Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7: Contrastes de Hipótesis paramétricos y no paramétricos

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1 Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7: Contrastes de Hipótesis paramétricos y no paramétricos Área de Estadística e Investigación Operativa Mariano Amo Salas y Licesio J. Rodríguez-Aragón Mayo 2010 Contenidos Práctica Contrastes de Hipótesis Contraste para dos proporciones Contrastes unilaterales Contraste de dos medias Ejemplo: Contraste para muestras relacionadas Contraste χ Kolmogorov-Smirnov Ejercicios

2 Contenidos Práctica 7 Contrastes de Hipótesis para dos proporciones. Contrastes de Hipótesis para dos medias. Contraste para muestras relacionadas. Contraste χ 2. Contraste Kolmogorov-Smirnov. Ejercicios. Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 2 / 11 Contrastes de Hipótesis En la práctica anterior los contrastes de hipótesis comparaban la muestra con un valor asumido para la población. Este procedimiento comprueba si la muestra nos permite detectar diferencias significativas que nos lleven a rechazar la hipótesis nula, o si por el contrario no nos lo permite. Esto implica el tener algún tipo de información acerca de la población. En muchas situaciones lo que necesitaremos será comparar dos parámetros: 2 proporciones o medias. Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 3 / 11 2

3 Contraste para dos proporciones Ejemplo: Un vendedor de teléfonos ha vendido 150 teléfonos de la marca 1 y ha tenido que tramitar fallos en período de garantía a 14 de ellos. Al mismo tiempo ha vendido 125 teléfonos de la marca 2 habiendo tramitado un total de 15 fallos en período de garantía. Hay una evidencia estadística que nos permita asegurar que el porcentaje de fallos para ambas marcas es distinto? En este caso consideraremos ˆp 1 la proporción de teléfonos con fallo del fabricante 1 y ˆp 2 del fabricante 2. El contraste que desearíamos poder realizar sería: Este contraste puede interpretarse de la forma: Entonces el estadístico: : p 1 = p 2 : p 1 p 2 : p 1 p 2 = 0 : p 1 p 2 0 ˆp 1 ˆp 2 Z =, ˆp(1 ˆp)( 1 n n 2 ) para valores de n 1 y n 2 suficientemente grandes, Z sigue una distribución normal estándar N(0,1). Siendo ˆp la proporción bajo la hipótesis nula, p 1 = p 2 = p, El contraste en R se realizará con la instrucción: >prop.test(prop,n,alt="two.sided") En nuestro caso: >prop<-c(14,15) >n<-c(150,125) >prop.test(prop,n,alt="two.sided") ˆp = n 1 ˆp 1 + n 2 ˆp 2 n 1 + n 2. El p-valor nos indica la probabilidad de obtener un valor del estadístico Z como el obtenido, condicionado a la ocurrencia de. Rechazaremos la hipótesis nula para valores p < Además el comando de R nos proporciona un intervalo de confianza al 95% para la diferencia de ambas proporciones p 1 p 2. Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 4 / 11 3

4 Contrastes unilaterales En algunos casos, interesa contrastar las hipótesis: : p 1 p 2 : p 1 > p 2 especificando la hipótesis alternativa alt="greater", o bien: : p 1 p 2 : p 1 < p 2 especificando alt="less". Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 5 / 11 4

5 Contraste de dos medias Sean X i, i = 1,...,n x e Y j, j = 1,...,n y muestras aleatorias de dos poblaciones. Si deseamos contrastar la igualdad de ambas poblaciones podremos plantear el contraste de hipótesis, : µ x = µ y : µ x µ y Si las dos muestras son independientes, entonces las medias muestrales X y Ȳ son estimadores de µ x y de µ y. El estadístico T que se construye en este caso sigue una distribución t-de student. >t.test(x,y,alt="two.sided") El contraste de hipótesis respecto a la igualdad de medias de dos poblaciones, considera por defecto que las varianzas de ambas poblaciones son distintas. Si tenemos pruebas suficientes para considerar que las varianzas de ambas poblaciones son iguales: >t.test(x,y,alt="two.sided",var.equal=true) El contraste puede ser también unilateral, considerando como hipótesis alternativas: : µ 1 > µ 2, alt="greater", o, : µ 1 < µ 2, alt="less". Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 6 / 11 Ejemplo: El fichero azt.rdata contiene los niveles del antígeno p24 en sangre para individuos tratados con el medicamento AZT en dosis de 300mg o 600mg. Existen diferencias significativas en la respuesta a estas dosis de medicamento? >load("azt.rdata") >boxplot(azt) >t.test(azt$d300mg,azt$d600mg,alt="two.sided") Influye el hecho de conocer que la varianza ha de ser igual para ambas poblaciones? var.test(azt$d300mg,azt$d600mg) >t.test(azt$d300mg,azt$d600mg,alt="two.sided", + var.equal=true) >wilcox.test(azt$d300mg,azt$d600mg,alt="two.sided") Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 7 / 11 5

6 Contraste para muestras relacionadas En determinados casos las dos muestras que queremos comparar están relacionadas de alguna manera. El fichero pinzas.rdata contiene el número de piezas que han roto 9 brazos robóticos durante una semana de trabajo. Además contiene el número de piezas que rompieron esos mismo 9 brazos después de haber recubierto las pinzas con una capa de goma antideslizante. El contraste de hipótesis en este caso: >t.test(pinzas$antes,pinzas$despues, + paired=true,alt="two.sided") : µ 1 = µ 2 : µ 1 µ 2 Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 8 / 11 Contraste χ 2 Para los casos de variables categóricas, hemos visto cómo resumir los datos en una tabla de contingencia. El contraste χ 2 nos permite contrastar la independencia o dependencia de dos variables categóricas. : Las variables son independientes : Las variables no son independientes El fichero controlc.rdata contiene el resultado del proceso de control de calidad de 100 piezas (correcto o defectuoso). Estas piezas pueden haber sido fabricadas por 3 máquinas diferentes. Hay alguna relación entre la calidad y la máquina que ha fabricado el producto? >load("controlc.rdata") >contingencia<-table(controlc) >addmargins(contingencia) El contraste χ 2 nos permite decidir acerca de la independencia de las variables: >chisq.test(contingencia) o >chisq.test(controlc$calidad, + controlc$fabricante) Para p-valores < 0.05 diremos que el contraste es significativo y no podremos asegurar la independencia de las variables. El contraste χ 2 también sirve para determinar la homogeneidad, : Las muestras provienen de la misma población : Las muestras provienen de poblaciones distintas Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 9 / 11 6

7 Kolmogorov-Smirnov El contraste de Kolmogorov-Smirnov nos permite comprobar si una muestra sigue o no una distribución empírica determinada: : F muestral = F empirica : F muestral F empirica >ks.test(x,"nombre",mean=..,sd=..) Donde nombre es la función de densidad de la distribución empírica a comprobar: pnorm, punif, pexp, pt, etc. Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 10 / 11 Ejercicios Ejercicio 7.1: El fichero azt.rdata contiene los niveles del antígeno p24 en sangre para individuos tratados con el medicamento AZT en dosis de 300mg o 600mg. Ejercicio 7.2: El fichero pinzas.rdata contiene el número de piezas que han roto 9 brazos robóticos durante una semana de trabajo. Además contiene el número de piezas que rompieron esos mismo 9 brazos después de haber recubierto las pinzas con una capa de goma antideslizante. Ejercicio 7.3: El fichero Contaminacion.Rdata contiene una tabla de contingencia, en ella aparecen clasificadas una serie de medidas de la concentración de ozono, clasificadas por la temperatura ambiental a la que fueron tomadas. Métodos Estadísticos de la Ingeniería Práctica 7 11 / 11 7