PRÁCTICAS DE VARIABLE COMPLEJA

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1 PRÁCTICAS DE VARIABLE COMPLEJA Departamento de Análisis Matemático Curso 2/2 Práctica El Sistema de los números complejos Práctica 2 Funciones holomorfas Práctica 3 Series de potencias Práctica 4 Funciones elementales. Argumentos y logaritmos Práctica 5 Integración sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat Práctica 6 Índice y Teorema general de Cauchy Práctica 7 Series de Laurent. Singularidades Práctica 8 Cálculo de residuos y aplicaciones Práctica 9 Cálculo de integrales reales

2 Curso 2/2 Práctica El Sistema de los números complejos. Un número complejo se escribe como z = x + iy donde x = Rez se denomina parte real de z e y = Imz parte imaginaria. El número z = x iy se llama el complejo conjugado de z. El valor absoluto de z = x + iy se define como z = x 2 + y 2 = z z. Todo número complejo z se puede escribir en coordenadas polares como z = z (cos t + i sen t), siendo t R. Cada uno de los valores t que cumplen la anterior igualdad se dice que es un argumento de z. Dos de estos valores difieren en un múltiplo de 2π, con lo cual sólo hay un valor en el intervalo ] π, π], que se denomina argumento principal. En los siguientes problemas se utilizan únicamente las propiedades elementales de las operaciones con números complejos. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio. Expresar los siguientes números complejos en la forma x + iy. (i) ( + 2i) 3 5 (ii) (iii) 3+4i ( ) 2 2+i 3 2i (iv) i 5 + i 6 +i (v) +i 8 (vi) ( + i) n ( i) n (vii) k= ik Ejercicio.2 Probar que (i) z + > z Rez > (ii) Imz > e Imw > z w z w (iii) z w 2 ( + z 2 ) ( + w 2 ) < Ejercicio Probar la ley del paralelogramo: z + w 2 + z w 2 = 2( z 2 + w 2 ) para todo z, w C. Ejercicio.4 Sean a, b, z C tales que z =. Probar que az+b bz+a =. Ejercicio.5 Sea P (z) un polinomio con coeficientes complejos; esto es, P (z) = n j= a jz j, y sea P (z) = n j= a jz j. Probar que (i) P (z) = P (z) para todo z C. (ii) Si a j R para todo j y z es una raíz de P (z) =, entonces z también lo es.

3 Práctica : El Sistema de los números complejos. 2 Raíces de números complejos Si z C, con z y n N, entonces existen exáctamente n números complejos diferentes z, z,...,z n tales que zk n = z para k =,..., n. Escribiendo z = z (cos t + i sen t ) con t [, 2π[, las raíces vienen dadas por las fórmulas z k = n z Cdot(Cos t + 2kπ n Por tanto, dado z, la expresión + i sen t + 2kπ n ), k =,,..., n. n z designa un conjunto de n elementos. Ejemplo. Vamos a calcular las raíces cúbicas de. Por ser = cos + i sen, se sigue de la fórmula anterior que las raíces cúbicas son z = Cos + i sen =, z = cos 2π 3 + i sen 2π 3 = 2 + i 3 2 y z 2 = cos 4π 3 + i sen 4π 3 = 2 i 3 2. Ejercicio.6 Calcular las siguientes expresiones. (i) i. (ii) 4 i. 4 (iii) 3 + 3i. (iv) 3. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio.7 (i) Resolver la ecuación z = z n, siendo n N y n 2. (ii) Determinar los valores x, y R que satisfacen la igualdad x + iy = (x iy) 2. Ejercicio.8 Probar que las raíces n-ésimas de la unidad distintas de satisfacen la ecuación +z+z 2 + +z n =.

4 Curso 2/2 3 Práctica 2 Funciones holomorfas Una función de variable compleja f : D C se dice que es derivable en z C si existe f(z) f(z ) lím z z z z y ese número complejo se denota por f (z ). Es fácil ver que f (z ) = u x + i v x. La derivación compleja verifica las propiedades usuales de la derivación de suma, producto, cociente o composición de funciones derivables. La relación entre la derivabilidad de una función compleja y la diferenciabilidad como función de un subconjunto de R 2 en R 2 viene expresada por el siguiente resultado. Una función f es derivable en z = (x, y ) si, y sólo si, es diferenciable en (x, y ) y se cumplen u las ecuaciones de Cauchy-Riemann: x (x, y ) = v y (x, y ) y v x (x, y ) = u y (x, y ). Ejemplo 2. La función definida por f(x + iy) = (x 2 y 2 ) + i2xy es derivable compleja. En efecto, por un lado es diferenciable en cualquier punto por ser cada componente un polinomio. Por otro lado, como u(x, y) = x 2 y 2 y v(x, y) = 2xy, se verifica que u v x = 2x = y y u v y = 2y = x. Además, f (z) = 2x + i2y = 2z. Otra manera de verlo es comprobando que, en realidad, f(z) = z 2. Ejemplo 2.2 La función definida por f(x + iy) = (x 2 3y) + i(y 2 + 2xy) no es derivable compleja en ningún punto porque, aunque es diferenciable (al ser cada componente un polinomio), no cumple las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Sean u(x, y) = x 2 3y y v(x, y) = y 2 + 2xy. Si se cumpliesen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, u entonces x = v y con lo cual 2x = 2y + 2x que sólo se cumple para y =. Por otra parte, de u y = v x se deduce que 3 = 2y, con lo cual y. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 2. Estudiar para qué valores son diferenciables y para qué valores son derivables las siguientes funciones. (i) f(x + iy) = x. (ii) f(x + iy) = y. (iii) f(x + iy) = x 2 + y 2. Ejercicio 2.2 (i) Demostrar que la función conjugado f(z) = z es diferenciable en todo punto y derivable en ninguno. (ii) Si f : C C es una función derivable en todo punto, demostrar que existe g : C C derivable tal que g(z) = f(z). Ejercicio 2.3 Probar que las siguientes funciones cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en el punto pero no son derivables complejas.

5 Práctica 2: Funciones holomorfas 4 (i) f(x + iy) = { x 3 y 3 x 2 +y + i x3 +y 3 2 x 2 +y, si x + iy ; 2, si x + iy =. (ii) f(z) = { z 5 z 4, si z ;, si z =. (iii) f(x + iy) = x y Ejercicio 2.4 Estudiar en qué puntos las siguientes funciones son derivables y calcular sus derivadas. (i) f(x + iy) = x 2 + iy 2 (ii) f(x + iy) = x 2 + 2x iy (iii) f(x + iy) = 2xy + i(x y3 ) Ejercicio 2.5 Calcular los valores que deben tomar a, b, c R para que la función f sea derivable en C. (i) f(x + iy) = x + ay + i(bx + cy) (ii) f(x + iy) = cos x (ch y + a sh y) + i sen x (ch y + b sh y) Ejercicio 2.6 En este problema se muestra que el teorema del valor medio no se cumple para la derivada compleja. Probar que para todo λ R se cumple λ + i( λ) 2 2. Deducir que si f(z) = z3, no existe ξ [, i] tal que f(i) f() = (i )f (ξ). Ejercicio 2.7 Sean D C un abierto conexo y f : D C una función derivable en D (i) Demostrar que si f (z) = para todo z D, entonces f es constante. (ii) Probar que si para un n N se cumple que f (n+) (z) = para todo z D, entonces f es un polinomio de grado menor o igual que n. Ejercicio 2.8 Sea f : D C derivable en z D, con f (z). (i) Probar que f preserva el ángulo entre dos arcos diferenciables que pasan por z. (ii) Demostrar que f preserva la magnitud del ángulo entre dos arcos diferenciables que pasan por z, pero invierte la orientación. Ejercicio 2.9 Sean D C un abierto conexo y f : D C una función derivable en D, con u = Ref y v = Imf. Probar que f es constante en D si se cumple una de las siguientes condiciones: (i) v(x, y) = u(x, y) 2 para todo z = x + iy D. (ii) u(x, y) 2 + v(x, y) 2 = cte para todo z = x + iy D. (iii) Existen a, b R\{} tales que au(x, y) 2 + bv(x, y) 2 = cte para todo z = x + iy D. Ejercicio 2. Sea f : C C de la forma f(x + iy) = u(x) + iv(y). Probar que f es derivable en C si, y sólo si, existen λ R y c C tales que f(z) = λz + c para todo z C. Ejercicio 2. Sea f : D C, donde D es un abierto convexo. Demostrar que si f es derivable en D y = para todo x + iy D, entonces f es constante. u x + v y

6 Práctica 2: Funciones holomorfas 5 Ejercicio 2.2 Demostrar que una función derivable en un abierto conexo D y cuyos valores son reales se reduce a una constante.

7 Curso 2/2 6 Práctica 3 Series de potencias Radios de convergencia Presentamos en primer lugar la fórmula de Cauchy-Hadamard para el cálculo del radio de convergencia de una serie de potencias: Dada la serie de potencias n= a n(z a) n, se considera R =. lím sup n a n n Entonces: a) Si z a < R, la serie converge absolutamente; además, si < r < R, la serie converge uniformemente en {z : z r}. b) Si z a > R, la serie diverge. Ejemplo 3. n!z n2, n= Obsérvese que esta serie puede reescribirse en la forma donde a n = a n z n, n= {, si n k 2 k N k!, si n = k 2 para algún k N Así, lím sup a n n = sup{, lím n (n!) n 2 } =, y por lo tanto el radio de convergencia de la serie es. Para calcular el radio de convergencia de las series de potencias, es a veces útil la siguiente propiedad: Sea n= a n(z a) n una serie de potencias con radio de convergencia R. Entonces: cuando el límite existe. R = lím n a n a n+, La fórmula de Cauchy-Hadamard no proporciona información sobre el comportamiento de una serie de potencias n= a n(z a) n en los puntos donde z a = R, siendo R el radio de convergencia. En tales puntos, es necesario un estudio particular de la serie considerada. Ejemplo 3.2 La serie n= zn n tiene radio de convergencia. Debe estudiarse así su convergencia o divergencia para los valores z C tales que z =. La serie armónica n= n es divergente; si z =, z, se tiene que: n j= z j = z zn+ 2 z z,

8 Práctica 3: Series de potencias 7 y por lo tanto la serie: converge por el criterio de Dirichlet: n= Sea {a n } n= R + monótona decreciente y convergente a y sea {b n } n= C tal que { n j= b j} n= está acotada. Entonces la serie n= a nb n es convergente en C. 2 Problemas propuestos. Ejercicio 3. Calcula el radio de convergencia de las siguientes series de potencias: (i) n log n z n n=2 (ii) n= z n n n n n! zn (iii) a n2 z +2+ +n n= ( ) n + a (iv) 2 n z n! (v) sin nz n (vi) z n a N n n= n= n= (vii) a n z n m, si n = 3m, 2m 2 donde a n = 2m+, si n = 3m +, n= m 4, si n = 3m + 2. Ejercicio 3.2 Estudia el comportamiento en la frontera del disco de convergencia de las siguientes series: (i) n= z n (ii) n= z n n 2 (iii) ( ) n zn n n= (iv) n= z pn n p N (v) n= ( ) n z3n log n 3 Producto de series. Holomorfía de las funciones analíticas. Una función que puede expresarse por medio de una serie de potencias se denomina analítica. Una función analítica f(z) = a n (z a) n n= es infinitamente diferenciable en el interior de su disco de convergencia D(a, R). Además se cumple:.- f (z) = n= na n(z a) n z D(a, R). 2.- a n = n! f (n) (a) n. Como consecuencia, el desarrollo en serie de potencias de una función analítica es único. Ejemplo 3.3 Calcular la serie de potencias de z ( z) 2,. Consideremos en primer lugar la identidad elemental: n j= z j = zn+, z

9 Práctica 3: Series de potencias 8 de donde se obtiene: z = z n z : z <. Tomando derivadas en la igualdad anterior y multiplicando por z se deduce que: n= z ( z) 2 = z + 2z2 + 3z nz n +. Un criterio de utilidad en el estudio de las series de potencias es el llamado teorema de Mertens: Sean A(z) = n= a n(z a) n, B(z) = n= b n(z a) n dos series de potencias con radio de convergencia R, R 2, respectivamente. Entonces A(z)B(z) define una serie de potencias: A(z)B(z) = c n (z a) n, c n = n= convergente en el recinto z a < mín(r, R 2 ). Ejemplo 3.4 Calcular la serie de potencias centrada en de Escribimos: y el teorema de Mertens asegura que: n= e z z 2 4z + 3 = n= n a k b n k, k= a n z n H(C {, 3}), (z 2 4z + 3)( a n z n ) = e z, n= z n n! = ez = 3a + (3a 4a )z + Por la unicidad del desarrollo en serie, se obtiene: (a n 2 4a n + 3a n )z n. n=2 a = 3, a = 7 9, a n = 4a n a n 2 + n! 3 n 2. Ejemplo 3.5 Ejemplo 3. Sea L una determinación continua del logaritmo en un entorno de, calcular el desarrollo en serie de potencias centrado en de f(z) := L( +z z ). Observemos que Por tanto donde a = L(). f (z) = + z + z = ( ) n z n + z n = 2 z 2n. f(z) = a + n= n= ( ) 2 z 2n+, 2n + n= n=

10 Práctica 3: Series de potencias 9 4 Problemas propuestos Ejercicio 3.3 Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en de: (i) ( z) k+ k N (ii) z( + z) ( z) 3 z (iii) z 2 4z + 3 (iv) z + z 2 Ejercicio 3.4 Calcula el desarrollo en serie de potencias centrado en y calcula el radio de convergencia del desarrollo obtenido de la función: z 2 (z + ) 2. Ejercicio 3.5 Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:.- ( z 2 )f (z) 4zf (z) 2f(z) =, f() = f () =. 2.- ( z)zf (z) f(z) =, f() =. Ejercicio 3.6 Dadas las funciones hiperbólicas: sinh z = ez e z, cosh z = ez + e z, 2 2 calcula su desarrollo en serie de potencias centrado en. Ejercicio 3.7 Determina las series de Taylor para las funciones sin z y cos z en π 4. Ejercicio 3.8 Halla la serie de Taylor en de (z + a) β = e βl(z+a), donde L es una rama continua del logaritmo y a ; calcula su radio de convergencia. Ejercicio 3.9 Demuestra que: cos z = ( ) n E 2n n= donde E n viene dado por la expresión recurrente: ( E =, 2n ) E + ( ) 2n 2 E2 + + ( 2n) E2n =. 2n! z2n

11 Curso 2/2 Práctica 4 Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. La función exponencial se define como la función analítica en C dada por la serie de potencias: e z := n= z n n! z C. Por medio de las fórmulas de Euler se introducen las funciones trigonométricas: cos z = eiz + e iz 2 sin z = eiz e iz, 2i de donde se deduce inmediatamente su desarrollo en serie de potencias: cos z = n= ( ) n z 2n, sin z = (2n)! n= ( ) n z 2n+. (2n + )! Dado un número complejo z no nulo, llamaramos argumento (respect. logaritmo) de z a todo número real θ (resp. complejo ξ) tal que z = z e iθ (resp. z = e ξ ). Al conjunto de todos los argumentos (resp. logaritmos) de z lo denotaremos por arg z (resp. log z). Si ξ es un logaritmo de z entonces Im ξ es un argumento de z y si θ es un argumento de z entonces log z +iθ es un logaritmo de z. Además si θ y ξ son un argumento y logaritmo de z respectivamente entonces log z = {ξ + 2pπi : p Z} y arg z = {θ + 2pπ : p Z}. Dado S C diremos que L : S C (respectivamente A : S R) es una determinación continua o rama uniforme del logaritmo (resp. argumento) si L (resp. A) es una función contínua en S y L(z) (resp. A(z)) es un logaritmo (resp. un argumento) de z para todo z S. Para cada α R denotamos por H α la semirecta H α := { re iα : r }. Existe una única rama uniforme del logaritmo en C \ H α tal que α π < Imz < α + π para todo z C \ H α. Ejercicio 4. Sea A la rama uniforme del argumento en C\], ] que toma valores en ] π, π[. Se pide calcular A(z) en los siguientes casos. z = cosα + isenα, π < α < 3π 2 2. z = +cosα isenα +cosα+isenα, < α < π 2 3. z = a(cosα + isenα), a > y α < π, α. Ejercicio 4.2 Probar que α+β 2 es un argumento de e iα + e iβ. Calcular el módulo de este último número. Se sugiere hacer un dibujo. Ejercicio 4.3 Aplicar las fórmulas de De Moivre para obtener expresiones para cos 5t y sen 5t en función de cos t y sen t.

12 Práctica 4: Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. Ejercicio 4.4 Probar la identidad trigonométrica de Lagrange: para sen t 2. + cos t + cos 2t + + cos nt = 2 + sen (n + 2 )t 2 sen t 2 Ejercicio 4.5. Encuentra el error en la paradoja de Bernouilli: = log() = log( ) 2 = 2log( ) luego = log( ) y por tanto = e =. 2. Estudia la relación entre L(z z 2 ) y L(z ) + L(z 2 ) donde L es una rama uniforme del logaritmo. 3. Sea L rama uniforme del logaritmo en C\], ] cuya parte imaginaria toma valores en ] π, π[. Probar que si z y z 2 tienen parte real positiva entonces L(z z 2 ) = L(z ) + L(z 2 ). Ejercicio 4.6 Averigua los ceros de las funciones. + e z 2. + i e z Ejercicio 4.7. Están acotadas las funciones seno y coseno en todo C?. 2. Resolver la ecuación cosz = 4. Ejercicio 4.8 Calcular i, i i, i 2. Ejercicio 4.9 Sea L la rama uniforme del logaritmo en C \ H α tal que α π < ImL(z) < α + π y sea también z H α \ {}.. Calcula L ( z ). 2. Sean L y L 2 las restricciones de L a los conjuntos {z C : Im L(z) ]α, α + π[} y {z C : Im L(z) ]α π, α[}. Demuestra que existen los límites lím z z L (z), lím z z L 2 (z) y calcula cuánto valen. Ejercicio 4. Sean f una función derivable en z, f (z ), y n N, n. Demuestra que existe un entorno V de z y una función h : V C derivable en z, tal que h n = f. Ejercicio 4. Sea L una rama uniforme del logaritmo en {z : Im z }. Calcula L () L ( ). Sea L 2 una rama uniforme del logaritmo en {z : Im z }. Calcula L 2 ( ) L 2 (). Deduce de los apartados anteriores que no existe ninguna rama uniforme del logaritmo en C \ {}. Ejercicio 4.2 Estudia la relación entre los conjuntos z 2α, (z α ) 2, (z 2 ) α.

13 Práctica 4: Funciones elementales. Argumentos y logaritmos. 2 Ejercicio 4.3 Prueba que no existe g continua en C \ {} tal que e g(z) = z 2. Ejercicio 4.4 Sea C un subconjunto conexo del plano complejo, n N y f : C C, g : C C, determinaciones continuas de la raíz n-ésima. Demuestra que existe un k N, k n, tal que f(z) = g(z)e 2kπi/n, z C.

14 Curso 2/2 3 Práctica 5 Integración sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. Para calcular integrales curvilíneas, se utilizan fundamentalmente tres métodos. Además de la propia definición, podemos aplicar el teorema fundamental; es decir, utilizar la existencia de primitivas, o bien la fórmula de Cauchy. Ejemplo 5. Por la definición. Calcular γ f(z) dz, siendo γ(t) := eit t 2π y f(z) := z +i tomando A el argumento comprendido entre y 2π. Como z +i = e (log z +i A(z))( +i) y si t [, 2π] y z = e it, se tiene z = y arg z = t luego 2π 2π z +i dz = e ( +i)it ie it dt = i e t dt = [ ie t ] 2π = i( e 2π ). γ Ejemplo 5.2 Por la existencia de primitiva. Calcular la integral de la función /z a lo largo del cuadrado de vértices + i, i,, i, + i, recorrido en sentido antihorario. Calcularemos lo que vale la integral en cada uno de los lados del cuadrado y sumaremos. Lo hacemos así porque no existe una primitiva de /z en un abierto que incluya al cuadrado. En cambio cada uno de los lados está contenido en un abierto convexo en el que /z sí tiene una primitiva, que será una conveniente rama del logaritmo. Así, en [ + i, + i] elegiremos el argumento comprendido entre π y π. Entonces, /zdz = [log z] +i +i = [+i, +i] = log 2 + i A( + i) (log 2 + i A( + i)) = i(3π/4 (π/4)) = iπ/2. En el segmento [ + i, i] elegiremos la rama del argumento comprendido entre y 2π Entonces /z dz = [log z] i +i = [ +i, i] = log 2 + i A( i) (log 2 + i A( + i)) = i(5π/4 (3π/4)) = iπ/2. En el segmento [ i, i] elegiremos la rama del argumento comprendido entre y 2π Entonces /zdz = [log z] i i = [ +i, i] = log 2 + i A( i) (log 2 + i A( i)) = i(7π/4 (5π/4)) = iπ/2. Por último, en el segmento [ i, + i] elegiremos la rama del argumento comprendido entre π y π Entonces /zdz = [log z] +i i = [ +i, i] = log 2 + i A( + i) (log 2 + i A( i)) = i(π/4 ( π/4)) = iπ/2. Sumando todos los resultados se obtiene [+i, +i] z dz + [ +i, i] z dz + con lo cual z dz = 2πi. C [ +i, i] z dz + [ +i, i] z dz = 2πi

15 Práctica 5: Integración sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. 4 Ejemplo 5.3 Por la fórmula integral de Cauchy. Calcular γ f(z) dz siendo γ(t) := eit t 2π y f(z) = e iz /z 2. Aplicando la fórmula para la derivada a la función e iz γ e iz z 2 dz = 2πif () = 2πiie i = 2π. PROBLEMAS PROPUESTOS en el punto, resulta Ejercicio 5. Calcular las integrales de las funciones z(z ) y Re(z) a lo largo de los segmentos [, +i], [, ], [, + i]. Ejercicio 5.2 Calcular γ f(z) dz siendo γ(t) := + 2 eit t 2π y f(z) = L(z)/z n, n N. Aquí L denota una rama uniforme del logaritmo en C\], ] cuya parte imaginaria está entre π y π. Ejercicio 5.3 Calcula siendo γ(t) = te it, t 3π/2. γ dz z + 2i, Ejercicio 5.4 Calcular f(z) dz, siendo γ (i) γ(t) := e it t 2π y f(z) = (e z e z )/z n, n N. (ii) γ(t) := e it t 2π y f(z) = (senz)/z 3. Ejercicio 5.5 Calcular las siguientes integrales: (i) 5z 2 γ z(z ) dz; donde γ es una circunferencia de centro y radio mayor que 2. (ii) dz/( z) 3. z = 2 (iii) dz/( z) 3. z+ = 2 (iv) z = 2 (v) z = 2 (vi) z = 3 2 (vii) z =2 dz ( z). 3 e z dz ( z). 3 e z z(z )(z 2) dz. e senz2 z 2 (z 4) dz. Ejercicio 5.6 Calcular L(z) C(2i,) z 2 +2 dz, donce L(z) es una rama uniforme del logaritmo con argumento tomando valores en ]6π, 8π[ y C(2i, ) es la circunferencia de centro 2i y radio recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Ejercicio 5.7 Sea P (z) un polinomio de grado n, sea R > suficientemente grande para que P (z) no se anule en {z C : z R}. Sea C(, R)(t) = Re it, t [, 2π]. Probar que P (z) dz = n. 2πi C(,R) P (z)

16 Práctica 5: Integración sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. 5 Ejercicio 5.8 Desarrollar en serie de potencias centrada en la función f(z) = senu [,z] u Principio de prolongación analítica Ejercicio 5.9 Sean f, g : U C dos funciones holomorfas en U abierto conexo tal que f(z) g(z) = para todo z U. Probar que f o g en U. du. Ejercicio 5. Sean f, g : U C dos funciones holomorfas en U abierto conexo tal que ni f ni g son idénticamente cero en U. Supongamos que existe una sucesión (z n ) en U convergente a z U con z n z o, n =, 2,... y f(z n )g (z n ) f (z n )g(z n ) =, n =, 2,.... Probar que existe un c C tal que f(z) = cg(z), z U. Ejercicio 5. Averigua si es posible construir una función f : B(, ) C holomorfa tal que f(/n) = z n (i) z n = ( ) n. (ii) z n = n/(n + ). (iii) z n = si n es par y z n = /n si n es impar. (iv) z n = sen(/n) si n es par y z n = cos(/n) si n es impar. cuando: Ejercicio 5.2 Sea f una función entera tal que f(/n) = /n 2 para todo n N. Calcular f(i). Ejercicio 5.3 Sea f : C \ ], ] C una función holomorfa tal que f(e i n+ n ) = i n+ n f(2i). Ejercicio 5.4 Sea f una función entera tal que f 2 (x) + cos 2 x =, x R. Calcula f(i). Principio del módulo máximo y teorema de Liouville para todo n N. Calcular Ejemplo 5.4 Sea f : U C una función holomorfa no constante en U abierto conexo. Probar que u = Re f(z) y v = Im f(z) cumplen los principios locales del módulo máximo y mínimo. La función e f es holomorfa, no constante y no se anula en ningún punto. Entonces cumple los principios del módulo máximo y mínimo, es decir, e f = e u no tiene extremos relativos en U. En consecuencia, u tampoco tiene extremos relativos. Para v, bastaría razonar del mismo modo con la función if. PROBLEMAS PROPUESTOS Ejercicio 5.5 Sea f : cl(u) C una función continua y holomorfa en U abierto conexo acotado. Probar que la parte real y la parte imaginaria de f alcanzan el mínimo y el máximo en F r(u). Ejercicio 5.6 Sea f : C C una función entera. (i) Probar que si f(c) no es constante entonces para cada c > se cumple que cl{z C : f(z) < c} = {z C : f(z) c}. (ii) Si f(c) no es un conjunto denso en C entonces f es constante. (iii) Probar que si Re f(z) o Imf(z) es una función acotada entonces f es constante.

17 Práctica 5: Integración sobre caminos. El teorema de Cauchy-Goursat. 6 Ejercicio 5.7 Si f es entera y toma valores reales en la circunferencia unidad, probar que f es constante. Ejercicio 5.8 Comprobar que cosx 2 dx = senx 2 dx = π 2 2. (Sugerencia: Considerar la función e iz2 y el camino que delimita a la región {z : z < r < A(z) < π/4}.) Ejercicio 5.9 Comprobar que e x2 cos(2bx)dx = e b2 π/2 sabiendo que e t2 dt = π (Sugerencia: Considerar la función e z2 y el camino que delimita al rectángulo [ r, r] [, b]. )

18 Curso 2/2 7 Práctica 6 Índice y Teorema general de Cauchy Ejercicio 6. Sea ϕ : [ π/2, π/2] C, ϕ(t) = cos 2 te it, t [ π/2, π/2]. Calcular I (ϕ, /2). Ejercicio 6.2 Sea ϕ : [, 2π] C, ϕ(t) = 2 cos t + i sin t, t [, 2π]. Calcular I (ϕ, ). Ejercicio 6.3 Sea f : Ω C analítica tal que f(z) para z Ω. Probar que todo logaritmo continuo de f es también un logaritmo analítico en Ω. Ejercicio 6.4 Determinar para que valor del parámetro a, la función tiene primitiva en C \ {}. f(z) := ( z + a ) z 3 e z Ejercicio 6.5 Sea Ω un abierto del plano complejo y f H (Ω) tal que / f (Ω), probar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: i) F H (Ω) tal que e F (z) = f(z), z Ω, ii) G H (Ω) tal que G (z) = f (z)/f(z), z Ω. Ejercicio 6.6 Calcular dz γ z 2, siendo { + e γ(t) := it, si t [ 2π, ]; e it, si t [, 2π]. Ejercicio 6.7 Calcular f(z) dz, siendo f(z) = γ z 3 y 2t 4 π ei(π/4), si t [, π/4]; γ(t) := 2e it, si t [π/4, 7π/4]; 2(2π t) 4 π e iπ/4, si t [7π/4, 2π]. Ejercicio 6.8 Calcular 2π a 2 cos 2 t+b 2 sin 2 t γ(t) = a cos t + ib sin t, t [, 2π], a, b >. 2π dt = ab, relacionándola con la integral γ z dz, siendo

19 Curso 2/2 8 Práctica 7 Series de Laurent. Singularidades. Ejercicio 7. Escribir el desarrollo en serie de Laurent de z 2 2z+5 (z 2)(z 2 +) z 2 e z en z =. e z en z =. cos z2 4z (z 2) 2 en z = 2. en z = 2 y en la corona < z < 2. Ejercicio 7.2 Obtener tres desarrollos de Laurent diferentes de unicidad del desarrollo? 7z 2 z(z+)(z 2) alrededor de z =. Contradice esto la Ejercicio 7.3 Sea + n= a n(z a) n el desarrollo de Laurent de una función holomorfa en B(a, r) \ a. Calcular el radio de convergencia de la serie a n z n. Ejercicio 7.4 (Regla de L Hopital) Sean f, g analíticas en a, no idénticamente nulas en un entorno de a con f(a) = g(a) =. Probar que f(z) existen (en C { }) lím z a g(z) y lím z a f (z) g (z) y coinciden. Ejercicio 7.5 Clasificar las singularidades de las funciones. z 2 + z z senz 3. e (z+ z ) 4. e z2 5. +cosz z π 6. e z+a z+a 7. zsh z Ejercicio 7.6 Clasificar la singularidades de las siguientes funciones, incluyendo el punto del infinito sen2 z z 4 z 2 (z+) + sen z senz k z. Ejercicio 7.7 ( Hallar la singularidades aisladas y la naturaleza de las mismas de la función sen sen z ).

20 Práctica 7: Series de Laurent. Singularidades. 9 Ejercicio 7.8 a) Si f tiene una singularidad esencial en a, también f 2 la tiene. b) Si, además, f no se anula en un entorno reducido de a, entonces f también tiene una singularidad esencial en a. Ejercicio 7.9 Si f es derivable en {z C : z > R} y lím z zf(z) =, probar que existe lím z z 2 f(z). Ejercicio 7. Si f tiene una singularidad aislada en a y Re(f)(z) > en un entorno reducido de a, entonces a es evitable. (En primer lugar,descartar que sea esencial) Ejercicio 7. Si f tiene una singularidad aislada esencial en a y P es un polinomio no constante, entonces a es una singularidad aislada esencial de P f. Ejercicio 7.2 Si f es una función entera tal que lím z f(z) =, f es un polinomio.

21 Curso 2/2 2 Práctica 8 Cálculo de residuos y aplicaciones Ejercicio 8. Sean g, h analíticas en a con g(a), h(a) = y h (a). Entonces f(z) = g(z) h(z) tiene un polo simple en a y res(f, a) = g(a) h (a). () En general, si g tiene un cero de orden k en a y h tiene un cero de orden k +, entonces f tiene un polo simple cuyo residuo es (k + ) g(k) (a) h (k+) (a). Ejercicio 8.2 Sean g, h analíticas en a con g(a), h(a) =, h (a) = y h (a). Entonces f(z) = g(z) h(z) tiene un polo de orden 2 en a y res(f, a) = 2g (a) h (a) 2g(a)h (a) 3h (a) 2. Ejercicio 8.3 Calcular los residuos de la funciones indicadas en sus puntos singulares aislados: z 3 z 5 z 2n (+z) n sen2z (+z) 3 ( z 3 cos z 2 z n sen( z ) sen z z 2 senz ) Ejercicio 8.4 Demostrar que z 4 + 6z + 3 tiene todas las raíces en el círculo z 2 y que tres de ellas están en el anillo < z < 2. Ejercicio 8.5 Hallar el número de raíces de la ecuación z 7 5z 4 + z 2 2 = en el anillo < z < 2. Idem para 4z 4 29z = en 2 < z < 3. Ejercicio 8.6 Sea f analítica en un abierto que incluye a D(, ) tal que f(z) < si z =. Demostrar que la ecuación f(z) = z n tiene n raíces en D(, ). Ejercicio 8.7 Cuántas raíces tiene en B(, ) la ecuación e z 4z n + =? Ejercicio 8.8 Demostrar que la ecuación z = λ e z (λ > ) tiene en el semiplano derecho una raíz unica (y real).

22 Práctica 8: Cálculo de residuos y aplicaciones 2 Ejercicio 8.9 Demostrar que ze λ z =, λ >, tiene en D(, ) una sola raíz (real y positiva). Ejercicio 8. Sea f holomorfa en B(, ρ) y sea < r < ρ. Pongamos m := inf z =r f(z) y supongamos que f() + r f () < m. Por medio del desarrollo de Taylor de f, del orden adecuado, demostrar que f tiene al menos dos ceros en B(.r). Ejercicios complementarios Ejercicio 8. Sea f analítica en C salvo en los polos y para los que res(f, ) = res(f, ). Probar que f tiene una primitiva en C \ [, ]. Ejercicio 8.2 Probar que si P (z) es un polinomio de grado mayor o igual que 2 la suma de todos los residuos de P (z) es. Deducir que si P tiene n raíces distintas, z,..., z n, entonces j=n j= P (z =. j)

23 Curso 2/2 22 Práctica 9 Cálculo de integrales reales TIPO I 2π R(senx, cosx)dx, siendo R(x, y) una función racional de dos variables reales, se puede escribir usando las fórmulas de Euler como C(,) R( z z 2i ayuda del teorema de los residuos. Ejercicio 9. dx siendo a R, a >. 2π a+cosx Ejercicio 9.2 2π sen 2n xdx., z+ z 2 ) iz dz. Esta última integral se resuelve con En los siguientes 3 lemas γ R denotará el arco de circunferencia γ R (t) = Re it, θ t θ 2. Lema A. Sea g una función continua en {z = ρe iθ : ρ R, θ θ θ 2 }. Si lim z zg(z) = entonces lim R γ R g(z)dz =. Lema B. Sea g una función continua en {z = ρe iθ : < ρ R, θ θ θ 2 }. Si lim z zg(z) = entonces lim R γ R g(z)dz =. Lema C. Sea g una función continua en un sector del semiplano superior {z = ρe iθ : ρ R, θ θ θ 2 }, θ θ 2 π. Si lim z g(z) =, λ > entonces lim R γ R e iλz g(z)dz =. En lo que sigue A p (z) y B q (z) denotarán dos polinomios (de grado p y q respectivamente), (a k ) son los ceros de B q y f representa la función racional f(z) := Ap(z) B. Representaremos por γ q(z) R la semicircunferencia γ R (t) := Re it, t π. TIPO II f(x)dx. Suponemos que B q no tiene ceros reales y q p + 2. Cuando R > es suficientemente grande se tiene, en virtud del teorema de los residuos, R Se sigue del Lema A: R f(x)dx + f(z)dz = 2πi (Res(f(z), a k ) : Im(a k ) > ). γ R f(x)dx = 2πi (Res(f(z), a k ) : Im(a k ) > ). Ejercicio 9.3 x 2 x 4 + dx. Ejercicio 9.4 dx (x 2 +a 2 ) n, a >.

24 Práctica 9: Cálculo de integrales reales 23 TIPO III f(x)eiλx dx. Suponemos que B q no tiene ceros reales, q p + y λ >. Al igual que antes, se tiene para R > suficientemente grande, R R Se sigue del Lema C: f(x)e iλx dx + f(z)e iλz dz = 2πi (Res(f(z)e iλz, a k ) : Im(a k ) > ). γ R f(x)e iλx dx = 2πi (Res(f(z)e iλz, a k ) : Im(a k ) > ). Debe observarse que cuando q p + 2 se tiene que f(x)e iλx es integrable Lebesgue en R pero cuando q = p + y λ > la integral anterior debe interpretarse como una integral de Riemann impropia. Ejercicio 9.5 cosmx (x 2 +y 2 ) 2 dx. Ejercicio 9.6 xsenmx +x 2 +x 4 dx. TIPO IV V.P. f(x)eiλx dx. Supongamos ahora que f(z) := Ap(z) B q(z) tiene un polo real simple a y sean q p + y λ (o bien q p + y λ = ). Dados R > y < ɛ < R denotamos por γ R,ɛ la frontera de la región limitada por el eje real y las semicircunferencias γ R y a + γ ɛ, orientada positivamente. Para R suficientemente grande y ɛ suficientemente pequeño el teorema de los residuos proporciona γ R,ɛ f(z)e iλz dz = 2πi (Res(f(z)e iλz, a k ) : Im(a k ) > ). Se sigue de los lemas A,C y la observación lim ɛ a +γ ɛ g(z)dz = iπres(g(z), a ) que existe el valor principal V.P. f(x)e iλx dx = 2πi (Res(f(z)e iλz, a k ) : Im(a k ) > ) + iπres(f(z)e iλz, a ). Una expresión similar se obtiene cuando f presenta varios polos reales simples. Ejercicio 9.7 dx. senx x Ejercicio 9.8 V.P. costx x 3 dx.

25 Práctica 9: Cálculo de integrales reales 24 TIPO V x a f(x)dx. Supongamos que f no tiene polos en ], + [, a ], + [\N y existen < b < a < c tales que lim z f(z) z b = lim z f(z) z c =. Entonces x a f(x)dx = 2πi e 2πia (Res(z a f(z), a k ) : a k ) siendo z a = e (a )logπ(z), log π la rama del logaritmo definida en C \ [, + [ con < Im(log π ) < 2π. Basta integrar z a f(z) a lo largo de la curva γ R,r,ɛ determinada por los segmentos [re iɛ, Re iɛ ], [re iɛ, Re iɛ ] y los arcos de circunferencia γ R (t) = Re it y γ r (t) = re it (ɛ t 2π ɛ). Después se toman límites cuando R, r y ɛ. Ejercicio 9.9 x 3 x 2 +x+ dx. Ejercicio 9. x α (x+) 2 dx, < α <. TIPO VI f(x)logxdx y f(x)dx. Suponemos que f(z) = Ap(z) B q(z) no tiene polos en [, + [, q p + 2 y f toma valores reales en la recta real. Procediendo como en el caso anterior se obtiene Ejercicio 9. x x 4 + dx. Ejercicio 9.2 logx x 2 +a dx. 2 Suma de series f(x)logxdx = 2 Real( (Res(f(z)(log π (z)) 2, a k )) f(x)dx = 2π Im( (Res(f(z)(log π (z)) 2, a k )). Sean (a k : k m) las singularidades aisladas de una función meromorfa f. Suponemos que a k no es un número entero ( k m) y existen constantes M, R > tales que f(z) M z siempre que 2 z > R. Definimos g(z) = π cosπz senπz f(z), h(z) = π senπz f(z). Entonces y también + n= + n= f(n) = m Res(g(z), a k ) k= ( ) n f(n) = m Res(h(z), a k ). Para obtener las relaciones anteriores basta integrar g y h a lo largo de un cuadrado centrado en el origen y de semilado N + 2, N N, para después tomar límites cuando N. k=

26 Práctica 9: Cálculo de integrales reales 25 Ejercicio n= n 2 +. Ejercicio n= ( ) n n 2 +a 2, a >. Ejercicios complementarios No todos los siguientes ejercicios propuestos corresponden a alguno de los seis tipos anteriores. Para su resolución hay que usar recintos adecuados y los técnicas usadas en los ejercicios de los tipos anteriores. Ejercicio 9.5 2π cosmx 2acosx+a 2 dx, < a. Ejercicio 9.6 dx x 4 +. Ejercicio 9.7 x (x 2 +4x+3) 2 dx. Ejercicio 9.8 cosmx x 2 +y dx. 2 Ejercicio 9.9 dx. cosax cosbx x 2 Ejercicio 9.2 dx. sen 2 x x 2 Ejercicio 9.2 x p (+x 2 ) 2 dx, < p < 3. Ejercicio 9.22 dx +x n, n 2. Ejercicio 9.23 logx (+x) 3 dx. Ejercicio n=, k N. n 2k