Definiciones. La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en forma implícita es

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1 Capítulo 1 Definiciones. La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en forma implícita es F (t, x(t), x (t)) = 0 Donde F representa una función de tres variables en cierta región A R 3 donde x(t) es la función incognita Una solución de una ecuación diferencial de primer orden en forma implícita es una función x : I R donde I es un intervalo (no degenerado ) en R que verifica: 1. x es derivable en I. 2. (t, x(t), x (t)) A para cada t I 3. F (t, x(t), x (t) = 0 para cada t I La forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden en forma explícita es: x (t) = f(t, x(t)) donde f representa una función de dos variables definida en una región D R 2 Una solución de una ecuación diferencial de primer orden en forma explícita es una función x : I R donde I es un intervalo (no degenerado ) en R que verifica: 1. x es derivable en I. 2. (t, x(t)) D para cada t I 3. f(t, x(t)) = x (t) para cada t I 1

2 Capítulo 2 Teoremas importantes Teorema de Darboux Si I es un intervalo (no degenerado) de R y f : I R es una función derivable en I, la función derivada f : I R verifica la propiedad de los valores intermedios Lema del pegamento Sea x (t) = f(t, x(t)) una E.D.O. y sean x 1 : (a, b] R y x 2 : [b, c) R soluciones de la ecuación, entonces, si x 1 (b) = x 2 (b) se tiene que la función x : (a, c) R Es solución de la ecuación. x(t) = x1 (t) si t (a, c] x 2 (t) si t (c, b) Si la función verde es solución en el intervalo (, 0] y la función naranja lo es en el intervalo [0, ) entonces la función pegada es solución en todo R 2

3 Capítulo 3 Tipos de ecuaciones y los problemas de Cauchy Lineales de primer orden. Definición Una ecuación diferencial lineal de primer orden, en forma implícita, es una ecuación del tipo a 0 (t)x (t) + a 1 (t)x(t) + a 2 (t) = 0 Donde las funciones a 0, a 1 y a 2 son conocidas y están definidas en un intervalo I de R Definición Una ecuación diferencial lineal de primer orden, en forma explícita, es una ecuación del tipo x (t) = a(t)x(t) + b(t) Donde las funciones a y b son conocidas y están definidas en un intervalo I de R Nota: Si la función b es idénticamente nula se dirá que la ecuación lineal es homogénea Ecuación lineal homogénea. Si I es un intervalo en R y a : I R una función continua en I, la ecuación diferencial homogenea x (t) = a(t)x(t) posee infinitas soluciones en el intervalo I, dadas por la expresión: x c = Ce a(t)dt C R 3

4 Proposición Sean I un intervalo en R, t 0 I, x 0 R y a : I R una función continua en I. entonces el problema del valor inicial : x (P ) : (t) = a(t)x(t) x(t 0 ) = x 0 posee una única solución en el intervalo I Ecuación lineal no homogénea. Si I es un intervalo en R y a, b : I R dos funciones continuas en I, la ecuación diferencial no homogénea x (t) = a(t)x(t)+b(t) posee infinitas soluciones en el intervalo I Métodos de resolución Factor integrante. Este método consiste en hacer una pequeña transformación para convertir esta ecuación en otra que ya sepamos resolver. Este cambio consiste en multiplicar la ecuación por una función µ tal que: d dt [µ(t)x(t)] = µ(t)[x (t) a(t)x(t)] para cada t I Con este cambio tenemos la siguiente ecuación equivalente a la de partida: d [µ(t)x(t)] = µ(t)b(t) dt ( µ(t)b(t)dt + C ) que tiene por solución a la familia: x c (t) = 1 µ(t) Para calcular esta µ(t) solo necesitamos resolver una ecuación lineal homogénea µ(t) = a(t)µ(t) µ(t) = Ce a(t)dt además como nos vale cualquiera de ellas elegiremos la que más nos convenga por ejemplo µ(t) = e a(t)dt Método del espacio afín. Este método se basa en la estructura de espacio afín que tienen las soluciones de la ecuación no homogénea sobre el espacio vectorial de las soluciones de la ecuación homogénea, esto quiere decir, que conocidas las soluciones de la ecuación homogénea y conocida una solución de la ecuación no homogénea podemos conseguir todas las de las no homogénea de la siguiente forma. X = x p + X 0 Donde x p es una solución de la ecuación no homogénea y X 0 es el conjunto de las soluciones de la ecuación homogénea y X el conjunto de soluciones de la no homogénea. Ahora nos encontramos con el problema de determinar una solución de la ecuación. pero para ello contamos con dos métodos. 4

5 Conjetura de Lagrange. Sea x (t) = a(t)x(t) + b(t) una E.D.O. lineal no homogénea, entonces esta ecuación tiene soluciones de la forma x(t) = α(t)e a(t)dt Donde α C 1 (I, R), además α(t) = b(t)e a(t)dt dt Coeficientes indeterminados. Este metodo solo es valido cuando en la ecuación x (t) = a(t)x(t) + b(t) la función a(t) es constante, y la función b(t) = e αt P n (t) donde P n (t) es un polinomio de grado n en t. Este resultado nos asegura que existe una solución particular de la ecuación del tipo e αt Q n+1 (t) donde Q es un polinomio de grado menor que n + 1 Suponemos que es solución y calculamos los coeficientes del polinomio mediante el correspondiente sistema de ecuaciones Problema de Cauchy. Sea I un intervalo en R, t 0 I, x 0 R y a, b : I R dos funciones continuas. Entonces, el problema de Cauchy: (P ) : x (t) = a(t)x(t) + b(t) x(t 0 ) = x 0 Posee una única solución en el intervalo I En variables separables y separadas Variables separables. Una ecuación diferencial de primer orden de variables separables es una ecuación del tipo: x (t) = g(t)h(x(t)) Donde las funciones g y h son funciones de una variable, conocidas y definidas en ciertos intervalos, I t, I x respectivamente. Problema de Cauchy. Si g y h son funciones continuas definidas en I t e I x respectivamente y t 0 int(i t ) y x 0 int(i x ) el problema de Cauchy Posee al menos una solución. (P ) x (t) = g(t)h(x(t)) x(t 0 ) = x 0 5

6 nota: si h(x 0 ) = 0 entonces la función x(t) = x 0 para todo t I t es solución Variables separadas. Diremos que una ecuación diferencial de primer orden es de variables separadas cuando es de la forma q(x(t))x (t) = p(t) Donde las funciones p y q son conocidas y definidas en ciertos intervalos I t e I x respectivamente. Si tenemos una ecuación en variables separables podemos transformarla en una en variables separadas y obtenemos soluciones, en intervalos en los que la solución, evaluada en la función h no se anula, de esta forma la ecuación x (t) = g(t)h(x(t)) se transforma en 1 h(x(t)) x (t) = g(t), por eso requerimos que h(x(t)) 0 para todo x(t) I x Proposición. Sean I t e I x intervalos en R y p : I t R y q : I x R funciones continuas. Sean P y Q primitivas de las funciones p y q respectivamente en tales intervalos, una función derivable x : I R con gráfica contenida en I t I x es solución de la ecuación diferencial q(x(t))x (t) = p(t) si y sólo si, existe una constante C R tal que x viene definida en I por la ecuación Problema de Cauchy Q(x(t)) = P (t) + C Sean I t e I x dos intervalos en R, p : I t R y q : I x R funciones continuas y t 0 I t y x I x. Una función derivable x : I R con gráfica contenida en I t I x es solución del problema de Cauchy (P ) : si y solo si verifica: (1). x(t 0 ) = x 0 (2). x viene definida por la ecuación x q(x(t))x (t) = p(t) x(t 0 ) = x 0 x 0 q(s)ds = t t 0 p(s)ds Si además tenemos que t 0 int(i t ) y x int(i x ) y que q(x 0 ) 0 entonces existe un intervalo abierto I tal que t 0 I I t tal que el problema (P ) tiene una única solución (De clase 1) en I. 6

7 3.3. Resolución mediante cambio de variables. ecuaciones del tipo: x (t) = ϕ(at + bx(t) + c) Sea x (t) = ϕ(at + bx(t) + c) una edo y sea y (t) = a + ϕ(y(t)) la ecuación resultante tras hacer el cambio y(t) = at + bx(t) + c, entonces x : I R es solución si y sólo si lo es y : I R 1. Reconocer el tipo de la ecuación 2. Hacer el cambio de variable y = at + bx + c 3. Derivar la función y(t) y eliminando la función x llegar a una ecuación autónoma (variable separable) 4. Resolver la ecuación resultante 5. Deshacer el cambio Ecuaciones diferenciales homogéneas. Una ecuación diferencial homogénea es una ecuación del tipo x (t) = f(t, x(t)) donde la función f verifica f(λa, λb) = f(a, b) Para este tipo de ecuaciones se propone el siguiente procedimiento: 1. f(t, x(t)) = f ( t, x(t) t t ) = f ( 1, x(t) t ) ( ) = ϕ x(t) t. 2. se propone ahora el cambio y(t) = x(t) t. 3. Solucionar la ecuación. 4. Deshacer el cambio Ecuaciones diferenciales de Bernoulli. Una ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación del tipo x (t) = a(t)x(t) + b(t)x α (t) donde las funciones a, b : I R son funciones continuas y α un número real. Para este tipo de ecuaciones estudiaremos un cambio que transforma estas ecuaciones en otras de tipo lineal. 1. x (t) = a(t)x(t) + b(t)x α (t) x α (t)x (t) = a(t)x 1 α + b(t). 2. se propone ahora el cambio y(t) = x 1 α (t). 3. Solucionar la ecuación. 4. Deshacer el cambio. 7

8 Ecuaciones de Riccati. Una ecuación diferencial de Riccati es una ecuación de la forma: x (t) = a(t)x 2 (t) + b(t)x(t) + c(t) donde las funciones a, b, c : I R son funciones continuas. Proposición Si x p es una solución de la ecuación de Riccati, entonces x : I R es solucion de la ecuación si y solo si y = x x p es solución de una ecuación de Bernoulli equivalente tras realizar el cambio. 1. Putada! es necesario encontrar una solución particular. 2. Encontramos una solución particular x p ( aleluya! ). 3. Realizamos el cambio y(t) = x x p. 4. Solucionamos la ecuación de Bernoulli correspondiente. 5. Deshacemos el cambio Apendice Además, en los ultimos tres casos, la función x : I R es solución de la ecuación si y sólo si la función y : I R es solución de la ecuación tras hacer el cambio. Esto quiere decir que el cambio es reversible 8

9 Capítulo 4 Modelos de crecimiento 4.1. Modelo Malthusiano Este modelo trata de dar una ley al crecimiento de una determinada población cuyo crecimiento es proporcional al volumen de la población. Sigue la E.D.O. x (t) = αx(t) donde x(t) es la función continua que aproxima el volumen de la población y α es la proporción que existe entre la velocidad de crecimiento y el crecimiento de la población. En este modelo las soluciones son funciones exponenciales, es decir el crecimiento de la población es exponencial, lo que en general hace que este modelo no sea el más adecuado ya que lo más normal es que la población no pueda crecer constantemente Modelo logístico o de Verthulst Este modelo, al igual que el de Malthus, intenta dar una ley sobre el crecimiento de una población que crece proporcionalmente al número de individuos de la población, salvo que ahora tendremos en cuenta que la población no puede crecer ilimitadamente, las soluciones de esta ecuación son casi exponenciales, son las soluciones de la ( E.D.O. x (t) = rx(t) 1 x(t) ) donde r es M la relación entre la población y el crecimiento de la misma y M es el limite de crecimiento de la población 9