CURSO LABORATORISTA VIAL CLASE C MÓDULO MATEMÁTICAS

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1 CURSO LABORATORISTA VIAL CLASE C MÓDULO MATEMÁTICAS RAÚL MONTES S. SANTIAGO, MARZO

2 1.- USO DE CALCULADORA CIENTÍFICA Y CÁLCULO NUMÉRICO DE EXPRESIONES 1.1 Técnica de aproximación: El criterio más utilizado para efectuar aproximaciones establece que: Para una magnitud determinada si el primer dígito suprimido es < 5, el último dígito conservado se deja invariable. Si es 5, se agrega 1 al último dígito. Ejemplo: Expresar con la aproximación que se indica las siguientes magnitudes: a) 1, : Con dos decimales 1,65 b) 17, : Con un decimal 17,1 c) 94, : En enteros 94 d) 0, : Con tres decimales 0, Cálculo numérico de expresiones simples Utilizando la cantidad necesaria de paréntesis adicionales, calcular con la aproximación que se indica las siguientes magnitudes: a) 1 = (Con dos decimales) 1-3 ( ) b) ,69 2,74 2,89 = (Con dos decimales) c) 0,72 * 56 * 8 + 0,28 * 15 * 5 = (Con dos decimales) 0,72 * ,28 * 15 d) 8 ( 1 1/3 ) = (Con un decimal) 5 (2 + 2/3 ) e) 100 ( 1-0,871* 0,28) = ( Con un decimal ) 1-8,

3 f) 0,25 ( 1-13 ) + 0,75 ( 1-8 ) = (Con dos decimales) g) = ( Con un decimal ) 2 ( 1-1 ) 3 7 h) 13,8 = ( Con un decimal ) 1,09 + 0,0118 * 21 i) 1 = ( Con dos decimales ) ( 1-12/17) ( 1-4/13) j) ( 1 - ( 1-0,65 ) ) * 100 = Con un decimal ) 0,81 k) = ( Con un decimal ) l) 2 5 ( 1 4 ) = ( Con dos decimales ) m) 3 ( 1-0,28) 2 ( 1-0,36 ) = ( Con dos decimales ) 6 ( 1-0,64 ) Respuestas: a) 11,05 b) 2,71 c) 7,7 d) 0,4 e) 82,5 f) 0,56 g) 3,6 h) 10,3 i) 4,91 j) 19,8 3

4 k) 73,5 l) 1,96 m) 0, Notación científica (exponencial 10 n ) La notación 10 n corresponde a una potencia de base 10 y exponente n, la que por definición está dada por: 10 n = 10 x 10 x 10 x... x 10 ( número 10 multiplicado n veces por si mismo ) De esta manera, las potencias positivas de 10 serán : 10 1 = = = , etc. y las potencias negativas serán : 10-1 = 0, = 0, = 0,001..., etc. Es importante recordar dos propiedades básicas de las potencias, aplicables a cualquier base. Estas son: 10 0 = 1 y 10 -n = 1 10 n Ejemplos de expresión en notación exponencial en base 10: = 2,47 x ,00062 = 6,2 x = 1 x ,0001 = 1 x ,3 = 5,273 x 10 2 Cálculo de expresiones con magnitudes grandes: Cuando se efectúa por ejemplo una multiplicación de dos o más magnitudes que contienen muchos dígitos, la calculadora entrega el resultado en notación exponencial. Por ejemplo: x = 1,14... x = 1,14 x

5 Dependiendo del modelo de calculadora que se utilice, en el visor aparecerá una de las siguientes formas de expresión para este resultado: x10 12 ; E12 ; ; Ingreso de exponenciales 10 n a la calculadora: Para ingresar un exponencial 10 n en la calculadora se utiliza la tecla EXP. Ejemplos: 2,19 x EXP 7 1,57 x EXP Potencias ( a n ) Una potencia está dada por la expresión a n, en que "a" es la base y "n" el exponente. Por definición a n está dada por: a n = a x a x a x a... x a ( "a" multiplicada "n" veces por si misma ) Dentro de las propiedades de las potencias, recordaremos las más importantes para efectos del cálculo numérico de expresiones. Estas son: a 0 = 1 a -n = 1 Ej.: 2-3 = 1/2 3 = 1/8 a n (-a) n = a n si "n" es par Ej.: (-2) 4 = 16 (-a) n = -a n si "n" es impar Ej.: (-2) 5 = -32 Ingreso de potencias a la calculadora: Para ingresar potencias a la calculadora se emplean las teclas x y, ^ ó dependiendo del modelo de máquina. x Con cualquiera de las teclas que se emplee, cuando el exponente es fraccionario, se debe insertar un paréntesis antes de ingresar el exponente. Ejemplos: a) 2 9 se calcula como 2 x y 9 = 512 5

6 b) 5 2/3 se calcula como 5 x y (2/3) = 2,92 c) 3 0,45 se calcula como 3 x y 0,45 = 1, Raíces Una raíz es una expresión del tipo n x, en que "n" es el índice de la raíz y "x" es el argumento o cantidad subradical. Por definición: si n x = a, esto significa que a n = x Ej.: 3 64 = 4, esto significa que 4 3 = 64 Una raíz puede transformarse en potencia y viceversa. La equivalencia es la que se indica a continuación: n x = x 1/n Ej.: 3 6 = 6 (1/3) = 1,82 En el caso que el argumento de la raíz sea a su vez una potencia, la igualdad queda como sigue: n m x = x m/n Ej.: = 8 (3/4) = 4,76 Cálculo de raíces en la calculadora: Dado que la mayoría de las calculadoras sólo permiten calcular directamente las raíces cuadradas y cúbicas, desde la raíz cuarta en adelante se expresan en forma de potencia. Ej.: 5 72 = 72 (1/5) = 72 x y (1/5) = 2, Funciones log X y 10 X : La función logaritmo decimal ( log ) está definida como : log a = x 10 X = a Por ejemplo: log 2 = 0, ,301 = 2 6

7 Por convención log a = log 10 a Propiedades del log: Las propiedades más importantes del log y que nos pueden ayudar a calcular algunas de las expresiones que contienen esta función, son las siguientes: a) log a * b = log a + log b b) log a/b = log a - log b c) log a n = n * log a Logaritmos de potencias de 10: log 1 = 0 ( 10 0 = 1 ) log 10 = 1 ( 10 1 = 10 ) log 0,1 = -1 ( 10-1 = 0,1 ) log 100 = 2 ( 10 2 = 100 ) log 0,01 = -2 ( 10-2 = 0,01 ) log 1000 = 3 ( 10 3 = 1000 ) log 0,001 = -3 ( 10-3 = 0,001 ) etc. etc. La función 10 x en la mayoría de las calculadoras va ubicada como segunda función sobre la tecla log, y su utilidad está en que nos permite calcular el logaritmo inverso de un número ( log -1 ). Ej.: Si log a = 0,477 a = 10 0,477 = 3 ó a = log -1 (0,477) = Cálculo numérico de expresiones con funciones científicas Calcular el valor numérico de las siguientes expresiones haciendo uso de paréntesis adicionales cuando sea necesario y con la aproximación que se indica. Verificar los resultados obtenidos: a) 1,65 x 10 5 = ( Con dos decimales ) Resp: 13,05 2,19 x ,26 x 10 3 b) ( 1-0,54/0,89 ) 3/2 = ( Con dos decimales ) Resp: 0,25 c) 3, /3 = ( Con tres decimales ) Resp: 0,841 1,4 x 95 2/3 7

8 d) 9 log ( log 5 - log 2,5 ) = ( Con dos decimales ) Resp: 6,89 e) ( ( 6,13 x 10-4 ) / ( 4,81 x 10-6 ) ) 1/2 = (Con dos decimales) Resp: 11,29 f) 1 = ( En enteros ) Resp: 2 5 log log g) ( 5/9) 4/3 x ( 4/7) 3/5 = ( Con dos decimales ) Resp: 0,33 h) 100 ( ( 1 + 0,16 ) 2-1 ) = ( Con un decimal ) Resp: 39,2 0,89 i) x ( 1 + 1,5/100) 12 = (En enteros) Resp: j) 1 + 7,5 x 10-2 = ( Con dos decimales) Resp.: 14,33 7,5 x 10-2 k) ( 1 5/9) = ( Con dos decimales) Resp.: 1,53 8

9 2.- SISTEMAS DE MEDICIÓN. EQUIVALENCIAS Y CONVERSIÓN DE UNIDADES FÍSICAS 2.1 Introducción Las tres magnitudes básicas o elementales de la Física son las correspondientes a: Longitud [ L ] Masa [ M ] Tiempo [ T ] De la combinación de éstas se derivan las demás magnitudes tales como área, volumen, densidad, velocidad, aceleración, fuerza, presión, flujo volumétrico, etc. 2.2 Sistemas de Medición Los sistemas de medición más utilizados son el Sistema Métrico y el Sistema de Unidades Inglesas, siendo el primero de ellos el más empleado a nivel local Sistema Métrico: Dependiendo de las unidades empleadas para expresar las tres magnitudes elementales, el Sistema Métrico comprende los Sistemas MKS y CGS. A) Sistema MKS ( Metro - Kilogramo - Segundo ) El Sistema MKS es la base del Sistema Internacional de Unidades. Las magnitudes elementales se expresan, como lo indica la sigla, en las siguientes unidades: Longitud : metro (m) Masa : kilogramo (kg) Tiempo : segundo (s) B) Sistema CGS ( Centímetro - Gramo - Segundo ) En este caso, la longitud, la masa y el tiempo se expresan en las siguientes unidades: Longitud : centímetro ( cm ) Masa : gramo (g) Tiempo : segundo (s) 9

10 2.2.2 Sistema de Unidades Inglesas : En los países de habla inglesa las unidades convencionales empleadas para expresar las tres magnitudes elementales son: Longitud : pie ( ft ) Masa : libra (lb) Tiempo : segundo (s) 2.3 Equivalencias Básicas de Unidades En esta sección se entregan equivalencias básicas entre unidades MKS, CGS e inglesas Magnitudes elementales Longitud : 1 Km = m 1 m = 10 dm = 100 cm = mm 1 dm = 10 cm = 100 mm 1 cm = 10 mm 1 mm = micrones ( µ ) 1 pulgada ( in) = 2,54 cm = 25,4 mm ( in = abreviatura de inch ) 1 ft = 30,48 cm Masa : 1 Tonelada Métrica (Ton) = kg 1 kg = g 1 g = mg 1 libra (lb) = 453,6 g Tiempo: 1 hr = 60 min 1 min = 60 s Nota: Para los efectos del presente curso se podrá utilizar seg en lugar de s para expresar segundo. 10

11 2.3.2 Magnitudes obtenidas a partir de las magnitudes elementales Superficie o Area ( A ) : Unidades métricas más comunes: km 2, m 2, dm 2, cm 2, mm 2 Unidades inglesas más comunes: in 2, ft 2 Equivalencias básicas: 1 km = m 1 km 2 = m 2 1 m = 10 dm 1 m 2 = 100 dm 2 1 m = 100 cm 1 m 2 = cm 2 1 m = mm 1 m 2 = mm 2 1 in 2 = 6,4516 cm 2 = 645,16 mm 2 1 ft 2 = 929,03 cm Volumen ( V ): Unidades métricas más comunes : m 3, dm 3, cm 3, mm 3 Unidades inglesas más comunes : in 3, ft 3 Unidades prácticas más comunes : litro (l), mililitro (ml), galón (gal) Nota: Para los efectos del presente curso se podrá utilizar lt en lugar de l para expresar la unidad litro. Equivalencias básicas: 1 m = 10 dm 1 m 3 = dm 3 1 m = 100 cm 1 m 3 = cm 3 1 cm = 10 mm 1 cm 3 = mm 3 1 m 3 = lt 1 lt = 1 dm 3 1 lt = cm 3 = ml 1 gal = 3,785 lt 1 ft 3 = 28,317 lt 1 in 3 = 16,39 cm 3 11

12 Velocidad (v) : La velocidad está definida por v = distancia Tiempo Unidades métricas más comunes: km/hr, m/seg, m/min Unidades inglesas más comunes: ft/seg, in/seg Aceleración (a) : La aceleración está definida por a = variación de velocidad tiempo Unidades métricas más comunes: m/seg 2, cm/seg 2 Unidades inglesas más comunes: ft/seg 2, in/seg 2 Equivalencia básica más importante: 1 m/seg 2 = 100 cm/seg 2 Caso particular: aceleración de gravedad (g) Para efectos prácticos g = 9,81 m/seg 2 ó 981 cm/seg 2 Para cálculos en que se requiera mayor precisión, se podrá utilizar los valores g = 9,807 m/seg 2 ó g = 9,8066 m/seg Densidad (d) : La densidad está definida por d = masa volumen Unidades métricas más comunes: kg/m 3, g/cm 3, kg/dm 3, ton/m 3 Unidades inglesas más comunes: lb/ft 3, lb/in 3 Unidades prácticas más comunes: kg/lt, g/ml Equivalencias básicas: 1 g/cm 3 = kg/m 3 ó 1 kg/m 3 = 0,001 g/cm 3 1 kg/dm 3 = 1 kg/lt = 1 g/cm 3 12

13 Caudal o Flujo Volumétrico (Q) : El flujo volumétrico está definido por Q = volumen tiempo Unidades métricas más comunes: m 3 /hr, cm 3 /seg, m 3 /seg Unidades inglesas más comunes : ft 3 /min, ft 3 /seg Unidades prácticas más comunes : lt/min, lt/seg Flujo Másico ( Q* ) : El flujo másico está definido por Q* = masa tiempo Unidades métricas más comunes : ton/hr, kg/min, g/seg Unidades inglesas más comunes: lb/min, lb/seg Riego Superficial Másico (R) : El Riego Superficial Másico está definido por : R = masa superficie Unidades métricas más comunes: kg/m 2, g/cm 2 Unidades inglesas más comunes : lb/in 2, lb/ft 2 Equivalencia básica: 1 kg/m 2 = 0,1 g/cm Fuerza ( F ) : La Fuerza está definida por F = masa x aceleración Unidades métricas : kg x m, g x cm seg 2 seg 2 Unidades inglesas : lb x in, lb x ft seg 2 seg 2 Unidades prácticas : Newton (N), Dina (D) ; Kilogramo-fuerza (kgf), libra-fuerza (lbf ) 13

14 Equivalencias básicas: 1 N = 1 kg x m 1 D = 1 g x cm seg 2 seg 2 1 N = 10 5 D 1 KN = N 1 Kgf = 9,8 N Nota: Cuando sea necesario trabajar con alta precisión se deberá considerar la equivalencia 1 Kgf = 9,8066 N. Nota: El concepto de carga en el área vial (ej.: ensaye de resistencia de muestras de hormigón) tiene el mismo significado físico y unidades que el concepto de fuerza abordado más arriba Presión ( P ) : La Presión está definida por P = Fuerza Superficie Unidades métricas: kg / m x seg 2, g / cm x seg 2 Unidades prácticas: N /m 2, D /cm 2 Unidades más empleadas : kgf /cm 2 Unidades inglesas : lbf /in 2 ( psi) ( psi = pound squared inch ) Otras unidades utilizadas: Pascal ( Pa ), Mega Pascal ( MPa ) Equivalencias básicas: 1 kg /m x seg 2 = 1 N/m 2 1 g /cm x seg 2 = 1 D/cm 2 1 Pa = 1 N /m 2 1 MPa = 1 N/mm 2 1 MPa = 10 6 Pa 1 kgf/cm 2 = 0,098 MPa Nota: Las unidades empleadas para expresar resistencia de hormigones en el área vial son equivalentes a las de presión. Las unidades de resistencia más utilizadas en el ámbito vial son kgf/cm 2 y MPa. 14

15 Temperatura ( T ) : ( F). Las escalas de temperatura más utilizadas son las escalas Celsius ( C) y Farenheint Equivalencias básicas: ( F ) = 1,8 x ( C) + 32 Ej.: 25ºC = 77ºF ( C) = ( F 32 ) 1,8 Ej.: 60ºF = 15,6ºC 15

16 2.4 CONVERSIÓN DE UNIDADES El objetivo de esta sección es la transformación de unidades físicas, es decir convertir una magnitud expresada en una determinada unidad en otra equivalente expresada en otra unidad. Para los ejercicios de conversión de unidades que se presentan a continuación, se deben utilizar las equivalencias básicas vistas anteriormente en la sección 2.3. Ejercicios: Calcule y complete las siguientes equivalencias de unidades: 1) 0,2 in =... mm 2) 15 mm =... in 3) 600 µ =... cm 4) 8 dm =... in 5) 1 ft =...in 6) 2,5 m =... ft 7) 900 cm 2 =... m 2 8) 150 ft 2 =... m 2 9) 200 mm 2 =... dm 2 10) 35 in 2 =... cm 2 11) 1 kg =... lb 12) 1 Ton =... g 13) 1 hr, 24 min =... hr 14) 0,15 hr =... seg 15) 2,5 lt =... dm 3 16) 50 lt =... gal 17) cm 3 =... m 3 18) mm 3 =...lt 19) 80 lt =... ft 3 20) in 3 =... dm 3 21) 0,05 m 3 =... lt 22) 90 km/hr =... m/seg 23) 30 cm/seg =... m/min 16

17 24) 1,6 m/seg =... ft/min 25) 240 cm/seg 2 =...ft/seg 2 26) kg/m 3 =... g/cm 3 27) 1,02 kg/lt =...kg/dm 3 28) 1,85 ton/m 3 =...g/cm 3 29) kg/m 3 =...lb/ft 3 30) 2,19 g/cm 3 =... lb/pulg 3 31) 1,25 lt/seg =... m 3 /hr 32) 1,3 kg/m 2 =... g/cm 2 33) 392 KN =... kgf 34) 280 kgf/cm 2 =... MPa 35) 34 C =... F 36) 180 kgf/cm 2 =... psi 37) kgf =... KN 38) 50 F =... C 39) 27 N/mm 2 =... MPa 40) 6 ft 3 /min =... lt/seg Respuestas: 1) 5,08 2) 0,59 3) 0,06 4) 31,5 5) 12 6) 8,2 7) 0,09 8) 13,9 9) 0,02 10) 225,8 11) 2,205 12) ) 1,4 14) ) 2,5 16) 13,2 17) 0,075 18) 0,01 19) 2,8 20) 98,3 21) 50 22) 25 23) 18 24) ) 7,87 26) 2,36 27) 1,02 28) 1,85 29)145 30) 0,079 31) 4,5 32) 0,13 33) ) 27,4 35) 93,2 36) ) ) 10 39) 27 40) 2,83 17

18 3.- PORCENTAJES Y RAZONES 3.1 Porcentajes: Básicamente existen tres tipos de cálculo en que se ven involucrados porcentajes, los que responden básicamente tres tipos de pregunta. Para responder a estas preguntas se acostumbra hacer uso de la fórmula: P * C = Q 100 donde: P = porcentaje (%) C = cantidad de referencia Q = cantidad resultante ( resultado) Ejemplos: a) Cuál es el 15% de 180? P = 15 C = 180 Q =? Q = P * C = 15 * 180 = 27 El 15% de 180 es b) Qué porcentaje es 54 de 270? P =? Q = 54 C = 270 Despejando P de la fórmula anterior se obtiene: P = Q * 100 = 54 * 100 = 20% 54 es el 20% de 270 C

19 c) De qué cantidad es 4 el 2,5%? C =? Q = 4 P = 2,5 Despejando C de la fórmula obtenemos: C = Q * 100 = 4 * 100 = es el 2,5% de 160 P 2,5 3.2 Razones: Razón es el cuociente entre dos cantidades homogéneas. La razón entre dos cantidades a y b es a : b ó a/b y se lee a es a b. Las dos cantidades que se comparan son los términos de la razón. El primer término se llama antecedente y el segundo consecuente. El valor de una razón no se altera cuando sus dos términos se multiplican o dividen por un mismo número. Ejemplo: Si la razón 2 : 5 se multiplica por 3, ésta se convierte en 6 : 15, manteniéndose el valor del cuociente y por tanto de la razón. Aplicaciones: Si dos cantidades A y B están en la razón a : b y su suma es T, las cantidades A y B se calculan como: a b A * T B = * T a b a + b Nota: Las fórmulas anteriores pueden extenderse a tres o más cantidades. 19

20 Ejemplo 1: Dos materiales A y B en una mezcla están en la razón 2 : 3. Si la masa de la mezcla es de 800 kg. Cuál es la masa de cada uno de los materiales? 2 3 A * kg B = * kg Ejemplo 2 : Se dispone de una mezcla compuesta por 960 kg de A y kg de B. En qué razón se encuentran estos materiales en la mezcla? A = 960 kg B = kg Razón entre A y B : Simplificando el cuociente anterior hasta la mínima fracción equivalente, se obtiene 4/9 Por lo tanto, los materiales se encuentran en la razón 4 : 9 Lo anterior es equivalente a señalar que la mezcla ( kg ) está compuesta por 4/13 partes de A y 9/13 partes de B, en que 13 es la suma de 4 y 9. Ejemplo 3 : Tres materiales A, B y C en una mezcla están en la razón 4 : 7 : 9. Si la masa del material B es kg: a) Cuál es la masa total de la mezcla? b) Qué porcentaje de la mezcla total corresponde al material C? a) Total de partes en la mezcla = = 20 B = 7 * T = 7 * T T = kg b) C = 9 * = kg 20 Como * 100 = 45% El material C representa el 45% de la mezcla 20

21 Problemas propuestos: 1.- Calcule y responda las siguientes preguntas: a) Si el 0,25% de un número es 2,4 Cuál es el número? b) De qué número es 3/8 el 5%? 2.- Una mezcla está compuesta por tres materiales A, B y C. Si las 3/8 partes de la mezcla corresponden al material A y las 2/5 partes corresponden al material B En qué porcentaje participa el material C en dicha mezcla? 3.- Tres cantidades X, Y, Z están en la razón 2 : 4 : 7. Si la cantidad mayor es 546 Cuál es el valor de la suma de dichas cantidades? 4.- Se dispone de una mezcla compuesta por kg de un material A y kg de un material B En qué razón se encuentran estos materiales en la mezcla? 5.- Un terreno rectangular de 80 m de frente y 240 m de fondo se modifica de forma tal que su frente aumenta en 20% y su fondo disminuye en un 30%. Qué sucede con la superficie final del terreno? ( Calcular el % de aumento o disminución de la superficie ) 6.- De un saco que contiene 12,4 kg de arcilla se extrae las 3/8 partes de su contenido. Más tarde se extrae el 60% de lo que quedaba Cuál es la cantidad final de arcilla en el saco? Respuestas: 1.- a) 960 b) 7, ,5% : Su superficie disminuye en un 16% 6.- 3,1 kg 21

22 4.- PERÍMETROS, AREAS Y VOLÚMENES En esta sección se entregan las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes de las principales figuras geométricas, seleccionándose aquellas que en mayor o menor grado serán utilizadas en el ámbito vial. 4.1 PERÍMETROS Y AREAS Cuadrado Cuadrado de lado a P = 4a A = a 2 a a Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un cuadrado de lado 15 cm P = 4 * 15 = 60 cm A = 15 2 = 225 cm Rectángulo Rectángulo de lados a y b P = 2a + 2b = 2 ( a + b ) a A = a * b b Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un rectángulo de lados 12 y 27 cm P = 2 * ( ) = 78 cm A = 12 * 27 = 324 cm 2 22

23 4.1.3 Circunferencia y Círculo Circunferencia de diámetro D o P = π D π = 3,1416 D Círculo de diámetro D A = π D 2 4 R Ejemplo: Calcular el perímetro de una circunferencia de 15 cm de diámetro P = π * 15 = 47,1 cm Ejemplo: Calcular el área de un círculo de 15 cm de diámetro A = π * 15 2 = 176,7 cm Triángulo Triángulo de lados a, b y c a b P = a + b + c c A = s( s a)( s b)( s c) ( Fórmula de Herón para cualquier triángulo ) s = semiperímetro = P/2 = a + b + c 2 Ejemplo: Calcular el perímetro y el área de un triángulo de lados 18, 24 y 30 cm P = = 72 cm 23

24 s = 72 = 36 cm 2 A = 36(36 18)(36 24)(36 30) = 216 cm Trapecio Trapecio de base superior a, base inferior b y altura h P = a + b + c +d a c d h A = ( a + b ) * h 2 b Ejemplo: Calcular el área de un trapecio de 30 cm de base superior, 1,20 m de base inferior y 70 cm de altura. A = ( ) * 70 = cm VOLÚMENES Cubo Cubo de arista a a V = a 3 a a Ejemplo: Calcular el volumen de un cubo de arista 20 cm V = 20 3 = cm 3 24

25 4.2.2 Paralelepípedo ( caja rectangular ) Paralelepípedo de dimensiones a, b y c V = a * b * c b a c Ejemplo: Calcular el volumen de una caja rectangular de 15 cm de ancho, 24 cm de largo y 10 cm de profundidad. V = 15 * 24 * 10 = cm Cilindro Cilindro de diámetro D y altura H V = Area basal x Altura V = π D 2 * H 4 H Ejemplo: Calcular el volumen de un cilindro de 15 cm de diámetro y 30 cm de altura V = π * 15 2 x 30 = cm Esfera Esfera de diámetro D D V = π D 3 6 Ejemplo: Calcular el volumen de una esfera de 4 cm de diámetro D V = π * 4 3 = 33,5 cm

26 4.2.5 Cono Cono de diámetro basal D y altura H V = 1 Area basal x altura 3 H V = 1 * π D 2 * H 3 4 D V = π D 2 * H 12 Ejemplo: Calcular el volumen de un cono de 20 cm de diámetro basal y 25 cm de altura V = π * 20 2 * 25 = cm Cono truncado Cono truncado de diámetro basal inferior D, diámetro basal superior d y altura H V = π H ( D 2 + d 2 + D * d ) 12 d H Ejemplo: Calcular el volumen de un cono truncado de diámetro basal inferior 16 cm, diámetro basal superior 8 cm y altura 24 cm. D V = π * 24 * ( * 8 ) = cm

27 4.3 Resolución de Problemas Geométricos y Físicos 1) Calcular el volumen de una piscina para curado de probetas de hormigón, llena con agua hasta el 60% de su capacidad, si sabemos que su largo es de 1,85 m, su ancho 1,20 m y su profundidad 0,70 m. Volumen geométrico de la piscina = 1,85 x 1,20 x 0,70 = 1,554 m 3 = litros Volumen lleno con agua = 0,6 x = 932 litros 2) Si se aplica una fuerza de 490 KN sobre una probeta cilíndrica de 150 mm de diámetro Cuál es la presión ejercida sobre dicha superficie? Expresar el resultado en kgf/cm 2 y en MPa. Superficie = π *15 2 = 176,7 cm 2 4 Fuerza = 490 KN = N = kgf Presión = Fuerza = = 283 kgf/cm 2 = 27,7 MPa Superficie 176,7 3) Cuántas probetas cúbicas de 150 mm de arista se podrán confeccionar con una carretilla que contiene 65 litros de hormigón fresco, considerando un 20% de pérdida de material durante la operación de llenado de los moldes? Volumen de una probeta cúbica = 15 3 = cm 3 = 3,375 litros Volumen de pérdidas = 0,2 * 65 = 13 litros Volumen de hormigón aprovechado = = 52 litros N de probetas que se podrán confeccionar = 52 = 15,4 15 probetas 3,375 4) En qué tiempo se llenará hasta el 75% de su capacidad un tambor cilíndrico de 0,72 m de diámetro y 1,15 m de altura, mediante una manguera que suministra agua a un flujo constante de 0,25 litros/seg? Exprese el resultado en minutos. Volumen del tambor = π D 2 H = π * 0,72 2 * 1,15 = 0,468 m 3 = 468 litros 4 4 Volumen de llenado = 0,75 x 468 = 351 litros Tiempo empleado = Volumen de llenado = 351 [litros] = seg = 23,4 min Flujo volumétrico 0,25 [litros/seg] 27

28 5) Calcular el diámetro de una partícula esférica cuyo volumen es 0,125 cm 3. Expresar el resultado en mm. Volumen esfera = π D 3 = 0,125 6 Despejando el diámetro de la igualdad anterior se obtiene: D 3 = 0,125 x 6 = 0,2387 D = 3 0, 2387 = 0,62 cm = 6,2 mm π 6) Calcular el volumen del Cono de Abrams, utilizado en el muestreo de hormigón fresco, si sabemos que sus dimensiones son: diámetro basal inferior 200 mm, diámetro basal superior = 100 mm y altura = 300 mm. Expresar el resultado en litros. Volumen del Cono de Abrams = Volumen de un cono truncado V = π H ( D 2 + d 2 + D x d ) 12 V = π * 30 ( x 10 ) = cm 3 = 5,498 litros 5,5 litros Problemas propuestos: 1) Calcular el área de un triángulo cuyos lados son 8, 10 y 14 cm. Resp.: 39,2 cm 2 2) Calcular el área de la sección transversal de un cordón de material, asimilándola a un trapecio de base inferior 96 cm, base superior 24 cm y altura 75 cm. Expresar el resultado en m 2. Resp.: 0,45 m 2 3) Se regó con asfalto una calzada de 6 m de ancho en una longitud de metros lineales. Si se ocupó kg de asfalto, calcule la dosis de riego aplicada en lt/m 2. Dato: La densidad del asfalto utilizado es de 1,02 kg/dm 3. Resp.: 1,13 lt/m 2 4) Qué altura debería tener un molde cilíndrico de 15 cm de diámetro para que su volumen fuera igual al de un molde cúbico de 15 cm de arista? Resp.: 19,1 cm 5) Calcular el volumen geométrico de un acopio de material de forma cónica, de 2,65 m de diámetro basal y 1,90 m de altura. Resp.: 3,5 m 3 6) Mediante una bomba se hizo circular por una tubería un fluido de densidad 1,08 g/cm 3, a razón de 4 lt /seg. Si la masa de fluido que circuló por el ducto fue de kg, calcule el tiempo empleado durante la operación. Resp.: 12,5 min 28

29 7) Calcular la fuerza aplicada sobre una superficie circular de 10 cm de diámetro, si sabemos que la presión ejercida fue de 39,2 MPa. Expresar el resultado en KN. Resp.: 308 KN 8) Una partícula pétrea de forma esférica de 1,5 cm de diámetro tiene una densidad de 2,69 gr/cm3 Cuál es la masa de la partícula? Exprese el resultado en gramos, aproximando a dos decimales Resp.: 4,76 gr 9) Un terreno rectangular de 45 m de largo y 16 m de ancho se modifica, disminuyendo el largo en 6 m y aumentando el ancho en 8 m En que porcentaje varía su área respecto al terreno original? Resp.: Aumenta en un 30% 29

30 5.- ECUACIONES LINEALES 5.1 Introducción: Una ecuación lineal es una igualdad que contiene una incógnita (x), la cual tiene exponente igual a 1. Resolver una ecuación lineal consiste en despejar y conocer el valor de la incógnita x. Las formas más simples de ecuación para el despeje de la incógnita son : a) a x = b x = b a b) x = b x = ab a c) a = b x = a x b d) x + a = b x = b - a 5.2 Resolución de ecuaciones: En esta sección se resuelven paso a paso algunos modelos tipo de ecuación lineal. a) 2X - 9 = 23 2X = X = 32 X = 32 2 X = 16 b) 7 9X = -3X 35-9X + 3X = X = -42 /*-1 X = 42 6 X = 7 c) 5( 2X 3 ) = 4 (X + 3) 10X 15 = 4X X 4X =

31 6X = 27 X = 27 X = 9/2 6 d) X - 3 = 1 /* X - 18 = 3 4X = 21 X = 21 4 e) 0,75x + 1 = 1,5x ( 0,75x + 1) = 3 ( 1,5x - 1 ) 1,5x + 2 = 4,5x - 3-3x = -5 /*-1 x = 5/3 f) 1-1,57 = 0,41 / * X X X 1,57 = 0,41X X 0,41X = 1,57 0,59X = 1,57 x = 1,57 0,59 x = 2,66 g) 4X X - 1 = 21 / * X (7X 1) = 21 4X X - 3 = 21 25X - 4 = 21 25X = 25 X = 25 X =

32 h) 7,5 = ( X 560 ) * (X 560 ) * 100 = 7,5 * 560 X 560 = 7,5 * X = 42 x = 602 i) 13,8 = 10,7 1,09 + 0,0118 x 10,7 ( 1,09 + 0,0118x ) = 13,8 1,09 + 0,0118x = 13,8 10,7 1,09 + 0,0118x = 1,2897 0,0118x = 0,1997 x = 0,1997 0,0118 x = 16,9 5.3 Ejercicios propuestos: a) 13X - 9X = 17 Resp.: b) X X = 2 Resp: 4, c) 2 ( 7X 3) = X - 1 Resp: d) 0,75X 3 ( 2 0,25X ) = 2 + X Resp: 16 e) 8,3 = ( 721,5 x ) * 100 Resp: 666,2 X 32

33 f) 8X ( 16X - 10 ) = 11 Resp: 0,375 3 g) X + 6 = 3 Resp: 6 3X 2 4 h) 2,4X - 15 = 1,8X 25 Resp.: 0 0,3 0,5 i) 4X 2( X - 7) + 4( 5 X) = 2 2( 1 3X) - 6(X - 1 ) Resp.: 14 33

34 6. INTERPOLACIONES LINEALES En esta sección se aborda la interpolación lineal con el método analítico ( a partir de una tabla de datos que representan una recta o de su ecuación ). 6.1 Interpolación lineal a partir de una tabla de datos Calcule el valor de Y para X = 31, mediante interpolación lineal en la siguiente tabla de datos: ( Expresar el resultado con dos decimales ) X Y 8 1,6 20 2,5 36 3,7 48 4,6 64 5,8 Solución: Se pide calcular el valor de Y para X = 31 El valor X = 31 se ubica entre los valores 20 y 36. Lo anterior nos permite deducir que el valor buscado de Y estará comprendido entre 2,5 y 3,7, y más cerca de 3,7 que de 2,5 pues 31 dista 11 unidades de 20 y sólo 5 de 36. Por lo tanto, la zona de interés estará dada por : 20 2,5 31 Y 36 3,7 Dado que los datos representan una recta ( pendiente constante ), establecemos una proporción aprovechando la condición de igualdad de pendiente en cualquier punto. Y 2,5 = 3,7 2, Desarrollando la igualdad obtenemos: ( Y 2,5 ) = 1,

35 16 (Y 2,5) = 11 * 1,2 16 Y - 40 = 13,2 16 Y = 53,2 Y = 3,33 Por lo tanto para X = 31, el valor de Y es 3, Calcular el valor de Y para X = 4,9, mediante interpolación lineal en la siguiente tabla de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con tres decimales X Y 2,4 0,18 3,6 0,27 6,4 0,48 8,4 0,63 9,6 0,72 Y 0,27 = 0,48 0,27 4,9-3,6 6,4-3,6 Y 0,27 = 0,21 1,3 2,8 2,8 (Y - 0,27) = 1,3 * 0,21 2,8 Y - 0,756 = 0,273 2,8 Y = 1,029 Y = 0, Interpolación lineal a partir de la ecuación de una recta Determinar el valor de Y para X = 4,2 en la recta cuya ecuación es: Y = 0,65 X 1,27 Solución: Se reemplaza el valor de X en la ecuación y se determina Y Y = 0,64 * 4,2 1,27 = 1,46 Por lo tanto, cuando X = 4,2, la variable Y = 1,46. 35

36 Problemas propuestos: 1.- Calcular el valor de Y para X = 0,68, mediante interpolación lineal en la siguiente tabla de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con un decimal. X Y 0,0 0 0,5 20 1,0 40 2,0 80 4, Calcular el valor de Y para X = 0,59, mediante interpolación lineal en la siguiente tabla de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con dos decimales. X Y 0,25 1,85 0,50 2,18 0,75 2,51 1,00 2, Calcular el valor de Y para X = 4,7, mediante interpolación lineal en la siguiente tabla de datos, que representan una recta. Expresar el resultado con un decimal. X Y 0 3,6 2 8,4 4 13,2 6 18,0 8 22,8 4.- Calcular el valor de Y para X = 16, en la recta cuya ecuación es Y = 0,15X + 1,36 Respuestas: 1) 27,2 2) 2,30 3) 14,9 4) 3,76 36