Como se ha visto en teoría, el ajuste por mínimos cuadrados de un conjunto de valores. forman una base de un espacio de funciones, conducen al sistema

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1 UNIVERSIDAD DE OVIEDO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Asignatura Cálculo Numérico Página 1 de 7 Tema Aproimación y ajuste Mínimos cuadrados Práctica 10 Autor César Menéndez Fernández 1 Mínimos cuadrados Como se ha visto en teoría, el ajuste por mínimos cuadrados de un conjunto de valores m, y 1 i i i N mediante una función y ckk donde 1,, 3, N k 1 forman una base de un espacio de funciones, conducen al sistema m m m m 1k1k 1kk 1kNk 1kyk k1 k1 k1 k1 c1 m m m m 1kk kk knk c kyk k1 k1 k1 k1 Ac b c m m m N m 1kNk knk 3kNk Nky k k1 k1 k1 k1 Donde la matriz del sistema y el segundo miembro se pueden poner como N N y y N 3 3 t t Α X X b X Y donde X Y y 1m m 3m Nm y m Base genérica Se puede aplicar directamente lo visto en teoría. Por ejemplo, ajustar un conjunto de datos a la función: y c c c sin c log y representar los datos y la función. 1 3 k Comenzamos planteando y resolviendo el sistema lineal para obtener los coeficientes» =[0.1600,0.9700,0.9600,0.4900,0.8000,0.1400,0.400,0.900,0.7900,0.9600];» y =[0.508,0.7583,0.7396,0.3414,0.5011,0.5368,0.3549,0.6693,0.4899,0.7396];» f1=inline('ones(size())');» f=inline('.^');» f3=inline('sin()');» f4=inline('log10()');» X=[f1();f();f3();f4()]';» c=(x'*x)\(x'*y ) c =

2 Calculamos el error cuadrático» norm(c(1)*f1()+c()*f()+c(3)*f3()+c(4)*f4()-y) ans = e-005 Y finalmente se generan los puntos de representación y la figura» =linspace(0,1);» yy=c(1)*f1()+c()*f()+c(3)*f3()+c(4)*f4();» plot(,y,'*',,yy);grid on;» label('abcisas');ylabel('ordenadas');» legend('datos','ajuste')» title('minimos cuadrados') Minimos cuadrados Datos Ajuste 0.8 ordenadas abcisas Ejercicios recomendados: 1. Los siguientes datos recogen el censo asturiano en los s indicados 1 Año: {1986, 1987, 1988, 1989, 1990, 1991, 199, 1993, 1994, 1995, 1996, 1998, 1999, 000, 001, 00, 003, 004, 005, 006, 007, 008} Censo={111186, , , , 11837, , , , , , , , , , , , , , , , , } Ajustar los datos con los siguientes tipos de curvas y calcular su error cuadrático y1 c1 c y sin c3 c4 c5 Solución: c 1 =-3.891e+006, c =9.9585e+009, c 3 =6.0705e+006, c 4 =-.4917e+003, c 5 = e+00, EC 1 =4.6891e+004, EC =.334e Por César Menéndez Fernández Página de 7

3 3 106 Poblacion en Asturias Datos Ajuste1 Ajuste Base polinómica Cuando la base es polinómica, no es necesario realizar los pasos anteriores, ya que MATLAB dispone de la instrucción polyfit que realiza simultáneamente el cálculo de los coeficientes y el error. Para evaluarla en un punto determinado, se emplea polyval. Ejemplo:. Realizar el ajuste de los datos del censo asturiano utilizando polinomios de primer, segundo, tercer y cuarto grado, y representar las funciones así como el margen del ajuste del 50%. vary=var(y);n=length(); for i=1:4; [p,s,mu] = polyfit(,y,i),[yy,delta] = polyval(p,,s,mu); subplot(,,i);plot(,y,'*',,yy,'r',,yy-delta,'r:',,yy+delta,'r:'); grid on;label('');ylabel(''); title(['poblacion en Asturias (grado ',numstr(i),')']); tet(0.8,0.9,['error: ',numstr(s.normr)],'units','normalized'); r=1-s.normr.^/vary/(n-i); tet(0.8,0.8,['r: ',numstr(sqrt(r))],'units','normalized'); end Poblacion en Asturias (grado 1) Poblacion en Asturias (grado ) error: error: r: r: Poblacion en Asturias (grado 3) Poblacion en Asturias (grado 4) 1 error: r: error: r: Por César Menéndez Fernández Página 3 de 7

4 1.3 Ajuste no lineal El ajuste por mínimos cuadrados eige que la función de ajuste se pueda poner como combinación lineal de funciones de base, por lo que cuando esto no sucede es necesario, cuando sea posible, linealizar la función. A continuación se muestran como ejemplos los ya vistos en teoría: b ˆ ˆ b y a ln y ln a ln a bln y A» p = polyfit(log(),log(y),1)» b=p(1),a=ep(p())» yy = a*.^b; % dos formas de evaluar la función de ajuste» yy = ep(polyval(p,log()); y ae ln y ln ae ln a y A ˆ» p = polyfit(,log(y),1)» b=p(1),a=ep(p())» yy = a*ep(*b); % dos formas de evaluar la función de ajuste» yy = ep(polyval(p,)); 1 a b 1 y ab yˆ aˆ a b y» p = polyfit(1./,1./y,1)» yy =./(p()*+p(1)); % dos formas de evaluar la función de ajuste» yy = 1./polyval(p,1./); Ejercicios recomendados: 3. Representar las funciones de ajuste para diferentes valores de a y b. 30 a*. b 5 a*ep(.*b) 5 0 [a,b]=[1,-1] [a,b]=[1,] [a,b]=[,-1] [a,b]=[,] [a,b]=[3,-1] [a,b]=[3,] 0 15 [a,b]=[1,-1] [a,b]=[1,] [a,b]=[,-1] [a,b]=[,] [a,b]=[3,-1] [a,b]=[3,] /(a*+b) [a,b]=[1,0] [a,b]=[1,] [a,b]=[,0] [a,b]=[,] [a,b]=[3,0] [a,b]=[3,] Por César Menéndez Fernández Página 4 de 7

5 4. El fichero IG_pr10D1.tt contiene los valores de la edad y su correspondiente esperanza de vida. Leer el fichero y ajustar mediante la función no lineal más adecuada de las vistas, calculando para cada una su error cuadrático 1.4 Ajuste multimodal Se puede etender la teoría vista al ajuste de funciones de varias variables, siempre que sea posible epresar la función de ajuste de forma lineal en los parámetros. n n n ii i ijij i, j y a b. i1 i1 j1 Ejercicios recomendados: 5. El fichero IG_pr10D.tt contiene los valores de la edad y su correspondiente esperanza de vida para varios s. Leer el fichero y ajustar mediante un ajuste multimodal de la forma y a a a a a a, calculando su error cuadrático Por César Menéndez Fernández Página 5 de 7

6 Aneo: Instrucciones necesarias.1 Ajuste polinómico p = polyfit(,y,n) [p,s] = polyfit(,y,n) [p,s,mu] = polyfit(,y,n) p = polyfit(,y,n) calcula los coeficientes del polinomio p() de grado n que ajusta los valores (i,yi) por mínimos cuadrados. El resultado es un vector fila con los n coeficientes del polinomio en orden de potencias decrecientes. [p,s] = polyfit(,y,n) calcula los coeficientes del polinomio y la estructura S que al usar con polyval permite obtener una estimación del error de predicción. La estructura S contiene los campos R, df y normr que almacenan la matriz que realiza la factorización QR de la matriz de Vandermonde X, los grados de libertad y la norma del residuo respectivamente. Si los el error de los datos es ruido blanco, polyval produce límites de error que deben contener al menos el 50% de las predicciones. [p,s,mu] = polyfit(,y,n) normaliza previamente los datos, almacenando en mu los valores de la media y la desviación típica. Esta transformación mejora los resultados tanto del polinomio de interpolación como de su evaluación. En este caso es necesario transformar de igual modo los valores antes de evaluarlos, es decir, mediante k k 1 y = polyval(p,) y = polyval(p,,[],mu) [y,ey] = polyval(p,,s) [y,ey] = polyval(p,,s,mu) y = polyval(p,) evalúa el polinomio p() en. y = polyval(p,,[],mu) uses k 1 k in place of. [y,ey] = polyval(p,,s) and [y,ey] = polyval(p,,s,mu) utilize la estructura S para generar una banda y±ey que contiene al menos el 50% de las predicciones si los errores son ruido blanco. Aproimación en general Función Toolbo Notas lscurvefit Optimization Resuelve por mínimos cuadrados el ajuste no lineal de una función lsqlin Optimization Resuelve por mínimos cuadrados un problema de optimización lineal con restricciones lsqnonlin Optimization Resuelve un sistema no lineal mediante minimización por mínimos cuadrados del funcional asociado lsqnonneg Optimization Resuelve por mínimos cuadrados un problema lineal con restricciones no negativas tnlinfir Statistic Regresión no lineal Por César Menéndez Fernández Página 6 de 7

7 .3 Lectura de ficheros Función Datos Delimitadores Notas csvread Numéricos comas Usado fundamentalmente con hojas de cálculo dlmread Numéricos Cualquier carácter Fleible y fácil de usar fclose No Cierre de un fichero fopen No Apertura de un fichero para su posterior lectura fread Numéricos Sólo válido con ficheros binarios fscanf Alfabéticos y numéricos, pero se devuelve en una Cualquier carácter Fleible pero eige una programación compleja única variable load Numéricos Espacio, tabulador, comma o punto y coma Fácil de usar y admite comentarios de Matlab tetscan Alfabéticos y numéricos Cualquier carácter Fleible, potente y fácil de usar. Puede haber cabeceras y comentarios También se pueden importar datos desde el entorno de Matlab, mediante: la selección de Import Data del menú File ejecutando uiimport -file, y pulsando Enter ejecutando uiimport, pulsando Enter, and seleccionado File en el diálogo Import Data. Por César Menéndez Fernández Página 7 de 7