Lógica formal: lógica proposicional o de enunciados

Transcripción

1 Lógica formal: lógica proposicional o de enunciados 1. Las proposiciones y sus tipos. Una proposición es una oración enunciativa, es decir, una oración que afirma o niega algo y que puede ser verdadera o falsa. Las proposiciones pueden ser simples o complejas. Una proposición simple es aquella que no puede descomponerse en partes que sean a su vez proposiciones. Las proposiciones simples se llaman también proposiciones atómicas. Una proposición compleja es aquella que puede descomponerse en proposiciones simples, también son llamadas proposiciones moleculares. 2. Los símbolos de la lógica proposicional Variables proposicionales. En la lógica proposicional, para simbolizar las proposiciones o enunciados simples se recurre a las letras minúsculas del alfabeto, comenzando por la letra p y después siguiendo el orden alfabético, aunque pueden utilizarse otras series de letras minúsculas como m, n, ñ, u, o a, b, c, d, etc. La traducción de proposiciones por letras es puramente convencional y arbitraria. Lo único importante es que quede claro a qué proposición se le asigna cada letra Para representar los valores de verdad de una proposición utilizaremos dos las letras V y F, aunque también se utilizan los números 1 y el 0. El número 1 representa que esa proposición es verdadera, y el número 0 representa que esa proposición es falsa Constantes proposicionales: conectivas o conectores. Se denomina conectores o conectivas a las partículas que sirven para unir proposiciones simples y convertirlas en fórmulas complejas, es decir, a los símbolos que permiten enlazar o conectar unas proposiciones con otras. Las constantes lógicas más usuales son el negador, el conjuntor, el disyuntor, el implicador o condicional y el coimplicador o doble condicional. Negador. Se representa con el símbolo y produce fórmulas del tipo p, no es p, no es cierto que p, es imposible que p, etc. El negador también puede simbolizar la idea contraria a un enunciado, el cese de una actividad o la inexistencia de algo. Ejemplos: Juan ha dejado de asistir a clase ( p, traduciendo por p asistir a clase). Nadie vino a visitarme ( p, siempre que p signifique venir a visitarme ). Los héroes están muertos ( p, si traducimos por p los héroes están vivos ). Por definición el negador es aquella conectiva que invierte el valor de verdad de una proposición, es decir, la convierte en verdadera si es falsa, y en falsa si es verdadera. Esto se representa con la siguiente tabla de verdad. Conjuntor. p p El conjuntor se representa con el símbolo y da lugar a fórmulas del tipo p q, p y q. Por definición el conjuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas únicamente cuando son verdaderas las dos proposiciones que las componen. Se representa con la siguiente tabla de verdad:

2 p q p q El conjuntor sirve para traducir las conjunciones copulativas (y, e, ni) y adversativas (pero, aunque, sin embargo), así como adverbios y locuciones que poseen un significado equivalente (además, también, no obstante, asimismo, así como, etc.). Veamos algunos ejemplos de oraciones que se formalizan usando el conjuntor: Estudié y aprobé = p q Estudié, pero no aprobé = p q Estudié; no obstante, no aprobé = p q Este veranó iré a la playa. Además, estudiaré Filosofía = p q En las enumeraciones, las comas se simbolizan con el conjuntor. Estudié, me copié, le hice la pelota al profesor y, sin embargo, suspendí = p q r s Llegué, vi, vencí = p q r Ni has atendido en clase ni has estudiado en casa ( No has atendido en clase y no has estudiado en casa )= p q No es cierto que mi profesor de Filosofía sepa hablar en ruso y en chino mandarín (como estamos negando que ambas cosas sean ciertas a la vez, aunque una de ellas sea verdadera, utilizamos el negador delante de una conjunción encerrada entre paréntesis) = (p q) Disyuntor. El disyuntor se representa con el símbolo, y da lugar a fórmulas del tipo p q, que se lee p o q. Por definición, el disyuntor es aquella conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas cuando al menos una de las proposiciones que las componen es verdadera. Únicamente una disyunción es falsa cuando son falsas las proposiciones que la componen (por eso en lógica se le conoce como disyunción inclusiva, porque la verdad de uno de los enunciados que la componen no excluye la del otro. Esto se representa con la siguiente tabla: p q p q El disyuntor traduce oraciones del lenguaje natural en las que se emplean las conjunciones disyuntivas o, u, ya, bien o cualquier locución equivalente. Este verano iré a la playa o viajaré por el centro de España = p q O bien escribes con mucho cuidado, o bien utilizas cinta correctora = p q Pueden llamarme a casa o bien al trabajo = p q En el menú tomar carne o pescado, pero no ambos a la vez = p q (p q). O bien p w q (w es el símbolo de la disyunción exclusiva, pero no lo estudiaremos)

3 Condicional o implicador. El condicional o implicador se representa con el símbolo y da lugar a expresiones del tipo p q, que se leen Si p, entonces q o p implica q. Por definición el condicional es una conectiva que da lugar a fórmulas complejas que son verdaderas en todos los casos menos cuando siendo verdadero el antecedente (antes de la flecha) es falso el consecuente. p q p q El implicador traduce las oraciones subordinadas condicionales- Hay que tener en cuenta que, sea cual sea su posición en la oración del lenguaje natural, en la simbolización lógica el antecedente va siempre antes de la conectiva ( antes de la flecha ). Si llueve el sábado, no podremos jugar al tenis = p q Como no ganemos el próximo partido, descenderemos de categoría = p q No aprobarás si sigues haciendo el vago = p q (hacer el vago = p). Podrás salir a condición de que hagas la tarea = p q Te quedarás en casa a no ser que termines la tarea = p q (Si no terminas la tarea, te quedarás en casa) No saldrás de casa a menos que termines la tarea = p q (Si no terminas la tarea, no saldrás de casa) Le escucharé siempre que me escuche él también = p q También simbolizamos con el implicador oraciones que no son condicionales desde un punto de vista sintáctico pero que poseen un significado lógico equivalente al de una oración condicional: Dime qué problema tienes y te lo solucionaré ( Si me dices qué problema tienes, te lo solucionaré ) = p q Teniendo salud, no hay que preocuparse por lo demás ( Si tienes salud, no hay que preocuparse por lo demás ) = p q El bicondicional o coimplicador Se representa con el símbolo y da lugar a fórmulas del tipo p q ( p coimplica a q, o también únicamente si p entonces q). Las proposiciones complejas formadas por un bicondicional son verdaderas cuando coinciden los valores de verdad de las proposiciones que las componen. P q p q El bicondicional traduce aquellas proposiciones condicionales en las que se establece que solo hay una condición en la que se da el consecuente. Son oraciones del tipo solo en el caso de que, únicamente

4 si, solo si, si y solo si, o aquellas en las que se utilizan las expresiones significa o equivale a. En estas proposiciones, el orden de antecedente y consecuente es reversible Haremos el examen únicamente si asisten todos los alumnos = p q Un sistema de ecuaciones lineales es compatible y determinado si y solo si tiene una única solución = p q r Que dos rectas son paralelas significa que no tienen ningún punto en común = p q En las dos oraciones anteriores, el orden lógico de antecedente y consecuente se puede cambiar: si se hace el examen es porque han asistido todos los alumnos; si un sistema tiene una sola solución, entonces es compatible y determinado; si dos rectas no tienen un punto en común, entonces son paralelas. Hay casos en que una oración puede interpretarse al mismo tiempo como condicional y bicondicional. Sin embargo, solo usaremos el bicondicional o implicador cuando quede claro que el antecedente es la única condición posible en la que se puede dar lo que se afirma en el consecuente. Te traeré flores si paso por Valencia = p q (no se excluye expresamente la posibilidad de comprar flores en otro lugar). Te traeré flores solamente en el caso de que pase por Valencia = p q (en esta última oración se afirma explícitamente que es la única condición posible) Los símbolos auxiliares: Paréntesis ( ) y corchetes [ ]. Al igual que en matemáticas estos símbolos marcan la prioridad de una conectiva sobre otra. Cuando en una fórmula hay varias conectivas tienen que quedar claro cuál de ellas es la conectiva dominante: siempre será aquella que quede fuera del paréntesis. Por ejemplo: O estudias y atiendes en clase, o suspenderás = (p q) r. Tiene prioridad el disyuntor. Este verano iré a Madrid y visitaré el museo del Prado o el estadio Bernabéu = p (q r) Tiene prioridad el conjuntor Sin embargo existen excepciones por las llamadas reglas de economía de paréntesis. Estas leyes son las siguientes: El implicador y coimplicador tienen prioridad sobre el resto de las conectivas; esto quiere decir que no es necesario marcar con paréntesis que se trata de la conectiva dominante. P q r es lo mismo que (p q) r En fórmulas en las que se repite la misma conectiva si se trata de una conjunción o de una disyunción no es necesario marcar la prioridad con paréntesis: p q r es lo mismo que (p q) r o que p (q r). 3. Análisis de la validez de argumentos Un argumento o razonamiento está formado por una o varias proposiciones, llamadas premisas, de las que se deduce o extrae una proposición denominada conclusión (que cierra o concluye ) el razonamiento. Un razonamiento es válido si la conclusión puede extraerse de las premisas. Para analizar la validez de un razonamiento, en lógica preposicional se utilizan varios métodos, de los cuales vamos a estudiar dos: las reglas de cálculo o inferencia y las tablas de verdad Las reglas de cálculo o inferencia. Las reglas de inferencia son normas que establece un modo válido de operar pasando de unas proposiciones a otras. Por ejemplo, una regla de inferencia es el Modus Ponens: de una implicación y la afirmación de su antecedente tomadas como premisas se puede deducir el consecuente.

5 Como la definición de las reglas debe ser adaptada el lenguaje de la lógica, las reglas de inferencia se formalizan en esquemas de inferencia. Por tanto, un esquema de inferencia es una representación formal de una regla de inferencia. En estas formalizaciones vamos a utilizar las conectivas pero en lugar de usar las variables proposicionales (p, q, r, etc.), usaremos las letras mayúsculas del alfabeto empezando por la letra A Principales reglas de inferencia y ejercicios de aplicación. Las reglas de inferencia se clasifican en reglas básicas y derivadas. Las reglas básicas son verdades por definición, únicamente definen conectivas. Las reglas derivadas se demuestran a partir de las reglas básicas. Las reglas básicas se corresponden con cada una de las conectivas, bien para introducirlas o bien para eliminarlas. Por tanto, para cada conectiva y para el negador hay dos reglas básicas, una de introducción y otra de eliminación. Reglas Básicas. Eliminación del doble negador (EN o EDN). Una proposición precedida de dos negaciones equivale a su afirmación, y viceversa Introducción del negador o reducción al absurdo (IN o Abs.). Si de la negación de una proposición dada A se deriva una contradicción (B B), podemos deducir la verdad de la proposición negada. Esta regla se emplea cuando no existe otro modo de llegar a la conclusión. Para aplicarla suponemos lo contrario de lo que nos piden en la conclusión (si nos piden A, supondremos A, si nos piden A, supondremos A ) y aplicando otras reglas de inferencia deberemos llegar a la afirmación y la negación en conjunción de una proposición distinta de la que partimos (en este caso B B ) Introducción del conjuntor o producto (IC, I o Prod.) De una proposición tomada como premisa y otra proposición también tomada como premisa, podemos concluir que la conjunción de ambas es necesariamente verdadera. O sea, podemos unir con el conjuntor dos proposiciones cualesquiera que aparezcan en un razonamiento. Eliminación del conjuntor o simplificación (EC, E o Simpl.) De una conjunción puede concluirse cualquiera de las dos proposiciones. La emplearemos para separar alguno de los miembros de la conjunción siempre que queramos. Introducción de la disyunción (ID, I ). Dada cualquier proposición puede formarse la disyunción con cualquier otra proposición. Es una regla muy útil cuando necesitamos formar una disyunción en la conclusión o en cualquiera de las líneas de la deducción para obtener de ella una fórmula que nos permita aplicar alguna otra regla. Eliminación de la disyunción o prueba por casos (ED, E o Cas.). Si a partir de una disyunción A B, podemos demostrar que se llega por separado a la misma conclusión C, entonces puede concluirse C. Se usa cuando en las premisas o en alguna línea de la deducción hay que resolver una disyunción, para lo cual debemos suponer cada uno de los miembros de la disyunción y demostrar que ambos llegan a la misma conclusión.

6 Algunas reglas derivadas Introducción del condicional o teorema deductivo (IC, I o TD). Si a partir de una premisa o supuesto A, llegamos a una proposición B, podemos unir ambas en una nueva proposición con la forma A B Eliminación del condicional o modus pónens (EC, E o MP). Dado un condicional A B, si encontramos a irmado por separado el antecedente A, podemos afirmar por separado el consecuente B. Modus Tollens (MT). Si en un razonamiento aparece un condicional y encontramos negado su consecuente, podemos negar su antecedente. Silogismo disyuntivo (SD). De una disyunción y la negación de uno de sus miembros, podemos deducir la afirmación del otro. Definición del conjuntor, disyuntor e implicador. Leyes de De Morgan (DM). La negación de una conjunción, o la negación de una disyunción, equivale a la negación en disyunción de cada uno de sus miembros ( A B) o la negación en conjunción de cada uno de sus miembros( A B), respectivamente.

7 4. Simbolización de razonamientos. Se simbolizan siguiendo el orden en el que aparecen las preposiciones, que podemos separar respetando los signos de puntuación ortográfica. En general, un punto o un punto y coma señalan el fin de una proposición. Utilizaremos la misma letra o variable proposicional para simbolizar una idea si esta aparece más de una vez en el mismo razonamiento, ya sea afirmada o negada. Hay dos formas de presentar el razonamiento simbolizado: Si solo se pide la formalización, se escriben en línea las proposiciones que simbolizan las premisas, unidas por conjuntores ( ). Para evitar confusiones, cada una de las premisas proposiciones se encierran entre paréntesis y se usan corchetes [ ] para marcar el principio y el final de las premisas. Por último, se escribe la conclusión precedida del implicador ( ). Si se pide formalizar y analizar la validez del razonamiento, se escriben las proposiciones en columna, numeradas y precedidas de una raya o guión largo para que se trata de las premisas. A la derecha (y separada suficientemente) de la última premisa, se escribe la conclusión, precedida del símbolo, que significa por tanto. Ejemplo. O los libros de la biblioteca de Alejandría contienen las enseñanzas del Corán o no las contienen. Si contienen las enseñanzas del Corán, son superfluos, y si son superfluos, deben ser quemados. Si no contienen las enseñanzas del Corán, son nocivos, y si son nocivos, deben ser quemados. Por consiguiente, los libros de la biblioteca de Alejandría deben ser quemados. Diccionario (asignación de variables proposicionales) Contienen las enseñanzas del Corán = p Son superfluos = q Son nocivos = r Deben ser quemados = s [(p p) ((p q) (q s)) (( p r) (r s))] s 1. p p 2. (p q) (q s) 3. ( p r) (r s) s Análisis de la validez de un argumento o razonamiento utilizando las reglas de cálculo. Si un razonamiento es válido, la conclusión debe poderse deducir de las premisas. Para averiguarlo, hemos de transformar las premisas usando correctamente las reglas de cálculo estudiadas hasta conseguir formar la proposición de la conclusión. Lo primero que debemos hacer es fijarnos atentamente en la conclusión para comprobar si las letras o enunciados que la forman aparecen en las premisas y a qué conectivas aparecen ligadas, con el fin de decidir qué reglas de eliminación o introducción de conectivas habremos de aplicar. A continuación, una vez decidida la mejor estrategia, añadiremos líneas numeradas al razonamiento y escribiremos nuevas proposiciones. Al lado de cada nueva proposición escribiremos la abreviatura de la regla que hemos utilizado para obtenerla y los números de las líneas del razonamiento a partir de las cuales lo hemos hecho; así, hasta llegar a la conclusión.

8 La deducción de la conclusión puede realizarse Por deducción directa (transformando sucesivamente las premisas) Planteando supuestos, que debemos cancelar antes de llegar a la conclusión. Las principales deducciones apoyadas en supuestos son las siguientes: o Reducción al absurdo o Teorema de la deducción o Prueba por casos Ejemplo de deducción directa. 1 p q 2 q s 3 p r 4 r s t t 5 p Simpl. 1 6 q Simpl. 1 7 r MP 3, 5 8 s MP 2, 6 9 r s Prod. 7, 8 10 t MP 4, 9 Ejemplo de deducción por reducción al absurdo Cuando la conclusión sea una proposición atómica (una sola letra), el método más efectivo suele ser la reducción al absurdo o introducción del negador. Consiste en suponer lo contrario de la conclusión (su negación) y, a partir de ella, obtener una contradicción (una conjunción con el mismo enunciado afirmado y negado sucesivamente). Si lo contrario de la conclusión nos lleva a un absurdo, entonces la conclusión ha de ser verdadera. Para indicar que partimos de un supuesto provisional, lo indicamos abriendo una especie de corchete o llave a la izquierda de la línea en la que introducimos dicho supuesto. Cuando hayamos llegado a la conclusión, cancelamos el supuesto cerrando el corchete. 1 p q r 2 r s 3 s p 4 p 5 q r MP 1,4 6 r Simpl. 5 7 s MP 2, 6 8 s s Prod. 7, 3 9 p Abs. 4-8 Ejemplo de deducción por el teorema deductivo o introducción del condicional Es el método aconsejable cuando la conclusión sea un condicional. Consiste en plantear como supuesto el antecedente del condicional de la conclusión y tratar de llegar a su consecuente. Una vez hecho esto, podemos escribir la conclusión.

9 1 p q 2 (q r) (r s) p s 3 p 4 q MP 1,3 5 q r Simpl. 2 6 r MP 5, 4 7 r s Simpl. 2 8 s MP 7, 6 9 p s TD 3-8 Ejemplo de deducción por la prueba por casos o eliminación de la disyunción. 1 (p q) (r q) 2 r p 3 q s q s 4 r 5 r q Simpl. 1 6 q MP 5, 4 7 s MP 3,6 8 q s Prod. 6,7 9 p 10 p q Simpl q MP 10, 9 12 s MP 8, q s Prod 11, q s Cas 2, 4-8, 9-13 Análisis de la validez de un argumento por tablas de verdad (ver explicación y ejemplos en el libro de texto). EJERCICIOS Podéis encontrar apuntes y ejercicios de lógica (muchos de ellos resueltos) en los siguientes enlaces. Si no podemos aplicar ninguno de los métodos anteriores, veremos si entre las premisas hay alguna disyunción. Si la hay, debemos llegar a la conclusión a partir de cada uno de los enunciados que la forman. Una vez hecho esto, podemos escribir la conclusión y la deducción habrá finalizado. Cada miembro de la disyunción en la que nos apoyamos es un supuesto que se cancela al llegar a la conclusión.

10 pdf JmMTAzN2I5Yjg5YWFh _Ejercicios_resueltos Además, hay muchos vídeos con tutoriales o clases de lógica en YouTube. Los más recomendables son los de los canales de Academia Usero, Julioprofe o Academia Virtual de Filosofía LAP.