Índice general. I Estadística 3

Transcripción

1 Índice general I Estadística 3 1 Estadística Descriptiva Variables estadísticas Tipos, muestras Una variable Diagramas (cualitativas: de barras y de sectores; cuantitativas: de tallos y hojas e histogramas) Medidas numéricas Medidas de centralización Medidas de dispersión Cuartiles y diagramas de cajas Diagramas de cajas. Datos atípicos Comparación de media y mediana: robustez Transformaciones lineales Dos variables Recta de regresión y correlación Otras dependencias funcionales Probabilidades Denición y propiedades Función de probabilidad Probabilidad condicionada Cálculo de probabilidades Variables aleatorias Denición, tipos Función de masa o de densidad, función de distribución Variables aleatorias discretas Variables aleatorias continuas Esperanza: media y varianza Varias variables Densidad conjunta Covarianza Independencia Densidades condicionadas

2 2 ÍNDICE GENERAL Vectores aleatorios continuos Suma de variables independientes Modelos de probabilidad Modelos discretos Pruebas de Bernoulli Distribución binomial Otros modelos basados en pruebas de Bernoulli Distribución de Poisson Modelos continuos Distribución uniforme Distribución exponencial Distribución Normal

3 Parte I Estadística 3

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5 Capítulo 1 Estadística Descriptiva Para el estudio de una o varias características de una población, el primer paso es la recogida de datos. Se realiza esta sobre una muestra de la población, lo sucientemente signicativa para que las conclusiones a las que lleguemos, sobre las características objeto de estudio, sean bastante plausibles (tengan una alta abilidad). La ultima parte del curso se dedicará a cómo decidir la bondad de la muestra y las conclusiones. En este capítulo nos ocupamos de la primera, aunque no menos importante, etapa de la descripción de los datos tomados. 1.1 Variables estadísticas Los datos numéricos, o serie estadística, de las observaciones realizadas en una población conviene presentarlos ordenados y clasicados, siguiendo un criterio prejado, que dependerá del estudio que estemos realizando. Por lo general, estos se presentan agrupados en una tabla estadística, aunque para una mejor lectura de los mismos se acompañan de una representación gráca (ver 1.3.1). 1.2 Tipos, muestras Entre las series estadísticas podemos encontrarnos con series temporales, en las que se toman datos referidos a una magnitud en diferentes instantes de un periodo de tiempo. Ejemplos de series temporales son: las cotizaciones de un valor a lo largo del año; la renta per cápita de una población en un periodo de tiempo; las precipitaciones mensuales de un año;.... La tabla estadística de una serie temporal es la de una variable bidimensional, con el tiempo como una de las variables. Por contra, si las observaciones se han efectuado en un momento jo, nos encontramos ante una serie atemporal, y estas pueden ser espaciales y de frecuencias. Las primeras tratan de comparar los valores de una variable en distintos espacios geográcos, como la tasa de natalidad en las distintas provincias españolas. Las de frecuencias estudian la repetición de un determinado hecho o fenómeno; son las más usuales y a ellas nos dedicaremos. 5

6 6 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.3 Una variable Diagramas (cualitativas: de barras y de sectores; cuantitativas: de tallos y hojas e histogramas) Las distribuciones de frecuencias tratan de observar, clasicar y ordenar las repeticiones de ciertos valores de una variable. Pueden ser cualitativas o cuantitativas, pudiendo ser las últimas de carácter discreto o continuo, según la variable. Los datos se presentan mediante tablas de frecuencias. En una tabla de frecuencias se llama frecuencia absoluta al número de veces que se repite un valor de la variable; se representa por n i, y signica que el valor x i aparece n i veces. La suma de todas las frecuencias absolutas debe coincidir, obviamente, con el número total de elementos de la muestra, y se denomina tamaño muestral, representado por N. Llamamos frecuencia relativa a la razón entre la frecuencia absoluta y el tamaño muestral, y mide la proporción de cada valor dentro de la muestra. Se representa por f i y, según se ha denido, es: f i = n i N. Es claro que f i 1, así como que i f i = 1. Por último, llamamos frecuencias acumuladas, a las sumas de las frecuencias hasta un determinado valor de la variable. Las denotaremos por N i o F i según se reeran a frecuencias absolutas o relativas, respectivamente. Para calcularlas se ordenan previamente los valores observados de la variable, y se puede hacer de menor a mayor (frecuencias acumuladas crecientes: N i, F i ), o de mayor a menor (frecuencias acumuladas decrecientes: N i, F i ). Si los datos observados corresponden a una variable continua, o hay poca repetición de datos, es común agrupar estos en intervalos de clase, que no han de solaparse, por ejemplo de la forma: [L i 1, L i ) (cerrados por la derecha y abiertos por la izquierda). En estos casos se dene, además, la marca de clase, x i, como el punto medio de cada intervalo: x i = L i + L i 1 2 De este modo, los valores del intervalo [L i 1, L i ) pueden tratarse como si fueran todos iguales a su marca de clase, x i, con la consiguiente pérdida de información o error de agrupamiento.. Ejemplos Ejemplo 1 Encuestadas cincuenta parejas respecto a su número de hijos, se obtuvieron los siguientes datos: 2; 4; 2; 3; 1; 2; 4; 2; 3; 0; 2; 2; 2; 3; 2; 6; 2; 3; 2; 2; 3; 2; 3; 3; 4; 1; 3; 3; 4; 5; 2; 0; 3; 2; 1; 2; 3 ; 2; 2; 3; 1; 4; 2; 3; 2; 4; 3; 3; 2; 2. Constrúyase una tabla estadística que represente dichos datos, indicando frecuencias absolutas, relativas y acumuladas relativas crecientes.

7 1.3. UNA VARIABLE 7 Solución: x i n i f i F i N = Ejemplo 2 Los datos que se dan a continuación corresponden a los pesos en kilogramos de 80 personas: 60; 66; 77; 70; 66; 68; 57; 70; 66; 52; 75; 65; 69; 71; 58; 66; 67; 74; 61; 63; 69; 80; 59; 66; 70; 67; 78; 75; 64; 71; 81; 62; 64; 69; 68; 72; 83; 56; 65; 74; 67; 54; 65; 65; 69; 61; 67; 73; 57; 62; 67; 68; 63; 67; 71; 68; 76; 61; 62; 63; 76; 61; 67; 67; 64; 72; 64; 73; 79; 58; 67; 71; 68; 59; 69; 70; 66; 62; 63; 66. (a) Obténgase una distribución de datos en intervalos de amplitud 5, empezando en [50, 55). (b) Calcúlese el porcentaje de personas de peso menor que 65 Kg. (c) ¾Cuántas personas tienen peso mayor o igual que 70 Kg pero menor que 85? Solución: (a) Como queremos efectuar una distribución de datos agrupados, debemos obtener primero los intervalos correspondientes, quedando la siguiente tabla, donde hemos añadido una columna correspondiente a la marca de clase: [L i 1, L i ] x i n i N i f i F i [50, 55) [55, 60) [60, 65) [65, 70) [70, 75) [75, 80) [80, 85) N =

8 8 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (b) Observando la columna de frecuencias acumuladas (absolutas), se deduce que existen N 3 = 26 individuos cuyo peso es menor que 65 Kg, que, en términos de porcentajes corresponden a: F = = 32.5 %. 40 (c) El número de individuos con peso comprendido entre 70 y 85 Kg es: n 5 + n 6 + n 7 = = 24, equivalentemente: N 7 N 4 = = 24. Representaciones grácas Puede resultar laboriosa la lectura de una tabla estadística. Para facilitar esta tarea se suele acompañar de una gráca, que proporciona una visión rápida del aspecto que se estudia. Estas representaciones grácas deben tomarse como una ayuda a la interpretación, y las conclusiones han de obtenerse de la tabla. Presentamos, mediante ejemplos, las representaciones grácas más usuales. Ejemplo 3 (Diagrama de barras) Se utiliza para distribuciones con poca variedad de datos. Se colocan sobre un eje horizontal los valores de la variable y sobre cada uno una barra cuya altura sea igual a su frecuencia absoluta. Las escalas de los ejes horizontal y vertical se pueden tomar distintas, con el objetivo de que el diagrama quede proporcionado. Las temperaturas medias registradas en el mes de mayo de 2002 en Madrid, en grados centígrados, están dadas por la siguiente tabla: Temperatura Núm. de días La representación gráca es el siguiente diagrama de barras: n i x i Ejemplo 4 (Histograma) Si hemos agrupado los datos en intervalos, utilizamos un histograma de frecuencias. Se colocan los intervalos que denen las clases sobre un eje horizontal, y sobre cada uno de ellos se coloca un rectángulo cuya área sea igual a la frecuencia absoluta. Así, la altura del rectángulo sobre un intervalo [L i 1, L i ), de amplitud a i = L i L i 1, con frecuencia absoluta n i será: h i = n i a i.

9 1.3. UNA VARIABLE 9 Cuando todos los intervalos son de la misma amplitud, es más cómodo colocar como alturas las frecuencias absolutas, n i. En este caso las áreas no coincidirán con las frecuencias, pero serán proporcionales, y el aspecto de la gráca será el mismo. El histograma de frecuencias del ejemplo 2 sería: Ejemplo 5 (Polígono de frecuencias) Consiste en unir con una línea poligonal: los extremos superiores consecutivos de las barras en un diagrama de barras o los puntos medios consecutivos de los lados superiores de los rectángulos de un histograma. Los polígonos de frecuencias se pueden utilizar también para representar las frecuencias acumuladas, absolutas o relativas, crecientes o decrecientes. En los casos anteriores quedarían los siguientes polígonos de frecuencias: n i x i Nota: Se acostumbra a prolongar la poligonal hasta el eje horizontal. Para ello tomamos valores a ambos lados de los datos observados con frecuencia cero. Para no modicar el aspecto visual, los nuevos puntos del eje horizontal se toman a una distancia igual a la mitad del intervalo adyacente. Haciéndolo, así, en el caso de un histograma, el área bajo la poligonal coincide con la del histograma. Ejemplo 6 (Diagrama de sectores) Si la variable que estamos considerando es cualitativa, se suele usar este tipo de diagramas. Se divide un círculo en sectores, uno por cada atributo observado, cuyas áreas respectivas sean proporcionales a las frecuencias.

10 10 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Clasicada una muestra de 100 personas según su grupo sanguíneo, obtuvimos los siguientes datos: Grupo sanguíneo A B AB O Núm. de personas El siguiente sería un diagrama de sectores para los datos de esta muestra: Aunque podemos adaptar un diagrama de barras para la misma: O A B AB 10 0 A B AB O Ejemplo 7 (Diagramas de tallos y hojas) Para variables cuantitativas continuas, los diagramas de tallos y hojas constituyen una sencilla representación. El procedimiento es como sigue: 1. Se redondean los datos a un número conveniente de cifras signicativas. 2. Se colocan en una tabla de dos columnas separadas por una línea vertical, escribiendo: todas las cifras, salvo la última, a la izquierda (forman el tallo); la última cifra a la derecha (forma la hoja). 3. Cada tallo dene una clase y se escribe sólo una vez. El número de hojas representa la frecuencia de dicha clase. Representemos por un diagrama de tallos y hojas, los siguientes datos, expresados en cm.: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Primero los redondeamos a tres cifras signicativas, expresándolos en mm.: 114; 125; 114; 124; 142; 152; 133; 113; 172; 127; 135; 161; 122; 127; 134; 147. Nos quedaría el siguiente diagrama de tallos y hojas: y los propios datos nos dan una idea visual de la zona con mayor frecuencia de observaciones. Es fácil, a partir del diagrama de tallos y hojas, construir la tabla de frecuencias:

11 1.4. MEDIDAS NUMÉRICAS 11 [L i 1, L i ] x i n i N i f i F i [110, 120) [120, 130) [130, 140) [140, 150) [150, 160) [160, 170) [170, 180) N = Medidas numéricas El objeto de todo estudio estadístico es obtener información cuantitativa sobre alguna característica de una población, lo que obligaría a manejar una gran cantidad de datos. Para simplicar el estudio se utilizan ciertas medidas que tratan de darnos la información precisa sobre la característica estudiada a partir de la tabla. Distinguimos entre estas las medidas de centralización y las medidas de dispersión Medidas de centralización Su pretensión es dar una idea del valor central, alrededor del cual se reparten los valores de la muestra. Denimos las más habituales e interesantes. Denición La media muestral se dene como: x = 1 N n n i x i = n f i x i. Denición La idea de la mediana muestral es la siguiente: Es el valor de la muestra que deja a izquierda y derecha el mismo número de observaciones (una vez ordenadas). Para hallar la mediana muestral hemos de jarnos en la columna de frecuencias absolutas acumuladas crecientes, N i. Si el número de observaciones, N, es impar, digamos N = 2k + 1 = k k, la mediana es el valor central, es decir, x i tal que su índice i es el primero que cumple k < N i. Si el número de observaciones es par, digamos N = 2k, se toma como mediana el punto medio de los dos valores centrales. Para variables continuas con los datos agrupados, lo más que se puede hallar es el intervalo mediana; es decir la clase que contiene a la mediana. Denición La moda de una muestra de una variable estadística discreta es el valor que aparece más veces repetido.

12 12 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Esta última medida no tiene mucho interés como medida de centralización, por varios motivos: no tiene sentido para variables continuas al tener que agrupar; puede no ser un valor central; puede haber más de una moda, incluso estar en los extremos; Medidas de dispersión Para complementar la información de las medidas de centralización se denen las medidas de dispersión. Es evidente que las primeras son insucientes como muestra el siguiente ejemplo: en el que ambas muestras tienen iguales tanto la media como la mediana muestrales. Las medidas de dispersión diferenciarán estas muestras al medir la separación de los datos. Denición La varianza muestral se dene como: s 2 x = 1 N n i (x i x) 2. N Se dene la desviación típica (o desviación estándar) de la muestra como la raíz cuadrada positiva de la varianza muestral: s x = + s 2 x. También se considera la quasivarianza muestral: S 2 x = 1 N 1 N ( ) n i (x i x) 2 = N N 1 s2 x de mejor comportamiento para realizar análisis más precisos (lo veremos en los últimos capítulos). Se dene la quasidesviación típica (o desviación estándar) de la muestra como la raíz cuadrada positiva de la quasivarianza muestral: S x = + S 2 x. Con la desviación típica se mide la dispersión de la muestra en las unidades originales, ya que la varianza nos da la media de los cuadrados de las desviaciones a la media muestral. Es cómodo utilizar la siguiente fórmula en el cálculo de la varianza: s 2 x = 1 ( N ) n i x 2 i x 2 = N N f i x 2 i x 2. Ejercicio 1 Demostrar la identidad anterior para la varianza. Solución: : Basta desarrollar el cuadrado y sustituir la media muestral: s 2 x = 1 N = 1 N = 1 N N n i (x i x) 2 N n i x 2 i 2 x N N n i x i + x2 N N n i x 2 i 2 x 2 + x 2 = 1 N N n i N n i x 2 i x 2

13 1.4. MEDIDAS NUMÉRICAS 13 Ejemplo 8 Apliquemos los conceptos anteriores a la siguiente muestra de estaturas de 24 personas, expresadas en metros: 1.62; 1.75; 1.60; 1.41; 1.93; 2.00; 1.71; 1.68; 1.60; 1.67; 1.85; 1.83; 1.57; 1.54; 1.62; 1.93; 1.84; 2.01; 1.70; 1.85; 2.05; 1.66; 1.90; Redondeando a tres cifras signicativas, expresándolos en cm., nos quedaría el siguiente diagrama de tallos y hojas: Apuntamos ahora estos datos en una tabla, añadiendo, a las ya vistas, algunas columnas útiles para el cálculo de la media y la varianza: x i n i N i n i x i x 2 i n i x 2 i Así para calcular la media muestral sumaremos las entradas de la cuarta columna (con cabecera n i x i ) y dividiremos por N = 24: x = cm. 24 La mediana muestral, al haber 24 datos, será el valor medio entre el valor en lugar 12 y el 13: mediana muestral = = Para la varianza, sumamos las entradas de la sexta columna (n i x 2 i ), dividimos por N = 24, y restamos el cuadrado de la media: s 2 x = = La desviación estándar será s x 15.

14 14 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Al haber poca repetición de datos la tabla ha quedado bastante grande, con lo que hemos tenido que realizar muchos cálculos. Vamos a ver cómo, al agrupar los datos en intervalos, los cálculos se simplican, pero, a cambio, perdemos en precisión. Supongamos que los datos los agrupamos en intervalos de amplitud 10, empezando en [140, 150). Obtendríamos la siguiente tabla de frecuencias: [L i 1, L i ] x i n i N i n i x i x 2 i n i x 2 i [140, 150) [150, 160) [160, 170) [170, 180) [180, 190) [190, 200) [200, 210) La media muestral sería: x = = El intervalo mediana: [170, 180). La varianza muestral: s 2 x = = = = La desviación típica: s x = = = Para comparar ambos estudios, mostramos los respectivos diagramas de barras e histograma de frecuencias (absolutas al tener intervalos de igual amplitud): n i 3 n i x 175 mediana muestral = s 2 x 226 s x 15 x i x intervalo mediana [170, 180) s 2 x s x x i

15 1.4. MEDIDAS NUMÉRICAS Cuartiles y diagramas de cajas Una medida elemental de dispersión, una vez ordenados los datos, es el rango o recorrido, R, que es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos: R = x n x 1. Siguiendo la idea de la denición de la mediana, introducimos los cuartiles. La mediana separa en dos mitades el conjunto de observaciones. Los 3 cuartiles, Q 1, Q 2 y Q 3, lo hacen en 4 partes con el mismo número de elementos. Así, los cuartiles, Q 1, Q 2 y Q 3 son tales que: el 25 % de los datos están a la izquierda del primer cuartil, Q 1, y el 75 % a su derecha; el 50 % de los datos están a la izquierda del segundo cuartil, Q 2, y el 50 % a su derecha (es decir Q 2 = mediana ); el 75 % de los datos están a la izquierda del tercer cuartil, Q 3, y el 25 % a su derecha. Igual que ocurría con la mediana, hemos de considerar distintos casos según el tamaño muestral sea o no divisible por 4: N = 4k, N = 4k + 1, N = 4k + 2 ó N = 4k + 3. Las únicas novedades son el primer y el tercer cuartiles. A partir de estas dos cantidades se dene el rango intercuartílico, RI, que es una medida de dispersión denida por: rango intercuartílico RI = Q 3 Q 1. La misma idea seguida para denir los cuartiles nos llevaría a la denición de los 99 percentiles, P 1,..., P 99. En general el percentil de orden k será el menor valor que supera al k por ciento de los datos Diagramas de cajas. Datos atípicos El diagrama de caja es un gráco basado en los cuartiles que contiene además información sobre la simetría de la distribución y nos permitirá denir el concepto de dato atípico. El siguiente diagrama muestra la construcción del diagrama de caja de una muestra dada. Se han de calcular los cuartiles, Q 1, mediana y Q 3, así como el rango intercuartílico RI = Q 3 Q barrera exterior 3 RI... 3 RI RI RI RI Q 1 med. Q 3 barrera interior barrera interior barrera exterior

16 16 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Los segmentos dibujados a ambos lados de la caja, denominados bigotes, unen cada lado con los datos más extremos que aparecen dentro de las barreras interiores. Llamamos datos atípicos a las observaciones que están fuera de las barreras interiores, es decir, a más de 1.5 veces el rango intercuartílico del correspondiente cuartil. Si además están a más de 3 veces el rango intercuartílico (fuera de las barreras exteriores), se denominan datos atípicos extremos. En el gráco anterior hemos representado con el símbolo los datos atípicos extremos, y con los datos atípicos no extremos. Este tipo de observaciones atípicas requiere una atención particular: bien porque responden a errores en la medida o en el tratamiento de datos; bien porque contienen información relevante sobre el comportamiento de la variable Comparación de media y mediana: robustez Un rasgo que diferencia a media y mediana es su comportamiento frente a datos atípicos. Supongamos dada la siguiente muestra de datos: 5.3; 2.8; 3.4; 7.2; 1.7; 6.2; 9.3; 3.2; 5.9 ; que tiene media 5 y mediana 5.3. Si introducimos un dato más que sea un valor atípico extremo, por ejemplo 83, la muestra quedaría con la misma mediana, pero la media cambia drásticamente a La resistencia o estabilidad de la mediana frente a la existencia de datos atípicos es un fenómeno que recibe el nombre de robustez. Todos los estadísticos basados en el orden mediana, cuartiles, percentiles,... tienen esta misma propiedad, y se dice que son robustas. Las medidas que se basan en la suma como la media y la desviación típica son más sensibles a los datos atípicos y son, por tanto, poco robustas. Esta sensibilidad de la media a las observaciones atípicas explica la posición relativa de la mediana y media en distribuciones asimétricas, como muestran las siguientes guras: Simétrica Asimétrica a la dcha. Asimétrica a la izqda. x med. med. x x med. Los datos atípicos a la derecha (izquierda) del diagrama de caja, atraen a la media, desplazándola hacia la derecha (izquierda), creando los distintos tipos de asimetría. Conclusión: La media y la desviación típica deben utilizarse para resumir distribuciones homogéneas (simétricas y sin datos atípicos). En otros casos, es preferible utilizar la mediana y el rango intercuartílico.

17 1.4. MEDIDAS NUMÉRICAS 17 Ejemplo 9 Las ventas de zapatos de caballero en una zapatería, distribuidas por tallas, han sido, durante cierto mes, las siguientes: Talla Núm. de pares El número total de zapatos vendidos en ese mes es N = 956. Para calcular los cuartiles vemos que: de manera que: 25 % de 956 = 239 Q 1 = 40, Q 2 = 41, Q 3 = 42, y el rango intercuartílico es: RI = 2. Las barreras interiores del diagrama de caja estarían en 37 y 45, de manera que no tenemos datos atípicos, y los bigotes tienen la misma longitud, pues existen los datos 37 y 45 en la muestra. Además, la distribución de datos de la caja es simétrica respecto a la mediana: Tabla de frecuencias: x i n i N i N i n i x i x 2 i n i x 2 i Cálculos: x = s 2 x = x s x = V x 1.06 moda = 41. Ejemplo 10 La clasicación de 100 familias por el número de hijos es: Núm. de hijos Núm. de familias

18 18 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Vamos a analizar X =número de hijos por familia. Se tiene: x = = 14 5 = 2.8, s2 x = = = , s x = = De los 100 datos el lugar 50 lo ocupa el 3, y el 51 también; luego la mediana es 3: Q 2 = 3. Por su parte los otros dos cuartiles son Q 1 = 2 y Q 3 = 4 (¾por qué?), con lo que tenemos rango intercuartílico: RI = 4 2 = 2 y el diagrama de caja queda con un dato atípico, 8, que es no extremo pues no supera la barrera exterior derecha (la vertical en Q 3 + 3RI = = 10). La inuencia de este dato atípico no puede ser muy grande, pues aparece en el 1 % de la muestra. De hecho, si lo ignoramos de la muestra quedaría media Además la media y la mediana están muy próximas: si redondeamos a enteros coinciden. Bajo estas consideraciones podemos tratar la muestra como casisimétrica. Ejemplo 11 De una encuesta de la población española en el año 1973 sobre presupuestos familiares, se obtuvieron los siguientes datos para la variable G =gasto mensual por familia (en miles de pesetas), sobre una muestra de 75 familias: [L i 1, L i ) n i f i F i [0, 50) [50, 100) [100, 150) [150, 200) [200, 250) [250, 300) [300, 350) [350, 400) [400, 450) [450, 500) [500, 550) [550, 600) [600, 650) [650, 700) [700, 750) [750, 800) [800, 850) [850, 900) [900, 950) El primer intervalo cuartílico es [100, 150), el intervalo mediana, [200, 250), y el tercer cuartil está en el intervalo [300, 350). Tendríamos así un rango intercuartílico 150 < RI = 250. El diagrama de caja tendría barreras interiores extremas en 275, a la izquierda, y 725 a la derecha. En concreto, vemos de la tabla que el = 61 % de los datos se encontraría en la caja,

19 1.5. TRANSFORMACIONES LINEALES 19 un 15 % en el segmento izquierdo, y un 24 % en el segmento derecho, del cual el 1 % corresponde a datos atípicos, que podrían llegar a ser extremos. Vemos, en cualquier caso, que la distribución es asimétrica a la derecha. Si tomamos las marcas de clase como representativas de cada intervalo, podemos calcular la media y la desviación típica de esta muestra, obteniendo: x 264 miles de pesetas; s x Transformaciones lineales Supongamos que tenemos una muestra de datos x 1, x 2,..., x n con media muestral x y desviación típica s x. Puede interesar cambiar la escala en la que nos dieron los datos. ¾Cómo inuirá este cambio de escala en x y s x? En general, un cambio de escala viene dado por y = kx, que es un caso particular de las transformaciones lineales: y = ax + b. Veamos cómo varían los estadísticos media y desviación típica: Siendo: x = n f i x i tendríamos: ȳ = Análogamente si: s 2 x = entonces: s 2 y = n f i (a x i + b) = a de donde: ȳ = a x + b ; n f i x 2 i x 2 n f i (a x i + b) 2 (a x + b) 2 n = a 2 f i x 2 i + 2ab n f i x i + b 2 n f i x i + b n n f i a 2 x 2 2ab x b 2 n = a 2 f i x 2 i + 2ab x + b 2 a 2 x 2 2ab x b 2 = a 2( n f i x 2 i x 2) = a 2 s 2 x ; por tanto: s y = a s x. Ejercicio 2 ¾Cómo inuye una transformación lineal sobre los datos de una muestra en sus cuartiles? Denición (Tipicación) Si x y s x son la media y desviación típica muestrales de una muestra, x 1,..., x N, correspondiente a una variable X, la muestra correspondiente a la variable tipificada Y = X x s x, y i = x i x s x, i = 1,..., N, tiene media muestral ȳ = 0 y desviación típica muestral s y = 1. f i

20 20 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 1.6 Dos variables En ocasiones estudiaremos varias características de una población. Un problema interesante será determinar si existe algún tipo de relación entre ellas. Dedicaremos esta sección a este problema. Como en capítulos anteriores, nos bastará con entender el caso de dos variables aleatorias. Supongamos, pues, que estamos realizando el estudio conjunto de dos variables aleatorias cuantitativas, X e Y. Dispondremos de una muestra de N pares de observaciones: (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ),..., (x N, y N ) ; es decir, para el elemento iésimo de la muestra, (x i, y i ), se ha observado que X = x i e Y = y i. Utilizaremos una tabla de doble entrada para la distribución conjunta. De ella podemos calcular las distribuciones marginales y, en particular, calcular los estadísticos de cada variable: x, med x, moda x, S x, Sx 2,... para la muestra marginal de la variable X; y los respectivos para Y. Las representaciones grácas de la distribución conjunta, se realizan en 3 dimensiones. Como alternativa a estos grácos se introduce la nube de puntos: Y X Con ella representamos, por ejemplo, los valores observados de X en el eje horizontal, y los de Y en el vertical. Cada punto es una observación del vector (X, Y ). La nube de puntos mostrada a la izquierda se ha realizado a partir de la muestra: (23, 15) ; (43, 16) ; (42, 25) ; (23, 25) ; (28, 17) ; (29, 22) ; (31, 35) ; (32, 28) ; (34, 18) ; (36, 32) ; (40, 38) ; (34, 18) ; (36, 23) ; (38, 28) ; (45, 25) ; (65, 26) ; (64, 35) ; (45, 35) ; (50, 27) ; (51, 32) ; (53, 45) ; (54, 38) ; (56, 28) ; (58, 42) ; (65, 48) ; (56, 28) ; (58, 33) ; (60, 38). El objetivo marcado en esta sección es encontrar una curva sencilla que exprese (de manera resumida) una posible relación entre X e Y. Para ello es fundamental dibujar, primero, la nube de puntos, para decidir si puede existir esta relación. Una medida numérica que recoge esta posible relación es la covarianza muestral que se dene como: cov x,y = 1 N N (x i x)(y i ȳ). Para calcularla es más sencillo utilizar la igualdad: cov x,y = 1 N N x i y i xȳ que se demuestra fácilmente (ejercicio). La covarianza aparece de manera natural al intentar ajustar una recta de regresión a una nube de datos.

21 1.6. DOS VARIABLES Recta de regresión y correlación Si de la nube de puntos decidimos que puede existir una recta, y = ax + b, que se ajuste a la misma, resumiremos toda la nube con ella. Esta recta trataría de formalizar la idea de que existe una relación lineal entre los valores de X e Y. Denición La recta de regresión de Y sobre X es la recta y = a+bx que minimiza el error cuadrático medio (en adelante, E.C.M.): E.C.M. = 1 N N (y i a bx i ) 2. Nota: Con la recta de regresión de Y sobre X, se pretende minimizar el E.C.M., en cuya denición se promedian las distancias verticales de cada punto de la muestra a la recta. Esta recta se usará para estimar valores de Y para valores conocidos de X. Podemos, análogamente, calcular la recta de regresión de X sobre Y, que servirá para estimar valores de X para valores conocidos de Y. El desarrollo es el mismo, pero partiendo del error cuadrático medio para las distancias horizontales: 1 N N (x i c dy i ) 2, con x = c + dy. Puesto que los resultados son análogos, para no alargar innecesariamente la sección, nos centraremos en la primera de las rectas: y = a + bx. Como viene siendo costumbre, presentamos una identidad para el cálculo de este nuevo número: E.C.M. = 1 ( N yi 2 + Na 2 + b 2 N N x 2 i 2a N y i 2b N x i y i + 2ab N ) x i = ( V y + ȳ 2) + a 2 + ( V x + x 2) b x a b 2ȳ a 2 ( cov x,y + xȳ ) b ; aunque en esta ocasión para justicar los cálculos posteriores, que resuelven (calculan) los coecientes de la recta que minimizan esta cantidad. Diremos que y = a + bx es la recta de regresión de Y sobre X si a y b son tales que: (E.C.M.) a (E.C.M.) b La solución es inmediata: = 2 a + 2 x b 2ȳ = 0 = 2(s 2 x + x 2 ) b + 2 x a 2(cov x,y + xȳ) = 0. a = ȳ cov x,y s 2 x x ; b = cov x,y s 2 x aportando, además, esta solución un mínimo de la función E.C.M.. Por tanto, la recta de regresión de Y sobre X es: y ȳ = cov x,y (x x). s 2 x Obsérvese que la recta de regresión pasa por el punto de medias: ( x, ȳ). Justicaremos el uso de la recta de regresión por el valor concreto del E.C.M. cometido:

22 22 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Denición La varianza residual es el E.C.M. cometido con la recta de regresión de Y sobre X, es decir: Varianza residual = 1 N ( y i ȳ cov ) 2 x,y (x N s 2 i x) x Desarrollando y agrupando esta última igualdad, podemos reescribirla como: Varianza residual = s 2 y(1 r 2 ), siendo: r = cov x,y s x s y. Al cociente r se le denomina coeficiente de correlación y nos da una medida de la bondad del ajuste por la recta de regresión. En concreto, r es un número entre 1 y 1, y cuánto más próximo esté a los valores extremos ( r 1), más pequeño será el E.C.M. cometido; en otras palabras, mejor será el ajuste. Ejemplo 12 (Frank Anscombe) En la siguiente tabla se presentan tres conjuntos de datos preparados por el estadístico Frank Anscombe para ilustrar los peligros de hacer cálculos sin antes representar los datos: Conjunto de datos A: (10, 8.04); (8, 6.95); (13, 7.58); (9, 8.81); (11, 8.33); (14, 9.96); (6, 7.24); (4, 4.26); (12, 10.84); (7, 4.82); (5, 5.68). Conjunto de datos B: (10, 9.14); (8, 8.14); (13, 8.74); (9, 8.77); (11, 9.26); (14, 8.10); (6, 6.13); (4, 3.10); (12, 9.13); (7, 7.26); (5, 4.74). Conjunto de datos C: (8, 6.58); (8, 5.76); (8, 7.71); (8, 8.84); (8, 8.47); (8, 7.04); (8, 5.25); (8, 5.56); (8, 7.91); (8, 6.89); (19, 12.50). Los cálculos correspondientes sobre cada conjunto aportan los siguientes valores, comunes a los tres conjuntos de datos: 1 11 x = 9; s x 3.16; ȳ 7.50; s y 1.94; x i y i = 72.51; 11 cov x,y 5; cov x,y s 2 x y así la recta de regresión de Y sobre X sería, para los tres: Las nubes de datos de sendos conjuntos son: 0.5; r 0.82; Varianza residual = s 2 y(1 r 2 ) 1.23 y 7.50 = 0.5(x 9) y = x. Datos A Datos B Datos C A la vista de las mismas, tomamos la recta de regresión como buen ajuste sólo para la muestra A.

23 1.6. DOS VARIABLES Otras dependencias funcionales En ocasiones intentar resumir la nube de puntos por una recta puede que no tenga mucho sentido. Podemos pensar en muchos modelos alternativos al modelo lineal. Vamos a dedicar esta sección a indicar cómo aplicar los resultados del modelo de regresión lineal a otros modelos como el logarítmico y el exponencial. La idea es podernos restringir al modelo lineal mediante una sencilla transformación, fácil de invertir. En general, si disponemos de observaciones (x 1, y 1 ),..., (x N, y N ) de dos características X e Y de una población, y queremos ajustar un modelo de la forma: y = a + b g(x) a estos datos, podemos denir una nueva variable T = g(x) y hallar la recta de regresión de Y sobre T. Esta correspondería a los datos (t 1, y 1 ),..., (t N, y N ), donde: t j = a + b g(x j ), para cada j = 1,..., N. Una vez obtenida la recta de regresión de Y sobre T, deshacemos el cambio y obtenemos la curva pedida. Ejemplo 13 (Regresión logarítmica) Si la nube de puntos recuerda a la gráca de la función logaritmo, se ajustará por un modelo de la forma: y = a + b log x (regresión logarítmica). Para ello denimos T = log(x), hallamos la recta de regresión de Y sobre T, con la muestra conveniente modicada. Si obtenemos, por ejemplo, y = 2 + 3t, diremos que y = log x es nuestro modelo de regresión logarítmica para la muestra original. Ejemplo 14 (Regresión exponencial) Cuando la nube de puntos recuerde a una gráca exponencial (y = e x ó y = e x ), la intentaremos representar mediante un modelo de la forma: y = a e bx (regresión exponencial). Tomando logaritmos en este modelo tendríamos: log y = log a + bx. Si denimos la variable T = log(y ), y hallamos la recta de regresión de T sobre X, al deshacer el cambio obtendríamos los datos de la regresión exponencial. Por ejemplo, si obtenemos t = 2 + 3x, la curva pedida sería: y = e 2 e 3x e 3x.

24 24 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Problemas 1. Antes de que los hornos microondas se puedan poner a la venta, el fabricante debe asegurarse de que la radiación emitida a través de la puerta se encuentra por debajo de un límite de seguridad. Las cantidades de radiación emitidas por 25 hornos (en mw/cm 2 ) con la puerta cerrada son: (a) Calcula la media, la varianza y la desviación típica. (b) Calcula la mediana, los cuartiles y el rango intercuartílico. (c) Dibuja el diagrama de cajas correspondiente a estos datos. 2. Determina razonadamente si las siguientes armaciones son verdaderas o falsas: (a) Si añadimos 7 a todos los datos de un conjunto, el primer cuartil aumenta en 7 unidades y el rango intercuartílico no cambia. (b) Si todos los datos de un conjunto se multiplican por -2, la desviación típica se dobla. (c) Si todos los datos de un conjunto se multiplican por 2, la varianza se dobla. (d) Si cambiamos el signo de todos los datos de un conjunto, el coeciente de asimetría de Fisher también cambia de signo. (e) Al multiplicar por tres todos los datos de un conjunto, el coeciente de asimetría Fisher no varía. (f) Si el coeciente de correlación entre dos variables vale -0.8, los valores por debajo del promedio de una variable están asociados con valores por debajo del promedio de la otra. (g) Si para todo i, se cumple y i < x i, el coeciente de correlación entre x e y es negativo. (h) Al restar una unidad a cada dato de un conjunto, la desviación típica siempre disminuye. (i) Si a un conjunto de datos con media x se le añade un nuevo dato que coincide con x, la media no cambia y la desviación típica disminuye. 3. Un estudio sobre el efecto de la temperatura en el rendimiento de un proceso químico proporciona los siguientes resultados: Temperatura (x) Rendimiento (y) (a) Representa el diagrama de dispersión de los datos anteriores y calcula el coeciente de correlación entre las dos variables. ¾Se puede admitir que existe una relación lineal aproximada entre ambas, es decir, y i a + bx i? (b) Calcula el término independiente y la pendiente de la recta de mínimos cuadrados.

25 1.6. DOS VARIABLES 25 (c) ¾Qué rendimiento predecirías para un nuevo proceso realizado a temperatura x = 3.5? 4. Con el n de hacer un estudio de aceptación sobre dos modelos de automóviles de reciente fabricación, se han considerado las ventas efectuadas por un concesionario durante los días no festivos del último mes de septiembre, que han sido las siguientes: Mod. A Mod. B Núm. de días Obténganse las distribuciones marginales, dando sus medias y varianzas respectivas. Hállese la covarianza de la distribución bidimensional, dibujar la nube de puntos de la misma. 5. Comparadas las edades de cien madres con la de su primer hijo, se obtuvo la siguiente distribución bidimensional: Edad de la madre Edad del hijo Hállense la covarianza de la distribución y las varianzas correspondientes, tomando en cada clase su marca de clase central. A partir de esta muestra estúdiese la edad de una madre al nacer su primer hijo. 6. Consultando el chero de un departamento de pediatría, se obtuvieron los siguientes datos respecto a los pesos y edades de los niños atendidos: Edad (en años) Peso (en kg) Obténgase la recta de regresión de Y (pesos) sobre X (edades). Con la recta obtenida, decídase cuál es el peso que debe esperarse para un niño de 5 años.

26 26 CAPÍTULO 1. ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA 7. Hállense y represéntense las rectas de regresión correspondientes a la distribución estadística: x i y i n i,i Una distribución estadística de variables X e Y es tal que x = 3.5, ȳ = 4 x, y s 2 x = 3 cov x,y. Sabiendo que en una de las observaciones es x i = 5, ¾qué valor debe esperarse para y i en el supuesto de una dependencia lineal entre las variables? 9. Ajústese una función del tipo y = ae bx a la siguiente distribución bidimensional: x i y i Conocidas la media y varianza muestrales de cada una de las variables asociadas a una distribución bidimensional, x = 3, s 2 x = 6, ȳ = 6, s 2 y = 8, de la que se conoce, además, la recta de regresión de Y sobre X obténgase la recta de regresión de X sobre Y. 2x + 3y 12 = Dadas dos variables X e Y, la recta de regresión de Y sobre X es y = 1.16x+10.8 mientras que la de X sobre Y es x = 0.13y 0.6. Calcula las medias de las variables X e Y y el coeciente de correlación entre ambas. 12. Calcúlese la recta de regresión, l 1, de Y sobre X para la muestra: (1, 3), (3, 4), (5, 2). Añadir a la muestra anterior el punto de la recta l 1 con coordenada x = 7. Calcular la recta de regresión, l 2, de Y sobre X para la muestra aumentada. Repetir lo mismo añadiendo a la muestra original el punto de l 1 con primera coordenada x = 9 (obteniendo una tercera recta l 3 ). Dibuja las tres rectas con sus muestras en un mismo gráco e interpreta el resultado.

27 Capítulo 2 Probabilidades 2.1 Denición y propiedades Al realizar un experimento aleatorio nuestro interés es obtener información sobre las leyes que rigen el fenómeno sometido a estudio. El punto de partida para el estudio de un experimento aleatorio es conocer el espacio muestral, Ω, o conjunto de todos los resultados posibles. Ejemplo 15 Consideremos el siguiente experimento aleatorio: se tiran tres dados de colores rojo, azul y blanco. Podemos presentar nuestro espacio muestral de la forma: Ω = {(1, 1, 1), (1, 1, 2),..., (3, 2, 6), (4, 1, 1),..., (6, 6, 6)} donde (a, b, c) quiere decir que el resultado del dado rojo ha sido a, b el del azul, y c el del blanco. Es directo comprobar que hay un total de 6 3 = 216 resultados posibles. El estudio sobre el experimento lo realizaremos midiendo el tamaño relativo de subconjuntos del espacio muestral. La siguiente es una denición poco rigurosa matemáticamente. Denición Se llama suceso aleatorio a cualquier subconjunto del espacio muestral. En particular el vacío y el total son sucesos aleatorios, y los denominaremos suceso imposible y suceso seguro, respectivamente. Ejemplo 16 En el experimento aleatorio del ejemplo anterior determinar los siguientes sucesos: A 1 = en el dado azul siempre se obtiene un 5, y en el rojo un 2 A 2 = la suma de los dados rojo y azul es siempre 3 A 3 = los dados azul y rojo dieren en 2 A 4 = la suma de los tres dados es menor que 20 A 5 = la suma de los tres dados es exactamente 2 A 6 = el resultado del blanco es la suma de los otros dos. 27

28 28 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES La respuesta, con paciencia y buen orden, es inmediata: A 1 = {(2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6)} ; A 2 = {(1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6)} ; A 3 = {(1, 3, 1),..., (1, 3, 6), (2, 4, 1),..., (2, 4, 6), (3, 5, 1),..., (3, 5, 6), (3, 1, 1),..., (3, 1, 6), (4, 6, 1),..., (4, 6, 6), (4, 2, 1),..., (4, 2, 6), (5, 3, 1),..., (5, 3, 6), (6, 4, 1),..., (6, 4, 6)} ; A 4 = Ω y A 5 = ; A 6 = {(1, 1, 2), (1, 2, 3), (2, 1, 3), (1, 3, 4), (2, 2, 4), (3, 1, 4), (1, 4, 5),..., (4, 1, 5), (1, 5, 6),..., (5, 1, 6)}. Es directo comprobar, además, que los cardinales de los sucesos son: A 1 = 6 ; A 2 = 12 ; A 3 = 48 ; A 4 = 216 ; A 5 = 0 ; A 6 = = 15. ¾Por qué se ha medido así el último? Al ser los sucesos aleatorios subconjuntos del espacio muestral, es natural realizar con ellos las operaciones habituales de conjuntos. Denición Se llama suceso contrario de un suceso A, y lo denotaremos A c, al suceso que ocurre cuando no ocurre A. Si A y B son dos sucesos de un mismo experimento aleatorio, el suceso unión, A B, es aquél que ocurre cuando ocurre alguno de los dos, A o B. El suceso intersección, A B, ocurre cuando ocurren ambos a la vez, A y B. Dos sucesos, A y B, se dicen incompatibles si no pueden ocurrir a la vez en una misma realización del experimento aleatorio, es decir A B =. Es claro que y Ω son sucesos contrarios e incompatibles, y que cualquier suceso es incompatible con su contrario. Ejemplo 17 Calcular los sucesos contrarios de los sucesos del ejemplo anterior. Describir los sucesos A 1 A 2, A 2 A 6 y A 3 A 6. Ignorando los sucesos seguro e imposible, ¾hay parejas de sucesos incompatibles que no sean contrarios? Sean entonces B 1 = {(a, b, c) : a = 2} y B 2 = {(a, b, c) : b = 5}, A 1 = B 1 B 2 = {(a, b, c) : a = 2 y b = 5},

29 2.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES 29 y así: A c 1 = (B 1 B 2 ) c = B c 1 B c 2 = {(a, b, c) : a 2 o bien b 5}. A 2 = {(a, b, c) : a + b = 3} y así: A c 2 = {(a, b, c) : a + b 3}. A 3 = {(a, b, c) : a b = 2} y así: A c 3 = {(a, b, c) : a b = 2}. Es evidente que: A c 4 = y A c 5 = Ω. Finalmente: A 6 = {(a, b, c) : c = a + b} de donde: A c 6 = {(a, b, c) : a + b c 0}. Respecto a las otras operaciones, tenemos: A 1 A 2 = {(2, 5, 1), (2, 5, 2), (2, 5, 3), (2, 5, 4), (2, 5, 5), (2, 5, 6), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 2, 5), (1, 2, 6), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 1, 3), (2, 1, 4), (2, 1, 5), (2, 1, 6)} ; A 2 A 6 = {(1, 2, 3), (2, 1, 3)} ; A 3 A 6 = {(1, 3, 4), (2, 4, 6), (3, 1, 4), (4, 2, 6)}. La respuesta a la última pregunta es armativa. En efecto: A 1 A 2 = en otras palabras, son incompatibles, pero A c 1 A 2, y por tanto no son contrarios. Es claro que si al tirar los tres dados el rojo ha sido un 2 y el azul un 5, su suma es 7, y por tanto no ocurre el suceso A 2. Recíprocamente, si la suma de los dados rojo y azul ha sido 3, es imposible que suceda A 1. Aprovechamos este momento para indicar que en ocasiones es más fácil contar los elementos de un suceso restando al total el de su contrario. En efecto: A c 1 = = 210 ; A c 2 = = 204 ; A c 3 = = 168 ; A c 6 = = 201, resultados triviales de las meras deniciones. Obsérvese también que, en todos los casos, se puede comprobar la fórmula para el cardinal de la unión de dos conjuntos nitos, a saber: Así, por ejemplo: A B = A + B A B. A 1 A 2 = A 1 + A 2 A 1 A 2 = = 18, A 2 A 6 = A 2 + A 6 A 2 A 6 = = 25, A 3 A 6 = A 3 + A 6 A 3 A 6 = = 59, lo que nos permitirá calcular cardinales de sucesos conociendo otros más sencillos. Siguiendo esta última idea, introducimos una última denición.

30 30 CAPÍTULO 2. PROBABILIDADES Denición Una familia de sucesos A 1, A 2,..., de un espacio muestral Ω, se dice mutuamente excluyente si son incompatibles dos a dos, es decir si A i A j =, siempre que i j. De especial interés son las familias mutuamente excluyentes que a su vez recogen todos los posibles casos, es decir, tales que: Ω = A 1 A 2 A k.... Diremos en este caso que tenemos una familia completa de sucesos. Ejemplo 18 Siguiendo con el mismo experimento aleatorio, obsérvese que si C k 1 = {(a, b, c) : a + b = k} entonces Ω = C 1 C 2 C 11, siendo además incompatibles dos a dos. Tenemos así hecha una familia completa de sucesos, o en otras palabras, una partición (disjunta) del espacio muestral, en 11 subconjuntos que hemos denido respecto a la característica: suma de los dados rojo y azul. Si de un suceso A conociéramos los cardinales de las 11 intersecciones A C j, digamos: es claro que A = 11 a j. j=1 a j = A C j, j = 1,..., 11 Aunque sea quizá más sencillo de otra manera, tratemos de calcular por este método el cardinal del suceso A = {(a, b, c) : a b = 1}. En las intersecciones A C k 1 aparecerán los resultados (a, b, c) tales que se verique el siguiente sistema lineal: { a b = 1 a + b = k que equivale al sistema: { 2 a = k b = k 1 Este sistema tiene soluciones: a = k+1 y b = k 1 ; que determinarán resultados posibles sólo si k es 2 2 impar y estrictamente mayor que 1 (¾por qué?). Así, tenemos los siguientes cardinales: A C 2 = {(2, 1, c)} = 6 A C 4 = {(3, 2, c)} = 6 A C 6 = {(4, 3, c)} = 6 A C 8 = {(5, 4, c)} = 6 A C 10 = {(6, 5, c)} = 6 y A C j = 0 en cualquier otro caso. En denitiva A = 30. Con la misma idea determínese el cardinal del suceso: B = {(a, b, c) : 3 a 2 b = 1}. Se trata ahora de resolver el sistema { 3 a 2 b = 1 a + b = k o su equivalente: { 5 a = 2k b = 3k 1

31 2.1. DEFINICIÓN Y PROPIEDADES 31 y en nuestro contexto (k = 2,..., 12), las únicas soluciones son (1, 1, c) y (3, 4, c), para k = 2 y 7 respectivamente; por lo tanto: De hecho, conocemos B: B = {(a, b, c) : 3 a 2 b = 1} = = 12. B = {(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 1, 4), (1, 1, 5), (1, 1, 6), Función de probabilidad (3, 4, 1), (3, 4, 2), (3, 4, 3), (3, 4, 4), (3, 4, 5), (3, 4, 6)}. Pasemos a denir buenas maneras de medir el tamaño relativo de cada suceso dentro del espacio muestral. Denición Dado un espacio muestral Ω (no vacío), se dene el álgebra de sucesos A como el conjunto formado por todos los sucesos de Ω. Obsérvese que, en particular,, Ω A; además, si A A también A c A, y si A, B A, también lo están A B y A B. Si escribimos A A, leeremos A es un suceso en Ω. Denición Un modelo o función de probabilidad en un espacio muestral Ω, es una función P : A [0, 1] que a cada suceso A A le asocia un número entre 0 y 1, y que satisface las propiedades: 1. P (Ω) = 1; 2. si A 1, A 2,..., A k son sucesos incompatibles, entonces ( k P A k ) = k P (A k ). Se tienen las siguientes propiedades de las funciones de probabilidad: 1. Para cualquier A A, P (A c ) = 1 P (A). En particular P ( ) = Para cualesquiera A, B A: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). En particular P (A B) P (A) + P (B). 3. Para cualesquiera A, B A: si B A entonces P (B) P (A). 4. Para cualquier colección nita A 1, A 2,..., A n A: ( n ) n P A i = P (A i ) P (A i A j ) + P (A i A j A k ) i<j i<j<k ( n ) + ( 1) n+1 P A i.