10. Función inversa Introducción. Cuando se habla sobre el aprendizaje y las ciencias, la gente no piensa en las mujeres.

Transcripción

1 0. Función inversa Cuando se habla sobre el aprendizaje las ciencias, la gente no piensa en las mujeres. Wang Zheni ( ) 0. Introducción Pensamos en una función numérica f como proceso que a cada elemento de un conjunto A le hace corresponder eactamente un elemento de un conjunto B. f g() f () Pensaremos a la función inversa como el proceso que permita volver para atrás a la f. g() f () g Utilizando la composición de funciones, ambos procesos quedan coordinados como sigue f g f () g f Siempre podremos encontrar un proceso inverso? Es decir, eistirá un proceso g que deshaga lo que hizo f? En tal caso, debería cumplirse que g( f ()) =. Ejemplo 0. En el caso de la función lineal f () = a + b podemos razonar de la siguiente manera: El proceso f consiste en tomar a, multiplicarlo por a luego, a ese número sumarle b. Por lo tanto, el proceso inverso g deberá ser tomar al número, restarle b al resultado dividirlo por a. En símbolos, g() = b a. Comprobamos que g es el proceso inverso de f. g( f ()) = g(a + b) = (a + b) b a = a a =.

2 Capítulo 0. Función inversa Ejemplo 0. Con la función f () =, podemos decir que f es el proceso de tomar un número elevarlo al cuadrado. Entonces el proceso inverso g debería ser tomar ese número etraerle la raíz cuadrada. Pero en este caso nada no impide (o nos obliga) a tomar la raíz cuadrada positiva o la raíz cuadrada negativa. Por ejemplo, si tomamos = 3 calculamos f (3) = 9. Lo mismo si tomamos = 3 calculamos f ( 3) = 9. El proceso inverso debería arrancar con 9 devolver alguno de los valores iniciales: 3 o 3. No puede devolver los dos valores a la vez porque en ese caso no cumpliría la definición de función. No es posible encontrar un proceso inverso de f que sirva para todos los. Si una función f tiene un proceso inverso (o como se dice propiamente, una función inversa) g, entonces para todos los deberá cumplirse que g( f ()) =. Y considerando dos números a b tales que f (a) = f (b), aplicando g a ambos miembros tendremos g( f (a)) = g( f (b)), por lo tanto, a = b. Esto nos dice que si f tiene una función inversa, entonces f no puede tomar el mismo valor en números distintos. Definición 0.. Las funciones que a cada par de números distintos en su dominio les asignan valores distintos se denominan inectivas o uno a uno. O sea, una función f es inectiva o uno a uno si dados en su dominio entonces f ( ) f ( ). Gráficamente, una función es inectiva, si cada recta horizontal corta a la gráfica de f en a lo sumo un punto. f () = 3 g()) = Figura 0.: La función f () = 3 es uno a uno pero la función g() = no lo es. C Entonces, si una función tiene una función inversa, es inectiva. Recíprocamente, si una función f es inectiva, tiene una función inversa g, cuo dominio es eactamente la imagen de f. Dado un en la imagen de f, la función inversa g le asigna el único del dominio de f tal que f () =. Recordemos que la imagen de f está formada por Im( f ) = { : = f () para algún en el dominio de f }.

3 0. Introducción 3 Todo va bien si f es uno a uno en su dominio. Pero qué pasa si no lo es? Por lo que vimos, no tendrá una función inversa que sirva para todos los valores de su dominio. Sin embargo, si podemos restringir el dominio de f a un conjunto más pequeño, donde f sí sea uno a uno, entonces podremos obtener allí una inversa para f. Ejemplo 0.3 Volviendo a la función f () =, vemos que f tiene inversa en el intervalo [0, + ). Concretamente, g() = es su función inversa. También tiene una inversa en el intervalo (, 0] cua epresión es h() =. La última cuestión que mencionaremos es la siguiente: si una función tiene una inversa en cierto subconjunto A de su dominio, entonces esa inversa es única ( por qué?). De manera que es legal ponerle un nombre asociado a f. Se acostumbra designar a la función inversa de f como f. Vamos a resumir lo que hemos dicho acerca de las funciones inversas: Definición 0.. Sea f una función numérica. Sea A un subconjunto del dominio de f. Diremos que f tiene una inversa en A (o que f es invertible en A) si eiste una función f tal que f ( f ()) = para todo perteneciente a A. Teorema 0.. Condición para la eistencia de inversa. La función f es invertible en A sí sólo sí es uno a uno en A. Lamentablemente se utiliza una simbolización ambigua que puede llevar a confusión. Tendremos que tener en cuenta que f f. Hacemos las siguientes observaciones: En la práctica, si la función tiene una epresión = f (), encontrar la inversa implica despejar la variable en función de la variable. En el Ejemplo 0. de la función lineal tenemos que = a + b b = a b =. a Que determina la epresión de la función inversa: f () = b a. Mu pocas veces podremos hacer este procedimiento tan sencillo cuando estén involucradas funciones más complejas. Por lo tanto, nos dedicaremos a estudiar eistencia de la función inversa conocer sus propiedades de continuidad, derivabilidad, gráfica, etc. a partir de las propiedades de la función f. De la misma forma, es bastante complicado mostrar que una función f es uno a uno en cierto conjunto. Puesto que eso es lo mismo que mostrar que cada valor de está determinado unívocamente por f (), lo cual tendría que hacerlo otra vez epresando en función de. Daremos entonces otras condiciones más sencillas de comprobar, que nos permitan asegurar que nuestra función es uno a uno en cierto conjunto A. Actividad 0. En cada uno de los casos siguientes, las funciones f g están dadas por una tabla de valores. Determinen si alguna de ellas es una función uno a uno f () f ()

4 4 Capítulo 0. Función inversa Actividad 0. Analicen cada una de las funciones f cuas gráficas se encuentran en la Figura 0. determinen, en cada caso, si se trata o no de funciones uno a uno. Actividad 0.3 Indiquen cuáles de las siguientes funciones son uno a uno en sus dominios. Justifiquen en cada caso (la justificación puede ser gráfica o analítica). En caso que no sea uno a uno en su dominio, determinen al menos dos subconjuntos del dominio donde la función sí lo sea en esos subconjuntos den una epresión para la función inversa. Gráfica I a) f () = 7 + b) f () = c) f () = + d) f () = e) f () = f ) f () = + Como habrán sospechado a partir de las actividades anteriores, puede concluirse que una función es uno a uno en in intervalo si comprobamos que es creciente o decreciente en ese intervalo. Y esa comprobación puede hacerse estudiando el signo de la derivada. Podemos enunciar entonces el siguiente resultado: Gráfica II Teorema 0.. Sea f una función derivable en un intervalo I (de cualquier forma). Entonces a) si f () > 0 en I, entonces f es invertible en I b) si f () < 0 en I, entonces f es invertible en I. Actividad 0.4 Analicen los intervalos de crecimiento decrecimiento de las funciones de la Actividad 0.3 comparen con las respuestas que dieron en cada caso. 0. Propiedades de la función inversa Gráfica III 0.. Gráficas Supongamos que tenemos una función f que es invertible en un intervalo I. Sea f su función inversa. La gráfica de f es el conjunto de puntos del plano cuas coordenadas son de la forma (, f ()). Pero si = f (), entonces = f (). Por lo tanto los puntos de la gráfica de f son de la forma ( f (), ). Esto es, cada punto de la gráfica de f proviene de un punto de la gráfica de f con las coordenadas permutadas. En forma gráfica: Recta = Gráfica IV Figura 0.: Gráficas para la Actividad 0.. Figura 0.3: El punto (, ) es simétrico del punto (, ) respecto de la recta =.

5 0. Propiedades de la función inversa Por lo tanto, la gráfica de f es la simétrica de la gráfica de f respecto de la recta =. Ejemplo 0.4 A continuación presentamos tres funciones con sus respectivas inversas en los dominios correspondientes.... f () = Recta = f () = 4 3 f () = Recta = f () = La función f () = su inversa f () = en (0, 3). La función f () = su inversa f () = en [0, 6]. f () = Recta = f () = La función f () = + en [ 0, ) su inversa f () = +.

6 6 Capítulo 0. Función inversa Actividad 0. Utilicen el gráfico de f para hacer el gráfico de f en la Figura Continuidad A continuación enunciaremos un resultado que nos da información, bajo ciertas condiciones, sobre la continuidad de f. Teorema 0.. Sea f una función uno a uno continua en un intervalo cerrado I, sea J el intervalo imagen de I por f. Entonces su función inversa f es continua en J Derivabilidad Supongamos que f es una función derivable en un intervalo abierto I, supongamos que f > 0 en I. Sea f su función inversa sea a un número cualquiera de I. Queremos calcular la derivada de f en el valor f (a). La secante a la gráfica de f por los puntos ( f (a), a) ( f (), ) es: Sobre esta base consideramos que a f () f (a) =. f () f (a) a Figura 0.4: Gráficas para la Actividad 0.. Teorema 0.. Teorema de la Función Inversa. Si f es una función derivable en un intervalo abierto I tal que f () > 0 para todo en el intervalo. Entonces f es derivable en todo b tal que b = f (a), con a I. Además se cumple ( f ) (b) = f (a) Demostración Para determinar si la función inversa f es derivable en algún valor b de la forma b = f (a) estudiamos el límite del cociente incremental El teorema es válido también en el caso que f () < 0 en el intervalo. La fórmula para calcular la derivada de la función inversa es igual. lím b f () f (b) b Considerando que f es continua en el intervalo podemos considerar = f () tomar a sustituendo = lím a a f () f (a) = lím a = f () f (a) a Por lo tanto ( f ) (b) = f (a) = f (a). C Usando la notación de Leibniz para las derivadas podemos escribir, bajo las hipótesis del teorema df d =, d f d o, con la convención de = f () versus = f () entonces d d = d d Notemos que ahora podemos calcular la derivada de la inversa de una función en un valor dado cualquiera, sin la necesidad de conocer eplícitamente a esa inversa.

7 0. Propiedades de la función inversa 7 Ejemplo 0. Consideremos la función f () = 3 +. Cuando derivamos obtenemos f () = 3 = (3 +). Estudiando los intervalos de positividad negatividad de la función f () podemos afirmar que f () es negativa en el intervalo (0, + ). La función f es invertible en ese intervalo. Dado que f (0) =, su inversa estará definida en el intervalo (, ). Además, f ( ) = 8 f ( ) = 7 4. Podemos calcular entonces, sin conocer la fórmula de la función inversa ( f ) ( 8 ) = f ( ) = 7 = f () = 3 + f () m = 4 7 m =