Capítulo 1. Electrostática de cargas puntuales

Transcripción

1 Capítulo 1 Electostática de cagas puntuales 1.1 Intoducción 1. Caga eléctica 1.3 Fuezas electostáticas. Ley de Coulomb 1.4 Campo eléctico. Líneas de campo eléctico 1.5 Flujo del campo eléctico. Teoema de Gauss 1.6 Tabajo de las fuezas del campo eléctico 1.7 Enegía potencial electostática. Potencial eléctico. upeficies equipotenciales 1.8 Aplicaciones 1.9 Poblemas Objetivos abe calcula el campo eléctico y el potencial eléctico ceados po cagas puntuales y distibuciones siméticas de caga. Adquii los conceptos de enegía potencial electostática y de potencial eléctico. 1.1 Intoducción La inteacción electomagnética, el electomagnetismo, se encuenta pesente en una amplia gama de fenómenos de distinto ámbito que abacan desde las inteacciones electónicas en los átomos y moléculas, es deci de la constitución misma de la mateia, a otas en las que se fundamenta la mayo pate de la tecnología actual: alumbado, motoes, telecomunicación, infomática, etc. Tadicionalmente, se ha dividido el electomagnetismo en dos pates sepaadas asociadas a sus efectos elécticos y magnéticos. De hecho, Hans Chistian Oested, uno de los descubidoes de las elaciones ente ambos efectos, ea pofeso de Electicidad, Galvanismo y Magnetismo, y hasta la constatación de esta elación, en la segunda mitad del siglo XIX, dichos efectos fueon estudiados de modo sepaado. En la actualidad, conocemos que ambos 1-1

2 fenómenos son consecuencia de la misma caacteística de la mateia que se denomina caga eléctica. Este capítulo tiene po objeto el estudio de las cagas elécticas en eposo, la pate del electomagnetismo que se denomina electostática. En los capítulos 6, 7, 8 y 9 se estudiaán los efectos magnéticos de las cagas elécticas en movimiento. 1. Caga eléctica Comenzaemos este tema obsevando una expeiencia sencilla en la que se ponen de manifiesto algunas caacteísticas de la magnitud física caga eléctica. Consideemos una bola de plástico colgada con un hilo aislante y fotada con piel; fotemos con piel ota pieza de plástico con foma de baa. i acecamos la baa a la bola obsevamos que la bola y la baa se epelen. Peo si sustituimos la bola de plástico po ota de vidio y la fotamos con seda, al aceca la baa de plástico fotada con piel vemos que la bola y la baa se ataen. Bola de plástico fotada con piel Baa de plástico fotada con piel Bola de vidio fotada con seda Ámba ελεχτρον Figua 1-1. Fuezas elécticas de atacción y epulsión Antiguamente, los giegos habían hecho expeiencias similaes peo con piezas de ámba, pieles y tejidos en luga de plástico. De ahí que el oigen de la palaba electicidad es la palaba ámba que en giego se escibe ελεχτρον (electón). Justificación: Modelo atómico. Cagas negativas y positivas La explicación de estas fuezas o inteacciones apaecidas en los sistemas descitos se basa en la existencia de una popiedad de la mateia denominada caga eléctica. Bastan dos tipos de caga distintos, que se denominan positiva y negativa, paa entende los fenómenos de atacción y epulsión mostados en la Figua 1-1. Actualmente se sabe que la mateia está fomada po átomos. Los átomos están constituidos po un núcleo, que contiene potones con caga positiva y neutones sin caga eléctica. Este núcleo está odeado po una distibución de electones con caga negativa. La cantidad de caga de un electón y de un potón es la misma, peo de distinto tipo. Ente cagas del mismo tipo apaecen fuezas de epulsión y ente cagas de distinto tipo, fuezas de atacción. La caacteística o popiedad de la mateia que eside en electones y potones se denomina caga eléctica, Q, y es una popiedad fundamental de la mateia, al igual que lo es la masa. e dice que un cuepo está cagado positi- 1-

3 vamente si tiene meno númeo de electones que de potones, y cagado negativamente si es al contaio. Los átomos, en pincipio, tienen tantos potones como electones (son neutos), po lo que tienen la misma cantidad de caga de ambos tipos, siendo nula su caga neta (Figua 1-). La mateia está fomada po átomos, y éstos po un núcleo (potones y neutones) odeado de electones q () q (-) Ión Ión - Figua 1-. Modelo atómico e iones cagados positiva y negativamente Cuando se fota el plástico con piel se tansfieen electones de la piel al plástico, quedando el plástico con un exceso de electones, cagado negativamente, y la piel con falta de electones, cagada positivamente. Mientas que cuando se fota vidio con seda, pasan electones del vidio a la seda, quedando el vidio cagado positivamente y la seda negativamente. En estas tansfeencias de caga de un cuepo a oto, siempe son los electones los que pasan de un cuepo a oto, y nunca los potones, ya que están en el núcleo y es muy difícil movelos de allí. Un átomo con déficit de electones se denomina ión positivo y con exceso de electones ión negativo. La caga eléctica mínima que puede tene un cuepo equivale a la caga de un electón en valo absoluto, se le denomina caga elemental, y se epesenta po e. Popiedades: cuantización y consevación La caga eléctica que posee un cuepo siempe es un múltiplo enteo de la caga elemental e, es deci, la caga está cuantizada, no pudiendo obtenese pates más pequeñas de esta cantidad. Po ota pate, la caga no se cea ni se destuye, puede flui, cambia de posición, peo no puede desapaece. Este hecho constituye el pincipio de consevación de la caga: la caga total en un sistema aislado pemanece constante. La unidad de la caga en el.i. es el culombio (C), que se define en elación al ampeio, pues el ampeio es la unidad de la magnitud fundamental, intensidad de coiente eléctica. Un culombio es la cantidad de caga que ataviesa la sección tansvesal de un conducto, po el que cicula una intensidad de coiente de un ampeio, duante un segundo: 1 C 1 A 1 s, (la intensidad se definiá en el capítulo 3, y el ampeio en el capítulo 6). La ecuación de dimensiones de la caga es: [Q] I T 1-3

4 La caga elemental, vale: e 1, C 1.3 Fuezas electostáticas. Ley de Coulomb Las fuezas atactivas y epulsivas de oigen eléctico que apaecen ente cuepos cagados son genealmente de mucha mayo intensidad que las fuezas de atacción gavitatoia ente ellos. El pimeo en medi las fuezas electostáticas fue Coulomb (1785), utilizando una balanza de tosión. Dos cagas elécticas puntuales q 1 y q, en eposo, sepaadas una distancia en el vacío, ejecen ente sí una fueza cuyo módulo es popocional al poducto de las cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que las sepaa, cuya diección es la de la ecta que las une y es epulsiva si son del mismo signo y atactiva si son de signo contaio. F 1 q q 1 u 1 1 F 1 q 1 1 q F 1 F 1 Figua 1-3. Fuezas ente cagas del mismo signo y ente cagas de signo contaio F q1.q k u 1 1 Ecuación En esta elación, F 1 es la fueza que la caga q 1 ejece sobe q, F 1 es la fueza que la caga q ejece sobe q 1, 1 es el vecto diigido desde q 1 hacia 1 q, y su unitaio. La constante k vale en el vacío k 8, u 1 1 N m /C, aunque es más fecuente encontala en función de ota constante ε 0, k 1/4πε 0 donde ε 0 8, C /N m, es la pemitividad o constante dieléctica del vacío. Ejecicio: Dos cagas puntuales positivas de 1 µc situadas sobe el eje OX de un sistema de coodenadas catesiano, están sepaadas una distancia 1 cm. Detemina las fuezas que se ejecen. Pincipio de supeposición de fuezas electostáticas La fueza total poducida po vaias cagas a la vez sobe ota, es la suma vectoial de las fuezas que apaeceían si actuaan po sepaado. Este he- 1-4

5 cho se denomina pincipio de supeposición, y se aplica también a otos casos de supeposición de fuezas. Po tanto, si se tiene una distibución de cagas q i actuando sobe una caga q, la fueza total sobe q es la suma vectoial de las fuezas que ejece cada una de ellas sobe dicha caga. q 3 3 F q 1 q 1 q F 3 F 1 F 1 q qi F Fi u 4πε i 0 i i Figua 1-4. Pincipio de supeposición Ecuación Campo eléctico Dada una caga eléctica q, el espacio que la odea está modificado po su pesencia, y se dice que en dicha egión hay un campo eléctico. i en un punto de dicho campo colocamos una segunda caga q 0, se define el campo eléctico en ducho punto como la fueza que actuaía sobe q 0 dividida po la caga q 0. Es deci, el campo eléctico E en un punto del espacio es la fueza eléctica que actuaía sobe la unidad de caga positiva situada en dicho punto. E F 1 q u Ecuación 1-3 q0 4πε0 La unidad de campo eléctico es el N/C, aunque veemos que N/C es equivalente a V/m (voltio/meto). Las dimensiones son[e] M L T -3 I -1 e ha descito el campo eléctico como un efecto poducido po las cagas elécticas en eposo, peo más allá de un contexto puamente electostático, el campo eléctico es una magnitud pesente en otos sistemas o entidades más complejos como coientes elécticas, nubes tomentosas, moléculas, ondas electomagnéticas, etc., en los que también existe un efecto cuantificado po esta magnitud. Campos elécticos en la Natualeza (estimación) E (N/C) En los cables domésticos 10 - En las ondas de adio 10-1 En la atmósfea 10 En la luz sola 10 3 Bajo una nube tomentosa 10 4 En un tubo de ayos X 10 6 En el átomo de hidógeno

6 Campo eléctico ceado po n cagas puntuales De manea simila a la supeposición de fuezas electostáticas, el campo eléctico en un punto es igual a la suma vectoial de los campos elécticos ceados po cada una de las cagas en dicho punto. q 3 3 E q 1 q 1 E 3 E 1 E E E i i 1 4πε 0 q i i u i Figua 1-5. Pincipio de supeposición Ecuación 1-4 Ejemplo 1-1 Dadas las cagas puntuales de la figua, calcula: a) El campo eléctico esultante en el punto A(,0) m. Aplica el pincipio de supeposición dibujando en el gáfico los campos que ejece cada caga po sepaado. b) La fueza que actuaía sobe una caga puntual negativa de -3 nc en A. olución q - µc q 1 1 µc A a) El campo poducido po una caga puntual q en un punto cuya posición especto de la caga viene dada po el vecto q es E k u, siendo u el vecto unitaio de. q 1 q N E1 k u k i i C q i j 3600 N E k u ( i j ) C umando ambos vectoes, E 970i 1610 j N q - µc E E E 1 E q 1 1 µc A E 1 1-6

7 b) i en A se sitúa una caga de -3 nc, la fueza sobe ella vale: F qe 3( 970i 1610 j ) 910i 4830 j nn Obsévese que al se una caga negativa el vecto fueza tiene sentido contaio al campo. Líneas de campo eléctico e llaman líneas de campo eléctico a aquellas líneas que, en cada uno de sus puntos, son tangentes al vecto campo eléctico. El campo eléctico puede po tanto epesentase mediante estas líneas, que indicaán la diección del campo en cualquie punto. El campo eléctico ceado po una caga puntual es un campo cental (el vecto campo siempe tiene diección adial), po lo que sus líneas de campo seán ectas que se cotan en el punto donde está situada la caga. Las líneas de campo debidas a vaias cagas puntuales son líneas cuvas, cuya foma depende de los valoes de las cagas y de sus posiciones. a) b) c) Figua 1-6. a) Líneas de campo eléctico ceca de una caga puntual positiva. b) Líneas de campo eléctico ceca de dos cagas puntuales positivas iguales. c) Líneas de campo eléctico ceca de una caga puntual positiva q y negativa q 1.5 Flujo del campo eléctico. Teoema de Gauss Dada una supeficie ceada, en cualquie punto de dicha supeficie podemos defini el vecto supeficie. Paa ello, debemos considea un entono de supeficie alededo de dicho punto (d). El vecto supeficie es un vecto pependicula a ella, sentido hacia el exteio del volumen delimitado po la supeficie, y módulo la supeficie del entono consideado, d. Paa que esta definición sea consistente, el elemento de supeficie debe se una pequeña supeficie plana, y po ello, paa una supeficie de foma cualquiea, es necesaio dividila en pequeñas supeficies infinitesimales. El flujo elemental (dφ) de un campo eléctico a tavés de una supeficie elemental d se define como el poducto escala de los vectoes E y d : d Φ E d d 1-7

8 i extendemos el cálculo del flujo elemental a toda la supeficie ceada, tendemos el flujo del campo eléctico a tavés de la supeficie : Φ dφ Las dimensiones del flujo eléctico son 3 1 [ ] [ ][ ] 3 φ ML T I E d E y se mide en V m ó N m /C El teoema de Gauss dice que: Q Φ supceada Q enceada ε 0 Q enc s E d ε 0 Q ceada El flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie ceada es igual a la caga total enceada dento de dividido po ε 0. Es impotante subaya que el flujo a tavés de la supeficie ceada sólo depende de las cagas enceadas po esta supeficie, no depende de las que estén fuea. Figua 1-7. Una supeficie ceada que enciea un dipolo eléctico es atavesada po un flujo neto ceo. Gáficamente, el númeo de líneas que salen de la supeficie es el mismo que las que entan Figua 1-8. Una supeficie ceada que enciea un sistema de dos cagas q y q es atavesada po un flujo neto negativo. Gáficamente, el númeo de líneas que salen de la supeficie es meno que las que entan 1-8

9 El teoema de Gauss es útil paa halla el campo eléctico de algunas distibuciones de caga que, en geneal, pesenten una simetía especial en la distibución de la caga (esfeas y cilindos infinitos cagados unifomemente, planos infinitos cagados, etc.), de tal foma que esulta más fácil halla el flujo y despeja el campo eléctico, que hallalo diectamente a pati de la ley de Coulomb. Paa ello, es fundamental busca una supeficie imaginaia tal que el campo eléctico sea paalelo o pependicula al vecto supeficie en cada punto, y también que el módulo del campo eléctico sea constante en todos los puntos de dicha supeficie imaginaia. i hacemos esto, el cálculo del flujo es inmediato, ya que - i E y d son pependiculaes en todos los puntos de Φ dφ E d 0 - i E y d son paalelos en todos los puntos de Φ dφ E d Ed E d E Teoema de Gauss. Demostación Paa demosta el teoema de Gauss se va a defini una magnitud adecuada paa la medida de ángulos en tes dimensiones; se tata del ángulo sólido. Cuando obsevamos la Luna, po ejemplo, nuesta vista ha de abaca un ángulo tidimensional; a este ángulo se le llama ángulo sólido, paa distinguilo del ángulo plano. De la misma manea que el ángulo plano es la elación ente la longitud de un aco y su adio, y se mide en adianes, dl dα el ángulo sólido es la elación ente una poción de supeficie esféica y su adio al cuadado, d d Ω y se mide en esteeoadianes. Así como la totalidad del ángulo plano subtendido po una cicunfeencia es π adianes, la totalidad del ángulo subtendido po un esfea es 4π esteeoadianes. dα dl 1-9

10 En la figua, hay una caga puntual positiva en el inteio de una supeficie ceada, y un elemento de supeficie d que no tiene poqué se pependicula al campo eléctico. El flujo eléctico que ataviesa este elemento de supeficie vale: d Φ E d Ed cosα Ed n q dω d n de α d siendo d n la componente de d paalela al campo eléctico. q q dφ Edn dω dω 4πε0 4πε0 El flujo que ataviesa a una supeficie finita valdá entonces: q q Φ Ω Ω πε d 4 0 4πε0 Obsévese que las se cancelan, y que como consecuencia, el flujo no depende de la distancia!, es deci del tamaño de la supeficie. Este hecho está elacionado con que el campo es adial y disminuye con el cuadado de la distancia (a un campo así, se le denomina, en ocasiones, campo gaussiano) El ángulo sólido subtendido po la supeficie ceada hay que extendelo a la totalidad de la supeficie, ya que la caga está dento, y po lo tanto vale 4π. ustituyendo, se obtiene: q q Φ 4π 4πε0 ε0 Que es el teoema de Gauss. i la caga hubiea estado fuea de de la supeficie, se puede descompone la supeficie en dos zonas: una zona 1 donde el flujo es positivo (saliente), y ota zona, donde el flujo es d d n entante. El flujo total se obtendá sumando estos dos: 1 Φ Ed n Ed n dω q 1 Ω q q Ω Ω 0 4πε0 4πε0 se obtiene ceo poque al queda la caga fuea, se anulan los flujos po tene distinto signo. i la caga hubiea estado dento, sólo había flujo saliente. i en vez de una caga puntual, se tiene una caga distibuida, se llegaá a la misma conclusión consideando las patículas que lo fomen y aplicando el pincipio de supeposición. 1-10

11 Aplicaciones del teoema de Gauss e van a tata a continuación algunos casos que, po su simetía, pemiten utiliza el teoema de Gauss paa el cálculo del campo eléctico. a) Campo eléctico ceado po un plano infinito cagado con densidad supeficial de caga σ σ E E Figua 1-9. Plano infinito cagado Consideemos una supeficie ceada (en adelante se denominaá supeficie gaussiana), que utilizamos paa aplica el teoema de Gauss. La elección de esta supeficie nos debe pemiti calcula fácilmente el flujo a su tavés. Las supeficies equipotenciales en las cecanías del plano son planos paalelos a éste, po lo que las líneas de E, seán pependiculaes al plano, y po tatase de cagas positivas, diigidas hacia fuea. Po se un plano infinito, no existe ningún efecto en los bodes, y las líneas de campo seán todas paalelas. Estas consideaciones nos llevan a escoge una supeficie cilíndica con sus bases paalelas al plano como la mostada en la Figua 1-9. De este modo, las líneas de campo seán pependiculaes a las bases y tangentes a la supeficie lateal. Aplicando el teoema de Gauss: Φ neto ceada Q E d ε donde es el áea de la base del cilindo. int 0 σ E E ε 0 E σ ε 0 b) Campo eléctico ceado po una línea infinita cagada con densidad lineal de caga λ Las supeficies equipotenciales en d E las cecanías de la línea son supeficies cilíndicas coaxiales con ésta, po lo que λ el campo eléctico tendá una diección adial en tono a la línea. Po lo tanto, se toma como supeficie gaussiana un cilindo de adio coaxial con la distibución lineal de caga. De este modo, las líneas de campo cotaán pependiculamente a la supeficie lateal de la supeficie cilíndica, L y seán tangentes a las dos bases del cilindo, obteniéndose: Figua upeficie cilíndica gaussiana de adio coaxial con una distibución lineal de caga Φ E d Ed E po se el campo paalelo al vecto supeficie en todo punto, y po se el módulo del campo unifome en toda la supeficie cilíndica. De este modo, el flujo es Lat Lat 1-11

12 igual al poducto del campo E po la supeficie lateal del cilindo de longitud L: E Lat E πl. Lo dicho anteiomente es cieto si se supone la distibución lineal infinita; de lo contaio había que considea el efecto de los bodes, que complicaía el cálculo del flujo. Aplicando el teoema de Gauss: Qenceada λl Φ ε0 ε0 Igualando ambos, y despejando E, queda: E λ πε 0 c) Campo eléctico ceado po una distibución esféica supeficial de caga σ Vamos a calcula el campo E eléctico en dos zonas distintas: en el inteio de la distibución y en el exteio. d ext σ R int E 0 a) Inteio. Consideemos una supeficie esféica ceada, int de adio <R. Po el teoema de Gauss, el flujo que la ataviesa es ceo, po no posee caga enceada. De modo que, como el áea de la supeficie no es ceo, debeá se ceo el campo. b) Exteio. Las supeficies equipotenciales son supeficies esféi- Figua Coteza esféica cagada cas concénticas con la coteza esféica cagada, po lo que el campo eléctico tendá una diección adial en tono a la coteza. e toma po tanto una supeficie esféica gaussiana ext de adio >R, y se calcula, en pime luga el flujo a su tavés: Φ ext E E d ext Ed E La sencilla esolución de esta integal es posible po se el campo siempe paalelo a la supeficie en todo punto de la supeficie esféica ( E d Ed ), y po vale el campo lo mismo en todos los puntos de esta supeficie. De este modo, el flujo es también muy sencillo de calcula, y vale E 4π. Po ota pate, podemos calcula el flujo aplicando el teoema de Gauss: Q σ 4π Φ enceada R ε0 ε0 Igualando ambos, y despejando E queda: ext 1-1

13 σr E ε Puede obsevase que, como la caga total es Q σ4πr, en el exteio el campo eléctico valdá: Q R 4 Q E πr ε 4πε 0 que es equivalente a supone que toda la caga de la coteza esféica está concentada en el cento de ésta. 1.6 Tabajo de las fuezas del campo eléctico. Consideemos el campo eléctico ceado po una caga puntual Q. En un punto P cualquiea dado po el vecto de posición, el campo eléctico ceado Q po Q valdá E u 4πε 0, siendo u el vecto unitaio con diección adial en P. Ahoa, coloquemos una segunda caga q en P, y apliquemos un pequeño desplazamiento dl en una diección cualquiea a la caga q allí colocada. El tabajo efectuado po la fueza del campo paa move la caga q ese dl vendá dado po dw F dl Ese desplazamiento dl podemos descomponelo en una componente paalela al campo eléctico y ota tangente a un aco de cicunfeencia centado en Q y que pase po P, po lo que dl du dtut Como E es siempe pependicula a dicho aco de cicunfeencia, u ut 0, po lo que: Q u 0 A 0 dtu t dl du P q E B FqE Q qqd dw F dl q u ( du dtu ) 4πε πε t 0 4 Paa calcula el tabajo que hace la fueza eléctica que actúa sobe q paa desplazala desde un punto A hasta oto B a lo lago de una línea L cualquiea, tal y como se muesta en la figua, tendemos que suma todos los tabajos hechos po la fueza en pequeños desplazamientos como los mostados, a lo lago de L ente A y B, y la suma total seá el tabajo buscado. Como esta suma tendá infinitos téminos, se conviete en una integal, denominada integal de línea: 0 B B Q dl q L A E A 1-13

14 W L AB B B B qq qq qq Fdl d 4πε πε A A 0 4πε0 4πε 0 A 4 A qq 0 B W L AB qq 1 1 ( ) Ecuación 1-5 4πε 0 A B i ambas cagas (q y Q) son del mismo signo, la fueza ente ambas es epulsiva; si, además, el punto B está más alejado que A de Q ( B > A ), entonces L el tabajo calculado WAB es positivo, indicativo de que el tabajo es ealizado, de manea espontánea, po el campo eléctico. Peo si las cagas tuviean signos difeentes, o el punto final B estuviea más póximo a Q ( B < A ), entonces L WAB seía negativo, siendo necesaia una fueza exteio que, venciendo la fueza del campo eléctico, ealizaa dicho tabajo. Un tabajo negativo indica que el tabajo es hecho en conta de las fuezas del campo. Obviamente, el tabajo hecho po el campo ente dos puntos situados a la misma distancia de Q es nulo. 1.7 Enegía potencial electostática. Potencial eléctico. upeficies equipotenciales. Resulta muy inteesante compoba que el tabajo calculado sólo depende de las cagas q y Q y de las distancias de los puntos inicial y final ( A y B ) a la caga ceadoa del campo. Esto significa que, aunque hubiéamos elegido oto camino L distinto paa i desde A hasta B, el tabajo ealizado po las fuezas del campo hubiea sido el mismo; o que si nos hubiéamos desplazado en sentido contaio, desde B hasta A, el tabajo había sido el mismo peo con signo contaio; o que si nos hubiéamos movido a lo lago de una línea ceada, patiendo de un punto y acabando en el mismo punto, el tabajo ealizado había sido nulo. L AB L' AB W W W AB W W 0 AB W BA AA Los campos que tienen esta popiedad (como, po ejemplo, el campo gavitatoio), se llaman campos consevativos o campos que deivan de potencial; el nombe de campo consevativo indica que el campo es capaz de conseva el tabajo paa devolvelo cuando nos movemos en sentido contaio, como hacen, po ejemplo, el campo gavitatoio o un muelle. La fueza de ozamiento ente dos supeficies, en cambio, no es consevativa, ya que independientemente del sentido en que ocemos ambas supeficies, el tabajo siempe tiene que se hecho po algún agente exteno al campo. Y el nombe de campos que deivan de potencial poviene de la consideación de una función, llamada enegía potencial, que nos indica la capacidad de poduci tabajo. En este tipo de campos, como es sabido, el tabajo ealizado po el campo al move una patícula ente dos puntos se puede expesa como la difeencia de enegías potenciales ente los dos puntos. 1-14

15 Análogamente, en el caso del campo eléctico, el tabajo paa lleva una caga desde A hasta B se puede escibi como la difeencia de enegía potencial de la caga q ente los puntos A y B: WAB UA UB. La función U es llamada enegía potencial electostática de una caga q en un punto del campo ceado po la caga Q. Peo anteiomente hemos visto que el tabajo debido a un campo eléctico ea W AB qq 4πε πε 0 A 4 qq 0 B po lo que la función qq U C 4πε 0 nos da la enegía potencial electostática en un punto situado a una distancia de la caga ceadoa del campo. La constante C nos indica que infinitas funciones que difieen en una constante pueden se tomadas como enegía potencial en un punto, y ello nos pemite establece el oigen de enegías de foma abitaia. Usualmente, se considea que una caga situada a una distancia muy gande de la caga poductoa del campo tiene enegía potencial electostática nula (en, U0), po lo que C0, esultando U qq 4πε 0 Ecuación 1-6 Es conveniente nota que la enegía potencial electostática de una caga en un punto epesenta el tabajo hecho po las fuezas del campo paa lleva esa caga desde dicho punto hasta el infinito, ya que: W Fdl qedl qed q Q qq qq d 4πε 4πε πε P P P P En caso de que el campo eléctico fuea poducido po un conjunto de cagas, el cálculo del tabajo y de la enegía potencial electostática se podían calcula aplicando el pincipio de supeposición. Potencial eléctico La enegía potencial electostática, como acabamos de ve, depende tanto de la caga o cagas ceadoas del campo, como de la caga situada en él y su posición; esulta páctico obtene una función que sólo dependa del campo eléctico, y no de la caga que situemos en él, y po eso se define el potencial electostático (V) en un punto de un campo eléctico como la enegía potencial electostática que tendía una caga positiva de 1 C situada en dicho punto; es deci, es la enegía potencial electostática po unidad de caga: 1-15

16 V U q Q 4πε 0 En esta expesión hemos admitido que el oigen de potenciales es el infinito. En caso de que tuviéamos vaias cagas puntuales, el potencial en cualquie punto se podía obtene calculando la suma de los potenciales ceados po cada caga po sepaado (pincipio de supeposición), po lo que el esultado de la acción de n cagas sobe un punto es: V 1 4πε 0 i Qi i Ecuación 1-7 siendo i la distancia de la caga Q i al punto poblema. En deteminadas cicunstancias es posible que queamos calcula el potencial electostático a pati del campo eléctico, y no de las cagas ceadoas del campo; paa ello podemos calcula el tabajo necesaio paa lleva 1 C desde un punto P del campo hasta el infinito a lo lago de una línea cualquiea: V Edl y la difeencia de potencial (d.d.p.) ente dos puntos A y B del campo: P P V V A V B B A Edl Ecuación 1-8 En ambos casos, obviamente, dado que podemos intega a lo lago de cualquie línea, lo más sencillo seá elegi paa ésta, una línea de campo, ya que entonces el poducto escala se conviete en poducto de módulos: Las dimensiones del potencial son: 3 1 [ ] [ ][ ] E ML T I E dl Edl V l y se mide en Voltios A pati del potencial en un punto ó de la d.d.p. ente dos puntos de un campo eléctico, es inmediato calcula tanto la enegía potencial de una caga q en un punto como el tabajo necesaio paa lleva una caga q desde un punto hasta oto: U U U U q V V ) P qv P A B ( A B 1-16

17 upeficies equipotenciales El potencial electostático es una magnitud escala que epesenta el nivel enegético de un punto del espacio, igual que la altua de un punto epesenta el nivel enegético de ese punto dento del campo gavitatoio, o la tempeatua epesenta el nivel enegético calóico. Obsévese que se dice potencial de un punto, no de una caga, pues una caga adquiee enegía cuando se encuenta en un punto deteminado que posee un potencial deteminado. De este modo, al igual que decimos que un kilogamo de masa a 8000 m tiene más enegía que ese mismo kilo a 10 m, diemos que un culombio de caga posee más enegía si se encuenta en un punto de mayo potencial electostático que oto. Al igual que en la altua (cuvas de nivel) o la pesión (isobaas), se constuyen las supeficies de nivel o supeficies equipotenciales como el luga geomético de los puntos del espacio con el mismo potencial electostático. 15 V 10 V 5 V V -15 V -10 V -5 V - V Figua 1-1. upeficies equipotenciales (cuvas en el plano) en las cecanías de cagas puntuales sepaadas Figua upeficies equipotenciales (cuvas en el plano) en las cecanías de un sistema de cagas q y 3q Obviamente, el tabajo paa move una caga ente dos puntos cualesquiea de una supeficie equipotencial es nulo, po lo que el campo eléctico, en 1-17

18 cualquie punto de la supeficie equipotencial, debe se pependicula a dicha supeficie. i no lo fuea, podíamos enconta dos puntos tales que al lleva una caga desde uno hasta oto, el tabajo ealizado po el campo no fuea nulo, contadiciendo que ambos puntos se encuentan en la misma supeficie equipotencial. Así pues, en cualquie punto del campo, líneas de campo y supeficies equipotenciales son pependiculaes. Además, si abandonáamos una caga positiva en el campo, ésta se moveía espontáneamente en el sentido apuntado po el campo eléctico (tabajo positivo), po lo que se poduciía un decemento de enegía potencial. Así pues, el campo eléctico nos indica el sentido en el que el potencial electostático disminuye. La elación ente campo eléctico y potencial puede obsevase en la Eo! No se encuenta el oigen de la efeencia., donde se muestan las supeficies equipotenciales y las líneas del campo eléctico supepuestas paa el caso de un dipolo eléctico (dos cagas iguales de distinto signo sepaadas una cieta distancia). Obsévese también que las zonas donde las cuvas equipotenciales están más póximas ente sí son las zonas de mayo campo eléctico. Figua Líneas de campo (flechas) y supeficies equipotenciales (las líneas ceadas son sus intesecciones con el plano) en un sistema de dos cagas iguales y de signo contaio. En cada punto las líneas de campo son pependiculaes a las supeficies equipotenciales Ejemplo 1- Dadas las cagas puntuales del Ejemplo 1-1, calcula: a) El potencial eléctico esultante en el punto A(,0) m y en el punto B(4,) m b) La difeencia de potencial ente los puntos A y B, V A V B. 1-18

19 olución a) El potencial poducido po una caga puntual q en un punto a una distancia es V k. Po lo tanto, sustituyendo y aplicando el pincipio de su- q peposición: q1 q 1 V A k k 9000 V V 1A A 5 q1 q 1 V B k k 9000 V -353 V 1B B 0 17 b) La difeencia de potencial ente los puntos A y B es: V A V B V Ejemplo 1-3 Dadas las cagas puntuales del Ejemplo 1-, calcula el tabajo que debe ealiza una fueza extena paa taslada una caga puntual negativa de -3 nc desde A hasta B. olución El tabajo ealizado po las fuezas del campo es: W AB -q(v B - V A ) Po lo que las fuezas extenas ealizan un tabajo -W AB W AB Fext q(v B - V A ) -3 (1197) -3,59 µj 1-19

20 1.8 Aplicaciones a El osciloscopio de ayos catódicos Al diigi un haz de electones ente dos placas conductoas ente las que se ha establecido una difeencia de potencial, y po lo tanto un campo eléctico nomal a las placas, los electones se desvían dependiendo de su velocidad inicial y del campo eléctico ente las placas. Basándose en este hecho, es posible diigi un haz de electones en una diección deteminada del espacio mediante dos juegos de placas cuzadas. Así el pime juego contolaá una diección, y el segundo ota diección pependicula a ésta. En este pocedimiento se basa el funcionamiento de los televisoes y de un instumento de medida de múltiples aplicaciones: el osciloscopio de ayos catódicos. E v El osciloscopio de ayos catódicos pemite la epesentación visual y medida de señales elécticas que se manifiesten como difeencias de potencial de cualquie foma pocedentes de fuentes de audio, vídeo, instumentos médicos, datos de odenado, etc. y en geneal, cualquie señal eléctica vaiable pocedente de cualquie cicuito. b c d V H V V e f Haz de electones Consiste en un tubo (f) donde se ha ealizado el vacío, y donde se genean electones en un cátodo (b) calentado po una esistencia eléctica (a) que son aceleados hacia el ánodo (c). A continuación, ataviesan dos juegos de placas deflectoas que poducen campos elécticos cuzados (d y e). De esta manea, el haz de electones se desvía en la diección x, po la acción del campo eléctico poducido po las placas (d) y en la diección y po la acción de las placas (e). Finalmente, alcanzan una pantalla de fósfoo fluoescente (g) donde poducen un destello luminoso de cota duación. g y x 1-0

21 Paa epesenta una señal eléctica vaiable con el tiempo, como po ejemplo una señal senoidal, es necesaio intoduci una señal de baido hoizontal V H (en el eje x, y po tanto ente las placas d), paa que así se pueda ve la vaiación tempoal la señal vetical V V. De este modo, sobe los electones actúa un campo eléctico ceciente, que hace que se desvíen cada vez más, y po lo tanto, se desvíen hacia la deecha. Po este motivo, se intoduce en (d) una difeencia de potencial en foma de diente de siea. Así, si no se intoduce ninguna señal en el eje vetical, obsevaemos una línea hoizontal que bae la pantalla de izquieda a deecha. V H V V V H T H t La duación del diente de siea T H, o su peiodo, equivale al tiempo que tada la señal en ecoe de izquieda a deecha la pantalla. i intoducimos en las placas (e) una señal altena sinusoidal al mismo tiempo que en (d) una señal de baido hoizontal como la descita, los electones seán desviados hacia la deecha po acción del campo hoizontal ceciente, y hacia aiba o hacia abajo po la acción del campo intoducido en (d). De este modo, obtendemos la supeposición de ambas señales. Con esta técnica, puede epesentase cualquie señal vaiable que intoduzcamos en (e). Paa egula la apidez del baido hoizontal, y po lo tanto la extensión hoizontal, se egula el peiodo de los dientes de siea que nomalmente está compendido ente los segundos y los nanosegundos. V H V V V V t t V H También es posible intoduci dos señales independientes en d y e, con una epesentación XY de ambas señales, obteniéndose las denominadas figuas de Lissajous. Así, en siguiente ejemplo apaece la figua de Lissajous coespondiente a dos señales de la misma fecuencia peo desfasadas tempoalmente en 1/8 de ciclo: V H V V V V t t V H Y, en este oto ejemplo, dos señales senoidales con fecuencias distintas en la elación 3:4. V H V V V V t t V H 1-1

22 Xeogafía La xeogafía (escitua en seco) es una técnica ampliamente utilizada, que pemite obtene copias en papel a pati de oiginales. Esta técnica fue inventada en 1938 po Cheste Calson. El poceso está basado en una popiedad de cietas sustancias, denominada fotoconductividad, consistente en que vaían su conductividad eléctica con la iluminación. Como ejemplo de mateiales fotoconductoes se puede cita el óxido de zinc y divesos compuestos de selenio. En pesencia de luz la sustancia se activa como conducto, mientas que pemanece como aislante en la oscuidad. Aunque las máquinas de epoducción de xeogafía son muy sofisticadas, el poceso simplificado de epoducción de un oiginal puede esumise en 5 etapas: 1) En pime luga (a), una lámina ecubieta de mateial fotoconducto, se caga elécticamente con caga positiva en la oscuidad mediante una difeencia de potencial del oden de 1000 V ente la lámina y tiea. La lámina está apoyada sobe una placa metálica conductoa conectada a tiea, po lo que en ésta se induce caga negativa. Las cagas de distinto signo pemanecen sepaadas al se aislante la lámina fotoconductoa en la oscuidad. (a) ) Posteiomente (b), se poyecta luz sobe la imagen que va a se copiada, y mediante un sistema óptico de lentes y espejos (en la figua no apaecen), se poyecta esta imagen sobe la supeficie fotoconductoa. En las zonas de la supeficie en que se ecibe luz intensa, la caga negativa de la placa conductoa neutaliza la caga positiva, y la zona se descaga, mientas que las zonas que no han ecibido luz (zonas negas), pemanecen cagadas al conseva la caga positiva. Donde llegue luz tenue, la caga se educe ligeamente. De esta manea, se obtiene una distibución supeficial de caga que epoduce la imagen. (b) (c) (d) 3) Paa conveti esta imagen eléctica, no visible, en imagen visible, se espolvoea un polvo (tone) constituido po patículas pigmentadas cagadas negativamente sobe la lámina fotoconductoa (c). Así, se fijaá el polvo sobe la imagen eléctica vitual cagada positivamente, volviéndose esta imagen eléctica en imagen visible. 1-

23 4) A continuación, se tansfiee el tone al papel (d). El papel ha sido cagado positivamente paa que pueda atae a las patículas de tone, fijando éstas de modo pemanente mediante calo, que funde el tone y hace que se adhiea al papel. 5) Finalmente, paa pode epeti el poceso, se limpia la lámina de cualquie exceso de tone y se descaga de cualquie esto de caga eléctica con un exceso de luz. 1.9 Poblemas 1. Dadas las tes cagas puntuales situadas como se muesta en la figua, detemina la fueza eléctica F que ejecen sobe una caga Q/ situada en el punto O. KQ ol: F 1 ( i j ) d 4 Q d O d -Q Q. Dadas cuato cagas puntuales iguales q, situadas en los vétices de un cuadado de lado a 1/ y en eposo, halla la fueza eléctica total que las cuato cagas ejeceían sobe una caga q' situada en O y la enegía potencial electostática de q' en O. q ol: F 0 U q π ε0 a q q a a a a O a a a a q 3. En la figua se muestan dos cagas puntuales, -3Q en x 1 y Q en x 5. Halla en qué puntos del eje x, a) se anula el potencial eléctico b) se anula el campo eléctico ol: a) x 4, x 7 b) x 10,46 q -3Q Q x 4. ea la caga puntual Q y las dos supeficies cúbicas, paalelas, centadas en Q, y de lado a y 3a, de la figua. Halla la elación existente ente los flujos del campo eléctico que ataviesa ambas supeficies (Φ a /Φ 3a ). Justifica la espuesta. 3a a Q 1-3

24 5. ea un cubo de aista a y densidad volumética de caga ρ unifome, situado en el vacío. e le odea de una supeficie esféica de adio a. Detemina el flujo del campo eléctico a tavés de la esfea. 3 ρ ol: Φ a ε 0 a a 6. Dado el campo eléctico definido po la función E (ax,0,0), calcula: a) Flujo a tavés de la supeficie del cubo de la figua. b) Caga enceada en el cubo. ol: a) Φ a 4 b) Q ε 0 a 4 a Y a a a X 7. Aplica el teoema de Gauss paa deduci la expesión del campo eléctico ceado po un plano infinito cagado con densidad supeficial de caga σ. 8. Una caga puntual positiva q 1, está situada en el oigen de un sistema de coodenadas otogonales sobe el plano. Ota caga puntual negativa q está situada sobe el eje de odenadas a una distancia de 1 m del oigen. Detemina: a) Intensidad del campo eléctico ceado po cada una de las cagas en un punto A situado sobe el eje OX a m del oigen. b) Tabajo necesaio paa taslada una caga q desde el punto A a oto B de coodenadas (4,) m. Aplicación al caso en que q C, q C, q 3 C. ol: a) E,5 N/C E 1,61( i ) N/C b) W AB 3,59 J 1 i j 9. Dos cagas puntuales, positivas e iguales q, están sepaadas po una distancia a. Una caga positiva unidad se coloca equidistante de ellas, tal como muesta la figua. A qué distancia expeimentaá una fueza máxima? ol: a(3/) 1/ q a a q 10. ea una línea ecta muy laga (infinita) cagada con densidad lineal de caga λ constante. Calcula la intensidad de campo eléctico ceado po la línea infinita en un punto P situado a una distancia y de la línea. ol: E λ/(πε 0 y) 11. Calcula la intensidad de campo eléctico y potencial electostático ceado po una distibución esféica y homogénea de densidad de caga ρ y adio R en un punto situado a una distancia del cento de la esfea: 1-4

25 a) >R; b) R; c) <R ol: a) E (1/3ε 0 )(ρr 3 / ); V (ρ/3ε 0 )R 3 / b) E (1/3ε 0 )ρr; V (ρ/3ε 0 )R c) E (1/3ε 0 )ρ ; V (ρ/ε 0 )(R - /3) 1. La figua muesta una poción de un cilindo de longitud infinita y adio R, cagado unifomemente con una densidad volumética de caga ρ constante. Calcula: a) Campo eléctico en el inteio y en el exteio del cilindo. b) Difeencia de potencial ente el eje del cilindo y su supeficie. ol: a) E i ρ/ε 0, E e ρr /ε 0 b) V ρr /4ε 0 R GLOARIO Caga elemental: Mínima cantidad de caga eléctica, equivale a la caga del electón y de valo 1, C. Ley de Coulomb: Dos cagas elécticas puntuales q 1 y q, en eposo, sepaadas una distancia en el vacío, se ejecen ente sí una fueza cuyo módulo es popocional al poducto de las cagas e invesamente popocional al cuadado de la distancia que la sepaa, cuya diección es la de la ecta que las une y es epulsiva si son del mismo signo y atactiva si son de signo contaio. q1.q F1 k u1 Campo eléctico en un punto del espacio es la fueza eléctica ejecida sobe una caga q 0 en dicho punto po unidad de caga. (q 0 es una pequeña caga de pueba) F E Campo eléctico ceado po una caga puntual q sobe un punto a una distancia de ella. 1 q E u 4πε 1 q

26 Dipolo eléctico: sistema de dos cagas iguales y de signo contaio sepaadas una pequeña distancia. Pemitividad eléctica del vacío: Constante univesal de valo ε 0 8, C /N m Teoema de Gauss. El flujo del campo eléctico a tavés de una supeficie ceada es igual a la caga total enceada dento de dividido po ε 0. Potencial electostático de un punto del espacio es la enegía que adquiee una caga cualquiea q 0 U V situada en ese punto, dividido ente dicha caga. q0 Potencial electostático poducido po una caga puntual q sobe un punto a una distancia de ella. V q 4πε 0 Pincipio de supeposición: El efecto total (fueza, campo o potencial) poducido po un conjunto de cagas equivale a la suma (del vecto fueza, vecto campo o potencial) de los efectos oiginados po cada una po sepaado. upeficies equipotenciales. Luga geomético de todos los puntos del espacio con el mismo potencial electostático. Po un punto dado sólo pasa una. 1-6