ESTALMAT-Andalucía Actividades 16/17

Transcripción

1 Primer Curso. Sesión: 17 Fecha: 11/3/2017 Título: Geometría con Tramas. (1) La Trama o Retícula Cuadrada: Áreas y el Teorema de Pitágoras La trama de puntos que tienes en las actividades que siguen está formada por los vértices de los cuadrados de una cuadrícula donde los cuadrados tienen de lado lo que consideraremos como unidad. Cuando un segmento tiene sus extremos en puntos de la retícula lo llamaremos reticulado. Igualmente un polígono reticulado es el que tiene todos sus vértices en puntos de la retícula o trama. Las tramas o retículas a veces son llamadas también Geoplanos. R1 Ch Ca a b h T1 Cb T2 x a) Qué área tienen R 1 y T 1? b) Cómo podemos estar seguros de que C h es un cuadrado?. Qué área tiene?. Qué relación hay entre las áreas de C a, C b y C h?. Cuánto mide la hipotenusa h del triángulo sombreado? c) Qué área tendrá el cuadrado que levantemos sobre la hipotenusa del triángulo rectángulo T 2?. Compruébalo construyendo dicho cuadrado. d) Cuánto miden las diagonales de R 1?. Cuánto mide el segmento x? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 1 de 10

2 ILUSTRACIONES DE LA RELACIÓN DE ÁREAS ENTRE CUADRADOS LEVANTADOS SOBRE LOS LADOS DE UN TRIÁNGULO Para un ángulo agudo Para un ángulo obtuso F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 2 de 10

3 Para un ángulo recto (Teorema de Pitágoras) F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 3 de 10

4 (2) Radicales en la Trama Cuadrada. Longitudes, perímetros y más áreas. a) Cuánto vale el perímetro y área de las figuras C1, C2, T1 y H1 dibujadas en la trama que sigue? C2 C1 T1 H1 b) Dibuja en la trama anterior un segmento inclinado de longitud 10 y otro, también inclinado de longitud 20. c) Justifica gráficamente que = 8, o lo que es lo mismo que 2 2 = 8 d) Justifica igualmente que F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 4 de 10

5 (3) Decorando con radicales. Consideremos ahora la trama cuadrada donde se han destacado algunos puntos (los que están más retintados), que serán sólo los que utilicemos en las actividades de esta página. Como vemos, cada punto destacado se rodea de otros igualmente destacados que están a diferentes distancias: a) Cuánto miden cada uno de los segmentos que se han dibujado en la trama que sigue y que unen puntos destacados? b) En la trama que sigue utiliza diferentes colores para cada longitud y: Traza (a lápiz por ejemplo) todos los segmentos de longitud 2 que unan puntos destacados. Traza (a bolígrafo o lápiz de otro color) todos los segmentos de longitud 10 que unan puntos destacados F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 5 de 10

6 (4) Semejanza. Dos figuras son semejantes si tiene la misma forma pero diferentes tamaños. Cuando esto ocurre las longitudes de todos los segmentos de una de ellas se obtienen multiplicando los correspondientes de la otra por un mismo número que se llama razón de semejanza. Un rectángulo de dimensiones 3x9 es semejante a oto de 6x18 y la razón de semejanza del segundo al primero es 2, pero la razón de las áreas (cociente entre las áreas) no es 2 sino 2 2 =4: Todos los cuadrados son semejantes entre sí y todos los triángulos con los mismos ángulos también. La forma tiene que ver con los ángulos. a) Cuál es la razón de semejanza entre los cuadrados C1 y C2? b) Cuál es la razón entre sus áreas? C2 C1 F c) Eres capaz de dibujar en la trama anterior una figura reticulada semejante a F pero que tenga el doble de área que ella? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 6 de 10

7 (5) Otra forma de calcular áreas. Descubriendo la fórmula de Pick. Se dice que si sobre una retícula cuadrada se construye un polígono cualquiera con la única condición de que sea reticulado (todos sus vértices están sobre puntos de la retícula), el área de dicho polígono se puede calcular con sólo saber el número de puntos de la trama que están en el contorno del polígono (llamados puntos frontera) y de los puntos de la trama que queden en su interior (puntos interiores). a) Para el polígono dibujado en la trama figura determina el área (A), los puntos frontera o del borde (B) y los puntos interiores (I). b) Construye de forma sistemática diferentes polígonos y determina el área A, el nº de puntos frontera o del borde (B) y el número de puntos interiores I. Organiza los datos en una tabla e intenta descubrir la relación que existe entre A, B e I. (Esta relación se llama fórmula de Pick). Después de conocer la fórmula de Pick podemos asegurar que el área de todo polígono reticulado es F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 7 de 10

8 (6) La demostración de la fórmula de Pick a) Demostrar que la fórmula de Pick es válida para rectángulos reticulados. b) Demostrar que la fórmula de Pick es válida para triángulos reticulados con un cateto horizontal y otro vertical. c) Demostrar que la fórmula se mantiene al unir dos polígonos por una arista sin superponer sus regiones interiores. Comprobarlo con la siguiente pareja de polígonos y justificar como se compensan las influencias de los puntos frontera que se pierden con los interiores que se ganan: d) Demostrar que la fórmula de Pick es válida para triángulos reticulados en cualquier posición. Y Como cualquier polígono puede descomponer en triángulos, la fórmula es válida para todos los polígonos. (7) Variaciones de la fórmula de Pick para polígonos reticulados con agujeros. Estudiar el área de polígonos reticulados con agujeros reticulados (empezar con un agujero) para observar que la forma y tamaño de los agujeros no influye en afecta a una nueva fórmula generalizada de Pick donde aparecen los puntos Frontera e Interiores del polígono, así como el número de agujeros. F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 8 de 10

9 (8) Triángulos reticulados sobre la trama. a) Dibuja un triángulo isósceles con vértices en la trama pero con la condición de que ninguno de sus lados sea paralelo a las líneas bordes de la trama. Justifica que es isósceles. b) Dibuja un triángulo rectángulo que no sea isósceles, que tenga sus vértices en la trama y que no tenga los catetos paralelos a las líneas de los bordes de la trama. Justifica que es rectángulo. c) Trata de dibujar un triángulo equilátero con sus vértices en la trama. Será posible? F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 9 de 10

10 Anexo (Tramas para pruebas). F. Damián Aranda, Miguel de la Fuente y Manuel Gómez Página 10 de 10