Defectos Topológicos en Geometrotermodinámica

Transcripción

1 Ana Lucía Báez Camargo Aguilar ICN-UNAM July 30, 2015

2 1 Geometría y Física - GTD: Curvatura del espacio = interacción termodinámica 2 Topología y Física - Defectos topológicos y materia condensada

3 Tercera Ley de la Termodinámica Es imposible alcanzar la entropía mínima mediante un número finito de procesos cuasiestáticos. Esta ley proporciona un punto de referencia absoluto para la determinación de la entropía. Cómo se interpreta la tercera ley de la Termodinámica en GTD?

4 Elementos Geométricos

5 Métricas en GTD G invariante ante transformaciones de Legendre. Curvatura=Interacción termodinámica G = Θ G Θ G + j i [ 1 E j I j de a di a ] g = j i ( E j Φ E j ) 1 2 Φ E b E a de a de b

6 Gas Ideal molar Las coordenadas del espacio fase T son (s, u, v, 1/T, P/T ). s(u, v) = s ln(u) + ln(v). (1) 2 Θ s = ds 1 T du P dv. (2) T Calculando se tiene gs = 3 du 2 2 dv2 u 2 v 2 La curvatura de este espacio es cero

7 Gas Ideal molar Como la curvatura es cero, entonces existe g S = dξ 2 dη 2 donde ξ = ln u 3/2 + ξ 0, η = ln v + η 0. Además, ξ 0 y η 0 son constantes tales que ξ y η son positivos o igual a cero. Por lo que las geodésicas son rectas.

8 Segunda Ley S 0 La ecuación fundamental en las nuevas variables es: s = s 0 + ξ + η ξ 0 η 0. (3) De la ecuación fundamental se tiene: s = ξ + η 0. (4) Geodésicas adiabáticas s = ξ f ξ i + η f η i = 0. (5) Recta de no conectividad: ξ f + η f = 1. (6) ξ i + η i ξ i + η i

9 Regiones de conectividad y no conectividad Pendiente de la recta de no conectividad: tan α = (ξ i + η i ) ξ i + η i = 1. (7)

10 Regiones de admisibilidad y no admisibilidad Recordando la ecuación fundamental en las nuevas variables: s = s 0 + ξ + η ξ 0 η 0, (8) tenemos que la entropía mínima se alcanza cuando ξ = ξ 0 y η = η 0, por lo que, el punto de mínima entropía es (ξ 0, η 0 ).

11 Espacio de estados de equilibrio Entonces el espacio de estados de equilibrio se ve de la forma

12 Defectos topológicos Tercera Ley y Topología 1 Quitar un punto en el espacio de estados de equilibrio hace que la topología de esta variedad cambie.

13 Defectos topológicos Tercera Ley y Topología 1 Quitar un punto en el espacio de estados de equilibrio hace que la topología de esta variedad cambie. 2 El espacio de estados de equilibrio es un subconjunto del cuadrante positivo de R 2 (el cual es cerrado y acotado por los valores ξ max y η max ) menos un punto s 0.

14 Defectos topológicos Tercera Ley y Topología 1 Quitar un punto en el espacio de estados de equilibrio hace que la topología de esta variedad cambie. 2 El espacio de estados de equilibrio es un subconjunto del cuadrante positivo de R 2 (el cual es cerrado y acotado por los valores ξ max y η max ) menos un punto s 0. 3 Para estudiar los defectos topológicos es necesario tener conocimientos de Topología Algebráica.

15 Defectos topológicos Tercera Ley y Topología 1 Quitar un punto en el espacio de estados de equilibrio hace que la topología de esta variedad cambie. 2 El espacio de estados de equilibrio es un subconjunto del cuadrante positivo de R 2 (el cual es cerrado y acotado por los valores ξ max y η max ) menos un punto s 0. 3 Para estudiar los defectos topológicos es necesario tener conocimientos de Topología Algebráica.

16 Retracto por deformación Tercera Ley y Topología A X es un retracto por deformación si r : X A y H : X [0, 1] X tal que X se pueda retraer continuamente en A. Figure : Retracto por deformación de un disco sin el origen al círculo unitario S 1 TEOREMA π 1 (X, a) es isomorfo a π 1 (A, a) con a A

17 Tercera Ley y Topología Tercera Ley y Topología Se puede demostrar que para un x 0 en un subconjunto de R 2, existe un círculo C R 2 que es un retracto por deformación de R 2 {x 0 }. Cabe destacar que el círculo C y el círculo unitario S 1 son homotópicos entre sí, por lo que el grupo fundamental de ambos son isomorfos. Entonces: π 1 (E) π 1 (C) π 1 (S 1 ) Z

18 1 Esta trabajo se centró en interpretar la tercera ley de la Termodinámica en el formalismo de la GTD.

19 1 Esta trabajo se centró en interpretar la tercera ley de la Termodinámica en el formalismo de la GTD. 2 La tercera ley de la Termodinámica se interpreta topológicamente en GTD, pues hace que el grupo fundamental del espacio de estados de equilibrio no sea trivial.

20 1 Esta trabajo se centró en interpretar la tercera ley de la Termodinámica en el formalismo de la GTD. 2 La tercera ley de la Termodinámica se interpreta topológicamente en GTD, pues hace que el grupo fundamental del espacio de estados de equilibrio no sea trivial. 3 Al haber agujeros en el espacio, existen distintas clases de loops en el espacio de estados de equilibrio. Estos loops corresponden a procesos cuasiestáticos, de manera que es posible diferenciar los procesos termodinámicos viables de dicho sistema a través de la topología.

21 1 Esta trabajo se centró en interpretar la tercera ley de la Termodinámica en el formalismo de la GTD. 2 La tercera ley de la Termodinámica se interpreta topológicamente en GTD, pues hace que el grupo fundamental del espacio de estados de equilibrio no sea trivial. 3 Al haber agujeros en el espacio, existen distintas clases de loops en el espacio de estados de equilibrio. Estos loops corresponden a procesos cuasiestáticos, de manera que es posible diferenciar los procesos termodinámicos viables de dicho sistema a través de la topología.