Restricción de representaciones de cuadrado integrable

Transcripción

1 Restricción de reresentaciones de cuadrado integrable Sebastián Ricardo Simondi Presentado ante la Facultad de Matemática, Astronomía y Física como arte de los requerimientos ara la obtención de grado de Doctor en Matemática de la Universidad Nacional de Córdoba. Marzo de 2007 c Fa.M.A.F.-U.N.C. Director de Tesis: Jorge Antonio Vargas 1

2 2 TABLA DE CONTENIDOS Caítulo 1. Introducción 3 Notación y Definiciones 5 Criterio de Admisibilidad de Kobayashi 5 Subálgebras Parabólicas 6 (g, K) módulos 7 Módulos A q (λ) 7 Restricción de reresentaciones con resecto a un ar simétrico 10 Caítulo 2. Demostración del Teorema 1 13 Caítulo 3. Demostración del Teorema 2 y la Proosición 3 17 Caítulo 4. Demostración del Teorema 3 29 Caítulo 5. Restricción al factor semisimle K ss del subgruo comacto maximal K 67 Bibliografía. 125

3 Introducción Sea G un gruo de Lie simle de tio no comacto, conexo y con centro finito. Fijemos un subgruo comacto maximal K de G. Sea π una reresentación unitaria e irreducible de G. Sea H un subgruo reductivo cerrado de G y sea Ĥ el conjunto de clases de equivalencias de reresentaciones unitarias e irreducibles de H. Por la teoría de álgebras de Von Neumann existe una medida µ en Ĥ y una alicación medible i N i de Ĥ [0, ] tal que si (π i, V i ) denota un reresentante conveniente de i Ĥ entonces π H = N i V i + N i V i dµ(i) {i: µ(i)>0} donde I = {i : µ(i) = 0}. Por definición, la restricción de la reresentación π al subgruo H es discretamente descomonible si I N iv i dµ(i) = 0 y es admisible si es discretamente descomonible y además 0 N i <, ara todo i. Sea g 0 = k 0 0 la descomosición de Cartan del álgebra de Lie de G, con k 0 el álgebra de Lie del subgruo comacto K y sea θ la involución de Cartan asociada a dicha descomosición. Sea g = g 0 R C la comlexificación del álgebra g 0 y g = k su descomosición de Cartan. Sea (G, H) un ar simétrico generalizado con H conexo, sea σ la involución de G asociada al subgruo H y sea h 0 el álgebra de Lie de H. Sin érdida de generalidad odemos suoner que σθ = θσ, or lo tanto L = (K H) es un subgruo maximal comacto de H y (K, L) es un ar simétrico. Toshiyuki Kobayashi [Ko] y H. Jakobsen, M. Vergne [JV], han obtenido criterios que aseguran cuando la restricción de una reresesentación π unitaria, irreducible y de cuadrado integrable de G a H es admisible. En base a estos criterios demostramos los siguientes resultados. I 3

4 4 INTRODUCCIÓN Teorema 1. Sea (π, V ) una reresentación de cuadrado integrable e irreducible de G. Si k es simle y k h, entonces π restricta a H no es discretamente descomonible. Si L es un subgruo maximal de K tal que el rango(l ) = rango(k) demostramos el siguiente Teorema 2. Si (π, V ) es una reresentación de cuadrado integrable e irreducible de G y K es simle, entonces π restricta a L no es admisible. Por otra arte si el subgruo comacto maximal K de G no es simle, ara cada ar simétrico generalizado (G, H) tal que rango(h) = rango(k), caracterizamos las reresentaciones (π, V ) unitarias, irreducible y de cuadrado integrable de G tales que π restricta a H no es admisible. Para ello clasificamos los ares simétricos generalizados (G, H) en tres tios, Tio I, II y III, (ver Tabla 3) y robamos el siguiente Teorema 3. (i) Si (G, H) es un ar simétrico generalizado de Tio I, entonces las únicas reresentaciones de cuadrado integrable e irreducible de G que admiten restricción admisible a H son las asociadas al sistema de raíces ositivas holomorfo y al antiholomorfo. (ii) Si (G, H) es un ar simétrico generalizado de Tio II entonces ninguna reresentación de cuadrado integrable e irreducible de G admite restricción admisible a H. (iii) Si (G, H) es un ar simétrico generalizado de Tio III entonces existe una familia de reresentaciones de cuadrado integrable de G que admite restricción admisible a H. Dicha familia de reresentaciones esta asociada a un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que no es holomorfo ni antiholomorfo. Además ara cada ar simétrico Hermitiano simle (G, K), determinamos condiciones suficientes sobre los conjuntos de raíces ositivas de g, de modo que las reresentaciones de cuadrado integrable e irreducibles de G asociadas a dichos sistemas de raíces no admitan restricción admisible al factor semisimle K ss de K. Para ello en cada caso establecimos subconjuntos de raíces no comactas I e Ĩ, que se detallan en la Tabla 4, y demostramos el siguiente Teorema 4. Las reresentaciones de cuadrado integrable e irreducibles de G asociadas a un sistema de raíces ositivas de g que contiene al conjunto de raíces no comactas I o al conjunto de raíces no comactas Ĩ no admiten restricción admisible al factor semisimle K ss de K.

5 Notación y Preliminares 1. Notación y Definiciones 1.1. Sea G un gruo de Lie simle de tio no comacto, conexo y con centro finito y sea K un subgruo comacto maximal de G. Sea (G, H) un ar simétrico generalizado con H conexo, sea σ la involución de G asociada al subgruo H y sea h 0 el álgebra de Lie de H. Sin érdida de generalidad odemos suoner que σθ = θσ, or lo tanto L = (K H) es un subgruo maximal comacto de H y (K, L) es un ar simétrico. De ahora en más denotamos el álgebra de Lie de un gruo de Lie con la misma letra que este en minúscula y germana, con el subíndice cero si es real y a su comlexificación sin subíndice. Sea B un toro maximal de L, y sea Φ(l, b) el conjunto de raíces asociado al ar (l, b). Definimos T como el centralizador de B en K, or ser (K, L) un ar simétrico, t es una subálgebra de Cartan de k. Suongamos que (1) rango(g) = rango(k), or lo tanto, t también es una subálgebra de Cartan de g. Si Φ(g, t) denota el sistema de raíces de g con resecto a t y Φ(k, t) denota el sistema de raíces de k con resecto a t tenemos que Φ(k, t) Φ(g, t). Decimos que una raíz α Φ(g, t) es comacta si el esacio raíz g α corresondiente a α está contenido en k, y decimos que la raíz es no comacta si el esacio raíz g α corresondiente a α está contenido en. Al conjunto de raíces comactas los denotaremos Φ c (g, t) y al conjunto de raíces no comactas Φ n (g, t). Sea = (k, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) que mantendremos fijo sujeto a condiciones que se destacarán. Se elige un subconjunto de raíces no comactas Ψ n de modo que Ψ = Ψ(g, t) := Ψ n es un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t). La elección del subconjunto Ψ n no es única, hay exactamente W G, osibles elecciones, donde W W K G es el cardinal del gruo de Weyl de g y W K es el cardinal del gruo de Weyl de k. Dos raíces α, β ortogonales de un sistema de raíces abstracto Φ se dicen fuertemente ortogonales si son no roorcionales, y además α ± β / Φ. Sea S un subconjunto de un esacio vectorial, denotamos or S el subesacio lineal generado or S. 5

6 6 NOTACIÓN Y PRELIMINARES 2. Criterio de Admisibilidad de Kobayashi En esta sección resentamos un resumen de las nociones rinciales necesarias ara enunciar el criterio de admisibilidad de Kobayashi [Ko] utilizado ara demostrar los resultados enunciados en la Introducción Subálgebras Parabólicas. Sea t una subálgebra de Cartan de g, sea Φ(g, t) el sistema de raíces asociado al ar (g, t) y sea Ψ(g, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t). Una subálgebra de Borel de g es una subálgebra (2) (3) b = t n, n = α Ψ(g,t) donde Cualquier subálgebra q de g que contiene una subálgebra de Borel se la denomina Subálgebra Parabólica de g. Como b q y los subesacios raíces son unidimensionales, q es necesariamente de la forma donde el subconjunto de raíces Γ satisface (4) (5) g α q = t α Γ g α, Ψ(g, t) Γ Φ(g, t). Sea Γ el conjunto de los negativos de los elementos de Γ; definimos entonces (6) l := t u := α Γ Γ α Γ, α/ Γ q = l u. En esta descomosición de q, l es el factor de Levi y u el radical nilotente. Definimos el subconjunto de raíces y sea g α g α, (u) := {α Γ : α Γ} δ(u) := 1 2 α (u) Si B es la forma de Killing de g, sea W δ(u) t el elemento tal que α. δ(u)(w ) = B(W, W δ(u) ) ara todo W t. Una demostración del siguiente hecho se encuentra en [Kna].

7 2. CRITERIO DE ADMISIBILIDAD DE KOBAYASHI 7 Proosición 1. Sea q = l u una subálgebra arabólica que contiene a b. Entonces el elemento W := W δ(u) de t tiene la roiedad que todas las raíces toman valores reales en W. Además u es la suma de los autoesacios de ad(w ) corresondientes a los autovalores ositivos, l = Z g (W ) es el autoesacio de ad(w ) corresondiente al autovalor nulo (g, K) módulos. Definición 2. (Leowsky) Un (g, K)-módulo es un ar (π, V ) con V un esacio vectorial comlejo y π una alicación π : g K End(V ) que satisface: (a) π g es una reresentación de álgebra de Lie y π K es una reresentación de gruo. (b) π(k)π(x)v = π(ad(k)x)π(k)v ara todo v V, k K, X g. (c) Si v V entonces dim( π(k)v C ) es finita. (d) Si Y k y v V entonces d dt t=0 π(ex(ty ))v = π(y )v. Denotamos or C(g, K) a la categoría de los (g, K)-módulos. Si V, W C(g, K) denotamos or Hom g,k (V, W ) al esacio de todos los g-homomorfismos que además son K-homomorfismo de V en W Los módulos A q (λ). Sea M un subgruo cerrado de K. Si V es un (g, M)-módulo, sea (7) (8) definida or: C j (g, M, V ) := Hom M (Λ j (g/m); V ), d : C j (g, M, V ) C j+1 (g, M, V ) y (8.1) dβ(x 0,..., X j ) := j ( 1) k X 0 β(x 0,..., X k,..., X j ) k=0 + r<s( 1) r+s β([x r, X s ],..., X r,..., X s,..., X j ), ara β C j (g, M, V ) y X k g/m, 1 k j. Denotemos or (9) a la cohomología de este comlejo. H j (g, M, V ) := ker(d : Cj (g, M, V ) C j+1 (g, M, V )) Im(d : C j 1 (g, M, V ) C j (g, M, V ))

8 8 NOTACIÓN Y PRELIMINARES Sean U, V C(g, M) y suongamos que T Hom g,m (U, V ), entonces T induce a una alicación lineal T : C j (g, M, U) C j (g, M, V ) definida or T (β) := T β. De (8.1) se deduce que d T = T d. Por lo tanto T induce una alicación lineal (10) H j [T ] : H j (g, M, U) H j (g, M, V ). Sea K un subgruo comacto maximal de G, y sea H(K) : = {f C (K) : dim C L K f < } = {f C (K) : dim C R K f < } donde L k f(x) = f(k 1 x) y R k f(x) = f(xk), ara k, x K, son las traslaciones a izquierda y a derecha resectivamente, las cuales le dan al conjunto H(K) dos estructuras diferente de K-módulo. Sea V es un esacio vectorial comlejo, denotemos C (K; V ) := {f : K V : f(k) C W, dim(w ) < y f : K W suave}. En C (K; V ), K también actúa mediante las acciones, L k y R k definidas anteriormente. Sea H(K, V ) el subconjunto de C (K; V ) definido or H(K, V ) := {f C (K; V ) : dim C ( L K f ) < y dim C ( R K f ) < }. Sea (π, V ) C(k, M), ara v V y f H(K) definimos L V : V H(K) H(K; V ), dada or L V (v f)(k) = f(k)π(k 1 )v. Podemos ensar a V H(K) como (k, M)-módulo mediante la acción (π L) definida or (π L)(m)(v f) := π(m)v L m f, m M, (π L)(X)(v f) := π(x)v f + v L X f, X k. La alicación (I R X ) : V H(K) V H(K) conmuta con la estructura de (k, M)-módulo dada or (π L). Por lo tanto (I R X ) induce una alicación H i [I R X ] : H i (k, M, V H(K)) H i (k, M, V H(K)). La alicación X H i [I R X ], es una reresentación de k en H i (k, M, V H(K)). Por lo tanto (H i [I R ], H i (k, M, V H(K))) es un K-módulo.

9 2. CRITERIO DE ADMISIBILIDAD DE KOBAYASHI 9 Suongamos ahora que (π V, V ) es un (g, M)-módulo, a través de esta estructura definimos la siguiente estructura de g-módulo en C i (g, M, V H(K)) (X w)(z)(k) := π V (Ad(k)X)(w(z)(k)), donde X g, w Hom M (Λ i (k/m), V H(K)), z Λ i (k/m) y k K. El siguiente resultado se uede encontrar en [Wall] Teorema 5 (Duflo - Vergne). Lo cual imlica que en la cohomología X β = (I R X )(β) + dϕ β [X β] = H i [I R X ]([β]). Por lo tanto (H i [I R], H i (k, M, V H(K))) es un (g, K)-módulo Dada (τ, V ) una reresentación de l, odemos construir un g módulo de la siguiente manera: Extendemos la reresentación τ a una reresentación de q en V, haciendo actuar a τ trivialmente en u; es decir τ(x + Y )v = τ(x)v, X l, Y u. Pensamos a U(g) C V como g-módulo con la siguiente estructura sea A el g-submódulo dado or X(D v) = XD v, X g, D U(g), v V, (11) Definimos A := {DY v D τ(y )v, D U(g), v V, Y q} C. U(g) U(q) V := U(g) C V/A, como A es un g-submódulo, U(g) U(q) V es un g-módulo con la estructura cociente. Dado (λ, V ) C(l, L K), el g-módulo U(g) U(q) V tiene una estructura de (g, L K)-módulo dada or las siguientes oeraciones: π(x)(d v) = XD v si X g, π(l)(d v) = Ad(l)D λ(l)v si l L K.

10 10 NOTACIÓN Y PRELIMINARES 2.5. Si (λ, C λ ) es una reresentación unidimensional de L, de acuerdo con la contrucción anterior, (U(g) U(q) C λ, π) es un (g, L K)-módulo, y Γ i (U(g) U(q) C λ ) := H i (k, L K, (H(K) (U(g) U(q) C λ )), es un (g, K)-módulo. Si S = dim C (u k) y n S or Corolario de [K-V] Γ n (U(g) U(q) C λ ) = 0 y si n = S definimos (12) A q (λ) := Γ S (U(g) U(q) C λ ). Tomemos una subálgebra de Cartan h c l. Entonces h c contiene el centro z de l y t c := h c k es una subálgebra de Cartan de k. A q (λ) tiene carácter Z(g) infinitesimal γ := λ + ρ (h c ) en la arametrización de Harish Chandra, donde ρ := ρ(u) + ρ l y ρ l es la semisuma de raíces ositivas de l. (13) Definición 3. Diremos que λ está bien clasificada (o in good range ) si Re γ, α > 0 ara toda α Φ(u C, h c C), y justamente clasificada (o in fair range ) si (14) Re γ zc, α > 0 ara toda α Φ(u C, h c C). Y diremos débilmente bien clasificada (o débilmente justamente clasificada resectivamente) si las desigualdades débiles se mantienen. Los siguientes resultados sobre el (g, K) módulo A q (λ) son imortantes, las demostraciones de ellos se encuentran en [K-V] Teorema 6. Si λ está bien clasificada, entonces el (g, K)-módulo A q (λ) es irreducible. Denotamos A q (λ) a la reresentación de G obtenida de la comletación de Hilbert de A q (λ) con resecto a la estructura re Hilbert de (12). Teorema 7. El subgruo L es comacto si y sólo si A q (λ) es una serie discreta. Más aún toda serie discreta es equivalente a A b (λ) con λ en good range y variando b en el conjunto de subconjuntos de Borel que contienen a t Restricción con resecto a un ar simétrico. Estamos en condiciones de enunciar el criterio de admisibilidad de Kobayashi de las restricciones de A q (λ) con resecto a un subgruo conexo H tal que (G, H) es un ar simétrico generalizado. Sea σ el automorfismo del gruo G asociado ar simétrico (G, H). Denotemos a la diferencial del automorfismo σ y a su comlexificación nuevamente con la letra σ. Sea (15) (16) g σ 0 := {X g 0 : σx = X}, y k σ 0 := k 0 g σ 0.

11 2. CRITERIO DE ADMISIBILIDAD DE KOBAYASHI 11 Fijemos una subálgebra de Cartan t c 0 de k tal que satisface la siguiente condición: (17) (t c ) σ 0 := t c 0 k σ 0 es un subesacio abeliano maximal de k σ 0. Fijemos sistemas de raíces ositivas comatibles (k, t c ) y Σ + (k, (t c ) σ ), de Φ(k, t c ) y Φ(k, (t c ) σ ), es decir {α (t c ) σ : α + (k, t c )} {0} Σ + (k, (t c ) σ ). Sea q una subálgebra arabólica estable or la involución de Cartan θ asociada al ar (G, K), or Proosición 1 q q W = l W u W, donde W i(t ), l W es el autoesacio de ad(w ) coresondiente al autovalor cero y u W es la suma de los autoesacios de ad(w ) corresondientes a los autovalores ositivos. Sea L := Z G (W ) G, subgruo analítico, θ-estable, con álgebra de Lie (l W ) 0 := l W g. Entonces el subgruo L K es un subgruo comacto maximal de L. Por último definamos el cono cerrado en i(t c ) dado or [Ko] R + u := n β β : n β 0. β Φ(u,t c ) Teorema 8. Criterio de Kobayashi Suongamos que (G, H) es un ar simétrico reductivo y que q = l + u es una subálgebra arabólica θ-estable definida or un elemento dominante de i(t c ). Sea C λ un carácter infinitesimal de L y A q (λ) la reresentación unitaria de G obtenida or la comletación de Hilbert de un (g, K)-módulo A q (λ). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: (i) A q (λ) H K es H K-admisible ara cualquier C λ débilmente bien clasificada. (ii) A q (λ) es discretamente descomonible como (h, H K)-módulo ara cualquier C λ débilmente bien clasificada. (iii) R + u i((t c ) σ ) = 0.

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13 Demostración del Teorema 1 y del Teorema 2. En este caítulo utilizamos el criterio de Kobayashi enunciado en el Teorema 8 ara demostrar el Teorema 1 a través de la siguiente Proosición 4. Si G y K son gruos simles y rango(l) = rango(k), entonces existe un subconjunto S [(Φ(k, t) Φ(l, t)) ] fuertemente ortogonal cuyo cardinal es rango(k/l) tal que (i){α S 0 : α } es un sistema de raíces restringidas ositivas en Φ(k, S ). (ii) R + Ψ n S 0 ara todo sistema de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contiene. Para utilizar la Proosición 4 ara demostrar el Teorema 1 necesitamos recordar nociones básicas de la transformación de Cayley. Las demostraciones de los hechos que se utilizarán se encuentran en [Kna] Suongamos que rango(l) = rango(k). Sea t 0 l 0 una subálgebra de Cartan de k 0. A artir de t 0 construimos otra subálgebra de Cartan t c 0 de k 0, invariante or σ la involución asociada al ar (G, H), de modo que (t c 0) σ := t c 0 k σ 0 es un subesacio abeliano maximal de k σ 0. Es decir una subálgebra de Cartan que satisfase (17). Denotemos la conjugación en g con resecto a g 0 or X X, dicha conjugación y la involución σ asociada a H conmutan. Como θ es una involución de Cartan de g 0, or definición B θ (X, Y ) = B(X, θy ) es una forma bilineal simétrica definida ositiva. Extendemos el roducto interno B θ a un roducto interno Hermitiano sobre g definido or B θ (Z 1, Z 2 ) = B(Z 1, θz 2 ). Para cada raíz α Φ(k, t) sea E α k α, un vector raíz no nulo. Como t l tenemos que [H, θe α ] = α(h) θe α, [H, σe α ] = α(h) σe α. Por tanto k α es θ-estable y σ-estable. Como dim(k α ) = 1 entonces k α l o k α l. Diremos que una raíz α Φ(k, t) es l comacta si k α l y l no comacta si k α l. A artir de la subálgebra de Cartan t 0 y una raíz l no comacta β construimos una subálgebra de Cartan (t 1 ) 0 tal que dim((t 1 ) 0 k σ 0 ) = 1. Sea E β k β un vector raíz no nulo, entonces E β k β. 13

14 14 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 1 Y DEL TEOREMA 2. Como B θ es un roducto interno tenemos que 0 < B θ (E β, E β ) = B(E β, θe β ) = B(E β, E β ). Entonces normalizamos el vector E β y fijamos H β it 0 de manera que [E β, E β ] = H β [H β, E β ] = 2E β, [H β, E β ] = 2E β. Cada terna {E β, E β, H β } genera una subalgebra de Lie de k, isomorfa sl(2, C) la cual es la comlexificacion de una subalgebra s β k 0, isomorfa a su(2). Notemos que el elemento ( E β E β ) es fijado or la conjugación y or lo tanto ertenece a k 0. Definimos la transformada de Cayley corresondiente a una raíz l no comacta β, como el automorfismo (18) (19) c β : g g dado or c β = Ad(ex π 4 ( E β E β )) Como consecuencia directa de la definición tenemos las siguientes roiedades: Si definimos c β = c 1 β, c β (X) = X, ara {X t C : β(x) = 0}, c β (k C ) = k C, c β ( C ) = C, ues ( E β E β ) k y además c β (H β ) = E β E β c β (E β + E β ) = E β + E β c β (E β E β ) = H β t 1 : = c β (t) entonces (t 1 ) 0 = c β (t) g 0 = ker β t0 ir(e β E β ) es una subálgebra de Cartan de k 0 cuya intersección con k σ 0 a aumentado en una dimensión con resecto a t 0. Si α, β son dos raíces fuertemente ortogonales entonces [s α, s β ] = 0, or lo tanto (20) c α c β = c β c α. Si S es un conjunto formado or raíces l-no comactas fuertemente ortogonales dos a dos, entonces (21) c S = α S c α

15 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 1 Y DEL TEOREMA esta bien definido or (20). La subálgebra de Cartan t S := c S t de k es reservada or la conjugación y además (t S0 ) + = {X k : α(x) = 0 ara toda α S} = α S ker α, (t S0 ) = α S ir(e α E α ) = i c S ( S ), lo cual imlica dim((t S ) 0 k σ 0 ) = S. Por lo tanto a artir de una subálgebra de Cartan t l de k y un conjunto S de raíces l C no comactas fuertemente ortogonales dos a dos, y de cardinal igual al rango(k/l) hemos construido una subálgebra de Cartan t c := t S tal que (t c ) σ es un subesacio abeliano maximal de k σ, es decir que satisface (17) De la lista de los ares simétricos (G, K) y los ares simétricos generalizados (G, H) tales que G y K son simles, y G y H admiten reresentaciones de cuadrado integrable y de la lista de los ares (L, K) tal que L es un subgruo maximal de K (ver lista de ares simétricos [HE] Tabla V, ágina 518), surge que rango l = rango k. Es decir si t es una subálgera de Cartan de l, bajo estas hiótesis t es una subálgebra de Cartan de k, y también de g or (1). Por lo tanto tenemos Φ(l, t) Φ(k, t) Φ(g, t). La Proosición 4 imlica que existe S (Φ(k, t) Φ(l, t)) fuertemente ortogonal cuyo cardinal es el rango(k/l), or lo tanto la subálgebra de Cartan (t c ) = t S = c β (t) es σ-invariante y además (t S ) σ C es un subesacio abeliano maximal de k σ. En esta subálgebra de Cartan odemos alicar el criterio de admisibilidad de Kobayashi (Teorema 8). Para ello fijamos (k, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) y definimos (k, t c ) := c S ( (k, t)) y Σ + (k, (t c ) σ ) := c S ({α Φ(k, t) : α S 0}). Por (i) de la Proosición 4, los sistemas de raíces (k, t c ) y Σ + (k, (t c ) σ ) son sistema de raíces comatibles de Φ(k, t c )y Φ(k, (t c ) σ ) resectivamente. Cada sistema raíces ositivas Ψ(g, t c ) de Φ(g, t c ) que contiene a (k, t c ) es de la forma c S (Ψ(g, t)), donde Ψ(g, t) es

16 16 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 1 Y DEL TEOREMA 2. un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a (k, t). Entonces or (ii) de la Proosición 4 R + u i((t c ) σ ) = R + Ψ n (g, t c ) i((t c ) σ ) = c S (R + Ψ n (g, t) S ) 0 ara todo u, esto concluye la demostración del Teorema 1 a artir de la Proosición 4.

17 Demostración del Teorema 2 y de la Proosición 4 En este Caítulo demostramos la Proosición 4 y además verificamos que la misma es válida también ara L subgruo maximal de K tal que rango(l) = rango(k). De la lista de los ares (L, K) tal que K es un subgruo comacto simle, clásico y L es un subgruo maximal de K y de igual rango, surge que el ar (L, K) es un ar simétrico, entonces or el criterio de Kobayashi, verificar que la Proosición 4 es válida en estos casos, es equivalente a demostrar el Teorema 2. Para la demostración de la Proosición 4 recurrimos a la clasificación de los ares simétricos (G, K) dada or Cartan, a la clasificación de los ares simétricos generalizados (G, H) obtenida or Berger y a la clasifición de los ares (K, L) tal que L es un subgruo maximal de K y de igual rango. Referencias de dichas clasificaciones son [HE] y [HU]. Los casos que se desrenden de estas clasificaciones son los siguientes: g k h l = k h so(2n, 1) so(2n) so(2r) so(2n 2r, 1) so(2r) so(2n 2r) f 4( 20) so(9) so(8) so(5) so(4) e 7(7) e 8(8) su(8) so(16) so(8, 1) s(2, 1) su(2) so(6, 6) sl(2, R) su(4, 4) so (12) su(2) e 6(2) R so(8, 8) so (16) e 7(7) sl(2, R) e 7( 5) su(2) Tabla 1 so(6) so(6) R s(u(4) u(4)) su(6) su(2) su(6) su(2)) R so(8) so(8) u(8) u(8) so(12) su(2) su(2) Y los ares (K, L) tal que L es un subgruo maximal de K no contemlados en los casos anteriores tal que rango(l) = rango(k) son 17

18 18 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 g k l so(2n, 1) so(2n) u(n) f 4( 20) so(9) so(7) so(2) so(6) so(3) e 7(7) su(8) su(5) su(3) su(7) su(1) Tabla 2 En cada uno de los casos que figuran en las tablas anteriores rocedemos de la siguiente manera: Determinados los sistemas de raíces Φ(l, t) Φ(k, t) Φ(g, t), y fijamos un sistema de raíces ositivas (k, t) de Φ(k, t). Por un lado construimos un subconjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t) de raíces fuertemente ortogonales dos a dos, cuyo cardinal es rango(k/l), de manera que exista un elemento v S tal que α, v 0 ara toda raíz α, lo cual equivale a la condición (i) en la Proosición 4, a saber {α S : α } es un sistema de raíces ositivas ara Φ(k, S ). Por otro lado, determinamos exlícitamente raíces no comactas de Φ(g C, t C ) que son combinaciones lineales de elementos de (k, t) con coeficientes racionales ositivos, tales que el cono cerrado generado or las mismas tenga intesección no nula con el subesacio S de it generado or S. Por Observación 4 dichas raíces no comactas ertenecen a Ψ n (g, t) ara todo sistema de raíces ositivas de Ψ(g, t) de Φ(g, t) que contiene a (k, t). Observación 5. Sea Ψ Φ(g, t) un sistema de raíces ositivas y Π = {α 1,..., α l } Ψ su sistema de raíces simles. Si β Φ(g, t) entonces β Ψ si y sólo si β = l n iα i y n i Z 0, ara todo i. Observación 6. Sean γ 1,..., γ r raíces ositivas y n 1,..., n r numeros reales ositivos, de modo que γ = r n iγ i Φ(g, t), entonces γ es una raíz ositiva. Como γ i es una raíz ositiva ara todo i entonces existen enteros m ik 0 tal que γ i = l k=1 m ikα k, como r r l l r γ = n i γ i = n i ( m ik α k ) = ( n i m ik )α k. k=1 Entonces or Teorema 2.49 del libro de [Kna] a k := ( r n im ik ) es entero ara todo k, y además todos los a k tiene el mismo signo. Como or hiótesis n j son ositivos resulta que r n im ik 0 ara todo k, entonces γ es una raíz ositiva. Comencemos a analizar cada uno de los casos. k=1

19 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 19 Caso g = so(2n, 1). Sea g = so(2n, 1), entonces k = so(2n). Los sistemas de raíces de g y k con resecto a t son Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j n } {±e i, 1 i n}, Φ(k, t) = {±e i ± e j, 1 i < j n}. resectivamente. Por lo tanto el conjunto de las raíces no comactas de Φ(g, t) es Φ n (g, t) = {±e i, 1 i n}. Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(k, t), definido or = {e i ± e j, 1 i < j n}. Si h = so(2r) so(2(n r), 1) entonces l = k h = so(2r) so(2(n r)) ara 1 r n, y su sistema de raíces con resecto a t es: Φ(l, t) = {±e i ± e j, 1 i < j r} {±e k ± e l, r + 1 k < l n}. Definimos el conjunto S de raíces fuertemente ortogonales contenido en (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e i ± e k, 1 i r, r + 1 k n} or: (i) S = {e 1 ± e n, e 2 ± e n 1,..., e r ± e n r+1 } si 2r n, y (ii) S = {e 1 ± e n, e 2 ± e n 1,..., e n r ± e r+1 } si n < 2r. En ambos casos tenemos que (22) e 1 = 1 2 (e 1 + e n ) (e 1 e n ) S. Notemos que e 1, α 0 ara toda raíz α, or lo tanto se satisface la condición (i) de la Proosición 4. Además como las raíces comactas e 1 + e n, e 1 e n, or la Observación 6, la ecuación (22) imlica que la raíz no comacta e 1 ertenece a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contiene a. Por otro lado las raíces comactas {e 1 ± e n }, or la Observación 6, la raíz no comacta e 1 Ψ ara todo sistema de raíces Ψ = Ψ(g, t) que contine a. Por lo tanto Como queríamos robar. e 1 R + Ψ n S. Si L = SU(n), entonces L es un subgruo maximal de K y del mismo rango. Además l = su(n) y su sistema de raíces con resecto a t esta dado or Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j n}.

20 20 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 or Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {(e i + e j ), 1 i < j n}, { } S = e 1 + e n, e 2 + e n 1,..., e [ 1 n] + e 2 n [ 1 2 n]+1. Notemos que el cardinal de S es [ ] n 2, además γ := e 1 + e e [ n 2 ] + e n [ n 2 ] e n 1 + e n S y γ, α 0 ara toda raíz α, or lo tanto se satisface la condición (i) de la Proosición 4. Como {e [ n 2 ] ± e n, e n [ n 2 ]+1 ± e n}, or Observación 6, las raíces no comactas e [ n 2 ] = 1 2 (e [ n 2 ] + e n) (e [ n 2 ] e n), e n [ n 2 ]+1 = 1 2 (e n [ n 2 ]+1 + e n) (e n [ n 2 ]+1 e n). ertenecen a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ(g, t) de Φ(g, t) que contiene a. Por lo tanto ( ) e [ n 2 ] + e n [ R + Ψ n 2 ]+1 n S. Caso g = f 4( 20). Si g = f 4( 20), entonces k = so(9). Los sistemas de raíces de g y k con resecto a t son Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 4} {±e i, 1 i 4} { 1 2 (±e 1 ± e 2 ± e 3 ± e 4 )}, y Φ(k, t) = {±e i ± e j 1 i < j 4} {±e i, 1 i 4}, resectivamente. Por lo tanto el conjunto de las raíces no comactas de Φ(g, t) es Φ n (g, t) = { 1 2 (±e 1 ± e 2 ± e 3 ± e 4 )}. Fijemos el sistema de raíces ositivas en Φ(k, t) definido or = {(e i ± e j ), 1 i < j 4} {e i, 1 i 4}. Si h = so(8, 1) entonces l = k h = so(8), y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 4}. Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e i, 1 i 4} or S = {e 1 }.

21 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 21 Notemos que el cardinal de S es igual al rango(k/l) y además e 1, α 0 ara toda raíz α, se decir satisface el inciso (i) de la Proosición 4. Como el conjunto {e 1 e 2, e 1 e 3, e 3 e 4, e 2 + e 4 }, or Observación 6, las raíces no comactas γ 1 = 1 2 (e 1 e 2 ) (e 3 e 4 ) = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 e 4 ), γ 2 = 1 2 (e 1 e 3 ) (e 2 + e 4 ) = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 + e 4 ) ertenecen a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ, de Φ(g, t) que contiene a. Por lo tanto e 1 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S. Si l = so(7) so(2), entonces L es un subgruo maximal de K. El sistema de raíces de l con resecto a t es Φ(l, t) = {±e i ± e j, 2 i < j 4} {±e i, 2 i 4}. or Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e 1 ± e i, 2 i 4} {e 1 }, S = {e 1 + e 4, e 1 e 4 }. Notemos que el cardinal de S es igual al rango(k/l), que e 1 = 1 2 (e 1 + e 4 ) (e 1 e 4 ) S y que e 1, α 0 ara toda raíz α, es decir se satisface la condición (i) de la Proosición 4. Como {e 1 e 2, e 1 e 3, e 2 + e 4, e 3 + e 4 } or Observación 6 las raíces no comacta γ 1 = 1 2 (e 1 e 3 ) (e 2 + e 4 ) = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 + e 4 ) γ 2 = 1 2 (e 1 e 2 ) (e 3 + e 4 ) = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 + e 4 ) ertenecen a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contienen a. Por lo tanto e 1 + e 4 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S. Como queríamos ver. Si l = so(6) so(3), entonces L es un subgruo maximal de K y el sistema de raíces de l con resecto a t esta dado or Φ(l, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 3} {±e 4 }.

22 22 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e i ± e 4, 1 i 3} {e i, 1 i 3} or S = {e 1, e 2 + e 4, e 2 e 4 } Notemos que el cardinal de S es igual al rango(k/l), que e 1 S y que e 1, α 0 ara toda α, es decir se satisface la condición (i) de la Proosición 4. Como {e 1 + e 2, e 1 + e 4, e 2 e 3, e 3 + e 4 }, or Observación 6 las raíces no comacta γ 1 = 1 2 (e 1 + e 2 ) (e 3 + e 4 ) = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 ) γ 2 = 1 2 (e 1 + e 4 ) (e 2 e 3 ) = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 + e 4 ) ertenecen a todo Ψ sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Por lo tanto e 1 + e 2 + e 4 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S. Si h = s(2, 1) su(2), entonces l = so(5) so(4), y su sistema de raíces con resecto a t es Definimos el conjunto Φ(l, t) = {±e 1 ± e 2 } {±e 3 ± e 4 } {±e i, 1 i 2}. S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e i ± e j, 1 i 2, y 3 j 4} Notemos que el cardinal de S es igual al rango(k/l), además e 1 = 1 2 (e 1 + e 4 ) (e 1 e 4 ) S {e i, 3 i 4}. y e 1, α 0, ara toda raíz α, es decir, se satisface (i) de la Proosición 4. Como {e 1 + e 4, e 2 + e 3 } or Observación 6 la raíz no comacta γ = 1 2 (e 1 + e 4 ) (e 2 + e 3 ) = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 ) ertenece a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contienen a. Por lo tanto γ R + Ψ n S como queríamos demostrar.

23 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 23 Caso g = e 7(7). Si g = e 7(7) entonces k = su(8). Los sistemas de raíces de g y l con resecto a t son Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 6} {±(e 7 e 8 )} {± (( e 7 + e 8 ) + ( 1) v i e i ), 6 v i es imar}. Φ(k, t) = {±e i e j, 1 i < j 6} {±( e 7 + e 8 )} {±α i, 1 i 12} donde α1 = 1 2 (e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 + e 8 ) α 2 = 1 2 ( e 1 + e 2 e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 + e 8 ) α 3 = 1 2 ( e 1 e 2 + e 3 e 4 e 5 e 6 e 7 + e 8 ) α 4 = 1 2 ( e 1 e 2 e 3 + e 4 e 5 e 6 e 7 + e 8 ) α 5 = 1 2 ( e 1 e 2 e 3 e 4 + e 5 e 6 e 7 + e 8 ) α 6 = 1 2 ( e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) α 7 = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + e 5 e 6 e 7 + e 8 ) α 8 = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) α 9 = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 e 4 + e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) α 10 = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 + e 4 + e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) α 11 = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) α 12 = 1 2 ( e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) Por lo tanto el conjunto de raíces no comactas de Φ(g, t) es Φ n (g, t) = {±(e i + e j )1 i < j 6} {± 1 2 (( e 7 + e 8 ) + 6 ( 1) v i e i ), v i {0, 1}, Fijemos el sistema de raíces ositivas en Φ(k, t) definido or 6 v i = 3}. = {(e i e j ), 1 i < j 5} {( e l + e 6 ), 1 l 5} {( e 7 + e 8 )} {α i, 1 i 12}. Si h = su(4, 4), o so(6, 6) sl(2, R), l = h k es isomorfa a s(u(4) u(4)), y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j 3} {±(e k e l ), 4 k < l 6} {±α i, i {1, 2, 3, 7, 8, 9}}. Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) or S = {e 1 e 4, e 2 e 5, e 3 + e 6, e 7 + e 8 }.

24 24 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 Notemos que el cardinal de S es igual que al rango(k/l), además e 7 + e 8, α 0 ara toda raíz α, osea se satisface (i) de la Proosición 4. Como S entonces or el Observación 6 la raíz no comacta γ = 1 2 (e 1 e 4 ) (e 2 e 5 ) ( e 3 + e 6 ) ( e 7 + e 8 ) = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) ertenece a todo Ψ sistema de raíces ositivas de Φ(g, t), que contiene a. Por lo tanto γ R + Ψ n S. Si h = so (12) su(2) o h = e 6 (2) R tenemos que l = s(u(6) u(2)), y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j 5} {±α i, i {1, 2, 3, 4, 5, 7}}. Definimos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) or S = { e 5 + e 6, e 7 + e 8 } Observemos que al igual que el caso anterior, e 7 + e 8, α 0 ara toda raíz α, y el cardinal de S es igual al rango(k/l). Por otra arte or Observación 6 las raíces no comactas γ 1 = 1 2 (e 1 e 2 ) (e 3 e 4 ) ( e 5 + e 6 ) ( e 7 + e 8 ) = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) γ 2 = 1 2 ( e 1 + e 6 ) (e 2 e 3 ) (e 4 e 5 ) ( e 7 + e 8 ) = 1 2 ( e 1 + e 2 e 3 + e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) ertenecen a todo Ψ sistema de raíces ositivas de Φ(g, t), que contiene a. Por lo tanto e 5 + e 6 e 7 + e 8 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S. Si l = su(5) su(3), entonces L es un subgruo maximal de K, y el sistema de raíces de l con reecto a t es Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j 4} {±(e 5 e 6 )} {±α i, i {1, 2, 3, 4, 7, 8}}. Definimos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e i e 5, 1 i 4} { e 7 + e 8 } { e i + e 6, 1 i 4} {α i, i {5, 6, 9, 10, 11, 13}},

25 or DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 25 S = {e 1 e 5, e 2 + e 6, e 7 + e 8 }. Observemos que al igual que los casos anteriores, e 7 + e 8, α 0 ara toda raíz α, y el cardinal de S es igual al rango(k/l). Por otra arte or Observación 6 las raíces no comactas γ 1 = 1 2 (e 1 e 2 ) (e 3 e 4 ) ( e 5 + e 6 ) ( e 7 + e 8 ) = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ), γ 2 = 1 2 (e 1 e 3 ) (e 4 e 5 ) ( e 2 + e 6 ) ( e 7 + e 8 ) = 1 2 (e 1 e 2 e 3 + e 4 e 5 + e 6 e 7 + e 8 ), erteneces a todo sistema de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contine a. Por lo tanto e 1 e 2 e 5 + e 6 e 7 + e 8 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S. Si l = su(7) su(1), entonces L es un subgruo maximal de K, y el sistema de raíces de l con reecto a t es Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j 6} {±α i, i {1, 2, 3, 4, 5, 6}}. Definimos el conjunto or S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = { e 7 + e 8 } {α i, i {7, 8, 9, 10, 11, 12}} S = { e 7 + e 8 } Observemos que al igual que los casos anteriores, e 7 + e 8, α 0 ara toda raíz α, y el cardinal de S es igual al rango(k/l). Como ±(e 2 + e 4 ) son raíces no comactas entonces tenemos dos osibilidades, (i) e 2 + e 4 Ψ o (ii) e 2 e 4 Ψ. (i) Si e 2 + e 4 Ψ entonces or Observación 6 la raíz no comacta γ = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 e 4 + e 5 e 6 e 7 + e 8 ) =(e 2 + e 4 ) + (e 1 e 2 ) + (e 3 e 4 ) + α 5 Ψ ara todo Ψ sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. (ii) Si e 2 e 4 Ψ entonces nuevamente or Observación 6 la raíz no comacta γ = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 e 4 + e 5 e 6 e 7 + e 8 ) =( e 2 e 4 ) + α 7 Ψ ara todo Ψ sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a.

26 26 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 Por lo tanto la raíz no comacta γ ertenece a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contienen a. Lo mismo ara las raíces no comactas γ 1 = 1 2 ( e 1 e 2 + e 3 e 4 + e 5 + e 6 e 7 + e 8 ) = γ + ( e 1 + e 6 ), γ 2 = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 + e 4 e 5 e 6 e 7 + e 8 ) = γ + (e 2 e 3 ) + (e 4 e 5 ) ertenecen a todo sistema de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contine a. Por lo tanto como queríamos robar. e 7 + e 8 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S, Caso g = e 8(8). Si g = e 8(8), entonces k = so(16), y su sitema de raíces con resecto a t son { ( 8 ) } 1 8 Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 8} ( 1) v(i) e i v(i) es ar 2 Φ(k, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 8} Entonces el conjunto de raíces no comactas de Φ(e 8(8), b) es { ( 8 ) } 1 8 Φ n (g, t) = ( 1) v(i) e i tal que v(i) es ar 2 Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) definido or = {e i ± e j, 1 i < j 8}. Si h = e 7( 5) su(2), entonces l = so(8) so(8) y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±e i ± e j, 1 i < j 4} {±e k ± e l, 5 k < l 8}. Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {±e i ± e k, 1 i 4, 5 k 8} de raíces fuertemente ortogonales dos a dos or S = {e 1 ± e 5, e 2 ± e 6, e 3 ± e 7, e 4 ± e 8 }. Notemos que el cardinal del S es igual al rango(k/l), y que e 1 = 1 2 (e 1 + e 5 ) (e 1 e 5 ) S, entonces se satisface la condición (i) de la Proosición 4 ues e 1, α 0 ara todo α.

27 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 27 Como {e 1 + e 5, e 2 + e 6, e 3 + e 7, e 4 + e 8 }, or Observación 6 la raíz no comacta γ = 1 2 (e 1 + e 5 ) (e 2 + e 6 ) (e 3 + e 7 ) (e 4 + e 8 ) = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 + e 7 + e 8 ) ertenece a todos los sistemas de raíces ositivas Ψ de Φ(g, t) que contienen a. Por lo tanto γ R + Ψ n S. Si h = so (16) o h = e 7(7) sl 2 (R), en ambos casos tenemos que l = u(8), y su sistema de raíces con resecto a t es Definamos el conjunto Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j 8}. S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {(e i + e j ), 1 i < j 8}, de raíces fuertemente ortogonales dos a dos or S = {e 1 + e 8, e 2 + e 7, e 3 + e 6, e 4 + e 5 }. Notemos que, el cardinal de S es igual al rango(k/l), además γ = 1 2 (e 1 + e 8 ) (e 2 + e 7 ) (e 3 + e 6 ) (e 4 + e 5 ) = 1 2 (e 1 + e 2 + e 3 + e 4 + e 5 + e 6 + e 7 + e 8 ) S y γ, α 0 ara toda raíz α. Como S or la Observación 6, la raíz no comacta γ ertenece a todo sistema Ψ de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Por lo tanto γ R + Ψ n S. Si h = e 7( 5) su(2) entonces l = so(12) su(2) su(2) y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±e i ± e j, 2 i < j 7} {±(e 1 + e 8 )} {±(e 1 e 8 )}. Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {e 1 ± e i, 2 i 7} {e j ± e 8, 2 j 7}, de raíces fuertemente ortogonales dos a dos or S = {e 1 ± e 7, e 6 ± e 8 }. Notemos que, el cardinal de S es igual al rango(k/l), además e 1 = 1 2 (e 1 + e 7 ) (e 1 e 7 ) S, or lo tanto se satisface la condición (i) de la Proosición 4 ues e 1, α 0 ara todo α.

28 28 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 2 Y DE LA PROPOSICIÓN 4 Como {e 1 e 2, e 2 e 3, e 3 e 4, e 4 e 5, e 1 + e 6, e 5 + e 6, e 7 + e 8 }, las raíces no comactas γ 1 = 1 2 (e 1 + e 6 ) (e 2 e 3 ) (e 4 e 5 ) (e 7 + e 8 ) y = 1 2 (e 1 + e 2 e 3 + e 4 e 5 + e 6 + e 7 + e 8 ) γ 2 = 1 2 (e 1 e 2 ) (e 3 e 4 ) (e 5 + e 6 ) (e 7 + e 8 ) = 1 2 (e 1 e 2 + e 3 e 4 + e 5 + e 6 + e 7 + e 8 ) ertenecen a todo sistema de raíces ositivos Ψ de Φ(g, t) que contiene a. Por lo tanto γ = e 1 + e 7 + e 6 + e 8 = γ 1 + γ 2 R + Ψ n S. Esto concluye la verificación de la Proosición 4.

29 Demostración del Teorema 3 Sea (G, K) un ar simétrico Hermitiano tal que el factor semisimle K ss de K es simle. Sea (G, H) un ar simétrico generalizado tal que rango(h) = rango(k). Por los resultados obtenidos en la Sección 3.2. utilizando el criterio de Kobayashi enunciado en el Teorema 8, demostrar el Teorema 3 es equivalente a demostrar la siguiente Proosición 7. Si un sistema de raíces comactas ositivas de Φ(k, t), entonces existe un subconjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) de raíces fuertemente ortogonales con cardinal rango(k/l), tal que el conjunto {α S 0 : α } es un sistema de raíces restrigida ositivas en Φ(k, S ), y además (i) Si (G, H) es un ar simétrico generalizado de Tio I entonces R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ = Ψ n es el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) holomorfo o antiholomorfo. (ii) Si (G, H) es un ar simétrico generalizado de Tio II entonces R + Ψ n S 0 ara todo sistema de raíces ositivas Ψ = Ψ n de Φ(g, t). (iii) Si (G, H) es un ar simétrico generalizado de Tio III entonces R + Ψ n S = 0 ara un único sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Además dicho sistema de raíces ositivas no es holomorfo ni antiholomorfo. La demostración de esta Proosición es desarrollada caso or caso en el resto de esta Sección, desde el Lema 1 al Lema 27. Para ello utilizamos la clasificación de los ares simétricos generalizados (G, H) establecida a continuación, en Tio I, Tio II y Tio III. 29

30 30 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 g k h TIPO su(1, ) su() R su( r, 1) su(r) I so(, 1) ar I so(2, 2) so(2) R I u(, 1) I so(2r, 1) so(2( r), 1) I so(2r, 0) so(2( r), 2) I so(2r, 2) so(2( r), 0) I s(n, R) u(n) s(, R) s(q, R) I u(, q) I so (2n) u(n) so (2) so (2(n )) I e 6(2) e 6( 14) e 7( 5) e 7( 25) e 8( 24) su(6) su(2) so(10) R so(12) su(2) e 6 so(2) e 7 su(2) u(, n ) so (10) so(2) so(6, 4) so(2) su(3, 3) sl 2 su(4, 2) su(2) su(5, 1) sl(2, R) su(4, 2) su(2) so(8, 2) so(2) so (10) so(2) e 6( 14) so(2) e 6(2) so(2) so (12) sl 2 su(6, 2) so(8, 2) su(2) su(6, 2) so (12) su(2) e 6( 14) R so(10, 2) sl 2 e 7( 24) sl 2 e 7( 5) su(2) so(4, 12) so(2) Tabla 3 caso g = su(1, ) Sea g = su(1, ) entonces k = su(1) su(), sus sistemas de raíces con resecto a t son Φ(g, t) = {±(e i e j ), 1 i < j + 1}, Φ(k, t) = {±(e i e j ), 2 i < j + 1} resectivmente. Por lo tanto el conjunto de la raíces no comactas de Φ(g, t) es Φ n (g, t) = {±(e 1 e j ), 1 j + 1}. I II III II III I I I I II II II III II I I I I II II III

31 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 31 Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) dado or = {(e i e j ), 2 i < j + 1}. Si h = su(1, r) su(r) entonces l = k h = s(u( r)+u(r)) y su sistema de raíces con resecto a t esta dado or Φ(l, t) = {±(e i e j ), 2 i < j r + 1} {±(e k e l ), r + 2 k < l + 1}. Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {(e i e k ), 2 i r + 1, r k + 1} de raíces fuertemente ortogonales dos a dos or (i) S = {(e 2 e +1 ), (e 3 e ),..., (e r+1 e r+2 )} si r r y (ii) S = {(e 2 e +1 ), (e 3 e ),..., (e r+1 e r+2 )} si r < r. Notemos que en ambos casos, ara toda α, α, e 2 e Lema 1. Sea Ψ = Ψ(g, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Entonces R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ = Ψ n con ±Ψ n = {e 1 e j, 2 j + 1}. Es decir R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ es el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) holomorfo o el antiholomorfo. Demostración: Si ±Ψ n = {e 1 e j, 2 j + 1} y α R + Ψ n entonces α, e 1 = 0 si y sólo si α = 0. Por lo tanto en ambos casos R + Ψ n S = 0. Recirocamente, si Ψ no es el sistema de raíces ositivas holomorfo o el antiholomorfo entonces las raíces no comactas (23) ( e 1 + e 2 ), (e 1 e +1 ) Ψ, ya que si (e 1 e 2 ) Ψ entonces Ψ = {e 1 e i, 2 i + 1}, ues como (e 2 e i ) Ψ ara 3 i + 1, Y si ( e 1 + e +1 ) Ψ, imlica que e 1 e i = (e 1 e 2 ) + (e 2 e i ) Ψ, 3 i + 1. ( e 1 + e i ) = ( e 1 + e +1 ) + (e i e +1 ) Ψ ara 2 i, or lo tanto Ψ = { e 1 + e i, 2 i + 1}. Por lo tanto or (23) como queríamos robar. e 2 e +1 = ( e 1 + e 2 ) + (e 1 e +1 ) R + Ψ n S,

32 32 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 Caso g = so(2, 2). Si g = so(2, 2) entonces k = so(2). Los sistemas de raíces de g, y k con resecto a t son Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j + 1}, Φ(k, t) = {±e i ± e j, 2 i < j + 1}. Entonces el conjunto de la raíces no comactas de Φ(g, t) esta dado or Φ n (g, t) = {±e 1 ± e j, 2 j + 1}. Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) definido or = {(e i ± e j ), 2 i < j + 1}. Si h = u(1, ), entonces l = u(), y su sistema de raíces con resecto a t es Definamos el conjunto Φ(l, t) = {±(e i e j ), 2 i < j + 1} S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {(e i + e j ), 2 i + 1} raíces fuertemente ortogonales dos a dos de la siguiente manera S = {(e 2 + e 3 ), (e 4 + e 5 ),..., (e 1 + e )}. Notemos que ara toda raíz α α, e 2 + e 3 0. Además el cardinal de S es igual al rango(k/l). Si Ψ un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a entonces se satisfacen las siguientes Proiedades 1. (i) Si (e 1 + e j ) Ψ entonces (e 1 + e i ) Ψ ara 2 i j. (ii) Si (e 1 e i ) Ψ entonces (e 1 e j ) Ψ ara i j + 1. (iii) Si ( e 1 e j ) Ψ entonces ( e 1 + e i ) Ψ ara 2 i + 1. (iv) Si ( e 1 e j ) Ψ entonces ( e 1 e i ) Ψ ara j i + 1. (v) Si ( e 1 + e j ) Ψ entonces ( e 1 + e i ) Ψ ara 2 i j. Pues (e i ± e j ) si i < j y (i) (e 1 + e i ) = (e 1 + e j ) + (e i e j ), si 2 i < j, (ii) (e 1 e j ) = (e 1 e i ) + (e i e j ), si i j + 1, (iii) ( e 1 + e i ) = ( e 1 e j ) + (e j + e i ) j i, (iv) ( e 1 e i ) = ( e 1 e j ) + (e j e i ) j < i, (v) ( e 1 + e i ) = ( e 1 + e j ) + (e i e j ) i < j. Lema 2. Sea Ψ = Ψ(g, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Entonces R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ = Ψ n con ±Ψ n = {e 1 ± e j, 2 j + 1}. Es decir R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ es el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) holomorfo o el antiholomorfo.

33 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 33 Demostración: Si ±Ψ n = {e 1 ± e j, 2 j + 1}, y α R + Ψ n, entonces α, e 1 = 0 si y sólo si α = 0. Por otra arte si α S, α, e 1 = 0. Por lo tanto R + Ψ n S = 0. Recirocamente, si Ψ no es el sistema holomorfo o antiholomorfo entonces ( e 1 + e 2 ) Ψ, ues si (e 1 e 2 ) Ψ or las roiedades (i) y (ii) las raíces no comactas (e 1 ± e i ) Ψ ara 2 i + 1. Como las raíces ±(e 1 +e 3 ) son no comactas tenemos dos osibilidades, (i) (e 1 +e 3 ) Ψ o (ii) e 1 e 3 Ψ. (i) Si (e 1 + e 3 ) Ψ entonces e 2 + e 3 = ( e 1 + e 2 ) + (e 1 + e 3 ) R + Ψ n S. (ii) Si e 1 e 3 Ψ or las roiedades (iii) y (iv) las raíces no comactas ( e 1 ± e i ) Ψ ara 3 i + 1. Como or hiótesis Ψ no es el sistema holomorfo o el antiholomorfo, (e 1 + e 2 ) Ψ. Por lo tanto e 2 + e 3 = (e 1 + e 2 ) + ( e 1 + e 3 ) R + Ψ n S. Si h = so(2r, 1) so(2( r), 1), entonces l = so(2r) so(2( r)) y su sistema de raíces con resecto a tes dado or Φ(l, t) = {±e i ± e j, 2 i < j r + 1} {±e k ± e l, r + 2 k < l + 1}. Fijemos el subconjunto S Φ(k/l) = {±e i ± e k, 2 i r + 1, r + 2 k n + 1, } de raíces fuertemente ortogonales dos a dos, de cardinal min(r, r) definido de la siguiente manera, si r r, y si r < r S = {(e 2 ± e +1 ), (e 3 ± e ),..., (e r+1 ± e r+2 )} S = {(e 2 ± e +1 ), (e 3 ± e ),..., (e r+1 ± e r+2 )}. Notemos que en ambos casos e 2 = 1 2 (e 2 + e n+1 ) (e 2 e n+1 ) S, y ara toda raíz α, α, e 2 0. Lema 3. Sea Ψ = Ψ(g, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Entonces R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ = Ψ n con Ψ n = ±{e 1 ± e j, 2 j + 1}. Es decir R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ es el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) holomorfo o el antiholomorfo.

34 34 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 Demostración: Si Ψ n = ±{e 1 ± e j, 2 j + 1} razonando de manera análoga al en Lema 2 odemos demostrar que R + Ψ n S = 0. Recirocamente, si Ψ contiene a y no es el sistema holomorfo o antiholomorfo entonces las raíces no comactas (24) ( e 1 + e 2 ), (e 1 + e 2 ) Ψ. Pues si (e 1 e 2 ) Ψ or las roiedades (i) y (ii) las raíces no comactas (e 1 ± e i ) Ψ ara 2 i + 1. Y si ( e 1 e 2 ) Ψ or las roiedades (iii) y (iv) las raíces no comactas ( e 1 ± e j ) Ψ ara 2 j + 1. Por (24) 2e 2 = ( e 1 + e 2 ) + (e 1 + e 2 ) R + Ψ n S. Caso g = s(n, R). Si g = s(n, R) entonces k = u(n), y sus sistemas de raíces con resecto a t son Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j n} {±2e i 1 i n}, Φ(k, t) = {±(e i e j ), 1 i < j n} resectivamente. Por lo tanto el conjunto de raíces no comactas de Φ(g, t) queda definido or Φ n (g, t) = {±(e i + e j ), 1 i < j n} {±2e i 1 i n}. Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) definido or = {(e i e j ), 1 i < j n} Si h = u(, q) con + q = n, entonces l = k h = u() u(q) y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j } {±(e k e l ), + 1 k < l n} Definamos el conjunto S (Φ(k, t) Φ(l, t)) = {(e i e l ), 1 i, + 1 l n} de raíces fuertemente ortogonales dos a dos, definido de la siguiente manera, si q y S = {e 1 e n, e 2 e n 1,..., e e q+1 } S = {e 1 e n, e 2 e n 1,..., e q e +1 } si q. Notemos que en ambos casos α, e 1 e n 0 ara toda raíz α.

35 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 35 Lema 4. Sea Ψ = Ψ(g, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Entonces R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ = Ψ n con ±Ψ n = {e i + e j, 1 i < j n} {2e i, 1 i n}. Es decir R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ es el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) holomorfo o el antiholomorfo. Demostración: Si ±Ψ n = {e i + e j, 1 i < j n} {2e i, 1 i n}, y α Ψ n entonces α, e 1 α, e n 0 y es igual a cero si y sólo si α = 0. Por otra arte si α S entonces α, e 1 α, e n 0. Por lo tanto R + Ψ n S = 0. Reciorcamente, sea Ψ un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene no holomorfo o antiholomorfo. Como ±(e 1 + e n ) son raíces no comactas tenemos dos osibilidades, (i) ( e 1 e n ) Ψ n o (ii) (e 1 + e n ) Ψ n. (i) Si ( e 1 e n ) Ψ, entonces 2e 1 Ψ, ues de lo contrario Ψ n = { e i e j, 1 i < j n} { 2e i, 1 i n} ues como (e k e l ) Ψ si k < l entonces Por lo tanto e 1 e l = (e 1 e l ) + ( 2e 1 ) Ψ, ara 2 l n, 2e l = (e 1 e l ) + ( e 1 e l ) Ψ, 2 l n y e k e l = (e k e l ) + ( 2e k ) Ψ. e 1 e n = ( e 1 e n ) + (2e 1 ) R + Ψ n S. (ii) Si e 1 + e n Ψ, entonces 2e n Ψ ues de lo contrario Ψ n = {e i + e j, 1 i < j n} {2e i, 1 i n} ues Por lo tanto e k + e n = (e k e n ) + (2e n ) Ψ, ara 1 k < n 1 y 2e k = (e k + e n ) + (e k e n ) Ψ, ara 1 k n 1. e 1 e n = (e 1 + e n ) + ( 2e 1 ) R + Ψ n S. Caso g = so (2n). Si g = so (2n) entonces k = u(n), y sus sistemas de raíces con resecto a t son Φ(g, t) = {±e i ± e j, 1 i < j n}, y Φ(k, t) = {±(e i e j ), 1 i < j n} resectivamente. Por lo tanto el conjunto de raíces no comactas de Φ(g, t) es Φ n (g, t) = {±(e i + e j ), 1 i < j n}. Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) dado or = {(e i e j ), 1 i < j n}.

36 36 DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA 3 Si h = u(, q) donde + q = n entonces l = u() u(q), y su sistema de raíces con resecto a t es Φ(l, t) = {±(e i e j ), 1 i < j } {±(e k e l ) + 1 k < l n}. El conjunto de raíces no comactas de Φ(g, t) es Φ n (g, t) = {±(e i + e j ) 1 i < j n} Fijemos el sistema de raíces ositivas de Φ(k, t) dado or Definimos el conjunto = {(e i e j ), 1 i < j n}. S (Φ(k, t) Φ(k, t)) = {(e i e l ), 1 i, + 1 l n} de raíces fuertemente ortogonales definido or de la siguiente manera si q y S = {e 1 e n, e 2 e n 1,..., e e q+1 } S = {e 1 e n, e 2 e n 1,..., e q e +1 } si q. Notemos que ara toda raíz α tenemos α, e 1 e n 0. Lema 5. Sea Ψ = Ψ(g, t) un sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) que contiene a. Entonces R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ = Ψ n con ±Ψ n = {(e i + e j ), 1 i < j n}. Es decir R + Ψ n S = 0 si y sólo si Ψ es el sistema de raíces ositivas de Φ(g, t) holomorfo o el antiholomorfo. Demostración: Si ±Ψ n = {(e i + e j ), 1 i < j n}, y α Ψ n entonces α, e 1 α, e n 0 y es igual a cero si y sólo si α = 0. Por otra arte si α S entonces α, e 1 α, e n 0. Por lo tanto R + Ψ n S = 0. Reciorcamente si Ψ no el sistema holomorfo o antiholomorfo entonces las raíces no comactas (25) (e 1 + e 2 ), ( e n 1 e n ) Ψ. De lo contrario, si ( e 1 e 2 ) Ψ, entonces e 1 e k = ( e 1 e 2 ) + (e 2 e k ) Ψ, ara 2 k n, e k e l = ( e 1 e k ) + (e 1 e l ), ara 1 k < l n. Por lo tanto Ψ n = {( e i e j ), 1 k < l n}. Y si (e n 1 + e n ) Ψ, entonces e k + e n = (e n 1 + e n ) + (e 2 e k ) Ψ, ara 3 k n, y e k + e l = (e k + e n ) + (e l e n ) Ψ ara 1 k < l n. Por lo tanto Ψ n = {(e i + e j ), 1 k < l n}.