ρ t + ρu x = 0, ρu t + P = ρrt 0 Eliminando la presión, nos quedan dos ecuaciones acopladas para la densidad y la velocidad: ρ x = 0, (1) = 0.

Transcripción

1 Solución Tarea 2 Problema 1 (a) Poniendo las derivadas con respecto a y y z iguales a cero en las ecuaciones de Euler, obtenemos las ecuaciones de continuidad y momento 1D: ρ t + ρu x =, ρu t + x (ρu2 +P) =, y a éstas añadimos la ecuación de estado del gas ideal con T =T = constante: P = ρrt µ. Eliminando la presión, nos quedan dos ecuaciones acopladas para la densidad y la velocidad: ρ t + ρu x ρu t + ( ρu 2 +ρ RT ) x µ =, (1) =. (2) Estas dos ecuaciones representan una descripción completa de un flujo isotérmico. (b) Para linealizar las ecuaciones anteriores, escribimos la densidad y la velocidad como un medio no-perturbado constante más una pequeña perturbación (en el caso de la velocidad, suponemos que el medio noperturbado está en reposo, y el fluido sólo tiene movimiento por la pequeña perturbación en velocidad): ρ = ρ +ρ, u = u, donde ρ ρ (las perturbaciones de densidad son pequeñas) y u es pequeña (comparada con la velocidad del sonido, la cual definiremos más adelante). Haciendo estos cambios en las ecuaciones (1) y (2), tenemos: o bien, separando los términos: t (ρ +ρ )+ x (ρ u +ρ u ) =, t [(ρ +ρ )u ]+ [ (ρ +ρ )u 2 +ρ RT /µ ] =, x ρ u t + ρ u t ρ t + ρ t + ρ u x + ρ u x + ρ u 2 x + ρ u 2 x + RT µ =, ρ x =. La linealización consiste entonces en despreciar todos los términos con productos de dos o más cantidades pequeñas: despreciamos los términos con ρ u, ρ u 2 y ρ u 2. Haciendo esto (y recordando que ρ es constante) llegamos a la forma linealizada de las ecuaciones de la dinámica de gases para el caso isotérmico: ρ t +ρ u x u ρ t + RT ρ µ x =, (3) =, (4) 1

2 (c) Podemos ahora combinar las ecuaciones linealizadas (3) y (4) para obtener ecuaciones desacopladas para las variables individuales. Para obtener la de la velocidad, derivamos (3) con respecto a x y (4) con respecto a t, 2 ρ xt +ρ 2 u x 2 =, t 2 + RT 2 ρ µ tx =. Multiplicando la primera ecuación por RT /µ, y restando el resultado a la segunda, obtenemos t 2 + RT 2 ρ µ tx RT 2 ρ µ xt ρ RT 2 u µ x 2 =, t 2 ρ RT 2 u µ x 2 =, donde la cancelación de los términos de en medio ocurre porque las derivadas parciales conmutan. Dividiendo por ρ obtenemos: donde hemos definido la velocidad del sonido isotérmica c iso : 2 u t 2 c 2 2 u iso x 2 =, (5) c iso RT. µ La ecuación (5) es una ecuación de onda para u, por lo que la solución general para u (x,t) es: u (x,t) = f(x c iso t)+g(x+c iso t) donde f y g son funciones arbitrarias. Esto es la superposición de dos ondas longitudinales que viajan a velocidad c iso, una hacia +x y la otra hacia x. (d) Podemos obtener similarmente una ecuación para la perturbación de densidad ρ. Derivando ahora (3) con respecto a t y (4) con respecto a x: 2 ρ t 2 +ρ 2 u tx =, xt + RT 2 ρ µ x 2 =, y restándolas se cancelan de nuevo términos y obtenemos ahora: 2 ρ t 2 c 2 2 ρ iso x 2 =. Las perturbaciones de densidad obedecen también una ecuación de onda con velocidad c iso, y su solución general es similarmente dos ondas en direcciones opuestas. 2

3 (e) Como vimos ya, en las ecuaciones linealizadas las perturbaciones de velocidad y densidad del medio viajan como ondas cuya velocidad es c iso = RT. µ Esta es la velocidad del sonido isotérmica, y usando la ecuación de estado del gas ideal, P = ρrt /µ también puede escribirse como c iso = (donde P y ρ son los valores constantes del medio alrededor de los cuales hemos tomado pequeñas perturbaciones). Vemos que esta expresión difiere de la expresión para la velocidad del sonido adiabática, c = γp/ρ, solamente en el factor γ dentro de la raíz. Por lo tanto, en cierta forma el caso isotérmico corresponde a γ=1, aunque debe usarse buen juicio en la aplicación de esta relación (por ejemplo no se puede usar en la energía térmica, P/(γ 1), pues ésta sería infinita). P ρ, Problema 2 (a) La manera más simple de obtener la ecuación equilibrio hidrostático es empezar con la ec. de momento 1D en dirección vertical, incluyendo la fuerza de gravedad, ρw t + (ρw2 +P) = ρg y escribirla para un fluido estático (w = ); queda directamente: dp dz = ρg Sin embargo, puede también también obtenerse de un argumento más elemental que no requiere las ecuaciones generales de fluidos. Imaginemos una parcela cúbica de fluido en reposo en la atmósfera. Esta parcela tiene altura d z, i.e. se extiende verticalmente desde z hasta z +dz (z crece hacia arriba), y el área de sus caras es da. Sobre la parcela actúan tres fuerzas en dirección vertical (hay simetría entre las direcciones horizontales, por lo que ahí el balance de fuerzas es automático y trivial): (1) el peso de la parcela, ρgdzda; (2) el efecto de la presión del gas circundante sobre la cara inferior, +P(z)dA; (3) el efecto de la presión sobre la cara superior [P(z) + dp]da. Como la atmósfera está en reposo, estas tres fuerzas deben necesariamente balancearse: +P(z)dA [P(z)+dP]dA ρgdzda =. Cancelando el término P(z) da y dividiendo por da, obtenemos: o bien dp = ρgdz, dp(z) dz = ρ(z)g(z). (6) 3

4 Esta es la ecuación (diferencial) de equilibrio hidrostático, la cual nos da la estratificación vertical de presión. El signo negativo indica que conforme aumenta la altura z la presión tiene que disminuir. (b) Integremos ahora la ecuación (6). Suponiendo que la temperatura es constante 1 la ecuación de estado del gas ideal es P = c 2 ρ, donde c 2 RT /µ = constante es la velocidad del sonido isotérmica, de forma que eliminando P(z) en la ec. (6) en favor de ρ(z) tenemos: c 2dρ(z) dz = ρ(z)g(z). Si suponemos que g es constante (esto es buena aproximación si el rango de altitud es pequeño comparado con el radio de la Tierra, digamos z 1 km; es también posible realizar la integral incluyendo la variación de g con z haciendo un cambio de variables a la llamada altura geopotencial 2 ), al integrar obtenemos: 2 dρ(z) c ρ(z) = g dz, c 2 lnρ(z) = gz+c. Despejando ρ(z): ( ρ(z) = exp g 2 c z+ C ) 2, c = C e z/h, donde hemos definido H c 2 /g = µg/rt ; esta cantidad se denomina la escala de altura de la atmósfera, e indica el cambio de altura necesario para que la densidad o la presión cambien en un factor e La constante C se obtiene evaluando en z =, donde tenemos ρ(z) = ρ s, por lo que C = ρ s. Obtenemos entonces la estratificación vertical de la densidad: La de la presión tiene la misma forma, pues se tiene que P (z)=c 2 ρ (z). ρ (z) = ρ s e z/h. (7) (c) Las ecuaciones de Euler 1D isotérmicas para movimiento vertical son las mismas que (1) y (2), excepto que agregamos la gravedad en la ecuación de momento (y la escribimos en dirección z): ρ t + ρw ρw t + ( ρw 2 +ρ RT ) µ =, = ρg. 1. La temperatura de la atmósfera terrestre no está muy lejos de ser constante en varios rangos de altitud, y en los rangos en los que no es constante cambia aproximadamente linealmente con la altitud, por lo que las variaciones con z no son muy grandes. 2. Se define la altura geopotencial h como g dh g(z)dz, donde g = g(z = ). La idea es que un cambio en 1 metro de altura geopotencial produce el mismo cambio en la energía potencial gravitacional que un cambio de 1 metro a altura cero, donde la aceleración de la gravedad es g. Por lo tanto, 1 metro de altura geopotencial es más largo a mayor altura. Esta definición permite absorber la dependencia g(z) en el diferencial de altitud en la ecuación de equilibrio hidrostático, y entonces la integral puede hacerse, aunque el resultado queda entonces en términos de altura geopotencial. Para expresarlo de regreso en términos de la altura normal (llamada geométrica para distinguirla), se integra la definición de altitud geopotencial incluyendo la variación de g con la altura, g(z)=gm/(r+z) 2 ; se obtiene h(z)=zr/(z+r). 4

5 Para linealizarlas, de nuevo escribimos la densidad y velocidad como pequeñas perturbaciones sobre las condiciones no-perturbadas, con la diferencia de que ahora el valor no-perturbado de la densidad depende de z (pero no de t): Sustituyendo, obtenemos: ρ = ρ (z)+ρ, w = w. ρ w t + ρ w t + ρ w 2 ρ t + ρ t + ρ w + ρ w + ρ w 2 + RT ρ µ + RT ρ µ =, = ρ g ρ g, Despreciando los términos cuadráticos y superiores en ρ, ω o sus combinaciones, obtenemos ρ (z)w t ρ t + ρ (z)w +c2ρ + RT ρ µ =, = ρ g ρ g, donde se identificó c RT /µ y se hizo ρ (z)/t= ya que ρ es solamente función de z. Finalmente, notamos que usando la ecuación de estado, P =c 2 ρ, y la ecuación de equilibrio hidrostático, se tiene RT ρ µ = c 2 ρ = P = ρ g, y entonces el último término del lado izquierdo la segunda ecuación cancela ρ g del lado derecho. Se obtiene entonces: ρ t + ρ (z)w ρ (z)w +c2ρ t =, (8) = ρ g, (9) (d) Si ahora despreciamos el efecto de la gravedad sobre la perturbación (despreciando el término ρ g), y multiplicamos (8) por c 2, y luego derivamos (8) con respecto a z y (9) con respecto a t, al restar las ecuaciones resultantes se tiene c 2 2 ρ t +c 2 2 ρ (z)w 2 2 ρ (z)w t 2 c 2 2 ρ t =, y al cancelar los términos con derivadas cruzadas obtenemos: Esta es una ecuación de onda para ρ (z)w. 2 ρ (z)w t 2 c 2 2 ρ (z)w 2 =. (1) (e) La solución general de la ecuación de onda (1) es: ρ (z)w = f(z c t)+g(z+c t) 5

6 o bien, despejando la perturbación de velocidad: w (z,t) = 1 ρ (z) [f(z c t)+g(z+c t)] = ez/h ρ s [f(z c t)+g(z+c t)] donde se sustituyó la estratificación de densidad que obtuvimos arriba. Estas son ondas viajeras cuya amplitud aumenta conforme el medio se rarifica. Como la densidad decrece con la altitud, la amplitud de las ondas que viajan hacia arriba aumenta exponencialmente (y la de las que viajab hacia abajo decrece exponencialmente). 6