Transformadas integrales

Transcripción

1 Cpítulo 3 Trnformd integrle Objetivo Conocer l propiedde de l trnformd de Lplce y de Fourier. Aplicr l trnformd de Lplce y de Fourier l reolución de ecucione diferencile linele Trnformd integrle L trnformd integrle on operdore que ocin nuev funcione funcione de un determindo conjunto medinte integrción repecto un determindo prámetro, F() b K(t, )f(t) dt. (3.1) A l función K(t,) e l denomin núcleo integrl de l trnformción y el intervlo de integrción (,b) uele er infinito. A l función F() e l denomin trnformd de l función f. Normlmente l trnformd integrl e puede invertir por medio de un trnformd inver, con un núcleo integrl precido l inicil. Obvimente l trnformd integrle on trnformcione linele. Pr f,g funcione trnformble y,b R, h(t) f(t)+bg(t) H() F()+bG(), l etr definid por medio de integrción, que e un operción linel. L ide de l trnformd integrle e decomponer l función f en um infinit de funcione de l form K(t, ), egún interee pr el problem concreto. Por ejemplo, en electromgnetimo, óptic, hidrodinámic... puede interer decomponer un eñl f(t) e um de eno y coeno de ditint frecuenci ω y mplitud A ω, l llmd ond pln A ω e iωt, F(ω) 1 e iωt f(t)dt, f(t) 1 59 e iωt F(ω)dω,

2 6 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES e decir, F(ω) e eencilmente l mplitud A ω correpondiente l frecuenci ω en l decompoición de l eñl f(t) en ond pln. En teorí de control, circuito, reitenci de mterile e importnte otr trnformd integrl, l trnformd de Lplce, F() e t f()dt, (3.2) que, como u pecto indic, e epecilmente útil pr nlizr problem en lo que predomine un comportmiento exponencil, como, por ejemplo, lo item y ecucione linele de coeficiente contnte que e etudiron en el tem nterior. Et erá l principl plicción que le dremo en ete tem. En el co de l trnformd de Lplce, l trnformd inver no e encill, y que recurre técnic de vrible complej. Aprte de l trnformd de Lplce, exiten much otr, l trnformd de Hnkel, Mellin, Hilbert, Z...que e plicn problem concreto de l teorí de l eñl Propiedde de l trnformd de Lplce L principl propiedd de l trnformd integrle e que permiten reducir un problem dinámico, dependiente del tiempo, con derivd de l función eñl, un problem lgebrico, obre el ppel mucho má encillo de reolver. Integrndo por prte, u e t, v f(t) e t f (t)dt [ e t f(t) ] + e t f(t)dt F() f(), obtenemo un importnte reultdo, G() F() f(), g(t) f (t), (3.3) i e t f(t) tiende cero pr lgún vlor de cundo t tiende infinito. Obervmo que l trnformd h cumplido u objetivo: h convertido l derivd de f en un producto por l vrible independiente. Ete reultdo e puede iterr pr obtener expreione de derivd uperiore, h(t) f n) (t), H() n F() f n 1) () f n 2) () n 2 f () n 1 f(), (3.4) i f, f,...,f n) dmiten trnformd convergente. Por tnto, etmo utituyendo eencilmente derivd de orden n por potenci de grdo n de l vrible independiente. Ejemplo Trnformd de l función exponencil f(t) e t. Por integrción direct, pr >. F() [ e e t e t ( )t dt ] 1,

3 3.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 61 Ejemplo Trnformd de l función potenci f(t) t n, n N. Por integrción por prte, u t n, v e t / ] F() e t t n dt [t ne t + n e t t n 1 dt n e t t n 1 dt n! n e t dt n! [ e t n pr >. Recurriendo l función Gmm de Euler, definid pr x >, Γ(x) : ] n! n+1, e t t x 1 dt, (3.5) que no e má que un generlizción del fctoril, y que, pr n N, Γ(n) (n 1)!, Γ(n+1) nγ(n), como e comprueb fácilmente, Γ(1) integrndo por prte, u t x, v e t, Γ(x+1) y, por tnto, e t dt [ e t ] 1!, e t t x dt [ e t t x ] +x e t t x 1 dt xγ(x), Γ(n) (n 1)(n 2) 1 Γ(1) (n 1)!, podemo extender l trnformd de Lplce culquier potenci no enter, α > 1, con el cmbio de vrible u t, e t t α dt 1 α+1 e u u α du Γ(α+1) α+1, que, obvimente, e reduce l expreión conocid pr n N, e t t n dt Γ(n+1) n+1 n! n+1. Ejemplo Trnformd de l función f(t) t. Como f(t) t 1/2, podemo plicr l fórmul pr potenci no nturle con α 1/2, F() e t tdt Γ(3/2) π 3/2 2 3/2, Γ(3/2) 1 2 Γ(1/2) π 2.

4 62 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Γ(x) x Figur 3.1: Gráfic de l función Γ(x) Ejemplo Trnformd de l funcione f(t) int, g(t) cot. L podrímo obtener por integrción direct, pero reult má cómodo ur l trnformd de l exponencil, F() e t intdt 1 e t( e it e it) dt 2i 1 ( 1 2i i 1 ) +i 2 + 2, G() e t cotdt ( 1 2 i + 1 ) +i e t( e it +e it) dt Et últim trnformd l podrímo obtener tmbién directmente, teniendo en cuent que g(t) f (t)/. Por tnto, G() F() f() Hy producto de funcione cuy trnformd e encill, como e el co de l exponencile: Se g(t) e t f(t). Entonce, G() F( ), (3.6) e decir, l exponencil e trduce en un trlción del prámetro, como e comprueb, G() e t e t f(t)dt Y tmbién el producto por monomio: Se g(t) t n f(t). Entonce, e ( )t f(t)dt F( ). G() ( 1) n F n) (), (3.7)

5 3.2. PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 63 como e comprueb fácilmente, derivndo bjo el igno de integrl, G() ( 1) n dn d n e t t n f(t)dt ( 1) n d n (e t ) d n f(t)dt e t f(t)dt ( 1) n F n) (). Ejemplo Clculr l trnformd de h(t) t n e t. No e precio relizr integrl lgun, y que, i utilizmo l trnformd de f(t) t n, H() e t e t f(t)dt F( ) n! ( ) n+1, pero tmbién podímo hberl clculdo undo l trnformdde g(t) e t, ( ) H() e t t n g(t)dt ( 1) n G n) () ( 1) n dn 1 n! d n ( ) n+1. No ólo eo, l diviión por t tmbién tiene trnformd encill: Se g(t) f(t)/t tl que lím t g(t) e finito. Entonce, G() L demotrción e encill. Pr t >, [ e e ut ut du t por tnto, utituyendo et expreión, G() e tf(t) dt t du F(u)du. (3.8) ] dtf(t)e ut e t, t due ut dtf(t) Ejemplo Clculr l trnformd de g(t) int. t F(u)du. Llmemo f(t) int. Sbemo que F() 1/( 2 +1). Por tnto, plicndo el reultdo nterior, G() du u 2 +1 [rctnu] π rctn rccot. 2 Tmbién e interente l expreión de l trnformd de un función f periódic de periodo T, f(t) f(t+t), F() 1 T 1 e T e t f(t)dt, (3.9)

6 64 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES como e comprueb fácilmente, in má que decomponer l integrl de l trnformd en intervlo correpondiente un periodo, F() n (n+1)t nt 1 1 e T T e t f(t)dt e u f(u)du, T e nt e u f(u)du hciendo el cmbio u t nt y undo l um de un erie geométric de rzón e T < Inverión de l trnformd de Lplce Ddo que l trnformd de Lplce permite implificr y reolver lo problem de ecucione diferencile, reduciéndolo problem lgebrico, e necerio ber cómo invertir l trnformd de Lplce pr devolver l olución del problem l vrible originle. Defortundmente, no hy un expreión de l trnformd inver de Lplce l etilo de l que exite pr l trnformd de Fourier. Sin embrgo, í e puede bordr el problem con técnic de vrible complej: Teorem Se F(), función holomorf complej, lvo en un conjunto finito de punto {,..., n } itudo en el emiplno R() <. Si exiten K,R,α > tle que F() α < K pr > R, entonce, pr R() >, F() e l trnformd de Lplce de un función f(t) dd por f(t) n n Re ( e t ) F(), k, t >. (3.1) k El reultdo nterior proviene de plicr el teorem de lo reiduo l integrl 1 +ir lím de t F(), i R ir cerrndo el circuito complejo de modo que l cotción de F() permit nulr l integrl obre l rect que cierrn el circuito. Ejemplo Hllr l función cuy trnformd e F() ( ) (n+1). Podemo plicr el teorem nterior, pue clrmente e cumple l cotción con K 1, α. Tenemo un polo único de orden n+1 en, luego el reiduo erá Re ( ) e t ( ) (n+1), 1 n! d n (e t ) d n tn n! et f(t), de cuerdo con el reultdo del ejemplo No obtnte lo nterior, en l myorí de lo co e preferible bordr el problem de l inverión de l trnformd de Lplce, bien decomponiendo l función trnformd en umndo que en frccione imple de fácil identificción, e inverión, por tnto. O decomponer l función trnformd en

7 3.4. CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES 65 producto de funcione encill cuy trnformd inver e conozc, de modo que l inverión e pued relizr por convolución. Et últim técnic tiene, no obtnte, el problem de tener que relizr l integrl de convolución, Reumiendo, exiten l meno tre form de invertir l trnformd de Lplce: recurrir l integrl complej por el teorem de lo reiduo, decomponer l función en frccione imple e identificr lo término reultnte o decomponer l función en producto de funcione encill y relizr el producto de convolución de u primitiv Convolución de funcione Otr operción importnte, relciond con l trnformd integrle e el producto de convolución de do funcione, ( ) t f g (t) : f(u)g(t u)du. (3.11) En relidd l definición uul de convolución de funcione e ( ) f g (t) : f(u)g(t u)du, (3.12) pero como pr l trnformd de Lplce ólo intervienen lo vlore f(t), g(t), t >, e como i hubiérmo tomdo nulo lo vlore f(t), g(t), t <. Et operción e conmuttiv, f g g f. Comprobémolocon un cmbio de vrible de integrción v t u, dv du, ( ) t f g (t) f(u)g(t u)du t f(t v)g(v)dv ( g f ) (t). Tmbién e encillo comprobr que et operción e ocitiv, (f g) h f (g h). El origen de et operción, independientemente de u propiedde mtemátic, e múltiple. Supongmo que queremo utituir un función f(t) con ml propiedde de continuidd y derivbilidd por otr función má uve f(t). Un poibilidd erí utituir f(t) por el promedio de et función en lo vlore próximo t. Pr ello, integrrímo l función f por un función de integrl unidd que tome vlore en torno t y decig muy rápidmente, de modo que ólo contribuyn l promedio lo vlore próximo t, por ejemplo, l función g(u t) e (t u)2 /2 / π. L nuev función f(t) erá, pue, f(t) f(u)g(u t)du, que e eencilmente l convoluciónde f y g i g e imétric,g(t u) g(u t). De ete modo, per de que f pued no er iquier continu, u utitut uvizd, f(t), erí tn uve como g, y que l cle de derivbilidd de f erá l de g, y que e et función l que e deriv l derivr f. Ecogiendo un función g de cle C etrímo utituyendo f por un función f de cle C.

8 66 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES f(u) f(t) g(u) g(u-t) u f(t) ~ t Figur 3.2: Gráfic de f(u) y l función uvizd f(t) ( f g ) (t) Ejemplo Convolución de l función igno(t) por g(t) e t2 / π. Hciendo lo cmbio v t u, w u t, y teniendo en cuent que g e un función pr, f(t) ( f g)(t) 1 π 1 π 1 t π t e (t u)2 du 1 π t igno(u)e (t u)2 du 1 e (t u)2 du π e v2 dv 1 π t e v2 dv 2 t e v2 dv erf(t). π e w2 dw Vemoqueehlogrdoelobjetivobucdo.Sehutituidolfunciónigno por un función imilr, l función error guino, con mejore propiedde de derivbilidd. Otr interpretción interente etá relciond con el proceo de medid de un eñl f(t), que involucr l intercción con un prto de medid, un detector, un filtro, que podemo modelizr en regimen linel por un función g(t) trvé de un integrl, f(t) : f(u)g(u t)du. Por ejemplo, un modelo encillo e idelizdo de filtro o detector e el que integr l eñl que le lleg en un intervlo centrdo lrededor del intnte t, [t /2,t+/2], pr dr l medid de l eñl, g(u) θ(u+/2) θ(u /2) χ [ /2,/2](u) f(t) : 1 t+/2 t /2 f(u)dt. Vemo que en ete co, en el límite de un intervlo muy pequeño,, recuperrímo l eñl originl, lím t f(t) f(t). Pero l propiedd má relevnte nuetro efecto e que, l plicr l trnformd de Lplce l convolución de do funcione, obtenemo el producto ordinrio de l funcione trnformd. Se h f g, H() F()G(). (3.13)

9 3.4. CONVOLUCIÓN DE FUNCIONES 67 g(u) g(u-t) f(u) ~ f(t) f(t) -/2 /2 t u t Figur 3.3: Gráfic de l eñl f(u), el filtro g(u) y l eñl medid f(t) Comprobémolo hciendo el cmbio de vrible T t u, U u, H() e t( f g ) (t)dt e U f(u)du e t dt t f(u)g(t u)du e T g(t)dt F()G(). Et expreión v er útil pr invertir trnformd de Lplce, y que no d l función cuy trnformd e un producto ordinrio de funcione. Y tiene un notble importnci, y que no permite fctorizr el efecto del filtro o de l función regulrizdor g(t). Ejemplo Trnformd inver de H() 1/( 2 2 ). Podemo coniderr l función como un producto, H() F()G(), F() 1 +, G() 1, f(t) e t, g(t) e t, de funcione cuy trnformd e conocid. Por tnto, podemo invertir l trnformción recurriendo l producto de convolución, h(t) ( f g ) (t) et e t 2 t f(u)g(t u)du inht, t e u e (t u) du e t [ e 2u 2 unque ete reultdo e podrí hber obtenido de mner direct, decomponiendo en frccione imple H(), H() 1 { } h(t) et e t. + 2 Tmbién podímo hberlo reuelto undo teorí de reiduo, y que l función e clrmente holomorf, cotd pr grnde vlore de y tiene ólo do polo imple, ±. Por tnto, Re ( e t ( 2 2 ) 1,± ) ( )e t e t ±e±t lím ± 2 2 lím ± ± 2, ] t

10 68 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES con lo cul, de cuerdo con lo reultdo nteriore, f(t) Re ( e t ( 2 2 ) 1, ) +Re ( e t ( 2 2 ) 1, ) et 2 e t 2. Ejemplo Clculr l trnformd de l primitiv h(t) un función f. t f(t)dt de De l expreión de h deducimo que et función e l convolución de f con l función contnte unidd g(t) 1. Por tnto, u trnformd e H() F()G() F(). Ete reultdo, in embrgo, e conecuenci direct de l expreión de l trnformd de un derivd. Como f(t) h (t), F() H() h() H() F() + h(), expreión que coincide con l nterior, y que hemo ecogido l primitiv h(t) de modo que e nule en el origen, h() 3.5. Ditribucione f(t)dt. Con l ide de repreentr funcione definid trozo, e conveniente introducir l función po, eclón o de Heviide θ, { t < θ(t) 1 t, (3.14) que multiplicd por un función f tiene el efecto de nulr lo vlore de f(t) en lo negtivo. θ(t) t Figur 3.4: Gráfic de l función θ (t)

11 3.5. DISTRIBUCIONES 69 Del mimo modo, podemo definir θ (t) θ(t ), { t < θ (t) 1 t. (3.15) Por ejemplo, podemo exprer l función crcterític, o filtro contnte, del intervlo [,b] como el producto χ [,b] (t) θ(t )θ(b t), χ [,b] (t) { t [,b] 1 t [,b]. (3.16) En prticulr, prece l relción entre definicione de convolución, ( ) f g (t) : f(u)θ(u)g(t u)θ(t u)du t f(u)g(t u)du, pr funcione f, g que e nuln obre lo negtivo. Ejemplo Trnformd de Lplce de l función po θ, >. Θ () e t θ (t)dt [ e e t t dt ] e, pr >. L función po e epecilmente útil pr exprer de mner condend funcione trozo. Ejemplo Exprer l función vlor boluto con funcione po. { t t < t t t t( θ(t) θ( t) ). Ejemplo Exprer l función igno con funcione po. { 1 t < igno(t) 1 t > θ(t) θ( t), que podemo ver como l derivd de l función vlor boluto, d t dt igno(t). Tmbién e útil l expreión de l trnformd de g(t) f(t )θ(t ), Hciendo el cmbio de vrible u t, G() G() e F(). (3.17) e t f(t )θ(t )dt e e u f(u)du e F(). e t f(t )dt L función po θ (t) e dicontinu en t, con lo cul no tiene entido clculr u derivd. Serí nul en todo lo punto, por trtre de contnte,

12 7 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES lvo en t, donde no etá definid (e común repreentrl en lo libro de fíic como un función impulo que e nul en todo lo punto, lvo en t, donde tom el vlor infinito ). Por ello e por lo que decimo que l derivd de θ no e un función, ino un ditribución o función generlizd, que ólo tiene entido cundo ctú obre otr funcione. Por ejemplo, un función ordinri f ctú obre otr funcione φ por imple integrción, f[φ] : f(t)φ(t) dt, (3.18) pr lo cul retringiremo φ, función de prueb, un epcio de funcione con buen propiedde. Normlmente e exige que e de cle C y que decrezc en infinito má rápido que culquier polinomio o que e de oporte compcto, pr que l integrl nterior eté iempre bien definid. Por ejemplo, l propi función po ctú obre funcione de mner trivil, θ [φ] θ (t)φ(t)dt φ(t) dt. De et mner, provechndo l buen propiedde de l funcione de prueb, podemo definir l derivd de ditribucione por imple integrción por prte, f [φ] f (t)φ(t)dt [f(t)φ(t)] f(t)φ (t)dt f(t)φ (t)dt, unque el primer término pued no tener entido directmente, y que f puede no er derivble: f [φ] : f(t)φ (t)dt. (3.19) De et mner, definimo un ditribución delt de Dirc como δ (t) δ(t ) θ (t), de modo que δ [φ] δ (t)φ(t)dt δ(t )φ(t)dt : θ (t)φ (t)dt φ (t)dt [φ(t)] φ(), de donde concluimo que l ctución de l delt de Dirc obre un función implemente e evlur e función en, δ [f] δ (t)f(t)dt δ(t )f(t)dt f(). (3.2) Por ello, ólo import cómo e comport l función prueb en l proximidde de. L ditribución δ tiene un erie de propiedde importnte: δ(t ) 1, (3.21) como e comprueb hciendo ctur l ditribución obre un función que vlg l unidd en torno t. f(t)δ (t) f()δ (t), (3.22)

13 3.5. DISTRIBUCIONES 71 como e comprueb directmente. En ete entido, podemo clculr l trnformd de Lplce de l ditribución δ, { e () e t δ(t )dt <, (3.23) pr >. Obérvee que e h incluido el co en el cálculo nterior, ignndo l ditribución δ(t) l trnformd de Lplce () 1 por continuidd en el prámetro, () () lím + () lím e 1, i >. Eto e hce í ddo que l integrl, e t δ(t)dt δ(t) dt, no etá bien definid, l incluir el vlor t en el borde del intervlo. Por u propiedde, l delt de Dirc e emple en fíic pr modelizr fuerz que ctún durnte un breve lpo de tiempo. Ejemplo Derivd de l delt de Dirc. Tmbién podemo clculr l derivd de l ditribución delt de Dirc, undo l definición de l derivd de un ditribución, δ [φ] δ(t )φ (t)dt φ (), por lo que l derivd de l delt e un ditribución que proporcion el vlor de l derivd de l función obre l que ctú en, cmbido de igno, En prticulr, δ (t)φ(t)dt φ (). δ (t)dt. Elproductode unfunción derivblef(t) porl derivdde ldelt tmbién tiene un expreión locl, pero no tn encill como pr l delt, f(t)δ (t) f()δ (t) f ()δ (t), como e comprueb con un función prueb φ(t), {f(t)δ (t)}φ(t)dt ( fφ ) () f()φ () f ()φ() {f()δ (t) f ()δ (t)}φ(t)dt.

14 72 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Y u trnformd de Lplce e, denotndo g(t) δ (t), G() e t δ (t)dt { e <, δ(t ) de t dt dt δ(t )e tdt pr >. De idéntic mner e pueden definir derivd de orden uperior, δ n) [φ] ( 1) n δ(t )φ n) (t)dt ( 1) n φ n) (), por lo que l derivd n-éim de l delt proporcion el vlor de l derivd n-éim de l función obre l que ctú en, lvo un igno en lo órdene impre, En prticulr, δ n) (t)φ(t)dt ( 1)n φ n) (). δ n) (t)dt. Su trnformd de Lplce e, denotndo h(t) δ n) (t), H() e t δ n) (t)dt ( 1)n δ(t ) dn e t dt n dt { n δ(t )e tdt n e <. Por tnto, l trnformd de l derivd δ n) (t) e n Reolución de ecucione diferencile Conideremo un item fíico, un circuito, por ejemplo, modelizdo por un ecución diferencil linel con coeficiente contnte x n) + 1 x n 1) + + n x f(t), que proporcion l repuet x(t) del item un fuerz f(t). Supongmo que queremo hllr l olución de l ecución con condicione inicile trivile, x() x () x n 1) (). E decir, inicilmente el item etá en repoo. Si plicmo l trnformd de Lplce l ecución, el primer miembro e convierte en un expreión linel pr X(), P()X() F() X() F() P(), P() ( n + + n ), y, por tnto, permite reolver l ecución directmente. El problem reidirá en invertir l trnformd de Lplce.

15 3.6. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES 73 Obervmo, pue, que, nivel de trnformd, l repuet del item e el producto de l fuerz por un función X I () 1/P(), que e denomim función de trnferenci. Su interpretción e encill: conideremo como fuerz f un impulo en el intnte t, f(t) δ(t). En ete co F() 1 y l trnformd de l repuet l impulo, x I (t), e precimente l función de trnferenci. E clro que el comportmiento del item e conocido con ólo conocer l función de trnferenci. Si en lugr de un impulo ctú un fuerz f, l trnformd de l repuet x(t) dich fuerz viene dd por X() X I ()F(), con lo cul, x(t) ( x I f ) (t), e decir, l repuet culquier fuerz f e obtiene como convolución de et por l repuet l impulo. Obérvee que, conocid l función de trnferenci, e irrelevnte conocer el item, pue ell no bt pr conocer l repuet culquier fuerz. De hí u importnci en problem linele. Ejemplo Reolver l ecución x + 3x + 2x te t pr t > con condicione inicile x(), x (). Trnformmo l ecución, 2 X() x x +3X() 3x +2X() 2 X()+3X()+2X() y podemo depejr l trnformd de l olución, X() 1 (+1) 3 (+2) (+1) (+1) 3, 1 (+1) 2, l cul, un vez decompuet en frccione imple, e puede invertir, identificndo lo término, x(t) e 2t +e t te t + t2 2 e t. L ventj de et mner de proceder e, no ólo que e horrn l integrcione, ino que permite obtener l olución del problem de vlore inicile directmente, in neceidd de pr por l olución generl. Lo cul no quit pr que e pued obtener l olución generl, i dejmo libre lo prámetro x() x, x () x, 2 X() x x +3X() 3x +2X() 1 (+1) 2, X() x +x +3x (+2)(+1) + 1 (+1) 3 (+2) 1+x +x x +x +1 1 (+1) (+1) 3,

16 74 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES x(t) (1+x +x )e 2t +(1+2x +x )e t te t + t2 2 e 2t ( ) t k 1 e 2t t+k 2 e t. Del mimo modo, e puede utilizr ete método pr reolver item de ecucione linele. Ejemplo Reolver el item de ecucione x 3x+2y+9t, y 3y+9 pr t > con condicione inicile x(), y(). Trnformmo mb ecucione, X() x 3X()+2Y()+ 9 2, Y() y 3Y()+ 9, de donde podemo depejr ltrnformdde l olución,con x, y, X() Y() 18 ( 3) ( 3) ( 3) 2 9 ( 3) , e identificndo término, podemo invertir l trnformd y obtener l olución pedid, x(t) 1 3t e 3t +6te 3t, y(t) 3+3e 3t. Sin embrgo, hemo de er conciente de que ete método no port olucione nuev. E decir, lo problem que e pueden reolver por trnformd de Lplce on eencilmente lo mimo que e pueden reolver por otro método. L principl ventj de l trnformd de Lplce e que permite bordr má fácilmente problem en lo que el término inhomogéneo etá definido trozo o e ingulr. Ejemplo Reolver l ecución x + 2x + 2x f(t) con f(t) t pr t [,π], f(t) t pr t [π,], f(t) pr t, con condicione inicile x(), x (). El término inhomogéneo e puede reecribir de mner cumultiv como f(t) t 2(t π)θ(t π)+(t )θ(t ), y u trnformd de Lplce e, teniendo en cuent que pr g(t) f(t )θ(t ), G() e F(), F() 1 2e π +e 2. Por tnto, l ecución e trnform en X() 1 2e π +e 2 ( ) 1 2e π +e 2 ( ) + +1 (+1) 2. +1

17 3.7. APLICACIONES DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 75 El egundo fctor e identific directmente, G() (+1) 2 +1 g(t) t 1+e t cot, con lo cul podemo invertir l trnformd de l olución, x(t) 1 ( ) 2 (t 1+e t cot) (t π) 1+e (t π) co(t π) θ(t π) ( ) θ(t ) + (t ) 1+e (t ) co(t ), 2 que derrolld dopt l expreión t 1+e t cot 2 ( 1 t x(t) +π +e t cot e π + 1 ) 2 2 ( 1+2e π +e ) e t cot 2 t [,π] t [π,] t [, ) 3.7. Apliccione de item de ecucione linele Acbmo l expoición de lo item de ecucione linele con uno cunto ejemplo de plicción direct problem fíico. Ejemplo Circuito LRC En un circuito con un generdor de fuerz electromotriz E, continu o ltern, como el de l figur, circul un corriente de intenidd i(t). L diferenci de potencil, prte de l debid l propio generdor, on debid l reitenci R, V R ir, lo condendore de cpcidd C, que lmcenn un crg Q, V C Q/C, y l bobin de coeficiente de utoinducción L, V L Li.. i R E C L Figur 3.5: Circuito LRC Lo circuito e rigen por l do regl de Kirchoff, de modo que en cd nudo de l mll del circuito l um de intenidde e nul (l um de

18 76 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES intenidde liente debe er igul l um de intenidde entrnte), y l um de diferenci de potencil debe er nul, teniendo en cuent que lo término nteriore e oponen l circulción de corriente y, por tnto, deben contre con igno negtivo. Aí pue, el circuito de l figur etá regido por un ecución diferencil linel con coeficiente contnte, recordndo que l intenidd e i(t) Q (t), LQ +RQ + Q C E(t), o bien, en función de l intenidd de corriente, Li +Ri + i C E (t). W(x) L x y Figur 3.6: Vig Ejemplo Flexión de un vig. Conideremo un vig horizontl de longitud L ometid un crg verticl W(x) por unidd de longitud. L vig ufre un flexión en l dirección verticl y(x), regid por l ecución diferencil y IV ) W(x) EI, x (,L), donde E e el módulo de Young de l vig e I e el momento de inerci de un ección rect de l vig repecto u eje. L condicione de contorno de l ecución dependerán de l dipoición de l vig: Un vig empotrd por uno de u extremo,, L, tendrá ee extremo fijo, y() y (). Un vig rticuld por un extremo, tiene y() y (). Un vig con un extremo en voldizo, tiene y () y (). Ejemplo Sitem mecánico de reorte copldo. L eprción x de un m m unid un muelle de contnte de rigidez k repecto u poición de equilibrio etá regid por l ecución del ocildor rmónico, mx kx.

19 3.8. TABLA DE TRANSFORMADAS DE LAPLACE 77 k1 m1 k2 m2 x1 x2 Figur 3.7: Sitem de do reorte copldo Por tnto, l evolución del item de l figur, formdo por do muelle de longitude l 1, l 2, etá determind por el item, m 1 x 1 k 1(x 1 l 1 )+k 2 (x 2 x 1 l 2 ), m 2 x 2 k 2(x 2 x 1 l 2 ) Tbl de trnformd de Lplce f(t) F() f(t) F() f (t) F() f() f n) (t) n 1 n F() i f n 1 i) () e t 1, > et f(t) F( ) t n n!, n N t n f(t) ( 1) n F n) () n+1 t α Γ(α+1) 1 T, α > 1 f(t) de periodo T α+1 1 e T e t f(t)dt in t 2 + cot inh t 2 coht t f(t)/t F(u)du f(t)dt F() e θ (t), > f(t )θ(t ) ( ) e F() δ (t), e f g (t) F()G() 3.9. Trnformd de Fourier Tl como enunciábmo l principio del tem, definimo l trnformd de Fourier de un función f(t) como un función F de un vrible ω, F(ω) 1 i e iωt f(t)dt. (3.24) Umo l vrible t, en cuyo co ω tiene l interpretción de un frecuenci. Pero tmbién e uele hcer trnformd de Fourier repecto un vrible temporl x. Si x e un vrible epcil, l nuev vrible k tiene l interpretción de un número de ond. Mntenemo l notción de myúcul pr l funcione trnformd, un riego de confundirl con l trnformd de Lplce. El contexto no indicrá de qué trnformd etmo hblndo y gnremo en implicidd en l notción.

20 78 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Exiten otr notcione pr l trnformd de Fourier. En lgun no prece el fctor, en otr prece en u lugr. O en lugr de ω prece ω. Son tod ell equivlente. Si optmo por et, e porque l identidd de l energí de Plncherel e implific en et notción. A u vez, definimo l trnformd inver de Fourier de un función F(ω) como f(t) 1 e iωt F(ω)dω. (3.25) Como u nombre indic, i trnformmo un función f con buen propiedde, l relizr l trnformd inver de F recupermo l función f. Aunque i l función f preent dicontinuidde en lguno punto, el reultdo de l trnformd inver puede no er el correcto en dicho punto. Pr que l trnformd de Fourier exit, tn ólo e necerio que f e bolutmente integrble en l rect rel, e decir, que f(t) e integrble en l rect rel, e iωt f(t)dt e iωt f(t) dt f(t) dt <. Pr ello e necerio que l función f(t) tiend cero en ±, unque no e uficiente. No obtnte, en generl bt con que f(t) e un función de cudrdo integrble, f(t) 2 dt <, pr definir l trnformd de Fourier como vlore de Cuchy de l integrle impropi, F(ω) f(t) 1 lím R 1 lím R R R R R,e iωt f(t)dt, e iωt F(ω)dω. (3.26) De ete modo grntizmo que tiene entido l identidd de l energí o identidd de Plncherel, f(t) 2 dt F(ω) 2 dω, (3.27) propiedd de l trnformd de Fourier que no demotrremo. Nótee que l trnformd inver de Fourier reflej precimente l interpretción heurític que hemo empledo, f(t) 1 e iωt F(ω)dω 1 F(ω)e iωt, e decir, hemo decompueto f en un um de ond pln de frecuenci ngulr ω y mplitud F(ω). L función F implemente ign cd frecuenci del epectro u mplitud correpondiente. L identidd de Plncherel indic que l energí de l eñl f, dd por l integrl de f(t) 2, e puede clculr bien como un integrl en todo el epcio, ω R

21 3.9. TRANSFORMADA DE FOURIER 79 bien como um de l energí de l ond pln contituyente, F(ω) 2, iendo dich energí igul l cudrdo de u mplitud. Aplicndo reitrdmente l trnformd de Fourier un función, cbmo recuperndo l función de prtid: Se F(ω), l trnformd de un función f(t). Si trnformmo u vez l función F, 1 e itω F(ω)dω 1 e iω( t) F(ω)dω f( t) : f(t), definiendo f como l función imétric de f repecto l eje de ordend. Por tnto, denotndo por T l trnformd de Fourier, de modo que F T(f), obtenemo que f T 2 (f). E decir, trnformndo do vece un función obtenemo l función reflejd. Y, u vez, trnformndo cutro vece, obtenemo l función originl, f T 4 (f), f f T 2 ( T 2 (f) ) T 4 (f). Y como T 3 (T(f)) f, reult que T 3 T 1 e l trnformd inver de Fourier. Reumiendo, F T(f), f T 2 (f), f T 3 (F), f T 4 (f). (3.28) Al igul que ucedí con l trnformd de Lplce, l trnformd de Fourier tiene un buen comportmiento repecto l producto por exponencile, imginri en ete co. L exponencile e convierten en trlcione l trnformr: Se g(t) e it f(t). Entonce, G(ω) F(ω ). (3.29) Clculmo l trnformd de Fourier directmente, G(ω) 1 e i(ω )t f(t)dt F(ω ). Ete reultdo tiene u recíproco, y que l trlcione e convierten en exponencile imginri l trnformr: Se h(t) f(t ). Entonce, Se comprueb fácilmente, H(ω) 1 H(ω) e iω F(ω). (3.3) e iωt f(t )dt e iω e iωy f(y)dy e iω F(ω), hciendo el cmbio de vrible y t. Ete reultdo e interente, y que muetr que un trlción e convierte en un defe l trnformr, y l inver. El iguiente reultdo e tmbién curioo, y que permite lgebrizr l derivd l convertire en un multiplicción por l vrible l trnformr. Eto erá de importnci pr reolver

22 8 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES ecucione diferencile, convirtiéndol en ecucione lgebric, l igul que ucedí con l trnformd de Lplce. Clculemo l trnformd de Fourier de g f integrndo por prte y teniendo en cuent que l función f debe tender cero en el infinito pr poder er integrble en el intervlo infinito, G(ω) + 1 iω e iωt f (t)dt 1 [e iωt f(t)] e iωt f(t)dt iωf(ω). Por tnto, iterndo el reultdo, obtenemo l trnformd de culquier derivd, uponiendo que exit, g(t) f (t) G(ω) iωf(ω), h(t) f n) (t) H(ω) (iω) n F(ω). (3.31) Del mimo modo, i g(t) tf(t), derivndo con repecto ω bjo l integrl, G(ω) 1 e iωt tf(t)dt i d ( e iωt f(t) ) dt if (ω). dω De ete modo obtenemo el reultdo imétrico del nterior, g(t) tf(t) G(ω) if (ω), h(t) t n f(t) H(ω) i n F n) (ω). (3.32) Obérvee que eto reultdo, equivlente de lo obtenido pr l trnformd de Lplce, on entermente imétrico, l no precer lo término de vlore inicile, f(), f ()... Eto e lógico, y que integrmo en un intervlo infinito, no emiinfinito. L plicción principl de et propiedd de converión de derivd en multipliccione l tenemo en l reolución de problem de ecucione en derivd prcile: Ejemplo Reolución de l ecución de l cuerd vibrnte infinit, u tt u xx. Supongmo que l función u(x, t) dmite trnformd de Fourier, U(ω,t) 1 e iωx u(x,t)dx. L ecución pr l función U e ordinri y encill de reolver, U tt +ω 2 U U(ω,t) A(ω)e iωt +B(ω)e iωt, con lo cul, invirtiendo l trnformd, l olución de l ecución de l cuerd vibrnte e ecribe como, u(x,t) 1 { A(ω)e iωt+iωx +B(ω)e iωt+iωx} dω, e decir,hemo decompuetolond de lcuerdvibrntecomoum de ond de frecuenci ω que recorren l cuerd en mbo entido con mplitude A(ω), B(ω), que deberán determinre por l condicione inicile del problem.

23 3.9. TRANSFORMADA DE FOURIER 81 Undo l propiedde de l trlción y l exponencil, u(x,t) (x+t)+b(x t), e decir, l eñl u e decompone en un eñl que vnz hci l izquierd y otr que vnz hci l derech. Supongmo como vlore inicile, u(x,) f(x), u t (x,) g(x). Entonce, f +b, g b f +g, b f g 2 2 f + g 2 +k, b f g 2 k, con lo cul l olución del problem de vlore inicile e, u(x,t) f(x+t)+f(x t) x+t x t g(y) dy. Ejemplo Reolución de l ecución del clor en un vrill infinit, u t u xx. Al igul que en el ejemplo nterior, uponiendo que u dmite trnformd de Fourier, obtenemo como ecución pr U, fácil de reolver, U t +k 2 U U(k,t) F(k)e k2t, cuy olución, depué de invertir l trnformción de Fourier, proporcion, u(x,t) 1 F(k)e k2 t+ikx dk, que depende de un función rbitrri F, que e determinrá prtir de lo dto inicile, u(x,) f(x), f(x) u(x,) 1 F(k)e ikx dk, que utituid en l expreión de u, no d l olución del problem de vlore inicile pr l vrill infinit, completndo cudrdo, e decir, hciendo el cmbio de vrible y k t i(x x )/2 t, u(x,t) 1 dk 1 t 1 4πt dy dx f(x )e k2 t+ik(x x ) dx f(x )e y2 (x x ) 2 /4t dx f(x )e (x x ) 2 /4t. El teorem de lo reiduo permite clculr de mner encill numero trnformd de Fourier:

24 82 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES 1 -r r Figur 3.8: Recinto de integrción pr ω > Propoición Se f un función meromorf (nlític lvo en un número finito de punto del plno complejo) con ingulridde ólo en punto fuer del eje rel { 1,..., n } C y que verific lím f(z). Entonce, z i Re(f(z)e iωz, i ) i ω > I F(ω) i< i Re(f(z)e iωz, i ) i ω < I i> E decir, pr evlur l integrl hy que clculr lo reiduo en lo polo del emiplno inferior (uperior) i ω > (i ω < ). Ejemplo Trnformd de Fourier de f(t) (t+i) 1,. L función f e meromorf y tiene un único polo complejo en z i, en el emiplno inferior. Luego, l no hber polo en el emiplno uperior, F(ω) pr ω <. Pr ω >, F(ω) ( ) e iωz ire t+i, i ie ω. L trnformd de Fourier e puede plicr igulmente ditribucione: Ejemplo Trnformd de Fourier de l delt de Dirc. (ω) 1 e iωt δ (t)dt 1 e iωt δ(t )dt e iω. (3.33) Eto tiene como conecuenci ineperd, relizndo l trnformd inver, que δ(t ) δ (t) 1 e iωte iω dω 1 e iω(t ) dω, (3.34) interente, y útil, repreentción integrl de l delt de Dirc: l delt de Dirc e un um de ond pln de mplitud unitri, e iω 1.

25 3.1. CONVOLUCIÓN Y CORRELACIÓN 83 Et repreentción proporcion un demotrción ingenio de l identidd de l energí, F(ω) 2 dω 1 1 F(ω)F(ω)dω dtf(t) dω dtf(t) f(t) 2 dt. dte iωt f(t) dyf(y) dyf(y)δ(y t) dye iωy f(y) dωe iω(y t) f(t)f(t)dt Ejemplo Trnformd de Lplce de l exponencil imginri. Sbemo que l trnformd de g(t) e it f(t) e G(t) F(ω ). Por tnto, i tommo f(t) 1, con trnformd F(ω) δ(ω), obtenemo que l exponencil imginri g(t) e it tiene por trnformd G(ω) δ(ω ) δ (ω). Ete ejemplo muetr un reultdo obvio: como un ond pln e it ólo tiene un frecuenci y l trnformd implemente ign mplitude l frecuenci del epectro de l eñl, tendrá et que etr concentrd en ω. E decir, tiene que er un delt de Dirc centrd en dich frecuenci Convolución y correlción Tmbién podemo relcionr l convolución de funcione con l trnformd de Fourier, como hicimo con l trnformd de Lplce. Sólo que, l etr mnejndo funcione definid en tod l rect rel, uremo l definición 3.12 de convolución, ( ) f g (t) : f(u)g(t u)du. L integrl de convolución etá bien definid, y que, por l deiguldd de Cuchy-Schwrz, (f g)(t) f(u)g(t u)du f(u) 2 du g(t u) 2 du f(u) 2 du g(y) 2 dy, hciendo el cmbio de vrible u t y en l egund integrl. Luego (f g)(t) etá cotd uperiormente i f, g on funcione de cudrdo integrble. Al igul que ucedí con l trnformd de Lplce, l trnformd de Fourier permite fctorizr el producto de convolución de do funcione: h(t) (f g)(t) H(ω) F(ω)G(ω). (3.35)

26 84 CAPÍTULO 3. TRANSFORMADAS INTEGRALES Hciendo el cmbio de vrible t y +u, H(ω) e iωt (f g)(t)dt Ete reultdo tiene u recíproco, e iωt dt f(u)g(t u)du e iωy g(y)dy e iωu f(u)du F(ω)G(ω). j(t) f(t)g(t) J(ω) (F G)(ω). (3.36) Se puede demotrr hciendo l trnformd inver del nterior reultdo, pero podemo proceder tmbién de et mner, prtir del egundo miembro de l identidd, (F G)(ω) 1 1 F(u)G(ω u)du dtf(t) du dtf(t) dte iut f(t) dye iωy g(y) dye iωy g(y)δ(y t) e iωt f(t)g(t)dt J(ω), dye i(ω u)y g(y) due iu(y t) undo l repreentción integrl de l delt de Dirc. Emprentd directmente con l convolución etá l operción de correlción: Definimo l correlción de do funcione f, g como (f g)(t) f(u)g(u+t)du. (3.37) Si f g, denominremo f f l utocorrelción de f. L interpretción de l integrl de correlción e direct. Etmo clculndo l integrl del producto de do funcione, un de ell trldd t. El reultdo erámyorcuntomyoreeláredelgráficdelfunciónproducto,edecir, cunto má olpen l gráfic, de hí el nombre de correlción. Aí pue, l vrir t vmo deplzndo l gráfic de un función obre l otr fij bucndo coincidenci entre l do funcione. Et operción no e, en generl, conmuttiv. Se podrí hber definido tmbién l correlción, hciendo el cmbio de vrible u u t, como (f g)(t) f(u)g(u+t)du f(u t)g(u )du ) f(t u )g(u )du ( f g (t),

27 3.11. TABLA DE TRANSFORMADAS DE FOURIER 85 lo cul upone que l utocorrelción de funcione rele e pr (egund iguldd), (f f)(t) (f f)( t), y que f g f g, expreión que relcion convolución y correlción. L relción entre trnformd de Fourier y correlción, h(t) (f g)(t) H(ω) G(ω)F(ω), (3.38) e deduce de mner inmedit, bien undo l propiedde de l convolución, bien por integrción, hciendo el cmbio de vrible t y u, H(ω) e iωt (f g)(t)dt dte iωt duf(u)g(u+t) dye iωy g(y) due iωu f(u) G(ω)F(ω). Como curioidd, nótee que T(f f) FF F 2, e decir, l trnformd de Fourier de l utocorrelción proporcion el módulo l cudrdo de l trnformd de l función. Por tnto, l utocorrelción pierde l informción referente l fe de l función complej, l contrrio de lo que ucede con l utoconvolución, que proporcion el cudrdo de l función y, por tnto, no pierde l informción de l fe, y que e recuper l función complet tomndo l ríz cudrd. En prticulr, l cotción de l convolución conduce, pr l utocorrelción,, f f(t) f(u)f(u)du (f f)(), (3.39) lo cul indic que l utocorrelción etá cotd uperiormente por u vlor en t. A vece e define dividiéndol por f(u) 2 du (f f)(), de modo que l utocorrelción tome vlore con módulo inferior o igul l unidd Tbl de trnformd de Fourier f(t) F(ω) f(t) F(ω) f (t) iωf(ω) f n) (t) (iω) n F(ω) t n f(t) i n F n) (ω) F(t) f( ω) ( f(t ) ) e iω F(ω) e it f(t) F(ω ) f g (t) F(ω)G(ω) f(t)g(t) (F G)(ω)/ δ (t) e iω / e it δ(ω )