Matemáticas Discretas II clase 6: Ecuaciones de recurrencia Universidad del valle

Transcripción

1 Matemáticas Discretas II clase 6: Ecuaciones de recurrencia Universidad del valle Profesor: Jairo Ernesto Maldonado G.

2 Ejercicio: problema de los conejos

3 Ejercicio: problema de los conejos

4 Ejercicio: problema de los conejos Mes Parejas reprod uctoras Parejas Jóvenes Total Parejas

5 Ejercicio: problema de los conejos

6 Ejercicio: problema de los conejos Tarea: consultar o definir una función recursiva e iterativa para calcular F n

7 Torres de Hanoi Según una leyenda india, en el Templo de Benarés, bajo el domo que marca el centro del mundo, hay una placa de latón con tres agujas de diamante. Durante la creación, Dios puso sesenta y cuatro discos de oro puro de distinto tamaño en una de las agujas, formando una torre. Los bramanes llevan generaciones cambiando de lugar, uno a uno, los discos de la torre entre las tres agujas de forma que en ningún momento un disco mayor descanse sobre otro más pequeño. Cuando hayan conseguido trasladar todos los discos a otra aguja su trabajo estará terminado, y la torre y el templo se derrumbarán, y con un gran trueno, el mundo se desvanecerá. Cuando acontecerá entonces el fin del mundo?

8 Torres de Hanoi En realidad, la Torre de Hanoi y la leyenda india habían sido inventadas por el matemático francés Édouard Lucas (N. Claus de Siam es un anagrama de Lucas d'amiens). Su compatriota, el escritor Henri de Parville amplió y adornó la leyenda poco tiempo después. A pesar de que el reto planteado es relativamente sencillo, la idea de Lucas ha demostrado ser una de las más fecundas de la historia de las matemáticas recreativas.

9 Torres de Hanoi Cuando acontecerá entonces el fin del mundo? Cuanto tiempo demorarán en completar la tarea?

10 Torres de Hanoi En algún movimiento k, en el tiempo. Cómo deben de estar las otras fichas, si voy a mover el disco 8 de A a C.? 8 A B C

11 Torres de Hanoi En algún movimiento k, en el tiempo. Cómo deben de estar las otras fichas, si voy a mover el disco 8 de A a C.? 8 A B C Esta es la única forma posible

12 Torres de Hanoi Paso 1 Paso 2 Paso 3. Para terminar tendremos que trasladar de nuevo la torre 1...7, ahora de B a C.

13 Torres de Hanoi Pero los discos forman una torre totalmente similar a la inicial, así que en dos de los tres pasos anteriores nos enfrentamos con un problema análogo al original. De hecho, puede resolverse de la misma forma, trasladando ahora la torre Por ejemplo, el primer paso (trasladar la torre de A a B) se puede descomponer en estos tres pasos. Por supuesto, en dos de estos tres pasos nos volvemos a encontrar con el problema original, ahora con n = 6. El proceso no es infinito, ya que llega el momento en que trasladar una torre equivale a trasladar un solo disco (esto ocurre cuando la torre es de un solo disco, claro)

14 Torres de Hanoi Definición recursiva Sea Hn : El número de movimientos necesarios para resolver la torre de Hanoi con n discos, entonces Los n-1 discos superiores se pueden llevar a la segunda barra, siguiendo las reglas, realizando H n-1 Movimientos. A continuación realizamos un movimiento para llevar el disco 8 a la 3 barra. Con otros H n-1 movimientos podemos transladar los n-1 discos de la barra B a la C.

15 Torres de Hanoi Definición recursiva Sea Hn : El número de movimientos necesarios para resolver la torre de Hanoi con n discos, entonces Los n-1 discos superiores se pueden llevar a la segunda barra, siguiendo las reglas, realizando H n-1 Movimientos. A continuación realizamos un movimiento para llevar el disco 8 a la 3 barra. Con otros H n-1 movimientos podemos trasladar los n-1 discos de la barra B a la C = H n H n 1 Condición final o inicial H 1 =1

16 Torres de Hanoi Definición recursiva = H n H n 1 Sería bueno tener una definición explícita de la forma H(n)= f(n) La solución explícita al solucionar la ecuación es : H ( n) = 2 n + 1 Tarea: consultar o definir una función recursiva para calcular H n

17 Torres de Hanoi H ( n) = 2 n + 1 Demostración: El número de movimientos es M 3 (n) = 2 n 1, como se puede demostrar fácilmente por inducción sobre el número de discos. Se cumple para n = 1 M 3 (1) = 1 = Si se cumple para n, se cumple para d+1 Hipótesis Al ejecutarse el algoritmo para n+1 se llama a sí mismo dos veces para n, más un movimiento del disco n+1. Así que M 3 (n+1) = 2 M 3 (n) + 1 = 2 (2 n n+1 n+1 1) + 1 = = 2 1.

18 Torres de Hanoi Según una leyenda india, en el Templo de Benarés, bajo el domo que marca el centro del mundo, hay una placa de latón con tres agujas de diamante. Durante la creación, Dios puso sesenta y cuatro discos de oro puro de distinto tamaño en una de las agujas, formando una torre. Los bramanes llevan generaciones cambiando de lugar, uno a uno, los discos de la torre entre las tres agujas de forma que en ningún momento un disco mayor descanse sobre otro más pequeño. Cuando hayan conseguido trasladar todos los discos a otra aguja su trabajo estará terminado, y la torre y el templo se derrumbarán, y con un gran trueno, el mundo se desvanecerá. Cuando acontecerá entonces el fin del mundo? El mínimo número de movimientos sería: Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en poco menos de 585 mil millones de años. la Tierra tiene como 5 mil millones de años, y el Universo entre 15 y 20 mil millones de años de antigüedad, sólo una pequeña fracción de esa cifra.

19 Ecuaciones de recurrencia, algoritmos, computación y soluciones a problemas: El mínimo número de movimientos sería: Si los monjes hicieran un movimiento por segundo, los 64 discos estarían en la tercera varilla en poco menos de 585 mil millones de años. Cuando se analiza al complejidad de un algoritmo recursivo, se obtiene una relación de recurrencia que expresa el número de operaciones necesarias para resolver un problema de tamaño n en términos del número de operaciones necesarias para resolver un problema de tamaño n en términos de número de operaciones necesarias.

20 Definiciones recursivas Supongamos que una persona deposita US$ en una cuenta bancaria que le proporciona un interés del 11% anual. Si los intereses se abonan en la misma cuenta, Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de 30 años? as_disc retas_2/

21 Definiciones recursivas Supongamos que una persona deposita US$ en una cuenta bancaria que le proporciona un interés del 11% anual. Si los intereses se abonan en la misma cuenta, Cuánto dinero habrá en la cuenta al cabo de 30 años? Sol Sea P n : el saldo de la cuenta transcurridos n años P n = al saldo de la cuenta transcurridos n-1 años más los interés del año n. La sucesión P n satisface la relación de recurrencia. as_disc retas_2/

22 Definiciones recursivas Sol Sea P n : el saldo de la cuenta transcurridos n años P n = al saldo de la cuenta transcurridos n-1 años más los interés del año n. La sucesión P n satisface la relación de recurrencia. P n = P n-1 + 0,11P n-1 P n = 1,11P n-1 Donde P 0 es us as_disc retas_2/

23 Definiciones recursivas Def. Una ecuación de recurrencia para la sucesión {a n } es una ecuación que determina el término en en función de los términos anteriores, es decir a 0, a 1,,a n-1 para todos los enteros n tales que n>= n 0, donde n 0 es un entero positivo. Una sucesión es una solución de una relación de recurrencia si sus términos satisfacen la relación para todo entero positivo n. as_disc retas_2/

24 Definiciones recursivas Def. Una ecuación de recurrencia para la sucesión {a n } es una ecuación que determina el término en en función de los términos anteriores, es decir a 0, a 1,,a n-1 para todos los enteros n tales que n>= n 0, donde n 0 es un entero positivo. Una sucesión es una solución de una relación de recurrencia si sus términos satisfacen la relación para todo entero positivo n. H ( n) = 2 n + 1 Para el caso de las torres n H(n) Cómo mostrar que satisface toda la sucesión? as_disc retas_2/

25 Definiciones recursivas Las condiciones iníciales para una sucesión proporcionan los términos anteriores al primer término de la sucesión para el que la relación está definida. Las condiciones iníciales determinan de manera única la sucesión. Cualquier término de la sucesión se puede calcular a partir de la condiciones iníciales utilizando la ER o la sucesión que le satisface. Caso Conejos: Torre Hanoi: H H n 1 = 2H n = Interés compuesto: P n = 1,11P n-1 P 0 =10000 as_disc retas_2/

26 Definiciones recursivas Ejercicio: Encuentra una relación de recurrencia y de condiciones iniciales para el número de cadenas de n bits que no contienen 2 ceros consecutivos. as_disc retas_2/

27 Definiciones recursivas Ejercicio: Encuentra una relación de recurrencia y de condiciones iniciales para el número de cadenas de n bits que no contienen 2 ceros consecutivos. Sol a n : número de cadenas de n bits que no tienen dos ceros consecutivos. Según la regla de la suma, el número de tales cadenas es igual al número de cadenas que no tienen dos ceros consecutivos y terminan en 0, más el número de cadenas que no tienen dos ceros consecutivos y terminan en 1. a n = a n-1 + a n-2 a 1= 2 a 2= 3 as_disc retas_2/

28 Definiciones recursivas Ejercicio: Un sistema de identificación considera válida una cadena de dígitos si contiene un número par de ceros. Sea a n el número de cadenas válidas de longitud n. Encuentre una RR para a n. as_disc retas_2/

29 Definiciones recursivas Ejercicio: Un sistema de identificación considera válida una cadena de dígitos si contiene un número par de ceros. Sea a n el número de cadenas válidas de longitud n. Encuentre una RR para a n. Sol Cómo se puede formar una cadena válida de longitud n a partir de a n-1 cadenas válidas de longitud n-1?. Solo dos opciones 1. añadir un dígito distinto de cero a cualquiera de las a n-1 válidas de longitud n-1 2. Añadir un cero a una cadena no válida de longitud n-1. A n = 8a n + 10 n-1 A n =9 as_disc retas_2/