en este segundo supuesto, la hipótesis alternativa pasa a ser H a = {µ µ 0 } frente a la hipótesis nula Y en este caso el contraste es bilateral. H 0 = {µ = µ 0 }. Vamos a realizar ambos contrastes, por el mismo orden en que los hemos presentado (ambos se consideran respuestas válidas al ejercicio). En ambos casos utilizaremos el estadístico: T = X µ 0 s, n que estudiamos en la sesión 19, del 22/11/2011 (ver página 7). Sabemos que si la hipótesis nula es cierta (cualquiera de las dos posibles), este estadístico tiene una distribución muestral de tipo t de Student con k = n 1 = 4 grados de libertad. La diferencia entre las dos hipótesis nulas que hemos discutido es que, como hemos dicho, uno de ellos es unilateral y el otro bilateral. Cuando utilizamos la hipótesis nula H 0 = {µ µ 0 } 4

5 estamos diciendo que los valores muestrales X que sean mucho menores que µ 0 nos parecerían extraños (improbables), y tanto más extraños cuanto más por debajo de µ 0 resulten. Es decir, que esos valores extraños son los valores para los que el estadístico T = X µ 0 s, n resulte suficientemente negativo (la cola izquierda de la distribución t de Student). Con los datos del problema calculamos ese estadístico T = El p-valor del contraste es la probabilidad de la cola izquierda que define este valor en la distribución t de Student con k = 4 grados de libertad; es decir: Ese valor se puede calcular en R con o en Calc, con P (T 2.525) pt(-2.525,df=4)= DISTR.T(2,525;4;1)= (el comando DISTR.T(-2,525;4;1) producirá un error, porque Calc no admite valores negativos en la distribución t. Debemos convertirlo en positivo y usar la simetría de esta distribución, junto con el hecho de que Calc devuelve, en este caso, la cola derecha; ver las explicaciones en la sesión 18 del 15/11/2011). En cualquier caso, puesto que α = 0.05 y el p-valor es < 0.05 = α podemos rechazar la hipótesis nula. Los datos confirman (a este nivel de confianza) la sospecha del cliente de que las latas tienen un peso medio inferior al que se ha afirmaba. También puede llegarse a la misma conclusión calculando la región de rechazo a este nivel de confianza, que es (sesión 19): { } X µ R = s < t 4;0.95 n Aquí el valor crítico es t 4;0.95 = (en R con qt(1-0.95,df=4) o en Calc de forma más complicada con -DISTR.T.INV(2*0,05;4)). Y como (usando el estadístico que ya hemos calculado antes) < la muestra que hemos obtenido está en la región de rechazo, y rechazamos H 0. Si usamos la hipótesis nula H 0 = {µ µ 0 } entonces los valores del estadístico que consideramos extraños son aquellos que se alejan mucho de 0, hacia cualquiera de los dos lados. Por lo tanto usamos las dos colas de la distribución t de Student. El valor del estadístico es el mismo, aproximadamente 2.525, pero el p-valor ahora es el doble, = , porque sumamos las dos colas. Y si comparamos este p-valor con α = 0.05, vemos que en este caso no rechazaremos la hipótesis nula. En términos de la región de rechazo, que para este caso es: R = { X µ s n } > t 4;0.025, y teniendo en cuenta que t 4; , vemos que el estadístico no cae en la región de rechazo, porque < Así que, con estos datos, no rechazamos la hipótesis nula H 0 = {µ µ 0 }, a ese nivel de confianza., 5