Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden

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1 Tema 8 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden 8. Introducción En el tema 2 vimos el estudio y resolución de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden en forma explícita: x (t) =a(t)x(t)+b(t) sin mas que suponer que las funciones a y b son continuas en un intervalo I. Definición 8.. Una ecuación diferencial lineal de segundo orden en forma explícita es una ecuación del tipo (8.) x (t) =a(t)x (t)+b(t)x(t)+c(t) donde las funciones a, b y c son conocidas. Siempre supondremos que las funciones a, b y c son continuas en un intervalo I. Generalmente las escribiremos de forma abreviada así: x = a(t)x + b(t)x + c(t). Algunos ejemplos son: x = t 2 x x + sen t, x = (log t)x +, x = x +3x 5, x = x + tx. Cuando en la ecuación (8.) la función c es nula en el intervalo I, es decir, es del tipo (8.2) x (t) =a(t)x (t)+b(t)x(t) diremos que la ecuación lineal es homogénea, pero cuando c no es la función nula diremos que la ecuación lineal no es homogénea o es completa. Así de los cuatro ejemplos anteriores únicamente el cuarto es una ecuación homogénea. En el tema anterior tratamos dos ecuaciones: x = x y x = x, que también son lineales homogéneas. En general, cuando la ecuación (8.) es completa diremos que (8.2) es la ecuación homogénea asociada a (8.). 69

2 70 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Las ecuaciones lineales de segundo orden son, sin lugar a dudas, las más importantes entre todas las ecuaciones de segundo orden. Poseen muchísimas aplicaciones; por ejemplo, en Física, aparecen en problemas sobre vibraciones en Mecánica y en la teoría de circuitos eléctricos. Además, muchas bellas y profundas ideas de las Matemáticas han surgido del estudio de estas ecuaciones. Aquí surge un gran problema, que no tenemos con las de primer orden. Las de primer orden, salvo cálculos de primitivas, son todas resolubles. Sin embargo, muchas ecuaciones de segundo orden no se saben resolver; más bien diríamos que son pocas las que se pueden resolver. Por ejemplo una ecuación de aspecto tan simple como x = tx, conocida como ecuación de Airy, que aparece en el estudio de la difracción de la luz, no se sabe resolver; es más está demostrado que no posee soluciones elementales tal como sucede con muchas ecuaciones de Riccati; éste es el caso de x = t +. Obsérvese además que se trata de una ecuación homogénea. Si le damos esta ecuación al programa Mathematica, introduciendo la ecuación así: la respuesta que da es DSolve[x [t] == tx[t],x[t],t] x[t] AiryAi[t]C[] + AiryBi[t]C[2]. Como podemos apreciar nos da las expresiones de las soluciones en términos de dos funciones AiryAi y AiryBi, que son unas funciones especiales, llamadas precisamente funciones de Airy, que se introdujeron a raíz del problema que surge con la ecuación diferencial de Airy. No se conocen exactamente estas funciones aunque han sido muy estudiadas. Se pueden calcular con bastante precisión los valores de estas funciones y para ciertos valores del argumento t se conocen los valores exactos. Como sucede con otros muchos casos, sólo se pueden obtener desarrollos en serie de tales funciones. En este caso, en tales desarrollos en serie aparece la función Gamma. Por ejemplo, para t [0, 4] tenemos el siguiente desarrollo de AiryAi(t): 3 2/3 Gamma [ ] 2 3 t 3 /3 Gamma [ 3 ] + t /3 Gamma [ ] 2 3 t 4 2 ( 3 /3 Gamma [ 3 ]) + O[t] 5 Determinado estudio cualitativo prueba que las soluciones de la ecuación de Airy tienen un comportamiento oscilatorio en el intervalo I =(, 0) mientras que en el intervalo I = (0, ) unas soluciones crecen exponencialmente y otras decrecen exponencialmente. A continuación esbozamos las gráficas de las funciones AiryAi y AiryBi en el intervalo I =[ 0, 4] para que se pueda apreciar este comportamiento Figura 8.: Gráfica de la función AiryAi Figura 8.2: Gráfica de la función AiryBi. De la misma forma que sucede con las ecuaciones lineales de primer orden, veremos que las expresiones de las soluciones de una ecuación lineal de segundo orden resoluble se pueden obtener de una forma explícita. Esto es una característica de las ecuaciones lineales, que, en general, no se da en el resto de las ecuaciones diferenciales. Sir George Airy (80-892) fue un astrónomo y matemático inglés. Hay textos que consideran como ecuación de Airy la dada por x + tx = 0. Esta ecuación plantea los mismos problemas de reolución que x tx = 0. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

3 8.. Introducción 7 El estudio que vamos a ver en este tema se basará esencialmente en el estudio de las ecuaciones homogéneas, pues la resolución de una ecuación no homogénea dependerá de si sabemos resolver la ecuación homogénea asociada. En este tema sólo se resolverán dos tipos de ecuaciones homogéneas: Las que tienen las funciones a y b constantes (llamadas ecuaciones de coeficientes constantes) Las llamadas ecuaciones de Euler (donde a y b no son constantes). Sin embargo, muchas ecuaciones homogéneas de importancia primordial en Matemáticas y en Física, como la citada ecuación de Airy, las ecuaciones de Bessel y las ecuaciones de Legendre, caen fuera del alcance de los métodos que vamos a estudiar aquí y sólo pueden tratarse (que no resolverse) por el método de las series de potencias 2, método que en este tema no se va a tratar. Son casos donde las funciones coeficientes a y b son infinitamente derivables y pueden desarrollarse en serie de potencias (funciones analíticas); generalmente son funciones polinómicas, como sucede en la ecuación de Airy, y las soluciones de la ecuación son también analíticas (esta última afirmación no resulta trivial y hay que demostrarla). En estos casos se pueden obtener los desarrollos en serie de las soluciones, que pueden servir para dar aproximaciones de las soluciones (a veces se obtienen valores exactos de una solución en determinados puntos). En general probaremos que si somos capaces de encontrar una solución de (8.2), que no se anule, podremos encontrar las demás soluciones, como sucede con las ecuaciones de Riccati. De hecho existe una relación muy estrecha entre las ecuaciones lineales de segundo orden homogéneas y las ecuaciones de Riccati. Lo dicho anteriormente refuerza la idea de que se necesita dar una teoría que nos de la mayor información posible sobre las soluciones y ciertos aspectos cualitativos. Por ejemplo, al igual que vimos con las ecuaciones de primer orden, probaremos que todas las soluciones de (8.) están definidas en el intervalo I donde a, b y c son continuas. Esto es algo muy especial que no suele suceder, en general, con las demás ecuaciones de segundo orden. Como cuestión a destacar, veremos que existe una importante estructura algebraica para el conjunto de soluciones de una ecuación homogénea. Casi todo lo que vamos a ver en este tema es generalizable, con un poco más de esfuerzo, a ecuaciones lineales de orden n>2, pero para una mejor comprensión, en este primer curso estudiamos las de de segundo orden. Es más, en general, dentro de las ecuaciones diferenciales de orden n>, las más importantes, por sus aplicaciones, son las de segundo orden. Más adelante se darán algunas referencias sobre el caso n>2 y en el próximo curso se hará un estudio general que incluye las ecuaciones lineales de cualquier orden y los sistemas lineales de primer orden. Por lo comentado más arriba nuestro estudio debe iniciarse con las ecuaciones lineales homogéneas, tal como hicimos en el caso n =, pero, en gran medida, la teoría que veremos se basará en un teorema de existencia y unicidad global para problemas de valores iniciales, que se obtendrá como consecuencia del visto en el tema anterior. Por tanto, iniciaremos nuestro estudio con el teorema de existencia y unicidad. Posteriormente estudiaremos el espacio de soluciones de la ecuación lineal homogénea, viendo que todo depende del conocimiento de dos soluciones linealmente independientes, para lo cual será de gran utilidad el concepto de wronskiano. Después veremos cómo podemos resolver una ecuación homogénea cuando sólo se conoce una solución que no se anula. Las dos siguientes secciones estarán dedicadas a las resoluciones de las ecuaciones homogéneas de coeficientes constantes y de Euler. Visto esto, 2 Véanse [9, capítulo 5], [, pág. 8] y [0, capítulo 6].

4 72 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden abordaremos el estudio de las ecuaciones lineales no homogéneas, viendo que su resolución sólo depende de la resolución de la homogénea asociada y del conocimiento de una solución particular. Después desarrollaremos dos métodos para determinar una solución particular de la no homogénea: el método de variación de los parámetros, que es un método general, y el método de los coeficientes indeterminados, que no es general pero presenta mayor simplicidad de cálculos. 8.2 Teorema de existencia y unicidad global En el tema anterior vimos un teorema de existencia y unicidad global para EDOs de 2 o orden, concretamente el teorema 7., del cual vamos a hacer uso ahora para obtener inmediatamente un teorema de existencia y unicidad global para EDOs lineales de 2 o orden. Obsérvese que la ecuación lineal (8.) se puede escribir como x (t) =f(t, x(t),x (t)), donde D = I R 2 (banda vertical) y f : D R viene definida por f(t, x, y) =a(t)y + b(t)x + c(t). Al ser a, b y c continuas en I, la función f es continua en D y, por otra parte, f satisface una condición de Lipschitzs generalizada en D respecto de la segunda y la tercera variable pues f(t,,y) f(t, y) = b(t) para cada (t,,y), (t,,y) D f(t, x, y ) f(t, x, y 2 ) = a(t) y y 2 para cada (t, x, y ), (t, x, y 2 ) D. En consecuencia tenemos el siguiente teorema de existencia y unicidad para ecuaciones lineales: Teorema 8. (Teorema de existencia y unicidad global). Si las funciones a, b y c son continuas en el intervalo I, t 0 I y α, β R, el problema de valores iniciales x (t) =a(t)x (t)+b(t)x(t)+c(t) (P ): x(t 0 )=α, x (t 0 )=β posee una única solución definida en el intervalo I. En el tema anterior (ejemplo 7.6) estudiamos un caso particular, concretamente el problema: x + x =0 (P ): x(t 0 )=α, x (t 0 )=β y probamos directamente que (P ) tiene una única solución definida en R, que es la función definida por x(t) =β sen(t t 0 )+α cos(t t 0 ). Se sigue del teorema de existencia y unicidad 8. el siguiente importante resultado: Corolario 8... Dada la ecuación diferencial: x (t) =a(t)x (t) +b(t)x(t) +c(t), donde las funciones a, b y c son continuas en el intervalo I, se verifica lo siguiente:. La ecuación posee infinitas soluciones definidas en I. 2. Cualquier solución x: J R de la ecuación diferencial, donde J I, se puede extender a una solución definida en todo I. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

5 8.2. Teorema de existencia y unicidad global 73 Prueba. La comprobación del primer punto es inmediata pues basta tomar un punto t 0 I y considerar, para cada valor de α R el problema (P α ) correspondiente a los valores iniciales: x(t 0 )=α, x (t 0 )=α (o x (t 0 )=β siendo β cualquier otro valor). Cada uno de estos problemas y, por tanto, la ecuación, tiene una solución x α definida en I y para dos valores de α distintos las correspondientes soluciones x α son distintas. Para la segunda parte basta considerar un punto t 0 J, los valores α = x(t 0 ),β = x (t 0 ) y el problema (P ) correspondiente a los valores iniciales: x(t 0 )=α, x (t 0 )=β. Por construcción x es solución en J de este problema, el cual solo posee una solución en J. Pero al ser a, b y c continuas en I, el problema (P ) posee una única solución ˆx definida en I; obviamente la restricción de ˆx a J es solución de (P ) en J y, por la unicidad, coincidirá con x en J. De esta forma x: J R tiene una única extensión ˆx: I R que es solución del problema (P ) en I. Puesto que lo ideal es encontrar los intervalos maximales donde las soluciones puedan estar definidas, en este sentido (a la vista del resultado anterior) podemos considerar que todas las soluciones del (8.) están definidas en los intervalos maximales donde las funciones a, b y c son continuas. Así podemos afirmar que las soluciones de la ecuación x = x + tx + log t están definidas en el intervalo I = (0, ), las soluciones de x = x + tx están definidas en R y las de x = t x + sen t están definidas en I =(, 0) e I = (0, ). Resultan de interés las siguientes observaciones sobre las gráficas de las soluciones de una ecuación lineal de segundo orden. Consideremos el caso de x +x = 0. Las funciones : R R, definidas por (t) = cos t y (t) = sen t son soluciones de la ecuación diferencial. Obsérvese que sus gráficas se cortan en infinitos puntos, aunque los cortes son tranversales (no tangenciales). 5 Π 4 Π 3 Π 3 Π 2 Π Π 2 Π 2 Π 3 Π 2 3 Π 4 Π 5 Π Figura 8.3: Gráficas de las funciones seno y coseno. Esta situación no se da en general para soluciones de una EDO explícita de primer orden: x = f(t, x), debido a que, bajo condiciones muy generales sobre f, cada problema de valor inicial asociado posee una única solución en un determinado intervalo (recuérdese el teorema de existencia y unicidad local). En los casos donde esto no sucede, como, por ejemplo x =3/3, los cortes de las gráficas son tangenciales (esto se probó en general en el tema 3). En el caso de una EDO lineal de segundo orden explícita, y en otras muchas ecuaciones de segundo orden, lo usual es que las gráficas de las soluciones se corten, pues esto no contradice al teorema de existencia y unicidad 8.. Lo que no puede suceder, pues estaría en contradicción con este teorema, es que haya un corte tangencial, es decir, un punto del plano (t 0,x 0 ) y dos soluciones de (8.) tales que (t 0 )= (t 0 )=x 0 y x (t 0 )=x 2 (t 0 ). Por último, advertimos que existen otros tipos de problemas (muy importantes) relacionados con las EDOs lineales de segundo orden, que son los llamados problemas de contorno o problemas de valores en la frontera. Un caso particular de un problema de contorno es x (t) =a(t)x (t)+b(t)x(t)+c(t) x(t 0 )=α, x(t )=β

6 74 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden donde t 0 y t son dos puntos del intervalo I. Propiamente el nombre de problema de contorno tiene su origen en el caso en que el intervalo es de la forma I =[t 0,t ] pues en tal caso el contorno (frontera) del intervalo está dado por los puntos t 0 y t, donde se imponen las condiciones. En este curso no se van a estudiar este tipo de problemas, pero queremos advertir que un problema de contorno tiene, en general, un comportamiento muy distinto al de un problema de valores iniciales; puede que no tenga solución, que tenga solución única o que tenga infinitas soluciones. Ya comprobaremos esto (véase ejercicio 0) cuando sepamos resolver algún tipo de ecuación lineal de segundo orden. 8.3 La ecuación homogénea. El espacio de soluciones Por diversas razones una ecuación lineal homogénea (8.2) la escribimos, en forma abreviada, así: (8.3) x + p(t)x + q(t)x =0 y suponemos, a partir de ahora, que p, q C(I,R). Lo primero que hay que destacar es que esta ecuación tiene siempre una solución trivial, que es la función nula x: I R,t x(t) = 0, lo que no sucede con la no homogénea. Al considerar una solución de (8.3) la suponemos definida en el intervalo I ya que cualquier otra solución x: J R, donde J I, se puede extender a una solución de la ecuación definida en I. Véase que si x es solución de (8.3), entonces x C 2 (I,R), que es un espacio vectorial real infinito-dimensional con las operaciones usuales de suma de funciones x+y y producto por escalares αx (α R). La siguiente propiedad es trivial pero es muy importante. Proposición 8.. Se verifica lo siguiente: (I) Si x e y son soluciones de la ecuación homogénea (8.3), la función x+y también es solución de (8.3). (II) Si x es solución de (8.3) y α R, la función αx es solución de (8.3). Así pues el conjunto de soluciones de la ecuación homogénea es un subespacio vectorial del espacio C 2 (I,R). El objetivo principal de esta sección es probar que tal subespacio vectorial es de dimensión finita igual a dos; de esta forma si y son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea las demás soluciones son de la forma x = c + c 2 donde c Así, conociendo dos soluciones linealmente independientes se conocen todas las soluciones. En el tema 2 vimos que el conjunto de soluciones de una ecuación lineal de primer orden homogénea es un espacio vectorial de dimensión igual a. Son bien conocidos los conceptos de independencia y dependencia lineal en un espacio vectorial. Puesto que en cualquiera de los espacios de funciones que trabajemos C(I,R), C (I,R), C 2 (I,R), la función nula es el elemento nulo del espacio, para independizar estos conceptos de estos espacios optamos por dar unas definiciones totalmente coherentes con los conceptos conocidos. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

7 8.3. La ecuación homogénea. El espacio de soluciones 75 Definición 8.2. Dadas dos funciones : I R, diremos que son linealmente independientes en el intervalo I cuando sucede que si c y c 2 son dos constantes tales que c (t)+c 2 (t) = 0 para cada t I, entonces c = c 2 =0. Diremos que son linealmente dependientes en el intervalo I cuando no son linealmente independientes, es decir, cuando existen dos constantes c y c 2, no ambas nulas, tales que c (t)+c 2 (t) =0para cada t I. Al tratarse de dos funciones es muy fácil visualizar si son linealmente independientes o no. Por ejemplo, el que sean linealmente dependientes equivale a que las dos funciones sean proporcionales, es decir a que exista una constante k tal que = k o bien = k ; así pues, informalmente podemos considerar el cociente entre ambas funciones y ver si sale constante o no. En el primer caso serían linealmente dependientes y en el segundo independientes. Hay un concepto muy útil, que se usa en diversas cuestiones sobre las ecuaciones diferenciales lineales y que está muy relacionado con la independencia lineal, que es el concepto de wronskiano. 3 Definición 8.3. Dadas dos funciones : I R derivables en el intervalo I, se llama wronskiano o determinante de Wronski de las funciones y a la función W ( ): I R definida por el siguiente determinante x (8.4) W ( )(t) = (t) (t) x (t) x (t) 2 Así pues W ( )= x 2 x. En el caso de (t) = cos t, (t) = sen t se verifica que W ( )(t) = para cada t R mientras que W (, )(t) =. Para dos funciones derivables cualesquiera la relación entre la independencia lineal y el wronskiano viene dada por el siguiente resultado: Proposición 8.2. Si : I R son dos funciones derivables en el intervalo I y existe t 0 I tal que W ( )(t 0 ) 0, entonces y son linealmente independientes en I. Prueba. La prueba se reduce a algo tan básico como el hecho de que un sistema lineal algebraico homogéneo cuya matriz de coeficientes tiene un determinante no nulo, sólo posee la solución trivial. En efecto, sea t 0 I tal que W ( )(t 0 ) 0. Sean c y c 2 dos números reales tales que c (t) +c 2 (t) = 0 para cada t I. Queremos comprobar que c = c 2 =0. Derivando en la expresión anterior y considerando t = t 0 tenemos c (t 0 )+c 2 (t 0 ) = 0 c x (t 0 )+c 2 x 2 (t 0 ) = 0 lo que se puede considerar como un sistema lineal algebraico homogéneo de dos ecuaciones en las incógnitas c y c 2 cuya matriz de coeficientes es 3 Este concepto fue introducido por el matemático polaco Wronki ( ). Parece ser que esta fue su única contribución importante a las matemáticas.

8 76 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden ( ) x (t A = 0 ) (t 0 ) x (t ) 0 x (t ). 2 0 El determinante de esta matriz es W ( )(t 0 ) y, al ser no nulo, el sistema sólo posee la solución trivial c = c 2 =0. El recíproco del resultado anterior no es válido en general, como puede comprobarse con las funciones : R R definidas por (t) =t 2 y (t) =t t, que son linealmente independientes en R pero el wronskiano de ambas funciones se anula en todos los puntos. Obsérvese que son funciones de C (I,R) y son linealmente dependientes en los intervalos I =(, 0] e I = [0, ). Sin embargo, cuando dos funciones son soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea como (8.3), sí existe una especie de recíproco del resultado anterior. Proposición 8.3. Si : I R son dos soluciones de la ecuación (8.3), linealmente independientes en I, entonces W ( )(t) 0para cada t I. Prueba. La prueba se hace por reducción al absurdo, suponiendo que existe un t 0 I tal que W ( )(t 0 ) = 0 y llegando a la contradicción de que y son linealmente dependientes usando el teorema de existencia y unicidad 8.. En efecto, la condición W ( )(t 0 ) = 0 implica que el sistema lineal algebraico homogéneo de dos ecuaciones en las incógnitas c y c 2 dado por c (t 0 )+c 2 (t 0 ) = 0 c x (t 0 )+c 2 x 2 (t 0 ) = 0 posee una matriz de coeficientes con determinante nulo y, por tanto, posee solución distinta de la trivial. Sea (c ) (0, 0) una solución del sistema anterior y consideremos la función x = c + c 2, la cual es solución de la ecuación diferencial lineal homogénea como consecuencia de la proposición 8.. Entonces, la función x es solución en I del problema de valores iniciales: x + p(t)x + q(t)x =0 (P ): x(t 0 ) = 0, x (t 0 ) = 0 pero sabemos, por el teorema 8., que tal problema posee una única solución en el intervalo I y es obvio que la función nula es solución de (P ). En consecuencia c (t)+c 2 (t) = 0 para cada t R siendo (c ) (0, 0) y esto contradice que y sean linealmente independientes. De la proposiciones 8.2 y 8.3 se concluye el siguiente teorema: Teorema 8.2. Si : I R son dos soluciones de la ecuación lineal homogénea (8.3) las tres siguientes afirmaciones son equivalentes: (I) y son linealmente independientes en I. (II) W ( )(t) 0para cada t I. (III) Existe t 0 I tal que W ( )(t 0 ) 0. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

9 8.3. La ecuación homogénea. El espacio de soluciones 77 Como consecuencia inmediata del teorema anterior obtenemos el siguiente resultado: Corolario El wronskiano de dos soluciones de la ecuación lineal homogénea (8.3) o se anula en todos los puntos del intervalo I o no se anula en ninguno. En el primer caso las soluciones son linealmente dependientes en I y en el segundo son linealmente independientes. Hay una fórmula sobre el wronskiano de dos soluciones de una ecuación lineal homogénea, muy útil y que, entre otras cosas, confirma la primera parte del resultado del corolario anterior. No hay acuerdo en otorgarle la fórmula a Abel o a Liouville. Teorema 8.3 (Fórmula de Abel-Liouville sobre el wronskiano). Si : I R son dos soluciones de la ecuación lineal homogénea x + p(t)x + q(t)x =0 y t 0 I, el wronskiano de ambas soluciones verifica (8.5) W ( )(t) =W ( )(t 0 )e t t 0 p(s) ds para cada t I. Prueba. La idea de la prueba es comprobar que la función wronskiano y = W ( ): I R es solución de la ecuación diferencial lineal homogénea de primer orden y = p(t)y. Sabemos que fijada una primitiva p(t) dt de la función p en el intervalo I, las soluciones de esta ecuación son las funciones y C definidas por y C (t) =Ce p(t) dt con C R, pero, si en concreto consideramos como primitiva la dada por t t t p(s) ds, tenemos que existe una constante C tal que y(t) = 0 C exp( t t p(s) ds) para cada t I. Pero véase que necesariamente tal constante C es y(t 0 ) 0 confirmándose así la fórmula (8.5). Confirmemos ahora que y + py =0. Tenemos que y = x 2 x y = x 2 x. Por tanto, por lo que su derivada es y + py = ( x 2 2 x x 2 x )= (x 2 px ) 2 (x px ) = ( q ) ( q ) = 0. Observación: Véase que según (8.5) si el wronskiano se anula en algún punto del intervalo I, entonces se anula en todo punto, mientras que si no se anula en un punto tampoco se anula en los demás, confirmando así la primera parte del resultado del corolario Por otra parte, es consecuencia inmediata del teorema anterior lo siguiente: Corolario El wronskiano de dos soluciones de la ecuación lineal homogénea x +q(t)x =0 es constante en el intervalo I. De hecho, las ecuaciones del tipo x + q(t)x = 0 son las únicas EDOs lineales homogéneas que tienen tal propiedad (ejercicio 5). Véase que las funciones definidas por (t) = cos t y (t) = sen t son soluciones en R de la ecuación diferencial x + x = 0 y hemos comprobado anteriormente que W ( )(t) = para cada t

10 78 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Como consecuencia del teorema 8.2 y del teorema de existencia y unicidad 8. obtenemos el resultado principal de esta sección, que es el siguiente: Teorema 8.4. Dada la ecuación lineal homogénea se verifica lo siguiente: x + p(t)x + q(t)x =0, donde p, q C(I,R), (I) Existen dos soluciones de la ecuación que son linealmente independientes en I. (II) Si : I R son dos soluciones linealmente independientes de la ecuación y x: I R es otra solución, existen unas únicas constantes c R tales que x = c + c 2. Es decir, el conjunto de soluciones de la ecuación lineal homogénea es un espacio vectorial real (subespacio vectorial de C 2 (I,R)), de dimensión igual a 2. En distintos textos, a una base } del espacio de soluciones de la homogénea le llaman conjunto fundamental de soluciones y, por otra parte, dicen que x(t) =c (t) +c 2 (t) es la solución general de la ecuación diferencial homogénea. Prueba. (I) Fijemos un punto t 0 en el intervalo I y consideremos los siguientes problemas de valores iniciales: x + p(t)x + q(t)x =0 x + p(t)x + q(t)x =0 (P ): x(t 0 ) =, x (P 2 ): (t 0 )=0 x(t 0 ) = 0, x (t 0 ) = El teorema de existencia y unicidad 8. asegura que cada problema (P k ) tiene una única solución x k : I R, k=, 2. Por otra parte, el wronskiano en el punto t 0 verifica: 0 W ( )(t 0 )= 0 0 y, por tanto, las soluciones y son linealmente independientes en I. (II) Sean : I R dos soluciones linealmente independientes de la ecuación (que existen por el apartado anterior). Sea x: I R cualquier otra solución de la ecuación diferencial. Fijemos un punto t 0 en el intervalo I y consideremos los valores α = x(t 0 )yβ = x (t 0 ). De esta forma x es solución en el intervalo I del problema x + p(t)x + q(t)x =0 (P ): x(t 0 )=α, x (t 0 )=β Una vez más, aplicando el teorema 8., tenemos asegurado que (P ) tiene una única solución. Por tanto, si probamos que existen dos constantes c tales que y = c + c 2 es solución de (P ), entonces, por la unicidad, debe ser x = c + c 2 y así acabamos la prueba. Obviamente, cualesquiera que sean las constantes c y c 2, la función y es solución de la ecuación diferencial por ser combinación lineal de y. Las dos condiciones iniciales que aparecen en el problema (P ) exigen que las constantes c y c 2 deben verificar el sistema de ecuaciones c (t 0 )+c 2 (t 0 ) = α c x (t 0 )+c 2 x 2 (t 0 ) = β para que la función y sea solución de (P ). Pero observemos que el determinante de la matriz de coeficientes es W ( )(t 0 ) y resulta que W ( )(t 0 ) 0 por ser y soluciones linealmente Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

11 8.3. La ecuación homogénea. El espacio de soluciones 79 independientes. En consecuencia tal sistema posee una única solución (c ) R 2 probado el teorema. y queda así A continuación exponemos tres ejemplos de aplicación del teorema anterior. Ejemplo 8.. Soluciones de la ecuación diferencial: x + x =0. Ya hemos visto que las funciones definidas por (t) = cos t y (t) = sen t son soluciones en R de tal ecuación. Por otra parte, W ( )(t) = para cada t, por lo que son dos soluciones linealmente independientes en R y, en consecuencia, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones x: R R definidas por x(t) =c cos t + c 2 sen t donde c La respuesta de Mathematica a esta ecuación diferencial, dada así: es DSolve[x [t]+x[t] == 0,x[t],t] x[t] C[]Cos[t] +C[2]Sin[t]. Ejemplo 8.2. Soluciones de la ecuación diferencial: x + x =0. Las soluciones están definidas en R. En el tema anterior resolvimos esta ecuación reduciéndola a una EDO lineal de primer orden homogénea. No obstante, se ve que cualquier función constante sería solución de la ecuación, por ejemplo, (t) =. También se ve fácilmente que la función (t) =e t es también solución y ambas funciones son linealmente independientes pues la función / no es constante o bien, W ( )(t) = e t 0 para cada t En consecuencia, las soluciones de la ecuación diferencial vienen definidas por Con Mathematica tenemos: x(t) =c + c 2 e t donde c DSolve[x [t]+x [t] == 0,x[t],t] x[t] e t C[] + C[2]. Ejemplo 8.3. Soluciones de la ecuación diferencial: x + 2 t x 2 t 2 x =0 y solución del problema: (P ): x + 2 t x 2 t 2 x =0 x() = 0, x () = 3. Obsérvese que, a diferencia de los dos casos anteriores, las funciones (coeficientes) que acompañan a la función incógnita x y a su derivada no son constantes, pero son funciones definidas y continuas en los intervalos I = (0, ) ei =(, 0), por lo que las soluciones de la ecuación diferencial están definidas en cada uno de estos intervalos y el problema (P ) posee una única solución definida en I = (0, ).

12 80 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Cualquier solución de la ecuación diferencial es solución de la EDO lineal de segundo orden en forma implícita t 2 x +2tx 2x =0 y cualquier solución de la implícita definida en I es solución de la ecuación original. En la ecuación en forma implícita se visualiza mejor una posible solución. Dado que a la segunda derivada x le acompaña el factor (coeficiente) t 2, a la primera derivada x el factor 2t y a la incógnita x una constante, cabe la posibilidad de que exista una solución del tipo x(t) =t λ, con λ no necesariamente un número natural, podría ser entero o racional (si λ no es natural, para que en general tenga sentido la expresión t λ debe ser t>0). Para salir de dudas lo único que tenemos que hacer es derivar dos veces tal función y calcular la expresión que sale en el primer miembro de la ecuación. Resulta t 2 x (t)+2tx (t) 2x(t) = ( λ(λ ) + 2λ 2 ) t λ, por lo que deducimos que x definida por x(t) =t λ es solución en I de la ecuación diferencial si, y sólo si, se verifica λ(λ ) + 2λ 2 = 0, dando lugar a la ecuación de segundo grado λ 2 + λ 2 = 0, que por suerte tiene dos soluciones reales (en este caso números enteros) que son λ = y λ = 2. Por tanto, hemos determinado dos soluciones de la ecuación diferencial original que son las definidas por (t) =t y (t) =t 2. Ambas funciones son linealmente independientes pues x (t) =t 3 o bien, W ( )(t) = t 2 para cada t I. Por tanto, las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones definidas por x(t) =c t + c 2 t 2 donde c Comprobamos el resultado con Mathematica: DSolve [x [t]+ 2t x [t] 2t ] 2 x[t] == 0,x[t],t x[t] tc[] + C[2] t 2. Observaciones: En general, si se quiere usar el wronskiano para obtener la independencia lineal no es necesario calcular éste en cada punto de I, bastaría con elegir un punto t 0 I donde los cálculos resulten fáciles y comprobar que W ( )(t 0 ) 0. No es éste el caso, pero esto puede ser de ayuda en otros casos con expresiones de y más complejas. En nuestro caso, en la situación I = (0, ) podemos comprobar fácilmente que W ( )() = 3. De paso podemos aprovechar para comprobar la fórmula de Abel-Liouville sobre el wronskiano, que, en este caso, afirma W ( )(t) =W ( )()e t p(s) ds = 3e t 2 s ds = 3e 2 log t = 3. t 2 Una vez resuelta la ecuación diferencial, para determinar la solución del problema (P ) sólo tenemos que imponer las dos condiciones iniciales a las soluciones que hemos obtenido. Esto nos debe llevar a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: c y c 2 de solución única y basta con resolver el sistema. En efecto, las condiciones x() = 0 y x () = 3 nos conducen al sistema c + c 2 = 0 c 2c 2 = 3 cuya solución única es c = = (obsérvese que el determinante de la matriz de coeficientes del sistema anterior es el wronskiano W ( )(), que no es nulo). En definitiva, la solución del problema (P ) es la función definida por x(t) =t /t 2. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

13 8.4. Resolución de la homogénea cuando se conoce una solución 8 En el programa Mathematica se introduce el problema de valores iniciales así: [ DSolve x [t]+ 2 t x [t] 2 } ] t 2 x[t] == 0,x[]==0,x []==3,x[t],t y la respuesta es: x[t] +t3 t 2. Observación: En este ejemplo hemos pedido inicialmente las soluciones de la ecuación y después la solución de un problema de Cauchy. Si directamente nos piden la solución de un problema de Cauchy, lo recomendable en este caso, salvo en casos excepcionales, es llevar a cabo el mismo procedimiento; es decir, determinar primero todas las soluciones de la ecuación (solución general) y, puesto que en la solución general aparecen dos constantes, después se calculan las constantes imponiendo las condiciones iniciales del problema. Un caso excepcional sería, por ejemplo, x + 2 t x 2 x =0 t 2 x() = 0, x () = 0. En este caso no habría que resolver la ecuación pues obviamente la función nula es solución y, por tanto, la solución única del problema. Esto se hace aún más patente en un caso como x tx =0 x(π) =0, x (π) =0, donde la ecuación es irresoluble (ecuación de Airy). 8.4 Resolución de una ecuación homogénea cuando se conoce una solución particular que no se anula Según lo visto en la sección anterior, si conocemos dos soluciones de la ecuación diferencial x + p(t)x + q(t)x =0, p, q C(I,R), que sean linealmente independientes en I (esto descarta a la solución nula), entonces obtenemos inmediatamente todas las soluciones. En esta sección vamos a ver que si conocemos una solución : I R tal que (t) 0 para todo t I, vamos a poder obtener otra solución linealmente independiente de y, por tanto, vamos a conseguir resolver la ecuación. Dado que y deben ser linealmente independientes en el intervalo I y en este intervalo la función no se anula, la función cociente / no puede ser constante en I y así debe ser existir una función v, no constante y dos veces derivable en I, tal que (t) =v(t) (t) para cada t I. El objetivo es efectivamente encontrar un método para determinar una tal función v de forma que = v sea solución de la ecuación diferencial. En la mayor parte de los textos aparece un método pero para mi gusto hay otro, que pasa desapercibido en muchos de ellos, que es más simple y cómodo de llevar a la práctica. Con ambos métodos se llega al mismo resultado. Damos una ligera idea del primero y vamos a desarrollar con precisión el segundo, basado en la fórmula del wronskiano. Todas estas ideas se deben al matemático francés Joseph Liouville.

14 82 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Primer método: Esquemáticamente, este consiste en suponer que efectivamente existe otra solución de la ecuación diferencial del tipo (t) =v(t) (t) con v C 2 (I,R). Llevando esta expresión a la ecuación diferencial, haciendo muchos cálculos y teniendo en cuenta que no se anula en I se llega a una EDO lineal de segundo orden homogénea en la función incógnita v, pero con la gran ventaja de que es del tipo v + α(t)v =0, la cual se puede resolver fácilmente mediante una EDO lineal de primer orden homogénea en la función incógnita y = v. Una vez obtenida la expresión de una solución no nula v se obtiene la solución = v. Segundo método: Haciendo uso de la fórmula de Abel-Liouville sobre el wronskiano Hemos visto en el teorema 8.3 (fórmula de Abel-Liouville) que si : I R son dos soluciones de la ecuación lineal de segundo orden homogénea y t 0 I, el wronskiano de ambas soluciones verifica: W ( )(t) =W ( )(t 0 )e t t p(s) ds 0 para cada t I. De hecho, lo que vimos en la prueba es que la función wronskiano es solución de la EDO lineal de primer orden homogénea y = p(t)y y, por tanto, si p(t) dt es una primitiva de p en I, entonces existe una constante K tal que W ( )(t) =Ke p(t) dt para cada t I. Las dos soluciones son linealmente independientes si, y sólo si, K 0. Por tanto, fijada una primitiva p(t) dt, si ya tenemos una solución de la ecuación y es otra solución linealmente independiente de debe existir una constante K 0 tal que x (8.6) (t) (t) x (t) x (t) = p(t) dt Ke para cada t I. 2 Por otra parte, siendo linealmente independiente de debe existir v C 2 (I,R) (no constante) tal que = v. Llevando esta expresión a (8.6) se tiene que v debe verificar: (t) x (t) v(t) (t) v (t) (t)+v(t)x (t) donde K 0 y, desarrollando el determinante, se obtiene: v (t) (t) =Ke p(t) dt = p(t) dt Ke para cada t I, para cada t I. Teniendo en cuenta que (t) 0 para todo t I, se obtiene la función v así: (8.7) v(t) =K p(t) dt dt, (t)e y, en definitiva, la solución buscada debe ser : I R definida por (t) =K (t) p(t) dt dt. (t)e De la forma que hemos obtenido, está asegurado que y son linealmente independientes (obsérvese que v no es constante en I pues su derivada no se anula). Puesto que K 0 y si es solución de la homogénea también lo es k, podemos considerar K = y, de esta forma, obtenemos el siguiente resultado: Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

15 8.4. Resolución de la homogénea cuando se conoce una solución 83 Teorema 8.5. Si : I R es una solución de la ecuación lineal homogénea de segundo orden x + p(t)x + q(t)x =0, p, q C(I,R), y (t) 0para todo t I, entonces otra solución, linealmente independiente de en el intervalo I, es la definida por (8.8) (t) = (t) p(t) dt dt. (t)e Observaciones:. Para ser más preciso, en la expresión de v obtenida en (8.7), habría que escribir v(t) =K p(t) dt dt + C, siendo C R, (t)e ya que dada una primitiva de la función e p, al ser también v primitiva de esta función, la diferencia entre ambas puede ser una constante. Así obtendríamos la siguiente expresión de la solución (t) =K (t) p(t) dt dt + Cx (t)e (t), pero véase que C es solución de la homogénea y, puesto que la diferencia de dos soluciones de la homogénea también es solución, se obtendría finalmente una expresión como la dada en (8.8) para obtener otra solución de la ecuación. 2. La expresión de depende de las primitivas que se usen en la fórmula (8.8), que engloba concretamente dos primitivas. Teniendo en cuenta que en un intervalo dos primitivas de una función se diferencian en una constante, obtenida una solución mediante (8.8), el cambio de primitivas nos podría llevar a otra solución x tal que 2 x = Kx + Cx con K 0 y 2 2 C Teniendo en cuenta que C es solución de la homogénea, podemos afirmar que la elección de primitivas, aunque puede influir en la expresión de la solución particular que se obtiene, no afectaría a la hora de dar la expresión de la solución general de la ecuación, que es el objetivo final de todo esto. Muchas ecuaciones importantes son del tipo x + q(t)x =0. En este caso la fórmula (8.8) queda así de simple (8.9) (t) = (t) dt. (t) En la práctica podemos hacer uso de la fórmula (8.8) pero podemos prescindir de ella (y esto es lo más aconsejable) sin más que recordar la fórmula de Liouville sobre el wronskiano y siguiendo los pasos dados en la prueba. Es decir, el procedimiento a seguir es el siguiente:. Escribir la fórmula del wronskiano (8.6) con constante K = y tomando cualquier primitiva de la función p, es decir: W ( )(t) =e p(t) dt. 2. Tener en cuenta que la solución buscada es de la forma = v. Llevar esta expresión a la fórmula del wronskiano y desarrollando el determinante se halla v mediante un cálculo de primitiva.

16 84 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Ejemplo 8.4. Soluciones de la ecuación diferencial: x t x + t 2 x =0. Las soluciones de la ecuación son válidas en los intervalos I =(, 0) e I = (0, ). Observemos que esta ecuación es muy parecida a la que vimos en el ejemplo (8.3) de la sección anterior, que al escribirla en forma implícita nos sugiere la posibilidad de una solución del tipo x(t) =t λ. En este caso, escrita en forma implícita, la ecuación queda así: t 2 x tx + x = 0 y vemos que x definida por x(t) =t λ es solución en I si, y sólo si, se verifica λ(λ ) λ + = 0, es decir, λ 2 2λ + = 0, cuya única solución real es λ =. De esta forma obtenemos la solución definida por (t) =t, que no se anula en I. Ahora podemos obtener una segunda solución linealmente independiente mediante el método anterior. Usando la fórmula (8.8) obtenemos: (t) =t t e t 2 t dt dt = t dt. t 2 En el caso I = (0, ) resulta (t) =t log t y en el caso I =(, 0) queda (t) = t log( t). En cualquier caso podemos elegir como solución la definida por (t) =t log t. De esta forma las soluciones de la ecuación diferencial son las funciones de la forma x(t) =t ( c + c 2 log t ) c Comprobación con Mathematica: DSolve [x [t] t x [t]+ t ] 2 x[t] == 0,x[t],t x[t] tc[] + tc[2]log[t]. Veamos ahora la forma de proceder sin usar la fórmula (8.8). Por comodidad vamos a trabajar en el intervalo I = (0, ) y, de forma análoga se haría en el caso I =(, 0). Usamos la fórmula del wronskiano: W ( )(t) =e p(t) dt (con K = ) que en nuestro caso queda así: (t) (t) x (t) x (t) = t. 2 Buscamos una solución, linealmente independiente de, que es de la forma = v. Llevando esta expresión al wronskiano obtenemos: t tv(t) W ( )(t) = v(t)+tv (t) = t2 v (t) y, así, la función v la obtenemos inmediatamente de la expresión t 2 v (t) =t y resulta v(t) = log t. En definitiva, la solución obtenida es (t) =t log t tal como habíamos obtenido directamente con la fórmula (8.8). Si nos hubieran pedido desde un principio la solución x: (0, ) R del problema (P ): x t x + t 2 x =0 x() =, x () = 3 Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

17 8.5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 85 hubiéramos resuelto la ecuación diferencial, tal como hemos procedido anteriormente, obteniendo la familia de soluciones x(t) =t ( c + c 2 log t ) y ahora calculamos las constantes c y c 2 imponiendo las condiciones iniciales. En esta caso tales condiciones nos llevan a que c = y c + c 2 = 3 y, por tanto, c = y c 2 = 2. Así la solución del problema (P ) es la función definida por x(t) =t ( + 2 log t ). Comprobación con Mathematica: [ DSolve x [t] t x [t]+ } ] t 2 x[t] == 0,x[] ==,x []==3,x[t],t x[t] >t+2tlog[t]. 8.5 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes Estas son las ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden donde las funciones p y q son constantes, es decir ecuaciones del tipo: (8.0) x + px + qx= 0 donde p, q Las soluciones de estas ecuaciones están definidas en R. Se trata de una importante clase de ecuaciones, que tienen la gran ventaja de que se saben resolver. Obviamente el objetivo es obtener dos soluciones linealmente independientes en R. Las ideas que vamos a exponer se deben al gran matemático L. Euler ( ). En este caso, dada la forma de la ecuación, donde p y q son constantes, no cabe esperar que existan soluciones del tipo x(t) =t λ como ha sucedido con otras ecuaciones de coeficientes no constantes que hemos visto en secciones anteriores. Si ponemos como referencia el caso de la ecuación lineal homogénea de primer orden x +px = 0, con p constante, sabemos que las soluciones de ésta vienen dadas por funciones exponenciales; concretamente son de la forma x(t) =Ce λt con C R, donde λ = p. Dada la forma de (8.0) cabe la posibilidad de que existan soluciones del tipo x(t) =e λt con λ Comprobamos de una forma inmediata que x(t) =e λt es solución de (8.0) si, y sólo si, λ es solución de la ecuación de segundo grado (8.) λ 2 + pλ + q =0 o, dicho de otra forma, si λ es raíz del polinomio λ 2 + pλ + q. La ecuación (8.) recibe el nombre de ecuación característica o auxiliar de la ecuación diferencial (8.0) (también podríamos decir que λ 2 + pλ + q es el polinomio característico de la ecuación diferencial). Sabemos que una ecuación como la anterior no tiene porqué tener soluciones reales. De hecho, hay que considerar tres posibles situaciones: dos soluciones reales distintas, una única solución real o dos soluciones complejas, según si el discriminante p 2 4q es positivo, nulo o negativo. Evidentemente el caso más satisfactorio es el primero pues vamos a obtener dos soluciones de tipo exponencial linealmente independientes. En el segundo caso sólo obtendremos una solución de tipo exponencial y habrá que encontrar otra linealmente independiente con ésta haciendo uso de lo visto en la sección anterior. El caso menos satisfactorio es el tercero, en el que tendremos que trabajar más para determinar dos soluciones independientes.

18 86 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden Caso I: La ecuación característica (8.) tiene dos soluciones reales: λ y λ 2. En este caso las funciones definidas por (t) =e λ t y (t) =e λ 2 t son soluciones de la ecuación diferencial (8.0) y obviamente son linealmente independientes en R. Obsérvese que el wonskiano W ( )(t) = (λ 2 λ )e (λ +λ 2 )t no se anula en R. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial (8.0) viene dado por las funciones x: R R definidas por (8.2) x(t) =c e λ t + c 2 e λ 2 t donde c Ejemplo 8.5. Resolución de la ecuación diferencial: x x =0. Ecuación característica asociada: λ 2 = 0, cuyas soluciones son λ = y λ 2 =. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial están dadas por las funciones definidas por x(t) =c e t + c 2 e t, c Comprobación con Mathematica: DSolve[x [t] x[t] == 0,x[t],t] x[t] e t C[] + e t C[2]. Véase la diferencia existente con la ecuación x +x = 0, ya vista en la sección 8.3, cuyas soluciones son de la forma x(t) =c cos t+c 2 sen t, pero obsérvese que, aunque la diferencia sólo está en un signo, resulta que la ecuación característica de esta última, λ 2 + = 0, no posee soluciones reales. Ejemplo 8.6. Soluciones de la ecuación diferencial: x 3x +2x =0. Ecuación característica asociada: λ 2 3λ + 2 = 0 cuyas soluciones son λ = y λ 2 =2. Por tanto la solución general de la ecuación diferencial viene dada por x(t) =c e t + c 2 e 2t, c Comprobación con Mathematica: DSolve[x [t] 3x [t]+2x[t] == 0,x[t],t] x[t] e t C[] + e 2t C[2]. Ejemplo 8.7. Solución x: R R del problema de valores iniciales: x +4x 2x =0 (P ): x(0) =, x (0) = 2. Ecuación característica asociada: λ 2 +4λ 2 = 0, cuyas soluciones son λ = 2 + 6y λ 2 = 2 6. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por x(t) =c e ( 2+ 6)t + c 2 e (2+ 6)t, c Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga

19 8.5. Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 87 Ahora determinamos las constantes c y c 2 (de forma única) imponiendo las condiciones iniciales x(0) =, x (0) = 2 lo que da lugar a un sistema compatible determinado cuya solución es c = y c = y así la solución del problema (P ) es la dada por x(t) = Comprobación con Mathematica: ( ) e ( 2+ 6)t + ( ) e (2+ 6)t. DSolve[x [t]+4x [t] 2x[t] == 0,x[0] ==,x [0] == 2},x[t],t] x[t] ( 3e ( 2 6)t 2 6e ( 2 6)t +3e ( 2+ 6)t +2 6e ( 2+ 6)t. 6 Caso II: La ecuación característica (8.) tiene una solución real doble: λ. Esto sucede cuando p 2 4q = 0 y, en este caso, λ = p 2. Por tanto sólo tenemos una solución (salvo constantes) de tipo exponencial, que es la dada por (t) =e λt siendo λ = p 2. Necesitamos encontrar otra solución de la ecuación diferencial (8.0) linealmente independiente de en el intervalo R. Como (t) 0 para cada t R, podemos hacer uso del teorema 8.5 y así la fórmula (8.8) nos da la expresión de otra solución linealmente independiente. En este caso, tenemos (t) = (t) p(t) dt dt = e λt e 2λt e pt dt = e λt e (2λ+p)t dt = te λt. (t)e En definitiva, las funciones (t) =e λt y (t) =te λt son soluciones en R, linealmente independientes, de la ecuación diferencial. Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuación diferencial (8.0) viene dado por las funciones definidas por (8.3) x(t) = (c + c 2 t)e λt donde c Ejemplo 8.8. Soluciones de la ecuación diferencial: x 2x + x =0. Ecuación característica asociada: λ 2 2λ + = 0. El discriminante es nulo y sólo tenemos la solución real doble λ =. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por Comprobación con Mathematica: x(t) = (c + c 2 t)e t donde c DSolve[x [t] 2x [t]+x[t] == 0,x[t],t] x[t] e t C[] + e t tc[2]. Ejemplo 8.9. Solución x: R R del problema de valores iniciales: x +4x +4x =0 (P ): x(0) =, x (0) = 3.

20 88 Ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden La ecuación característica asociada es λ 2 +4λ + 4 = 0, es decir (λ + 2) 2 = 0 y sólo tenemos la solución real doble λ = 2. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial vienen dadas por x(t) = (c + c 2 t)e 2t, c Ahora determinamos las constantes c y c 2 imponiendo las condiciones iniciales x(0) =, x (0) = 3. La primera condición da directamente c = y de la segunda se obtiene c 2 2c = 3 y, por tanto, c 2 =5. Así la solución del problema (P ) es la dada por x(t) = ( + 5t)e 2t. Comprobación con Mathematica: DSolve[x [t]+4x [t]+4x[t] == 0,x[0] ==,x [0] == 3},x[t],t] x[t] e 2t ( + 5t) Caso III: La ecuación característica (8.) tiene dos soluciones complejas. Esto sucede cuando p 2 4q <0 y, en este caso, las soluciones complejas vienen dadas por λ = p±i 4q p 2 2, donde i es el número complejo tal que i 2 =. Es decir tenemos λ = α + iβ y λ 2 = α iβ donde α = p 2, β = 2 4q p 2. Obsérvese que λ y λ 2 son números complejos conjugados. Una pista: En el caso conocido x + x =0 la ecuación característica es λ 2 + = 0 cuyas soluciones son complejas, concretamente, λ = i y λ 2 = i. En este caso α = 0 y β = y recuérdese que las funciones dadas por (t) = cos t y (t) = sen t constituyen una base del espacio de soluciones. Véase que las expresiones de estas dos soluciones podemos escribirlas así: (t) =e αt cos βt y (t) =e αt sen βt. La idea es generalizar esta situación, es decir, probar que en el caso establecido vamos a tener dos soluciones linealmente independientes del tipo anterior. En general, siendo λ C solución de la ecuación característica, estaríamos tentados de afirmar que z(t) =e λt es solución de la ecuación diferencial (8.0), pero esto, en principio, no tiene sentido si antes no definimos ciertos conceptos. Vamos a proceder de la siguiente forma:. Vamos a darle sentido a e λt cuando λ C y t 2. Vamos a considerar soluciones con valores complejos z : R C de la ecuación diferencial (8.0). 3. Vamos a comprobar que cuando λ C es solución de la ecuación característica, la función z : R C definida por z(t) =e λt, es solución de la ecuación diferencial. 4. A partir del punto anterior obtendremos dos soluciones : R R, : R R de la ecuación diferencial que son linealmente independientes (cuyas expresiones van a ser como las del caso citado x + x = 0)..- Se intenta definir e λt cuando λ C de manera que sea una generalización del caso e λt cuando λ R y que posea propiedades análogas. Existe una fórmula (identidad) fundamental del álgebra elemental de los números complejos, conocida como fórmula de Euler, que afirma que cuando θ es un número real, entonces e iθ = cos θ + i sen θ. Apuntes de Ecuaciones Diferenciales I Prof. Diego Gallardo Gómez Universidad de Málaga