Así, la incoporación de esta ecuación obliga a reescribir la ecuación modelo como:

Transcripción

1 La ecuación de balance de masa total para un estanque con un Volumen V R de fluido, que descarga un fluido de densidad ρ a un flujo F S mientras entra un flujo F E, corresponde a la ecuación particular: Habitualmente se mide la altura (h) de aguas en lugar de medir el volumen de líquido o la presión si se trata de un gas. Suponiendio que el estanque contiene líquido de densidad constante (i.e. ρ es constante) y que el área de sección (A) del estanque es constante, es posible reescribir la ecuación anterior, utilizando la relación del volumen con el área (volumne = área por altura) de manera simplificada: Esta ecuación modelo podría corresponder a un estanque en que el flujo de descarga F S depende de la altura mediante una ecuación de Bernoulli (flujo turbulento), de modo que el flujo de descarga no es un grado de libertad sino que depende de la altura de aguas y de un coeficiente de pérdidad de carga B ( qué pasaría si se ignora esta relación): Así, la incoporación de esta ecuación obliga a reescribir la ecuación modelo como: Al escribir (despejar) el modelo como modelo Entrada/Salida queda una expresión: Esta ecuación puede ser resuelta numéricamente, por ejemplo en matlab, utilizando 2 archivos punto m (el MIME para Matlab). Un archivo contiene la ecuación diferencial y se podría llamar tkmodelo.m y contendría: % Ecuacion diferencial ordinaria de la descarga de un TK de area de seccion

2 % 'area', con entrada 'flujo' y descarga gravitacional debida a la altura 'h' % saliendo por un orificio (o valvula) de coeficiente de perdida 'beta'. function dhdt = tkmodelo(t, h) global flujo beta area dhdt(1) = flujo/area -sqrt(h(1))*beta/area; Otro archivo contendrá el segmento de programa ejecutable, en un archivo por ejemplo tksimula : % Modelo de un tanque de nivel, resolucion estricta sin linealizacion % mediante la resolucion numerica de la ecuacion modelo % La ecuacion diferencial esta en el archivo 'tkmodelo.m' global flujo beta area area=10; % metros cuadrados h0=9; % metros F0=15; % metros cubicos por hora beta=f0/sqrt(h0); % El coeficiente de perdida de carga se calcula en el e.e. % Usa "ode45" para resolver la ecuacion diferencial del modelo, en el % archivo escalon=0; % Tamaño del escalon de flujo flujo=f0+escalon; % Escalon de flujo de entrada tspan=[0 10]; [t,h] = ode45(@tkmodelo,tspan,h0); % Integrador de Runge Kutta, orden IV y V

3 plot(t,h); xlabel('tiempo (horas)'); ylabel('altura de aguas (metros)'); title('resolucion estricta de Tanque descargado gravitacionalmente'); En este programa, el escalón de entrada está en cero, de modo que todo el sistema está en estado estacionario (porque calculamos el coeficinte de pérdida de carga para ese estado), de modo que la salida del programa es una recta horizontal: Pero, si se aplica un escalón de magnitud 10 m 3 /hr (por ejemplo):

4 se observa la respuesta dinámica esperada... obvia! o no?. En el curso suponemos que si es obvia y que puede ejecutar y modificar programas de este tipo. Espero que lo haga y que conozca la respuesta de este programa para no importa que escalón. Por ejemplo si el escalón fuese de unos 1000 m 3 /hr? ( no le es útil este resultado para entender sus resulatdos de laboratorio? m 3 /hr es un escalón grande... pero respecto de qué?). En control automático clásico usamos la transformada de Laplace de las EDO modelo porque la respuesta de un sistema de EDO no es obvia de inmediato (es decir, para un TK de nivel puede que lo sea, pero no en general). La transformación de Laplace es más útil si no se acarréan los valores iniciales y, además, se usan modelos lineales. El modelo aquí descrito, no es lineal debido al término raíz. Se puede, sin embrago, linealizar por desarrollo de aproximación por series a la función raiz. Por ejemplo, use Maple y obtenga la aproximacióna la raíz de h en torno de una altura de aguas cualquiera h T, la aproximación será:

5 Si se reescribe esta ecuación para dejar explícita la variable h se puede obtener algo como: que si se utiliza en la ecuación modelo arroja: Las condiciones de borde son molestas al operar con expresiones transformadas mediante la Transformada de Laplace. Para dejar todas las condiciones de borde como valores iniciales a tiempo cer nulas, se recurre a un estado estacionario, antes de aplicar una entrada al sistema (la entrada, en este caso, es F E ). En el estadp estacionario se DEBE cumplir: y esta ecuación puede ser restada de la anterior para obtener: Es útil ahora plantear un cambio de variables. Particularmente, se suele definir como variable desviación aquella variable dinámica (del tiempo) cuyos valores se cuantifican a partir de un estado estacionario. Usando un síbolo de prima, se escribirán las dos variables desviación (porque hay 2 variables dinámicas): h'(t) = h(t) - h e.e. y F'E(t) = F E (t) - F Ee.e. Donde he tratado de destacar con (t) las variables dinámicas. La EDO resultante será:

6 que será la ecuación modelo de entrada/salida del sistema considerado (descarga de un líquido incompresible, en un estanque de área A, descarga que se produce debido a la gravitación, donde la variable de salida es la altura h, y la entrada es un flujo volumétrico F E ; pero, tanto la variable de entrada como la de salida están expresandas como valores desviación, es decir, su cuantificación se realiza según cuanto se han desviado de un estado estacionario definido). Esta ecuacióm, escrita en forma canónica arroja un tiempo de respuesta del proceso dado por el término constante que acompaña al término derivada y una ganancia de proceso dada por el término que acompaña a la variable de entrada: Usando la forma general de una respuesta de primer orden, es sabido que la función de transferencia de un primer orden es: y que frente a una entrada escalón de magnitud E, la respuesta en el tiempo será: de modo que evaluar la respuesta de este sistema linealizado es, realmente, juego de niños. En Matlab, por ejemplo, el código en un archivo como tkmodlin.m sería: % Modelo de un tanque de nivel, resolucion por linealizacion % y transformacion de Laplace de la ecuacion modelo % Comparar la solucion con resolucion estricta en 'tksimula.m'

7 area=10; % metros cuadrados h0=9; % metros F0=15; % metros cubicos por hora beta=f0/sqrt(h0); % El coeficiente de perdida de carga se calcula en el e.e. ht=h0; % Se desarrollo Taylor en torno a ht Kp=2*sqrt(ht)/beta; %Calculo de la ganacia del proceso taup=2*area*sqrt(ht)/beta; % Calculo del tiempo de respuesta del proceso escalon=10; % Tamaño del escalon de flujo flujo=f0+escalon; % Escalon de flujo de entrada tspan=[0 10]; paso=abs(tspan(2)-tspan(1))/20; % Se generan unos 20 puntos en el tiempo tl=tspan(1):paso:tspan(2); % Genera vector tiempos para el grafico hl=h0+escalon*kp*(1-exp(-tl/taup)); % Calculo de la solucion entiempo real plot(tl,hl); xlabel('tiempo (horas)'); ylabel('altura de aguas (metros)'); title('resolucion de Tanque descargado gravitacionalmente por Laplace'); Debiera ser posible para Ud generar un programa que permita comparar ambas soluciones, tanto como entender en detalle los programas adjuntados. Si no le es posible programarlo, sírvase contactar al profesor mediante el foro de u-cursos para discutir el caso y, eventualmente, poner a disposición los programas. A fin de

8 fijar ideas, la gráfica siguiente contiene las respuestas de ambas soluciones a un escalón de 0,1 m 3 /hr: donde la curva azul corresponde a la solución de la altura de aguas por integración numérica, mientras que la línea verde corresponde al cálculo de la altura de aguas evaluando la solución del sistema linealizado y resuelto por Laplace. La misma comparación se puede realizar para un escalón mayor; digamos 10 m 3 /hr:

9 donde la comparación muestra que la solución de la EDO linealizada predice una altura de aguas menor que la que realmente ocurriría (es decir, en el mejor de los casos, tendrá una presión mayor que la esperada y en el peor de los casos -por lo bochornoso- se rebalzará el estanque). Por qué ocurre esto?. Qué es un escalón de magnitud moderada y qué es uno de magnitud exagerada?. Por qué sería justificable usar estos modelos en control automático?