Ajustes de modelos teóricos a datos experimentales: el método de cuadrados mínimos

Transcripción

1 Ajustes de modelos teóricos a datos experimentales: el método de cuadrados mínimos Luciano A. Masullo Laboratorio 1 (1er Cuatrimestre 2018) Departamento de Física Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Buenos Aires

2 Planteo del problema Tenemos un conjunto de mediciones {x # } #$%,,(

3 Planteo del problema Tenemos un conjunto de mediciones {x # } #$%,,( Tenemos otro conjunto de mediciones {y # } #$%,,(

4 Planteo del problema Tenemos un conjunto de mediciones {x # } #$%,,( Tenemos otro conjunto de mediciones {y # } #$%,,( Tenemos como hipótesis una relación funcional entre las mediciones x e y de la forma y = f(x). Este es nuestro modelo teórico. Por ejemplo: y = f x = mx + q es una relación lineal entre x e y y = f x = A sin ωx + φ + c es una relación no-lineal entre x e y

5 Planteo del problema Tenemos un conjunto de mediciones {x # } #$%,,( Tenemos otro conjunto de mediciones {y # } #$%,,( Tenemos como hipótesis una relación funcional entre las mediciones x e y de la forma y = f(x). Este es nuestro modelo teórico. Por ejemplo: y = f x = mx + q es una relación lineal entre x e y y = f x = A sin ωx + φ + c es una relación no-lineal entre x e y Asumiendo un cierto modelo teórico (p. ej. y = mx + q) Cómo encuentro los parámetros del modelo (p. ej. m y q) que mejor explican* mis datos experimentales? * Se dice también que mejor ajustan a y de ahí viene hablar de ajuste

6 Planteo del problema Tenemos un conjunto de mediciones {x # } #$%,,( Tenemos otro conjunto de mediciones {y # } #$%,,( Tenemos como hipótesis una relación funcional entre las mediciones x e y de la forma y = f(x). Este es nuestro modelo teórico. Por ejemplo: y = f x = mx + q es una relación lineal entre x e y y = f x = A sin ωx + φ + c es una relación no-lineal entre x e y Tiene solución analítica Tiene solución numérica Asumiendo un cierto modelo teórico (p. ej. y = mx + q) Cómo encuentro los parámetros del modelo (p. ej. m y q) que mejor explican* mis datos experimentales? * Se dice también que mejor se ajustan a y de ahí viene hablar de ajuste

7 Método de cuadrados mínimos Criterio: quiero encontrar la función f x que minimice la suma de las diferencias al cuadrado entre la predicción f x # y la medición y # Datos experimentales Hipótesis adicionales: la variable aleatoria y tiene distribucióngaussiana con valor medio f x. Además el error relativo en x es mucho menor que el error relativo en y. Cuadrados mínimos caso lineal: asumo como modelo teórico y = f x = mx + q, luego δ # f x = mx + q

8 Método de cuadrados mínimos

9 Método de cuadrados mínimos Minimización de S en función de m y q

10 Método de cuadrados mínimos Minimización de S en función de m y q

11 Método de cuadrados mínimos Minimización de S en función de m y q Encontramos los parámetros m y q que minimizan la suma cuadrática de las diferencias entre el modelo y los datos

12 Método de cuadrados mínimos De todas las posibles funciones lineales, la función f x = mx + q es la que minimiza S

13 Método de cuadrados mínimos Algunas consideraciones importantes: Es mejor un ajuste que esté contenido dentro de las barras de error de todos los puntos que uno que no? Qué relación hay entre la cantidad de puntos dentro de cuyas barras de error pasa el ajuste y el error de las mediciones? Cuántos puntos espero de cada lado de la recta? Por qué?

14 Parámetros de un MRUV por cuadrados mínimos Posición en función del tiempo Velocidad en función del tiempo Aceleración en función del tiempo

15 Parámetros de un MRUV por cuadrados mínimos Posición en función del tiempo x t = x ; + v ; (t t ; ) a(t t ;) A x((t t ; ) A ) = x ; a(t t ;) A Si v ; = 0 Velocidad en función del tiempo lineal v t = v ; + a(t t ; ) Aceleración en función del tiempo a t = a

16 Limitaciones del método y criterios Siempre es esencial evaluar críticamente el resultado de un ajuste: Es siempre el mejor modelo el que mejor se ajusta a los datos? Es el mejor modelo el que menos hipótesis hace sobre el problema? Es razonable plantear un modelo que se ajusta muy bien pero que no puedo predecir con razonamientos y argumentos físicos?

17 Limitaciones del método y criterios (ejemplo #1) Posición (mm) Posición (mm) Tiempo (ms) Tiempo (ms) Qué ajuste elegirían? Por qué?

18 Limitaciones del método y criterios (ejemplo #2) Tabla de cuatro conjuntos de datos Estos datos ajustan exactamente igual de bien a una misma función lineal y = 3x + 0,5 Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21

19 Limitaciones del método y criterios (ejemplo #2) Tabla de cuatro conjuntos de datos Los cuatro conjuntos de datos graficados I II III IV Estos datos ajustan exactamente igual de bien a una misma función lineal y = 3x + 0,5 Adaptado de F.J. Anscombe, "Graphs in Statistical Analysis," American Statistician, 27 (1973), 17-21

20 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Construyo un estadístico (una función de los datos) con esta forma: Chi cuadrado

21 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Construyo un estadístico (una función de los datos) con esta forma: χ A es una variable aleatoria, por lo tanto tiene una distribución de probabilidad asociada Chi cuadrado Distribución de probabilidad de χ A k = 10 χ A

22 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Construyo un estadístico (una función de los datos) con esta forma: Chi cuadrado Distribución de probabilidad de χ A χ A es una variable aleatoria, por lo tanto tiene una distribución de probabilidad asociada k es la cantidad de mediciones del experimento (la forma de la distribución de χ A va a depender de k) k = 10 χ A

23 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Construyo un estadístico (una función de los datos) con esta forma: Chi cuadrado Distribución de probabilidad de χ A k = 10 χ A es una variable aleatoria, por lo tanto tiene una distribución de probabilidad asociada k es la cantidad de mediciones del experimento (la forma de la distribución de χ A va a depender de k) E( χ A ) = k VAR( χ A ) = 2k ; SD( χ A ) = 2k χ A

24 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Construyo un estadístico (una función de los datos) con esta forma: Chi cuadrado Distribución de probabilidad de χ A E( χ A ) E( χ A ) + 2 SD( χ A ) k = 10 χ A es una variable aleatoria, por lo tanto tiene una distribución de probabilidad asociada k es la cantidad de mediciones del experimento (la forma de la distribución de χ A va a depender de k) E( χ A ) = k VAR( χ A ) = 2k ; SD( χ A ) = 2k χ A

25 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Construyo un estadístico (una función de los datos) con esta forma: Chi cuadrado Distribución de probabilidad de χ A E( χ A ) E( χ A ) + 2 SD( χ A ) k = 10 χ A es una variable aleatoria, por lo tanto tiene una distribución de probabilidad asociada k es la cantidad de mediciones del experimento (la forma de la distribución de χ A va a depender de k) E( χ A ) = k VAR( χ A ) = 2k ; SD( χ A ) = 2k El valor de χ A es una medida (no la única) de la probabilidad de que los datos {y # } provengan de un fenómeno físico con modelo teórico y = f(x), es decir, χ A es una medida de la verosimilitud del modelo o ajuste χ A

26 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Cuándo rechazo un modelo (teoría) o cuándo la acepto? Tengo 10 mediciones y quiero evaluar la verosimilitud de mi modelo teórico Posición (mm) Tiempo (ms)

27 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Cuándo rechazo un modelo (teoría) o cuándo la acepto? Tengo 10 mediciones y quiero evaluar la verosimilitud de mi modelo teórico Posición (mm) χ A = 7,42 Tiempo (ms)

28 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Cuándo rechazo un modelo (teoría) o cuándo la acepto? k = 10 χ A = 7,42 χ A

29 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Cuándo rechazo un modelo (teoría) o cuándo la acepto? k = 10 χ A = 7,42 está contenido en el intervalo E( χ A ) ± SD( χ A ), era un resultado esperable χ A = 7,42 Resultados poco probables Resultados más probables Resultados poco probables χ A

30 Cuantifación de la verosimilitud de un ajuste: χ A Cuándo rechazo un modelo (teoría) o cuándo la acepto? k = 10 χ A = 22 χ A = 22 está afuera del intervalo E( χ A ) ± 2 SD( χ A ), es un resultado poco esperable dado el modelo teórico χ A

31 χ A reducido Se puede definir en forma análoga al χ A, un χ A reducido : Sirve para independizar el valor medio de la cantidad de mediciones k El programa Origin computa χ A PQR en vez del χa

32 Resumen Cuadrados mínimos es un método (no el único) que sirve para encontrar los parámetros que mejor se ajustan a los datos experimentales dado un modelo teórico Si bien es un método poderoso y muy útil, hay que tener cuidado y evaluar los resultados de los ajustes con criterio y sin perder de vista la física del experimento χ A es un estadístico (y una variable aleatoria) que da una medida (no la única) de la verosimilitud del ajuste efectuado a los datos experimentales

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34 Extra: Test de hipótesis y p-valor Cuándo rechazo un modelo (teoría) o cuándo la acepto? χ A = 22 * La elección es arbitraria y de hecho actualmente hay un fuerte debate en el ámbito de las ciencias biomédicas, ver por ejemplo: S. Wellek A critical evaluation of the current p-value controversy, Biometrical Journal, 59, 5 (2017) χ A valor p k = 10 Recordemos que la integral de la densidad de probabilidad da 1 Se define el valor p como la probabilidad de obtener un conjunto de mediciones como el que obtuve o más extremo (menos probable aún) dada una cierta hipótesis o modelo Se suele* tomar valor p < 0,05 (que a su vez define un χ A umbral) para rechazar un modelo (o aceptar el contrario) El valor p determina el nivel de significación de la discrepancia del modelo con los datos

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