6 Semejanza en el plano y en el espacio

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2 GEMETRÍ 6 Semejanza en el plano y en el espacio MPETENIS ÁSIS ompetencia matemática Utilizar sistemas convencionales de representación espacial (maquetas, planos, mapas ), y elegir el más adecuado para la obtención, la interpretación, la comprensión, la elaboración y la comunicación de informaciones relativas al espacio físico, y para la resolución de problemas diversos de orientación y representación que puedan aplicarse en situaciones reales. ompetencia cultural y artística omprender obras artísticas (mensaje, contextos, elementos característicos...). Tratamiento de la información y competencia digital Utilizar recursos digitales para representar cuerpos y figuras geométricas. NTENIDS 1. Figuras y cuerpos semejantes. onstrucción de figuras y cuerpos semejantes.1. Homotecia.. Semejanza. Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes.1. Mapas y planos 16 Unidad 6

3 PREPRIÓN DE L UNIDD El área de un cuerpo geométrico es la medida de la superficie que lo delimita. El volumen de un cuerpo geométrico es la medida del espacio que ocupa. UERP ÁRE VLUMEN La cartografía es la ciencia que se encarga del estudio y de la elaboración de los mapas y cartas náuticas, reproduciendo en una superficie plana la superficie terrestre. Si la escala de un mapa es 1: a) Qué distancia real separa dos ciudades que en el mapa distan cm? b) Si la escala del mapa fuera 1: , cuál sería la distancia anterior? Prisma total = lateral + base V = base h Pirámide total = lateral + base V = h base ilindro total = p r (g + r) V = base h ono total = p r (g + r) V = h base Esfera esfera = 4 p r V = 4 πr Una transformación isométrica o movimiento es aquella en que la figura transformada conserva las distancias de la figura original. Los movimientos en el plano son tres: la traslación, la simetría (central y axial) y el giro. Semejanza en el plano y en el espacio 17

4 1. Figuras y cuerpos semejantes bserva las parejas de cuerpos y figuras que se representan a continuación. REUERD El método de Tales o de radiación nos sirve para construir figuras semejantes. a b c D ada pareja está formada por dos figuras o cuerpos que tienen la misma forma pero distinto tamaño. Diremos entonces que los cuerpos o figuras de cada pareja son semejantes. D Si ahora nos fijamos en dos figuras o cuerpos semejantes, es fácil comprobar que la distancia entre dos puntos cualesquiera de una de las figuras y la distancia de sus puntos homólogos en la otra son proporcionales. Esta proporcionalidad se denomina razón de semejanza k. Se denomina razón de semejanza, k, de dos cuerpos o figuras, a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas. D = = =... = k D EJEMPL 1 Dadas las siguientes figuras, calcula su razón de semejanza: 1 cm 6 cm cm 4 cm cm 6 cm 9 cm D 18 cm D Para calcular la razón de semejanza, tenemos que calcular el cociente entre las medidas de los lados homólogos. k D = = = = D D D = cm ; = 4 cm ; D = 6 cm ; D = cm = 6 cm ; = 1 cm ; D = 18 cm; D = 9 cm k = = = = = 4 6 TIVIDDES 1. Dibuja un pentágono semejante al de la figura: a) Mayor, con razón de semejanza: k = 5. b) Menor, con razón de semejanza k = 1. Un pentágono semejante al de la figura con razón k = 1, será menor, mayor o igual que él? cm 6 cm cm cm 5 cm 18 Unidad 6

5 bserva en la siguiente tabla las propiedades de las figuras y los cuerpos semejantes: FIGURS DIUJ PRPIEDDES Polígonos semejantes Tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. REUERD Dos triángulos que tengan un ángulo igual y los lados que lo forman proporcionales son semejantes. írculos semejantes Dos círculos son siempre semejantes. Poliedros semejantes Tienen las aristas proporcionales, las caras semejantes y los ángulos iguales. Esferas semejantes Dos esferas son siempre semejantes. onos y cilindros Tienen los radios de las bases y las alturas proporcionales.. Di si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Dos rectángulos cualesquiera son semejantes. b) Los polígonos regulares del mismo número de lados siempre son semejantes. c) Dos rombos, uno de 6 cm de lado y otro de 4 cm de lado, son semejantes. d) Los poliedros regulares del mismo número de caras siempre son semejantes.. onstruye dos cuadrados cuyos lados midan 8 cm y 5 cm. Son semejantes? uál es su razón de semejanza? 4. El diámetro de la base de un cono mide 8 cm y su altura, 6 cm. tro cono tiene una base de radio 1 cm y una generatriz que mide 0 cm. Son semejantes ambos conos? Qué medidas debería tener el segundo cono para que su razón de semejanza respecto al primero fuera k =? TIVIDDES Semejanza en el plano y en el espacio 19

6 . onstrucción de figuras y cuerpos semejantes FÍJTE En el apartado anterior hemos usado la palabra semejanza para definir una relación métrica entre dos figuras. En este apartado, utilizamos la misma palabra referida a una transformación isomórfica. No debes confundir ambos conceptos. continuación, estudiaremos dos métodos para construir figuras y cuerpos semejantes basados en transformaciones isomórficas. Son la homotecia y la semejanza..1. Homotecia Veamos cómo transformar una figura en otra por una homotecia de centro y razón k = 1. Tomamos un punto arbitrario al que denominaremos centro de homotecia, y trazamos semirrectas con origen en el punto y que pasen por cada uno de los vértices de la figura dada. D E Sobre una de las semirrectas, por ejemplo la, marcamos un punto de modo que se cumpla: 1 = D E Por el punto, trazamos una paralela al lado del triángulo hasta cortar la semirrecta en el punto. Por el punto, trazamos una paralela al lado, hasta cortar la semirrecta en el punto, y así sucesivamente hasta obtener la nueva figura. D D E E 140 Unidad 6

7 omo puedes ver, los vértices homólogos de ambos polígonos están alineados respecto al centro de homotecia y se cumple: = = Una homotecia de centro y razón k, k π 0, es una transformación geométrica que transforma un punto en otro alineado con y, de modo que: k = FÍJTE También podemos aplicar la homotecia para construir cuerpos o figuras semejantes en el espacio. En función del valor de la razón k, tendremos los siguientes casos: k > 1 El tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original. 0 < k < 1 El tamaño de la figura transformada es menor que el de la original. -1 < k < 0 El tamaño de la figura transformada es menor que el de la original. k < -1 El tamaño de la figura transformada es mayor que el de la original. 5. Dibuja en tu cuaderno un triángulo equilátero de cm de lado. continuación, aplica una homotecia de centro arbitrario y razón: a) k = b) k = 0,5 c) k = - TIVIDDES Semejanza en el plano y en el espacio 141

8 Determinación de una homotecia Una homotecia queda determinada si conocemos los datos de uno de los siguientes casos: a) El centro y la razón de homotecia ( y k = ). uando la razón de homotecia k es menor que 0, la figura semejante queda girada respecto a la original. En una homotecia se cumple: El único punto invariante en una homotecia es el centro de homotecia. Las rectas que pasan por el centro de homotecia son rectas invariantes. Las rectas que contienen segmentos homólogos son paralelas, y la razón de dichos segmentos coincide con la razón de homotecia. Si aplicamos la definición de homotecia a la figura de la derecha: k = k = = b) El centro y dos puntos homotéticos (, y ). c) Dos figuras homotéticas ( y ). Los triángulos y son semejantes, ya que tienen un ángulo en común y tienen los lados proporcionales. sí pues, se cumplirá que la razón entre los segmentos y es: k = Una homotecia conserva el sentido de las figuras. Una homotecia de razón k = 1 transforma cada punto en sí mismo. Esta homotecia recibe el nombre de identidad. Si la razón de una homotecia es k = -1, se trata de una simetría central. TIVIDDES 6. plica una homotecia de centro y razón k = al cuadrilátero representado en esta figura: D 8. Halla el centro y la razón de la homotecia que transforma el triángulo en el triángulo. 7. Dibuja en tu cuaderno un cubo de 1 cm de arista. continuación, aplica una homotecia de centro arbitrario y razón k = Dibuja en unos ejes de coordenadas el cuadrilátero D de vértices (-4, ), (4, ), (, 4) D (-, 4), y halla las coordenadas del cuadrilátero que resulta al aplicarle una homotecia de centro (6, 6) y razón k = Unidad 6

9 .. Semejanza tra transformación que nos permite obtener figuras semejantes es la semejanza. bserva la siguiente figura: e El triángulo se transforma en el triángulo por una homotecia de centro y razón k =. El triángulo se transforma en el triángulo por una simetría axial de eje e. Puedes comprobar que los triángulos y son semejantes. La transformación que nos permite pasar directamente del triángulo al triángulo es una semejanza. Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como composición de una homotecia con un movimiento. En general, diremos que dos figuras que se correspondan en una semejanza son semejantes. En una semejanza se cumple: Los segmentos homólogos son proporcionales y su razón coincide con la razón de homotecia. En efecto, hemos visto que la razón entre dos segmentos homotéticos coincide con la razón de homotecia. Puesto que los movimientos conservan las longitudes de los segmentos, una semejanza transformará segmentos en segmentos proporcionales y la razón de semejanza coincidirá con la razón de homotecia. Los ángulos homólogos son iguales. Puesto que las homotecias y los movimientos conservan los ángulos, en una semejanza se tendrá que los ángulos homólogos son iguales. Si la razón de homotecia es k = 1, esta se reduce a la identidad, y la semejanza considerada es el movimiento que aplicamos. Si el movimiento es la identidad, la semejanza considerada se reduce a una homotecia. Una semejanza es directa o inversa según el movimiento aplicado. Diremos que una semejanza es directa si conserva el sentido de la figura; en caso contrario, es inversa. FÍJTE Una transformación isométrica, o movimiento, es aquella que conserva las distancias, como indica el término: iso ( igual ), metron ( medida ). Semejanza en el plano y en el espacio 14

10 La siguiente tabla recoge los resultados de aplicar a una figura la composición sucesiva de dos transformaciones: FÍJTE btenemos el mismo resultado si aplicamos primero una homotecia y después un movimiento que si lo hacemos al revés: en primer lugar, el movimiento y, posteriormente, la homotecia. MPSIIÓN DE MVIMIENT Y HMTEI traslación - homotecia MPSIIÓN DE HMTEI Y MVIMIENT homotecia - Si accedes a la página cnice.mec.es/cnice006/mate rial098/geometria/geoweb/semej1. htm, podrás utilizar un applet para experimentar con figuras semejantes. simetría - homotecia homotecia - simetría giro - homotecia homotecia - giro TIVIDDES 10. plica a la siguiente figura una traslación de vector v y, a continuación, una homotecia de centro y razón k = : D v centro el vértice y ángulo 60 y, a continuación, una homotecia de centro el vértice y razón k =. 1. Explica cómo obtendrás otra vez la figura original a partir de la figura que has obtenido en la actividad anterior. D 144 Unidad plica al cuadrilátero D un giro en sentido positivo de

11 . Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes onociendo la razón de semejanza de dos figuras o cuerpos semejantes y una longitud, área o volumen en una de las figuras, podremos calcular la longitud, el área o el volumen homólogos en la otra figura. Longitudes bserva los polígonos semejantes de la derecha. l ser semejantes, cualquier longitud medida en una de las figuras es proporcional a la longitud homóloga en la otra. Esta proporcionalidad vendrá determinada por la razón de semejanza k. sí pues, se verificará: ap r d = = = ap r d k d d r ap r ap FÍJTE l hablar de longitudes medidas en una figura, nos referimos a cualquier longitud que podamos medir en una figura. Una de estas longitudes es el perímetro. sí pues, podemos afirmar que la razón entre los perímetros de dos figuras semejantes es igual a su razón de semejanza. P = k P La razón entre dos longitudes homólogas de dos cuerpos o figuras semejantes es igual a su razón de semejanza. EJEMPL alcula la longitud del lado de la base, la altura y la apotema de una pirámide semejante a la de la figura, con razón de semejanza k =. h = 4 cm b = 6 cm ap = 5 cm La razón entre las longitudes características de las dos pirámides semejantes será: h b ap = = = k h b ap sí pues: h = k h = 4 = 1 b = k b = 6 = 18 ap = k ap = 5 =15 La pirámide semejante tendrá una base de 18 cm de lado, una altura de 1 cm y una apotema de 15 cm, tal y como muestra la figura de la derecha. h = 1 cm b = 18 cm ap = 15 cm 1. Dos hexágonos tienen razón de semejanza k = 1. Si el perímetro del mayor de ellos es de 180 cm, cuánto mide el perímetro del menor? Y los lados de cada hexágono? 14. uánto mide el diámetro de una circunferencia semejante a otra cuyo perímetro es 49,98 cm y la razón de semejanza k = 5? 15. Halla el radio, la altura y la generatriz de un cono semejante al de la figura, con razón de semejanza k = 5. h = 5 dm d = dm TIVIDDES Semejanza en el plano y en el espacio 145

12 Áreas de cuerpos semejantes bserva los dos pentágonos regulares de la izquierda con razón de semejanza k. l ser semejantes, el perímetro y la apotema son proporcionales, y su razón de proporcionalidad es k. sí, podemos escribir: ap P ap = k ; = P ap k alculamos ahora el área de cada una de las figuras y efectuamos la razón entre ellas. P = ap P ap ; = ap P ap = P ap = k P k ap P ap = k Este resultado es aplicable a cualquier par de cuerpos semejantes. La razón entre las áreas de dos cuerpos o figuras semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. EJEMPL alcula el área de una esfera semejante a otra cuyo radio mide 6 cm y la razón de semejanza es k = 5. El área de la esfera de radio 6 cm es: = 4 π r = 4 π 6 = 45, 4 La relación entre las áreas de dos esferas semejantes es: = = 5 k k = 45, = 156, 1 El área de la esfera semejante será de 1 56,1 cm. TIVIDDES 16. La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es 49. uál es la razón de semejanza de los polígonos? ontesta a las siguientes preguntas: a) Si triplicamos los lados de un trapecio, en cuánto aumenta su área? b) En cuánto tenemos que dividir el radio de una esfera para que su área sea 144 veces menor? 18. Los perímetros de dos polígonos semejantes miden 60 cm y 150 cm. Si el área del menor es de 80 cm, cuánto medirá el área del mayor? 19. alcula el área de una pirámide semejante a la de la figura con razón de semejanza k = 5. h = 15 cm 8 cm 146 Unidad 6

13 Volúmenes de cuerpos semejantes bserva los dos prismas de la derecha. mbos son semejantes y su razón de semejanza es k. l ser semejantes, dos longitudes homólogas (lados, altura...) son proporcionales y sus bases son polígonos semejantes. alculamos sus volúmenes: h V = base h ; V = base h l ser cuerpos semejantes: base base = k ; h = h Si ahora calculamos la razón entre sus volúmenes: k h V = base h V h base = k base k h h base = k La razón entre los volúmenes es k y coincide con el cubo de la razón de semejanza. La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. EJEMPL 4 Halla el volumen de un cilindro semejante a otro de radio 4 cm, altura 6 cm y con razón de semejanza k = 1. plicamos la fórmula para calcular el volumen de un cilindro. V = base h = p r h = p 4 6 = 01,6 Para calcular el volumen del nuevo cilindro, aplicamos la definición de volúmenes de cuerpos semejantes. V = = 1 k V k V = 01, 6 = 77, V El volumen del cilindro es de 7,7 cm. 0. alcula la razón de semejanza de dos prismas de base pentagonal, uno de los cuales tiene un volumen de 4,7 cm y el otro tiene una base cuyos lados miden 6 cm; la apotema, 4,1 cm, y la altura es de 7 cm. 1. El volumen de una esfera es de 904,78 dm. alcula el volumen y el radio de una esfera semejante a esta, con razón de semejanza k = Las medidas de un ortoedro son cm 5 cm 8 cm. Qué medidas tendrá un ortoedro semejante a este cuyo volumen sea de 5 90 cm?. alcula el volumen de la pirámide de la figura y, a continuación, halla el volumen y las medidas de otra pirámide semejante a esta con razón de semejanza k =. 6 cm h = 1 cm TIVIDDES 6 cm Semejanza en el plano y en el espacio 147

14 .1. Mapas y planos El concepto de semejanza se utiliza constantemente para representar sobre un papel objetos demasiado grandes o demasiado pequeños. Un ejemplo de estas representaciones son los mapas y los planos que son representaciones gráficas de un territorio, una ciudad, una red de carreteras, un edificio km Escala 1 : 00 Las dimensiones de los mapas y de los planos son proporcionales al territorio u objeto que representan. sí pues, los segmentos que unen dos puntos cualesquiera del mapa y sus correspondientes puntos en la realidad son proporcionales. La constante de proporcionalidad viene definida por la escala del mapa. La razón entre una longitud medida en un plano o un mapa y la longitud homóloga medida sobre el objeto real es la escala del mapa o el Si accedes a la página ign.es/signa, encontrarás el Mapa Topográfico Nacional de España y lo podrás visualizar a diferentes escalas. La escala a la que se ha reproducido el dibujo se indica al pie y se expresa mediante un cociente cuyo dividendo es la unidad. sí, la escala 1 : 50 significa que 1 unidad de longitud del dibujo representa 50 de estas mismas unidades en la realidad. menudo, en mapas y planos, la escala se indica de forma gráfica tal y como se muestra a la derecha. En este caso, se indica que un segmento del dibujo de longitud igual a la representada mide en la realidad 500 km. TIVIDDES 4. La escala de un mapa es 1 : a) uál es la distancia real de dos localidades que en el mapa están separadas 5 cm? b) qué distancia estarán en el mapa dos poblaciones que en la realidad distan 15 km? Qué escala tendrá un mapa en el que dos ciudades que en la realidad distan 50 km están separadas por 8 cm? 5. bserva el siguiente plano: a) uál es su escala? b) uántos metros cuadrados tiene el piso en total? c) uántos metros cuadrados tiene la habitación? d) Dibuja la escala gráfica del mapa. 9 m 148 Unidad 6

15 alcula la escala aproximada del plano de la figura. TIVIDDES RESUELTS Dado el triángulo, inscribe un cuadrado DEFG con un lado sobre la base. omprensión del enunciado El enunciado del problema no contiene ningún dato. sí pues, tendremos que extraer los datos de la figura de una forma aproximada. Planificación de la resolución Para saber la escala, debemos conocer la medida real y la medida en el plano de los objetos representados. Hemos de centrar, pues, la atención en un objeto del que conozcamos sus medidas reales, por ejemplo la cama porque es un objeto cuya longitud real es aproximadamente de unos m. Ejecución del plan de resolución Longitud de la cama en el plano: 8 mm. Expresamos los m de la medida real en milímetros y calculamos la escala. longitud en el plano 8 mm 1 Escala = = longitud real 000 mm = 50 sí pues, la escala es 1 : 50. Revisión del resultado omprobamos el resultado midiendo la anchura de una puerta en el plano, y verificando que coincide con la anchura real. omprensión del enunciado Lee atentamente el enunciado e imagina la posible solución del problema. Planificación de la resolución Existen muchos cuadrados con un lado sobre la base. onstruimos uno cualquiera D E F G con el vértice G sobre el lado. El vértice F no se encuentra sobre el lado. Pero observa que si consideramos una homotecia de centro el vértice y hallamos el transformado del punto F sobre el lado, obtendremos la solución del problema. Ejecución del plan de resolución Procedemos tal y como lo hemos planificado, y determinamos F, el vértice homotético de F sobre el lado. btenemos el segmento EF, que es el lado del cuadrado DEFG, solución del problema. Revisión del resultado omprobamos que, efectivamente, el cuadrado construido cumple las condiciones del enunciado. G F F D E G F D E 6. partir del siguiente plano: a) alcula las dimensiones de la habitación. b) verigua la superficie de la cocina. 7. Dadas dos rectas secantes r y s, traza por el punto una recta que concurra con r y s en el punto de corte, que se encuentra fuera de los límites del papel. s r TIVIDDES

16 SÍNTESIS Homotecia Semejanza dos métodos para construir Figuras y cuerpos semejantes 1 matemáticamente están relacionadas mediante Razón de semejanza una de las aplicaciones Las medidas que se relacionan mediante la razón de semejanza son Mapas y planos 5 La razón de proporcionalidad entre el mapa y el plano con la realidad se llama Longitudes Áreas Volúmenes 4 Escala 6 1 Dos figuras o cuerpos son semejantes si tienen la misma forma aunque el tamaño sea distinto. Llamamos razón de semejanza k de dos figuras o cuerpos semejantes a la razón de proporcionalidad entre sus distancias homólogas. Dos métodos para construir figuras semejantes son la homotecia y la semejanza. Una homotecia de centro y razón k, k 0, es una transformación geométrica que transforma un punto en otro alineado con y, de modo que: k = Una semejanza es la transformación geométrica que se obtiene como composición de una homotecia con un mo vimiento. 4 Relación de longitudes, áreas y volúmenes homólogos en figuras semejantes. La razón entre dos longitudes homólogas de dos figuras o cuerpos semejantes es igual a la razón de semejanza. La razón entre las áreas de dos figuras o cuerpos semejantes es igual al cuadrado de la razón de semejanza. La razón entre los volúmenes de dos cuerpos semejantes es igual al cubo de la razón de semejanza. 5 Los mapas y los planos son representaciones gráficas de un territorio, una ciudad, una red de carreteras, un edificio... 6 La razón entre una longitud medida sobre un mapa o plano y la longitud homóloga medida sobre el objeto real es la escala del mapa o del plano. La escala puede expresarse mediante un cociente o de forma gráfica. 150 Unidad 6

17 Figuras y cuerpos semejantes 8. Halla la medida representada por x en la siguiente estructura R de madera: 1,9 m x 4 m onstrucción de figuras y cuerpos semejantes. En una homotecia de centro (, ), el punto (1, ) se transforma en el punto (4, ). Halla la razón de homotecia y los transformados de los puntos (, 0) y (, ).. plica al triángulo una homotecia de centro y razón k = y al triángulo obtenido una homotecia de centro y razón k = -1,5. Qué transformación permite pasar del triángulo inicial al triángulo final? 6 TIVIDDES 6 m 9. Los triángulos y son semejantes. x + x 4. Son homotéticos los triángulos rectángulos isósceles y de esta figura? x + 1,5 1 cm Halla cuánto miden los lados de cada uno de los triángulos si x representa una longitud expresada en centímetros. 0. onsidera los dos hexágonos regulares representados a continuación. R E D E D F F 5. plica a la siguiente figura una simetría respecto al eje e y, a continuación, una homotecia de centro (-1, 0) y razón k =. Qué nombre recibe esta composición? Y e X a) uánto miden los ángulos de los dos polígonos? b) alcula la razón de dos lados homólogos. btienes el mismo valor si escoges otro par de lados homólogos? 1. Un prisma de base un hexágono regular tiene una altura el doble de los lados de la base. Sabiendo que un prisma semejante a este con razón de semejanza k = 5 altura, halla las medidas del prisma inicial. mide 15 dm de Longitudes, áreas y volúmenes en figuras y cuerpos semejantes 6. Dos triángulos equiláteros son semejantes con razón de semejanza k =. Si la altura del triángulo menor es 5 cm, cuál es el perímetro del triángulo mayor? 7. Las longitudes de las diagonales de un rombo son 4 cm y 8 cm y 8 cm. alcula cuánto medirán los lados, el perímetro y el área de un rombo semejante al anterior, con razón de semejanza k = 7. Semejanza en el plano y en el espacio 151

18 8. alcula mentalmente para responder a estas preguntas: a) El perímetro de un pentágono mide 45 cm. uál es el perímetro de un pentágono semejante a este con razón de semejanza k = 1 5? b) El área de un rectángulo es de 9 cm y el área de otro semejante a este es de 6 cm. uál es la razón de semejanza entre ambos rectángulos? 9. Dos pirámides de base cuadrangular son semejantes y su razón de semejanza es k = 1 9. alcula sus medidas, sus áreas y sus volúmenes, sabiendo que el área de la base de la pequeña es de 7 cm y la apotema de la grande mide 8,54 cm. 44. onstruye dos segmentos homotéticos de centro y razón k =. ómo son dichos segmentos? omprueba gráficamente que cualquier par de segmentos paralelos es homotético. 45. Un jardín tiene dos zonas triangulares con césped y una zona rectangular con grava. bserva la figura y halla el área de cada una de las zonas. 46. Halla el radio y la generatriz del cono de la siguiente figura: 16 m 10 m 40. Resuelve las siguientes cuestiones: a) La distancia entre dos ciudades es de 750 km. Si la distancia que hay entre ellas en un mapa es de 15 cm, cuál es la escala del mapa? 8 cm 5 cm 6TIVIDDES 1 m b) uál es la distancia real que separa dos ciudades si en un mapa a escala 1 : la distancia entre ellas es de 8 cm? c) En un plano a escala 1 : 100 la superficie de una habitación es de 9 cm. uál es la superficie real de la habitación? Problemas 41. onstruye dos hexágonos regulares cuyos lados midan 1,5 cm R y 5 cm. cm 47. La maqueta de una furgoneta a escala 1 : 4 mide 10,5 cm de largo, 5 cm de ancho y 4,5 cm de alto. Qué medidas tendrá la furgoneta a escala real? Halla las medidas de una maqueta de la misma furgoneta a escala 1 : partir de este mapa, averigua la distancia que hay entre las ciudades representadas por los puntos,,, D y E. a) uál es la razón de semejanza? b) uál es la razón entre sus perímetros? Y entre sus áreas? D 4. Las medidas de las bases de un trapecio son 8 cm y 4 cm, y R su altura es de cm. uánto miden los lados, el perímetro y el área de un trapecio semejante a este, con razón de semejanza k = 4? 0 50 km E 4. onstruye un rectángulo de 5 cm de base y cm de altura. on siderando como centro de homotecia el centro del rectángulo, construye uno homotético de razón k = 1 y otro de razón k =. Son homotéticos, a su vez, los dos rectángulos que has obtenido? uál es su razón de homotecia? 49. En grupos de o 4 miembros, dibujad la fachada de vuestro centro escolar escogiendo la escala que consideréis más adecuada: 1 : 00 o 1 : Unidad 6

19 6 Más a fondo 50. Un cono tiene una altura de 0 cm. alcula a qué distancia de la base hay que cortarlo con un plano paralelo a esta para que el cono resultante tenga un volumen ocho veces más pequeño que el volumen del cono inicial. 51. omprueba gráficamente que los segmentos y, homotéticos del segmento, obtenidos mediante homotecias de centros 1 1 y y razones de homotecia k 1 = y 1 k = son a su vez homotéticos con una homotecia de centro un punto alineado con 1 y. 56. plica al cuadrado una homotecia de centro (0, 1) y, a continuación, una traslación de unidades siguiendo el sentido positivo del eje de ordenadas. ómo volverías a obtener la figura original con una única homotecia? alcula el centro y la razón. 57. Tres círculos son semejantes con razón de semejanza entre círculos consecutivos k = TIVIDDES alcula sus radios sabiendo que, al colocarlos como en la figura, la distancia mide 78 cm. 58. Estos rectángulos son semejantes: 5. Halla el volumen encerrado entre estas dos esferas si su razón de semejanza es k = 4 : R = 16 cm x +5 x 4x+ x 5. Fotocopiamos el plano de una casa cuya escala es 1 : 00. a) uál será la escala del plano fotocopiado si hacemos una ampliación del 15 %? b) Si ahora reducimos la fotocopia al 40 %, cuál será la nueva escala del plano? c) Qué área tendrá en el plano original y en los fotocopiados una habitación cuadrada cuya área real es de 9 m? 54. Los fractales son estructuras formadas a partir de la semejanza y la homotecia. Dos de los más sencillos son la curva de Koch y el triángulo de Sierpinsky. usca en Internet sus representaciones y las principales características. partir de esta información, intenta construir un fractal distinto. 55. Justifica si las siguientes afirmaciones son ciertas: a) Si 1 < a < b, un plano a escala 1 : a ocupa menos que un plano a escala 1 : b. b) Si a > 1, a : 1 es una escala de ampliación. alcula cuánto miden los lados de cada uno de ellos si x representa una longitud en centímetros y la razón entre áreas es bserva la siguiente figura: Eje E La razón de semejanza entre triángulos de tamaños consecutivos es la misma y en cada triángulo el cateto mayor mide el doble que el menor. uál es su razón de semejanza? 60. La misma habitación de m se ha dibujado en dos planos. En uno ocupa un área de 1,5 cm y la escala del otro es 1 : 50. uál es la razón entre las escalas de los planos? Semejanza en el plano y en el espacio 15

20 MPETENIS ÁSIS TIVIDDES 1. Dada la figura en el plano: Si se aplica una homotecia de centro = (0, ) y razón k =, y posteriormente una traslación según el vector: a) Representa la nueva figura obtenida. b) alcula el incremento porcentual del área de la nueva figura obtenida respecto al área de la figura original. c) Utiliza un programa informático para comprobar los resultados de los apartados anteriores. 5 5 v. Tomando como referencia el sofá del plano, que en el papel mide cm y en la realidad,5 m, responde a las siguientes preguntas: a) Determina la escala del plano en metros y, después en centímetros. b) Determina la superficie de la cocina y la superficie total del piso. c) Qué escala debería tener el plano para que ocupara el doble en el papel?. Formad grupos para realizar un trabajo sobre la presencia de las figuras geométricas en la escultura y la pintura. En los siguientes enlaces encontraréis referencias de pintores y escultores que han utilizado las formas geométricas en sus obras: Seguid estos pasos: úsqueda de información en Internet: imágenes y características de un mínimo de diez obras en las que destacan las figuras geométricas. Elaboración de una ficha técnica para cada obra en la que consten los siguientes datos: autor y título de la obra, características y ubicación. read una presentación con las imágenes obtenidas y las fichas elaboradas. 154 Unidad 6

21 1 Los lados de un triángulo miden 1 cm, 18 cm y cm. uánto miden los lados de un triángulo semejante cuyo perímetro es 64 cm? La razón entre las apotemas de dos pentágonos es k =. Si el área del mayor es 70,4 cm, cuál es el área 5 del menor? un triángulo cuyo perímetro mide 1 cm se le ha aplicado una simetría central de centro y, a continuación, una homotecia de centro el centro de simetría y razón de homotecia k = 4. uánto mide el perímetro del triángulo homotético? 4 El volumen de un cubo es de 16 m. alcula las longitudes de las aristas, las superficies y el volumen de un cubo semejante, con razón de semejanza k = 1. 5 Los triángulos que forman la figura son semejantes con razón de semejanza k = 5. Halla el área de la zona sombreada sabiendo que el área del triángulo mayor es 10,8 cm. 6 Una sala rectangular mide 0 cm 5 cm en un plano a escala 1 : 0. alcula su área real utilizando dos procedimientos distintos. 7 Una figura es semejante a otra con razón de semejanza k = y, a su vez, esta es semejante a una tercera con razón de semejanza k = 1. Serán semejantes la primera y la tercera figura? uál será su razón de semejanza? EVLUIÓN rónica matemática Descripción objetiva de las formas Las proyecciones y los sistemas de representación son técnicas para describir las formas de los objetos. Hay dos tipos de proyección: la cilíndrica y la central o cónica. En la cilíndrica, los rayos de proyección son paralelos entre sí. Pueden ser ortogonales al plano de proyección (cilíndrica ortogonal) o formar con él un ángulo no recto (cilíndrica oblicua). En la central o cónica, los rayos de proyección tienen origen en un punto V y forman distintos ángulos con el plano de proyección. Los sistemas de representación que permiten tomar medidas sobre el dibujo y así obtener las dimensiones del objeto son el sistema diédrico y el sistema acotado. mbos utilizan la proyección cilíndrica ortogonal en uno o más planos. tros sistemas de representación, tales como la perspectiva cónica y la axonométrica, representan los objetos tal como los vería un observador desde una posición particular, pero no permiten tomar medidas sobre el dibujo. rayo proyectante rayo proyectante V rayo proyectante plano de proyección plano de proyección plano de proyección En el diédrico, se representan las proyecciones sobre tres planos ortogonales: el alzado, la planta y el perfil. Semejanza en el plano y en el espacio 155