T. 4 Estadísticos de dispersión

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1 T. 4 Estadísticos de dispersió 1 1. Variables categóricas: la razó de variació y el ídice de variació cualitativa.. Variables ordiales: el rago y el rago itercuartil. 3. Variables cuatitativas: la variaza, la desviació típica y el coeficiete de variació. E diversos textos de Estadística se hace referecia a la dispersió o variabilidad como la razó de ser de esta disciplia; por ejemplo, de Veaux, Bock y Vellema (003) afirma de forma rotuda e su maual Itro Stats lo siguiete: Statistics is about variatio.. E efecto, si o existiese heterogeeidad o dispersió e las variables que estudiamos, sería muy fácil resumir la iformació de las mismas, o haciedo igua falta los métodos estadísticos. Orige de la variabilidad: la dispersió e los valores de los sujetos e ua variable puede deberse a diferetes causas, a las cuales se suele hacer referecia como fuetes de variabilidad de los datos e la variable. Por ejemplo, la variabilidad e las calificacioes de Aálisis de los estudiates del grupo E del curso 05/06 e septiembre (ver histograma), a qué puede deberse? E este caso, ua fuete de variabilidad fudametal será el coocimieto y domiio de la materia. Es de esperar que diferecias idividuales e este aspecto sea la pricipal causa de la dispersió existete e las calificacioes de la asigatura.

2 - Ahora bie, supoiedo que todos los alumos hubiera teido el mismo domiio y ivel de coocimietos de la asigatura, es de esperar que las otas hubiese sido las mismas? - Otras posibles fuetes de variabilidad: lo bie que se haya dormido la oche ates del exame, la capacidad para afrotar situacioes estresates, la habilidad para respoder al tipo de pregutas plateadas e el exame (objetivas, abiertas ), la fiabilidad y validez del istrumeto de medida (el exame), cómo os haya setado el desayuo o comida previa al exame, etc. A cotiuació se preseta ua serie de ídices estadísticos y represetacioes gráficas orietados a describir cuál es la dispersió de ua variable. Ejemplo: Los siguietes polígoos de frecuecias suavizados muestra gráficamete la distribució de ua misma variable (X) e dos grupos distitos de sujetos (A y B), cuál de los dos grupos tiee mayor variabilidad e dicha variable? X 1. Variables categóricas: la razó de variació y el ídice de variació cualitativa La razó de variació (RV) Se obtiee a partir de la siguiete expresió, dode Mo represeta la frecuecia absoluta de la categoría de la variable que sea la moda: Mo RV 1 La RV idica el grado e que los valores observados e la muestra o coicide co el de la moda. Cuato más próximo sea Mo a, más cercao a 0 será RV, idicado que el valor de muchos casos coicide co el de la moda (=> poca dispersió). Cuato meor sea la frecuecia absoluta de la

3 moda respecto al tamaño de la muestra y, por lo tato, mayor la frecuecia absoluta de otros valores que o so la moda, más próximo a 1 será RV (=> mucha dispersió). 3 Ejemplo: Sea la variable Religió que se profesa [Codificació: 0: Católica; 1: Protestate; : Otra; 3: Nigua], de la que se ha obteido datos para ua muestra de 50 persoas, cuya distribució de frecuecias se muestra a cotiuació: X i Frec. absoluta ( i ) Frec. relativa (p i ) 0 1 0, , 10 0, , ,00 El valor de la razó de variació será igual a: 18 RV Ejercicio 1: Obteer la RV e la distribució de frecuecias de la variable Estado civil que se presetó e los dos temas previos. X i Frec. absoluta ( i ) Frec. relativa (p i ) Porcetaje (% i ) soltero/a 15 0,3 30 casado/a 0 0,4 40 separado/a 11 0, viudo/a 4 0, , Ejercicio : Iveta dos distribucioes de frecuecias para la variable Estado civil e que la RV sea, respectivamete, ta baja y ta alta como sea posible. 1.. El ídice de variació cualitativa (IVC) Se obtiee a través de la siguiete fórmula, dode k es el úmero de categorías de la variable y p i la frecuecia relativa asociada a cada ua de ellas:

4 4 1 p i1 IVC ( k1) k El IVC expresa el grado e que los casos está dispersos e las diferetes categorías de la variable, alcazado su máximo (IVC = 1) e el caso e que las frecuecias relativas sea iguales para todas las categorías de la variable (caso que se correspode al de ua variable co ua distribució uiforme). El IVC sería igual a 0 cuado la frecuecia relativa de ua categoría de la variable fuese igual a 1, esto es, el caso e que todos los casos tuviese el mismo valor observado e la variable (dispersió ula). k i Ejemplo de obteció del IVC para la variable categórica Religió que se profesa : IVC 1 ( ) (4 1) Ejercicio 3: Obteer el IVC de la variable Estado civil. Ejercicio 4: Iveta dos distribucioes de frecuecias para la variable Religió que se profesa e que el IVC sea, respectivamete, ta bajo y ta alto como sea posible.. Variables ordiales: el rago y el rago itercuartil..1. El rago Tambié deomiado como amplitud, cosiste e obteer la diferecia etre el mayor y el meor valor observado de la variable: Rago = Máximo Míimo Ejemplo de obteció del rago para la variable co los datos recogidos co la preguta Asiedad que siete cuado se ecuetra co mucha gete alrededor de u test orietado a medir la asiedad (escala de respuesta: 1: Nada; : Algo; 3: Bastate; 4: Mucha.).

5 5 Rago = 4 1 = 3 X i i % i a % a , , , , , , La pricipal desvetaja del rago es que al basarse su cálculo e los valores míimo y máximo, si la distribució tiee valores atípicos, su cálculo se verá muy ifluido por los mismos. E estos casos, el rago puede proporcioar valores que o sea bueos idicadores de la verdadera dispersió de los datos -por ejemplo, e la variable X :{8, 8, 9, 10, 10, 1, 50}, el rago es igual a 4 cuado, e realidad, todos los datos, salvo uo, so bastate homogéeos. Ejercicio 5: Obteer el Rago de la variable obteida a partir de los datos recogidos co la preguta: Se valora e los empleados la creatividad y la capacidad de creació de u test de cultura orgaizacioal e empresas que se aplicó a ua muestra de 00 empleados de diferetes empresas [1: Muy e desacuerdo; : Bastate e desacuerdo; 3: Algo e desacuerdo; 4: Ni e desacuerdo i de acuerdo; 5: Algo de acuerdo; 6: Bastate de acuerdo; 7: Muy de acuerdo]: X i i % i % a 1 10,5 10, , ,5 67, , , E lo que respecta a la iterpretació del rago, tato éste como el resto de ídices de variabilidad que se va a tratar a cotiuació (exceptuado, parcialmete, el coeficiete de variació) ofrece resultados que o tiee ua iterpretació directa e térmios absolutos - qué sigifica u rago de 4 o u rago de 10, mucha o poca dispersió? - El úico caso e que la iterpretació de estos ídices es absoluta es cuado da igual a 0, idicado la ausecia de variabilidad e los datos de la variable -caso por otra parte bastate

6 6 excepcioal. Valores mayores que 0 idicará dispersió e los datos, tato mayor cuato mayor sea ese valor, pero si existir u techo que os permita establecer iterpretacioes e térmios absolutos. - La iterpretació de estos ídices depede de la aturaleza de la variable cosiderada y de la escala utilizada al ser medida -por ejemplo, u rago de 10 e la variable Peso (kg) e ua muestra de persoas adultas sí que os da ua idea de la variabilidad de esa variable: se trata de ua variable co muy poca dispersió dado que cabría esperar que, e ua muestra de persoas adultas, la diferecia etre el valor máximo y el míimo de peso fuese bastate mayor que 10. Si embargo, e otros muchos ejemplos la iterpretació podría resultar mucho más icierta, por ejemplo, u rago de 840 milisegudos e la variable tiempo de reacció para recoocer u determiado estímulo visual, idica mucha o poca dispersió? Tal vez para alguie co experiecia e experimetos de tiempo de reacció co estímulos visuales, ese valor de rago sí que le permita iterpretar la variabilidad de los datos asociada a ese resultado pero, e caso de o cotar co esa formació, puede resultar más que aveturado realizar ua iterpretació al respecto. - Ahora bie, sí que es posible co los mismos realizar iterpretacioes e térmios relativos, por ejemplo, establecer e dos muestras de las que se tiee datos e ua misma variable, cuál de los dos tiee ua mayor dispersió e sus datos o, tambié, comparar la dispersió de los datos de ua misma variable medida e dos mometos temporales distitos. No olvidar que o tedrá setido comparar estos ídices de dispersió cuado se obtega para variables diferetes -ta solo ua salvedad a esta última afirmació:: cuado se trate de variables que esté expresadas e las mismas uidades y que tega setido comparar (por ejemplo, las variables igresos y gastos mesuales para ua muestra de cosumidores)... El rago itercuartil El rago o amplitud itercuartil (RIC) se obtiee como diferecia etre los cuartiles 3º y 1º: RIC = Q 3 Q 1 Ua variate del mismo es el coocido como amplitud o rago semi-itercuartil: RSIC = (Q 3 Q 1 )/

7 7 Ambos ídices tiee como vetaja respecto al Rago que o se ve afectados por la existecia de valores atípicos e la variable, pues o se obtiee a partir de los dos valores más extremos de la variable sio a partir de dos valores más cetrados como so el Q 3 y el Q 1. Ejemplo de obteció del RIC y del RSIC para la variable Asiedad que siete cuado se ecuetra co mucha gete alrededor (ver distribució de frecuecias más arriba). RIC = 3 - = 1 RSIC = (3 )/ = 0,5 Ejercicio 6: Obteer el RIC y del RSIC de la variable Se valora e los empleados la creatividad y la capacidad de creació (ver distribució de frecuecias más arriba). Ua represetació gráfica de ua variable basada e los Q 3 y Q 1 (y tambié e la mediaa), cuya utilizació está cada vez más extedida, es el coocido como diagrama de caja y bigotes, el cual ofrece iformació simultaea sobre la posició y variabilidad de la distribució de frecuecias de la variable. Como veremos más adelate, tambié ofrece iformació sobre la asimetría de la distribució y sobre la posible existecia de valores atípicos e los datos de la variable. Además es u gráfico muy utilizado co la fialidad de comparar grupos. Como ejemplo, el diagrama de caja y bigotes de la variable Se valora e los empleados la creatividad y la capacidad de creació obteida a partir de ua muestra de 00 empleados de diferetes empresas:

8 8 El mismo se costruye situado la escala de respuesta de la variable e el eje vertical y dibujado ua caja delimitada por la mediaa y los cuartiles 1º y 3º (la distacia etre ambos es, precisamete, el rago itercuartil), y uos bigotes que se extiede hasta los valores más extremos de la variable que se ecuetre detro de 1,5 veces la logitud de la caja medida desde los lados de la misma. Los valores más allá de 1,5 veces la logitud de la caja, cuado exista, se represeta por putos y suele idicar valores aómalos (atípicos o extremos) por lo raro de los mismos e relació al grueso de los datos. Se muestra a cotiuació el diagrama de barras de la misma variable a fi de que pueda compararse co el correspodiete diagrama de caja y bigotes: Frecuecia "Se valora e los empleados la creatividad y la capacidad de creació" Ejercicio 7: Realizar la represetació gráfica de la variable Asiedad que siete cuado se ecuetra co mucha gete alrededor co u diagrama de caja y bigotes. 3. Variables cuatitativas: la variaza, la desviació típica y el coeficiete de variació La variaza y la desviació típica La distacia de los valores de ua variable respecto a su media aritmética ofrece, de forma ituitiva, el fudameto para la propuesta de u ídice de dispersió. Cuato mayor sea esas distacias, más dispersos será los datos; cuato meor, más homogéeos resultará ser.

9 Esa distacia de u dato (X i ) respecto a la media es más coocida e estadística como desviació o putuació diferecial (d i ) correspodiete a ese dato ( di Xi X ). Ituitivamete, el ídice de dispersió más secillo basado e este cocepto cosistiría e la obteció del promedio de las desviacioes ( d i ): d i di i X ( X ) 9 Ejemplo de cálculo para la variable X: {6, 7, 4,, 5, 6}: ( Xi X) (6 5) (7 5) (4 5) ( 5) (5 5) (6 5) La aterior fórmula os platearía ua cotrariedad importate si la utilizáramos como ídice de dispersió: siempre va a dar 0, sea cual sea el cojuto de datos que cosideremos. Así, otras variates de esa expresió ha sido propuestas a fi de superar este icoveiete. Ua de ellas ha sido la desviació media (DM), la cual se basa e obteer el valor absoluto de todas las desviacioes, esto es, trasformado e positivas todas aquéllas que sea egativas: DM d i X i X Ejemplo de cálculo para la variable X: {6, 7, 4,, 5, 6}, siedo di Xi X : DM Xi X , E el caso e que la DM se obtega a partir de ua distribució de frecuecias: DM di i Xi X Tratádose de ua buea opció, la DM ha sido ampliamete descosiderada e la práctica, básicamete por resultar poco maejable a ivel algebraico e demostracioes matemáticas. Otra propuesta alterativa que a la postre ha resultado ser la más utilizado e la práctica cosiste e elevar al cuadrado las desviacioes. Se trata del ídice de la variaza ( s o X X ):

10 d ( X X) sx i i 1 A la expresió del umerador de esta fórmula se la cooce e la literatura estadística como suma de cuadrados (SC), por lo que la aterior fórmula puede quedar expresada como: s X = SC X / Ejemplo de cálculo para la variable X: {6, 7, 4,, 5, 6}: s X ( Xi X) 6 6 (6 5) (7 5) (4 5) ( 5) (5 5) (6 5) 16,67 - E el caso e que la variaza se obtega a partir de ua distribució de frecuecias: ( ) i Xi X sx Ejemplo de cálculo de la variaza para la variable Tiempo empleado e completar u laberito por ua muestra de 0 ratas ( = 0): Tiempo (seg) i p i 9 3 0, , ,3 1 0, , X 10,5 seg 0 s 3 (9 10,5) 8 (10 10,5) 6 (11 10,5) (1 10,5) 1 (13 10,5) 0 x 1, 05 seg Ua fórmula alterativa e el cálculo de la variaza a partir la iformació de ua distribució de frecuecias cosiste e sumar el producto de cada desviació al cuadrado por su frecuecia relativa: s p ( X X) X i i

11 Ejemplo para la variable Tiempo empleado e completar u laberito : 1 s 0,15 (9 10,5) 0, 4 (10 10,5) 0,3 (11 10,5) 0,1 (1 10,5) 0, 05 (13 10,5) 1, 05 seg x Al calcular la variaza de ua variable, las uidades del valor resultate so el cuadrado de la uidad de medida de la variable e cuestió, lo cual complica la iterpretació del mismo. La desviació típica/estádar ( s o X X ), al obteerse como raíz cuadrada de la variaza, ya o tiee este icoveiete pues la uidad e que se exprese será la misma que la de la variable a partir de la que se haya obteido. s X s X Ejemplo de cálculo de la desviació típica para la variable Tiempo empleado e completar u laberito : sx 1, 05 1, 0 seg Ejercicio 8: Obteer la DM, s X y s X de ua variable cuatitativa X para la que se ha obteido los siguietes datos para u grupo reducido de 7 sujetos: X: {6, 7, 4, 3, 5, 4, 6} Ejercicio 9: Ivetar cojutos de 6 datos (valores eteros etre 0 y 10, se puede repetir) cada uo co X =7 pero diferete s x. Ejercicio 10 Ivetar 5 datos (valores eteros etre 0 y 10, se puede repetir), que tega S x míima (diferete de 0). Ejercicio 11 Ivetar 6 datos (valores eteros etre 0 y 10, se puede repetir), que tega S x máxima. Ua particularidad de la desviació estádar es que si teemos ua variable cuya distribució de frecuecias se ajusta a la curva ormal (campaa de Gauss), etoces resulta ya coocido el porcetaje de casos cuyos valores observados queda etre los valores X ± k veces la s x. Por ejemplo, si k = 1 (es decir, la media ± ua vez el valor de la desviació típica), podemos afirmar que el 68% de los sujetos tedrá sus valores e esa variable etre los valores X ± 1 s x. Gráficamete, para k = 1, y 3 e ua variable X distribuida ormalmete:

12 1 X 1 s x X + 1 s x X s x X + s x X 3 s x X + 3 s x Ejercicio 1: Tras haber recogido datos de estatura para u grupo de 500 sujetos, se ha obteido que la media es igual a 170 cm y la variaza igual a 81 cm. Sabiedo que la distribució de la variable se ajusta a la curva ormal: (1) etre qué valores de estatura está el 68% cetral de los sujetos?; () el 99,7 % cetral de los sujetos mide etre... y... ; (3) cuátos sujetos mide etre 161 y 179 cm? 3.. El coeficiete de variació La variaza o la desviació típica os permite comparar la dispersió de diferetes distribucioes de frecuecias obteidas para ua misma variable e diferetes grupos de sujetos. Por ejemplo, las desviacioes típicas de las variables Peso_G1 (=4,18) y Peso_G (=14,55) evidecia la diferete variabilidad de la variable Peso e los dos grupos e que ha sido medida (ver datos origiales debajo de la tabla de estadísticos). Nombre variable N Míimo Máximo Rago Media Desv. típ. CV Peso_G ,00 4,18 5,57 Peso_G ,0 14,55 19,35 PesoElef_G ,00 119,37,40 PesoElef_G ,00 108,1 19,85 Altura_G5 5 1,68 1,77 0,09 1,7,036,1 Altura_G6 5 1,45 1,98 0,53 1,74,7 13,04 Peso_G1 (kg.): {73, 77, 81, 74, 70} Peso_G (kg.): {65, 94, 86, 7, 59} PesoElef_G3 (kg.): {4800, 4950, 5100, 4900, 5050} PesoElef_G4 (kg.): {400, 5500, 6800, 4500, 4900} Altura_G5 (m.): {1,70, 1,7, 1,77, 1,75, 1,68} Altura_G6 (m.): {1,45, 1,56, 1,98, 1,91, 1,80} Esa misma diferecia e variabilidad tambié se puede observar e los datos de los dos grupos e que fue medida la variable Altura ( Altura_G5 y Altura_G6 ), poiédose de maifiesto como

13 1 los valores de la desviació estádar está itrísecamete viculados a la escala de medida de la variable cosiderada. Así, para la variable Altura so aparetemete bajos los valores de S x, e comparació co los obteidos para la variable Peso ( Peso_G1 y Peso_G ), au cuado e el grupo G6 existe ua dispersió cosiderable e los valores observados de Altura, tal como se poe de maifiesto si observamos los datos origiales de esta variable para ese grupo. Parece obvio que o resulta coherete comparar la dispersió de variables de diferete aturaleza co coeficietes que se expresa e las mismas uidades que las de las variables. Icluso la comparació de la variabilidad para diferetes subgrupos e ua misma variable puede resultar desacertada e alguos casos al hacerla co la desviació típica, e cocreto, cuado se trate de subgrupos co medias bastate distitas e la variable e cuestió. Ello es debido a que suele haber e las variables ua asociació etre la posició de los datos y su dispersió: posició mayor => variabilidad mayor. A modo de ejemplo, si miramos e la tabla las desviacioes típicas para la variable Peso medida e dos grupos de elefates ( PesoElef_G3 y PesoElef_G4 ), se observa como so valores muy elevados, por lo meos e comparació co los obteidos co los dos grupos de persoas. Si embargo, si os fijamos e los datos origiales correspodietes a PesoElef_G3, se poe de maifiesto como, e realidad, se trata de u cojuto de datos muy homogéeo para lo que sería de esperar para ua muestra de elefates. Coclusió, si comparáramos las desviacioes típicas correspodietes a PesoElef_G3 y Peso_G podríamos llegar a coclusioes totalmete equívocas. Este problema de la comparació de la variabilidad de subgrupos co medias bie distitas puede soslayarse a través de u ídice propuesto por K. Pearso, el coeficiete de variació (CV X ), el cual relativiza el peso de la desviació típica dividiédola por la media (e cosecuecia, o tiee uidades): CV X SX 100 X E la práctica, el CV puede tomar cualquier valor por ecima de 0, ahora bie, tal como señala Solaas et al. (005), es habitual que o pase de 100 y valores por ecima podría de maifiesto ua dispersió excepcioalmete alta e los datos. E ese caso, se acoseja idagar las fuetes de variabilidad de los datos, pues podría existir algú tipo de error o sesgo e la recogida de los datos que diera lugar a ua dispersió ta elevada.

14 1 Como se puede observar e la tabla de estadísticos para uestro ejemplo, los resultados del CV so más acordes a la realidad de los datos, por lo que se poe de maifiesto su coveiecia a la hora de comparar la variabilidad de subgrupos co medias difereciadas. Es más, al tratarse de u coeficietes adimesioal, puede resultar tambié útil para comparar la dispersió de variables distitas -cuado ello tega setido-, como podría ser el caso de las variables de Altura respecto a las de Peso e uestro ejemplo. Ejercicio 13: Obteer todas las medidas de dispersió presetadas e este tema para la variable Nº de hijos a partir de la distribució de frecuecias de los datos: X i Ejercicio 14: Teemos datos sobre el gasto aual e uevas tecologías e los colegios públicos de ciudades E cuál de las ciudades preseta más dispersió esta variable? (Aplíquese el ídice más apropiado para este caso) Ciudad A X = 4000 Sx = 3300 Ciudad B X = Sx = Alguas aotacioes sobre los ídices de dispersió orietados a variables cuatitativas Al estar basados e la media, se hace extesible a los mismos lo que se cometó al tratar este ídice, e cocreto, su sesibilidad a valores aómalos o atípicos, valores que se aparta e exceso del grueso de los valores (=> distribucioes de frecuecias muy asimétricas), por lo que se recomieda e estos casos o aplicarlos. Aálogamete a lo que ocurre co la media y que ya cometamos e el tema precedete, la variaza, la desviació típica y el CV tambié so aplicados e la práctica a variables ordiales. Ya se vio etoces, los pros y los cotras de tal uso.

15 1 No se debe olvidar, como ocurría e el tema precedete y ocurrirá e otros sucesivos, que los ídices presetados para u determiado tipo de variable, tambié so aplicables para variables de orde superior -por ejemplo, los ídices presetados para las variables categóricas se puede aplicar a los tipos de variables tratadas a posteriori Visualizació gráfica de la dispersió co variables cuatitativas Al igual que co las variables ordiales, el diagrama de caja y bigotes resulta tambié adecuado como represetació gráfica de la posició y dispersió de variables cuatitativas. E variables cuya distribució cotiee valores atípicos, el diagrama de caja y bigotes ofrece ua idetificació iequívoca de los mismos (los putos que va más allá de los bigotes, esto es, los casos cuyo valor e la variable es superior a 1,5 veces el RIC más el Q 3, o bie, los casos cuyo valor es iferior a 1,5 veces el RIC meos el Q 1 ). Ejemplo de diagrama de caja y bigotes co ua distribució de frecuecias co valores atípicos (variable Salario actual para los 474 empleados de ua empresa de servicios). Se muestra tambié el histograma de la misma variable a fi de que pueda compararse co el correspodiete diagrama de caja y bigotes $ $ $ $ $ $ $0.000 $0 Salario actual Nótese que, dada la presecia de valores ta atípicos e la distribució de esta variable, o sería adecuado e este caso describir la dispersió de la misma a partir de los ídices de dispersió orietados a variables cuatitativas.

16 1 Ua faceta del aálisis estadístico e que los diagramas de caja y bigotes resulta especialmete coveietes es para comparar la posició y variabilidad, bie de ua misma variable medida e diferetes subgrupos de casos, bie de ua misma variable medida e diferetes mometos temporales. A cotiuació se muestra u ejemplo del primer caso, e cocreto se trata de la variable Salario actual para cada ua de las tres categorías laborales difereciadas e ua empresa de servicios: $ $ $ $ $ Salario actual $ $ $ $ $ $ $ $0.000 $ $0 Admiistrativo Seguridad Directivo Categoría laboral Otro ejemplo e que se compara 4 subgrupos de sujetos defiidos e fució de la edad (8, 10, 1 y 14 años) e la variable Distacia e mm del cetro de la pituitaria a la fisura ptérigo-maxilar por medio de u diagrama de caja y bigotes: Distacia (mm) del cetro de la pituitaria a la fisura ptérigomaxilar 3,0 30,0 8,0 6,0 4,0,0 0,0 18, Edad e años

17 1 Tambié es posible represetar cada uo de los 4 grupos de sujetos mediate u histograma y comparar los mismos, si embargo, el diagrama de caja y bigotes ofrece más vetajas e lo que al aprovechamieto del espacio gráfico se refiere. Además, se evita el problema de que cada subgrupo pueda estar represetado e ua escala diferete, pudiédose provocar la percepció de diferecias o existetes Ejemplo e que se compara subgrupos de sujetos e ua misma variable ( Distacia e mm. del cetro... ) por medio de sedos histogramas: Si os fijamos bie o se trata e realidad de subgrupos sio del mismo, lo úico que cambia de u histograma al otro es la escala del eje horizotal. Ahora bie, ua primera impresió rápida podría haberos coducido a cocluir erróeamete que los dos subgrupos tiee ua posició grupal similar, siedo el segudo meos disperso e sus valores. Cosecuecia de ello, cuado se platee utilizar histogramas a la hora de comparar grupos e ua misma variable, se debe teer cuidado de que éstos sea represetados co la misma escala e el eje de la variable. Los diagramas de caja y bigotes los podemos ecotrar represetados horizotalmete, como es el caso del que se muestra a cotiuació el cual además aparece superpuesto sobre u histograma de

18 1 la misma variable. Ambos muestra gráficamete la distribució de frecuecias de la variable Altura (cm) para ua muestra de sujetos adultos. Destacar que el diagrama de caja y bigotes que aparece e esta figura es ua versió simplificada de la versió origial propuesta por Joh W. Tukey que puede ecotrarse e alguos mauales de aálisis de datos. Se diferecia del origial e que los bigotes se extiede hasta el valor míimo y máximo de la distribució, idepedietemete de lo alejados que esté de los lados de la caja. Ejercicio 15: A partir del gráfico aterior, decir cuáles so los valores de los siguietes ídices estadísticos: el míimo y el máximo, el Q 1, la mediaa, el P 75, la moda, el rago y el RIC. Ejercicio 16: A cotiuació se muestra la distribució de frecuecias de la variable Atigüedad e la empresa, medida a partir del Nº de meses desde el cotrato para los 474 empleados de ua empresa de servicios. Además se muestra el diagrama de barras y alguos estadísticos descriptivos obteidos co SPSS. A partir de esta iformació: 1) Obteer el diagrama de caja y bigotes. ) Decidir cuáles sería los ídices de dispersió más adecuados.

19 1 Ejercicio 17: A cotiuació se muestra la distribució de frecuecias de la variable Nº de visitas al servicio de urgecias hospitalario durate el pasado año, obteida para ua muestra de 150 sujetos diagosticados co hipocodría. A partir de ésta: 1) dibujar el diagrama de barras y el de caja y bigotes para esta distribució de frecuecias. ) decidir cuáles sería los ídices de dispersió más adecuados para este caso y calcularlos.

20 X i i % % a ,33 7, , ,33 54, , ,67 85, ,33 94, , ,33 99, , Referecias: De Veaux, R. D., Bock, D. E. y Vellema, P. (003). Itro Stats. Bosto: Addiso-Wesley. Peña, D. y Romo, J. (1997). Itroducció a la estadística para las ciecias sociales. Madrid: McGraw-Hill. Solaas, A., Salafraca, L., Fauquet, J. y Núñez, M. I. (005). Estadística descriptiva e Ciecias del Comportamieto. Madrid: Thompso.