CÁLCULO. GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA SEGUNDA PRUEBA PARCIAL. GRUPO A.

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1 CÁLCULO. GRADO EN INGENIERÍA INFORMÁTICA SEGUNDA PRUEBA PARCIAL. GRUPO A.. (2.5 puntos) Se considera la función F : [0, [ R definida por F() := 0 sen(t 2 ) dt 0. Demostrar que F es derivable en [0, [ y calcular su derivada. Solución. Es obvio que F = f g, donde g : [0, [ R se define como g() = y f : R R se define por medio de f () = 0 sen(t 2 ) dt. Para analizar la derivabilidad de F distinguimos dos casos: Si > 0, entonces g es derivable en. Por otro lado, la función f es derivable en todo punto de R por el teorema fundamental del cálculo y, en particular, lo es en g() =. Entonces, la regla de la cadena implica que F = f g es derivable en. Además, la regla de la cadena también dice que F () = f (g())g () = sen(g() 2 ) 2 = 2, donde en la segunda igualdad se ha usado que f (y) = sen(y 2 ) para todo y R, identidad que se obtiene invocando al teorema fundamental del cálculo. = 0. En este caso, no podemos proceder como antes, ya que en este caso g no es derivable en y, por tanto, la regla de la cadena no puede aplicarse aquí. Para dilucidar la derivabilidad de F, analizamos directamente la definición de derivabilidad. Estudiamos, por tanto, el siguiente límite. F() F(0) 0 sen(t 2 ) dt lím = lím. () El teorema fundamental del cálculo nos dice que en el límite anterior nos encontramos una indeterminación del tipo 0 0. Dado que F es derivable en R +, trataremos de aplicar la regla de L Hôpital, para lo cual analizamos el siguiente límite: F () lím = lím De nuevo nos encontramos ante una indeterminación del tipo 0 0, y de nuevo podría pensarse en una nueva aplicación de la regla de L Hôpital. Sin embargo, vemos que 2 = 2 = 2.

2 Teniendo en cuenta que lím 0 = (puede verse usando la regla de L Hôpital, aunque ya se vió este ejemplo eplícitamente en teoría) deducimos que lím 0 2 = 0. Ahora, la regla de L Hôpital implica que F() lím = 0. 0 Por definición, F es derivable en 0 y F (0) = 0, lo que finaliza el ejercicio. 2. (2.5 puntos) Calcular razonadamente la siguiente integral: arc 2 d. Solución. Daremos dos posibles formas de resolver esta integral: a) Identificamos el integrando como una potencia de función arco, con lo cual podemos pensar que aplicar la fórmula de integración por partes puede ser de utilidad. Para ello, hacemos u() = arc 2 ; u () = 2arc, 2 v () = ; v() =. Aplicando la fórmula de integración por partes tenemos que I = arc 2 d = arc 2 2 arc d. 2 De momento nos centramos en calcular arc 2 d. (2) Para ello, volvemos a observar que, al aparecer una función arco, puede ser interesante aplicar la fórmula de integración por partes. Para ello u() = arc, de donde u () =. Ahora bien, el candidato a función a integrar es 2 v () = 2. Nos damos cuenta de que se trata de la derivada de una función elemental, a saber v() = 2. Aplicando de nuevo la fórmula de integración por partes arc d = arc 2 2 arc ( 2 ) d Notemos que no hemos añadido aquí ninguna constante de integración, pues pretendemos añadirla directamente en la epresión de I.

3 Recomponiendo la información de (2a) con la integral anterior deducimos que arc 2 = arc 2 + 2arc k, donde k es la constante de integración. b) A simple vista podemos pensar que hacer un cambio de variable arc = t nos puede ayudar. Tratemos de hacerlo. Para ello, despejando tenemos que = φ(t) = sen(t), de donde φ (t) = cos(t). De acuerdo con el teorema del cambio de variable tenemos que I = arc 2 d = t 2 cos(t) dt. Nos centraremos en resolver la integral de la derecha. Tras este cambio, quizá se aprecia más facilmente que seremos capaces de resolver la integral después de aplicar dos veces la fórmula de integración por partes. Para ello hacemos u(t) = t 2 ; u (t) = 2t, v (t) = cos(t); v(t) = sen(t). Aplicando la fórmula de integración por partes deducimos que t 2 cos(t) dt = t 2 sen(t) 2 t sen(t) dt. De nuevo observamos que es interesante aplicar la fórmula de integración por partes en la integral de la derecha. Para ello, hacemos u(t) = t; u (t) =, v (t) = sen(t); v(t) = cos(t). Aplicando de nuevo la fórmula de integración por partes tenemos que t sen(t) dt = t cos(t) + cos(t) = t cos(t) + sen(t). Recomponiéndolo todo tenemos que t 2 cos(t) dt = t 2 sen(t) + 2t cos(t) 2sen(t) + k. Para terminar necesitamos epresar la función anterior en términos de a través del cambio = φ(t) o, en otras palabras, deshacer el cambio de variable. Para ello, notemos que t = arc y que sen(t) = sen(arc ) =. De la identidad fundamental de la trigonometría es claro que 2 cos(t) = sen(t) 2 = 2. Finalmente, deshaciendo el cambio tenemos que arc 2 = arc 2 + 2arc k, donde k es la constante de integración. 2 Notemos que como t = arc entonces t [ π 2, π 2 ], luego cos(t) 0, en otras palabras, cos(t) = cos(t) = cos 2 (t) = sen 2 (t).

4 . (2.5 puntos) Se considera la siguiente sucesión: := 2 y n+ := n para cada n N. Demostrar que { n } es decreciente y converge hacia 0. Solución. Demostremos que la sucesión { n } es decreciente, es decir, que n+ n se cumple para cada n N, lo cual se demostrará por inducción en n. Esto se hará, según la teoría, en dos pasos: a) Comprobación del caso n =. Necesitamos ver que 2. Pero notemos que esto es trivial, puesto que 2 2 = 2 = =. b) Supuesto que n+ n (a lo cual llamaremos hipótesis de inducción), demostremos que n+2 n+. Ahora n+2 = (n+)+ = n+. Afirmo que la hiopótesis de inducción implica que n+ n. Veámoslo: n+ n n n+ n n+ n+ n, donde la última desigualdad es cierta por hipótesis de inducción. En conclusión, hemos demostrado que la hipótesis de inducción implica que n+2 n = n+. Lo anterior demuestra, por inducción, que la sucesión es decreciente. Para ver que es convergente, demostremos que { n } está acotada inferiormente. Para buscar un candidato a candidato a cota inferior, supongamos que { n } fuese convergente. Entonces { n } L. Entonces { n+ } L. Por otro lado, como n+ = n para todo n N, de la continuidad de la función raiz cuadrada tendríamos por teoría que { n+ } L. Como consecuencia de la unicidad de límite para una sucesión, tendríamos que L = L. Para ver quién debe ser L, despejamos L = L L = L L = ( L) 2 ( L)( L ) = L( L) = 0. De lo anterior deducimos que L sería, o bien 0, o bien. Pero el límite L = sería imposible puesto que { n } es decreciente y = /2 <. Por tanto, si { n } fuese convergente, necesariamente tendríamos que { n } 0. Este hecho junto al decrecimiento de la sucesión nos da como candidato a cota inferior el 0. Por tanto, demostremos que n 0 se cumple para todo n N. Esto lo demostraremos por inducción. Por un lado, 0 es obvio. Ahora, supongamos por hipótesis

5 de inducción que n 0, y demostremos que esto implica que n+ 0. Para ello, notemos que n+ = n. Como antes, veamos que la hipótesis de inducción implica que n 0. Para ello, argumentamos de la siguiente manera: n 0 n n 0 n, donde la segunda equivalencia se sigue del hecho de que la función 2 es creciente en R + 0. Por otra parte, notemos que la desigualdad de la derecha es cierta por hipótesis de inducción. Por tanto, hemos demostrado que la hipótesis de inducción implica que n+ 0, como queríamos. Esto prueba por inducción que la sucesión { n } está acotada inferiormente (de hecho por cero). Por ser una sucesión decreciente, tenemos que la sucesión { n } es convergente por un teorema de clase. Por lo que se ha argumentado, el único límite posible para la sucesión es el 0, de donde queda demostrado que { n } 0, lo que finaliza el ejercicio. 4. (2.5 puntos) Estudia el carácter de la serie log(n) n N n 2. Solución. Prejuzgando la serie, vemos un cociente de una potencia de log y de n 2. La escala de infinitos debería decir que la serie debe comportarse como la serie n N, con lo cual debe ser convergente y, por otro lado, nos motiva el hecho n 2 de comparar con una serie armónica n N n α para un cierto α >. Sin embargo, notemos que la comparación con la serie n N no funciona porque la sucesión n 2 resultante es la {log(n) }, que diverge. Parece natural, por tanto, comparar con la serie n N n α para < α < 2, para que al comparar nos quede un cierto cociente del tipo { log(n) }, para β > 0, lo cual sí que converge a cero por escala de infinitos. n β Esto motiva a comparar, por ejemplo, con la serie n N, la cual es una serie convergente. Para aplicar el criterio de comparación por paso al límite, estudiamos la siguiente sucesión: log(n) { n 2 log(n) } { (log(n) ) } = = n 6. n n 2 Notemos que la sucesión anterior converge a cero por escala de infinitos. Entonces, como la serie n N es convergente, el criterio de comparación por paso al límite implica que la serie n 2 es convergente, como queríamos. log(n) n N n 2 n 2