Revista Colombiana de Estadística ISSN: Universidad Nacional de Colombia Colombia

Transcripción

1 Revista Clmbiana de Estadística ISSN: Universidad Nacinal de Clmbia Clmbia Mren Crtés, Ana Lucia; Vargas Navas, Jsé Albert Carta de cntrl R cn intervals de muestre variables Revista Clmbiana de Estadística, vl 23, núm 1, 2000, pp Universidad Nacinal de Clmbia Bgtá, Clmbia Dispnible en: Cóm citar el artícul Númer cmplet Más infrmación del artícul Página de la revista en redalycrg Sistema de Infrmación Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Prtugal Pryect académic sin fines de lucr, desarrllad baj la iniciativa de acces abiert

2 Revista Clmbiana de Estadística Vlumen 23 (2000) N 1, páginas CARTA DE CONTROL R CON INTERVALOS DE MUESTREO VARIABLES ANA LUCIA MORENO CORTÉS1 JOSÉ ALBERTO VARGAS NAVAS2 Resumen La carta de cntrl R usada para mnitrear la variabilidad de un prces, se basa en ls rangs calculads a partir de muestras seleccinadas en tiemps igualmente espaciads En este artícul se mdifica la carta R usual, permitiend que ls intervals entre las muestras puedan ser variables La idea es que el interval de tiemp entre las muestras i e i + 1 sea crt, si el rang de la i-ésima muestra da indicación de un psible cambi en la variabilidad del prces, y larg en cas cntrari Cmparacines entre cartas de cntrl R cn intervals de muestre fijs (FSI) e intervals de muestre variables (VSI) muestran que estas últimas detectan más rápid cambis en la variablilidad de un prces Palabras Claves: Cartas de cntrl R, intervals de muestre variables, tiemp prmedi para señal 1 Intrducción Las cartas de cntrl sn instruments de cntrl estadístic que permiten identificar en qué mment una determinada característica de calidad de un prduct presenta un patrón inestable Ds cartas de cntrl utilizadas para determinar si la variabliddad de un prces se encuenra n baj cntrl sn las cartas R y S En estas cartas se calculan ls rangs y las desviacines estándar de muestras tmadas del prces y se ubican en un gráfic que cnsta de una línea central ubicada sbre el valr bjetiv y ds límites de cntrl ubicads generalmente a una distancia 3σ del valr bjetiv (1) Estadística Universidad Nacinal de Clmbia; e161262@matematicasunaleduc (2) Prfesr Asciad, Departament de Estadística, Universidad Nacinal de Clmbia; avargas@matematicasunaleduc 15

3 16 A L MORENO & J A VARGAS La práctica usual en una carta de cntrl es tmar muestras del prces a intervals de tiemp de lngitud fija (FSI), pr ejempl, cada hra Reynlds, Amin, Arnld y Nachlas (1988), mdifican esta práctica en la carta X Shewhart, a una en la cual ls intervals de muestre tiemps entre la tma de las muestras n sean fijs, sin que varían dependiend de l que se bserve en el cmprtamient de las muestras En este artícul se utiliza la metdlgía de Reynld, Amin, Arnld ynachlas (1988), para cnstruir una carta de cntrl R cn intervals de muestre variables El prces de cntrl prpuest es permitir que el tiemp hasta la próxima muestra dependa de l que se bserva en la muestra actual y así pder aprvechar de una mejr frma la infrmación brindada pr ls rangs En la sección 2 se presenta una revisión de literatura y se definen las prpiedades de las cartas de cntrl cn VSI La sección 3 explica la frma de cnstrucción de la carta de cntrl R prpuesta En la sección 4 se presenta la metdlgía del trabaj, mientras que en la sección 5 se muestran ls resultads encntrads Finalmente, en la sección 6 se presentan algunas cnclusines 2 Revisión de literatura Reynlds, Amin, Arnld y Nachals (1988) cnstruyen las cartas de cntrl X cn intervals de muestre variables utilizand ls límites tradicinales 3σ para dats nrmales estándar, y demuestran numéricamente que únicamente ds intervals de muestre sn necesaris Las lngitudes de ests intervals sn d 1 = 01 L y d 2 = 19 L, dnde L es la lngitud del interval de muestre para la carta de cntrl tradicinal cn FSI Cm las prpiedades de una carta de cntrl sn determinadas pr el tiemp que tma la carta en prducir una señal de fuera de cntrl, Reynlds, Amin y Nachlas (1988) cnsideran necesari definir nuevas cantidades para la carta cn VSI, ya que en estas cartas el tiemp para señal n es múltipl cnstante del númer de muetras para señal, cm si sucede en la carta cn FSI Pr tant, para la carta cn VSI es necesari medir el númer de muestras para señal y el tiemp para señal El númer de muestras que se tman antes de que la carta indique una señal es usualmente llamad lngitud de racha en la literatura de cntrl de calidad, y el númer esperad de muetras es llamad lngitud prmedi de racha (ARL) Suárez (1993), define el ARL cm el prmedi del númer de punts muestrales que hay que graficar entes de tener un punt que indique una cndición de fuera de cntrl Cn un inteval fij entre muestras, el ARL puede ser cnvertid en el tiemp esperad para señal multiplicándl pr la lngitud del intervl fij de muestre, así el ARL puede ser tmad cm el tiemp esperad para señal

4 CARTA DE CONTROL R CON INTERVALOS DE MUESTREO VARIABLES 17 Pr est, se define el númer de muestras para señal cm el númer de muestras tmadas desde el inici del prces hasta el mment en que la carta presenta señal de fuera de cntrl, y el númer prmedi de muestras para señal (ANSS) es el valr esperad de númer de muestras para señal de fuera de cntrl El tiemp para señal se define cm el tiemp desde el inici del prces hasta el mment en que la carta presenta una señal de fuera de cntrl, y similarmente el prmedi para señal (ATS) es el valr esperad del tiemp para señal Amin y Miller (1993), hiciern us de la técnica de VSI cuand se realizan ligeras cntaminacines en la varianza de ls dats, bteniend resultads igualmente satisfactris en cuant al ATS de la carta de cntrl X cn VSI Prybutk, Claytn y Harvey (1997), realizarn cmparacines entre ls ATS de las ds cartas de cntrl, bteniend que la carta de cntrl cn VSI detecta más rápid cambis en ls dats cn relación a la carta de cntrl cn FSI 3 Carta de cntrl R cn intervals de muestre variables Siguiend la sugerencia de Amin y clabradres (1988), cn respect al númer de regines de muestre, se prpne una carta R cn ds intervals de muestre, definidas de la siguiente manera: I 1 = ( R 3σ R ; R γ σ R ] [ R + γ σ R ; R + 3σ R ) e I 2 = ( R γ σ R ; R + γ σ R ) Dnde R es el valr bjetiv, rang medi del prces, y γ es una cnstante múltipl de la desviación estándar El valr γ se define haciend que la prbabilidad que una muestra se ubique en cualquiera de las ds regines I 1 e I 2 sea igual Para la carta X cn VSI, Prybutk, Claytn y HArvey (1997), muestran que el valr de γ adecuad es Para este estudi el valr se calcula pr simulación El parámetr σ R es la desviación estándar de ls rangs, la cual se estima a partir de ls misms El límite de cntrl inferir en una carta de cntrl R es tradicinalmente tmada cm cer, y cm n existe garantía que R 3σ R > 0 tdas las veces, en esta carta de cntrl prpuesta se sigue respetand el valr cer para el límite de cntrl inferir Teniend en cuenta las cnsideracines anterires, las regines de muestre para la carta de cntrl R cn VSI están dadas pr: I 1 = (0; R γ σ R ] [ R + γ σ R ; R + 3σ R ) e

5 18 A L MORENO & J A VARGAS I 2 = ( R γ σ R ; R + γ σ R ) La figura 1 muestra el esquema general de esta carta R + 3σ R R i R + γ σ R R R γ σ R Figura 1 Carta de cntrl R cn VSI } } } } señal de fuera de cntrl I 1 I 2 I 3 númer de muestra En el mment que un punt se ubique pr fuera de las regines I 1 y I 2 establecidas anterirmente, éste es tmad cm una señal que el prces se encuentra fuera de cntrl, y pr tant es necesari tmar medidas para lgrar llevarl a cntrl nuevamente 4 Metdlgía La cmparación entre las cartas R cn FSI y cn VSI se llevó a cab mediante métds de simulación El prcedimient realizad, usand el paquete estadístic S PLUS fue el siguiente: 1 Se generarn muestras aleatrias de tamañ 5, prvenientes de una distribución nrmal estándar, y a cada una de ellas se le calculó el valr del rang muestral Lueg, a partir de ests rangs, se hace la estimación de su desviación estándar y su rang medi, y ests valres sn ls que se predeterminan para la cnstrucción de ls límites de las regines de cntrl El valr encntrad para σ R fue y para R fue Se parte del supuest que ls rangs de las muestras pseen igual prbabilidad de pertenecer a cualquiera de las regines de muestre I 1 e I 2 Es pr esta razón que se plantea la siguiente igualdad: P [R I 1 ] = P [R I 2 ] Y cm ls valres R y σ R sn cncid, el γ que cumple cn la cndición anterir es 0680 Pr tant las regines de muetsre en las cuales se ubicarán ls rangs estarán dadas pr: I 1 = (0; ] [ ; ) I 2 = ( ; )

6 CARTA DE CONTROL R CON INTERVALOS DE MUESTREO VARIABLES 19 3 Se generarn nuevas muestras de tamañ 5, a las cuales se les calcula el rang muestral Es necesari definir la lngitud L del interval de muestre para la carta R cn FSI, ya que la lngitud del inteval crt de muestre es 01 L y la lngitud del interval larg de muestre es 19 L para la carta cn VSI Pr facilidad a la hra de hacer ls cálculs y del estudi realizad pr Prybutk, Claytn y Harvey (1997) se escge este valr cm L = 10 De esta manera se dejan pasar 10 unidades de tiempp, se tma la muestra en el tiemp 11, se calcula su rang y se bserva si R 11 I 1, si R 11 I 2, si n pertenece a ninguna de las ds regines Cuand R 11 I 2 el siguiente rang se tma después de 19 L unidades de tiemp; cuand R 11 I 1 el rang siguiente se tma después de 01 L unidades de tiemp y cuand R 11 se ubica pr fuera de estas regines se detiene el prces Igualmente para la carta R cn FSI la lngitud del interval de muestre es L = 10 Est indica que cada 10 unidades de tiemp se mide el rang de una muestra, se ubica, y dependiend su valr se dejan pasar tras 10 unidades de tiemp se detiene el prces 4 Cada vez que se calculan ls rangs y se ubican, se cuentan cuánts de ells se ubicarn en la región de muestre I 1 y en la región de muestre I 2 para la carta R cn VSI; se cuentan también cuánts se ubicarn en la región de cntrl de la carta R cn FSI, y de esta manera se puede saber cuál es la medida de tiemp para señal y el númer de muestras tmadas antes que se presente una señal de fuera de cntrl en cada una de las cartas Pr tant, para pder btener el ATS y el ANSS es necesari repetir el prcedimient de generación y ubicación de ls rangs p veces, sumar tds ls TS y ls NSS, y después prmediar estas cantidades, bteniend así ls valres necesaris para hacer las cmparacines entre las ds cartas de cntrl R, la prpuesta y la tradicinal En este trabaj de simulación se tmó el valr p=2000 para cada un de ls prgramas requerids 5 Resultads de la simulación Ls resultads de las simulacines sn resumids en las tablas 1-6 Estas tablas muestran el tiemp prmedi para señal (ATS) y el númer de muestras prmedi para señal (ANSS) baj diferentes cndicines de variabilidad En tdas las tablas se muestra el efect de cntaminación de la varianza sbre el ATS cuand el valr de L es 10

7 20 A L MORENO & J A VARGAS Tabla 1 Valres del ATS y del ANSS para dats prvenientes de una distribución nrmal estándar en cartas R cn VSI y FSI, cuand L = 10 ATS ANSS VSI FSI VSI FSI En la tabla 1, se hace una cmparación entre el ATS y el ANSS de las cartas de cntrl R cn FSI y cn VSI Teóricamente es de esperarse que ls valres de ATS y ANSS para las cartas cn VSI y cn FSI cincidan, cuand L = 1, per cm en este cas para pder hacer ls cálculs de simulación del tiemp entre la tma de las muestras L = 10, hay una pequeña distrsión de sus valres Al hacer el cálcul del valr de q (1/ANSS) el cual crrespnde al errr tip I, prbabilidad que algun dels punts quede ubicad pr fuera de ls límites de cntrl cuand el prces n ha cambiad, éste es muy pequeñ para ambas cartas, para la carte R cn FSI, l cual era l esperad ya que ls punts sn prvenientes de una distribución nrmal estándar Ls resultads de las tablas 2 5, crrespnden a dats que han sid cntaminads aleatriamente en su varianza en distints prcentajes L que se desea ver es cuál de las cartas detecta de frma más rápida y haciend us de la menr cantidad de muestras, la cntaminación realizada La ntación (100 X)%N(0, 1) + X%N(0, σ 2 ) indica que ls dats de la distribución nrmal estándar han sid cntaminads en prcentajes X, pr ejempl X = 10 significa que el 10% de ls dats tiene distribución N(0, σ 2 ) y el 90% restante se distribuye nrmal estándar Tabla 2 Valres del ATS y del ANSS para dats prvenientes de una distribución mixta (100 X)%N(0, 1) + X%N(0, 4) en cartas R cn VSI y FSI, cuand L = 10 ATS ANSS X VSI FSI VSI FSI En la tabla 2 se muestra la cmparación del ATS y del ANSS para las cartas R cn VSI y cn FSI cuand la varianza de ls dats ha sid cntaminada de frma aleatria en diferentes prcentajes cn el valr 4

8 CARTA DE CONTROL R CON INTERVALOS DE MUESTREO VARIABLES 21 En estas cartas, el ATS es menr para la carta R cn VSI, mstrándse que la técnica prpuesta, detecta de frma más rápida alteracines en la varianza de ls dats De la tabla se deduce que cuand el prcentaje de cntaminación es del 5%, la carta cn VSI presenta una diferencia de unidades de tiemp en el valr del ATS y de muestras en el ANSS cn respect a la carta cn FSI Cuand el prcentaje de cntaminación es del 10%, la carta cn VSI presenta una diferencia de unidades de tiemp en el valr del ATS y de muestras en el ANSS cmparad cn la carta cn FSI, y cuand el prcentaje de cntaminación es del 30%, la carta cn VSI presenta una diferencia de unidades de tiemp en el valr del ATS y de muestras en el ANSS cn respect a la carta cn FSI Tabla 3 Valres del ATS y del ANSS para dats prvenientes de una distribución mixta (100 X)%N(0, 1) + X%N(0, 9) en cartas R cn VSI y FSI, cuand L = 10 ATS ANSS X VSI FSI VSI FSI En la tabla 3 se muestra la cmparación del ATS y del ANSS para las cartas R cn VSI y cn FSI cuand la varianza de ls dats ha sid cntaminada de frma aleatria en diferentes prcentajes, cn el valr 9 Igual que en el cas anterir, el ATS es menr para la carta R cn VSI La interpretación de ests valres es similar a la dada arriba para la tabla 2 Así pr ejempl, cuand el prcentaje de cntaminación es del 10%, la carta cn VSI presenta una diferencia de 8843 unidades de tiemp en el valr de ATS y de 0392 muestras en el ANSS cn respect a la carta cn FSI Las tablas 4 y 5 presentan ls resultads para el ATS y ANSS de las cartas de cntrl R cn VSI y cn FSI cuand la varianza de ls dats ha sid cntaminada de frma aleatria en distints prcentajes cn ls valres 25 y 100 respectivamente

9 22 A L MORENO & J A VARGAS Tabla 4 Valres del ATS y del ANSS para dats prvenientes de una distribución mixta (100 X)%N(0, 1) + X%N(0, 25) en cartas R cn VSI y FSI, cuand L = 10 ATS ANSS X VSI FSI VSI FSI Tabla 5 Valres del ATS y del ANSS para dats prvenientes de una distribución mixta (100 X)%N(0, 1) + X%N(0, 100) en cartas R cn VSI y FSI, cuand L = 10 ATS ANSS X VSI FSI VSI FSI En la figura 2 y 3 se cmparan las ds cartas para el mism cnjunt de dats En estas cartas se puede ntar claramente cm la carta cn VSI necesita de mens tiemp y a la vez mens muestras para detectar que el prces se encuantra pr fuera de cntrl Mientras la carta cn VSI necesita de 13 muestras y de 90 unidades de tiemp para detectar una señal de fuera de cntrl, la carta cn FSI para ls misms dats necesita 19 muestras y 192 unidades de tiemp para detectar igualmente una señal de fuera de cntrl

10 CARTA DE CONTROL R CON INTERVALOS DE MUESTREO VARIABLES 23 CARTA DE CONTROL R CON VSI 8 R Rangs Objetiv Región I 1 Región I Tiemp Figura 2 Carta de cntrl R cn VSI para dats 090N(0,1)+010N(0,4) CARTA DE CONTROL R CON FSI 8 R Rangs Objetiv LCS Tiemp Figura 3 Carta de cntrl R cn FSI para dats 090N(0,1)+010N(0,4) Pr últim, ls resultads de la tabla 6 crrespnden a dats que han sid cntaminads de frma predeterminada en su varianza a partir del valr 1001 cn dats pertenecientes a distribucines N(0,225), N(0,4), N(0,9) y N(0,16) respectivamente Al igual que en ls cass anterires, se desea ntar cuál de las cartas R cn VSI R cn FSI, detecta en frma rápida una alteración en la varianza del prces, en este cas, cuand se presenta un cambi persistente en la variabilidad de ls dats

11 24 A L MORENO & J A VARGAS Tabla 6 Valres del ATS y del ANSS para dats prvenientes de una distribución nrmal cn cambi persistente en la varianza a partir del dat 1001 en cartas R cn VSI y FSI, cuand L = 10 σ 2 a partir del dat ATS ANSS VSI FSI VSI FSI Aquí la carta cn VSI presenta resultads sistematicamente menres cn respect a ls de la carta cn FSI en cuant a la medida del ATS Cuand a partir del dat 1001 la ditribución de ls dats sufre un liger increment en su varianza, es decir cambia de una N(0,1) a una N(0,225) el valr del ATS para la carta cn VSI es unidades de tiemp menr que el de la carta cn FSI En el ANSS n se puede ntar mayr diferencia entre sus valres, sin embarg, la carta cn VSI es ligeramente mayr cn 0119 unidades Ahra, si la distribución a partir del dat 1001 cambia de N(0,1) a N(0,4) se presenta el mism cmprtamient que en el cas anterir La carta cn VSI tarda en prmedi mens tiemp que la carta cn FSI para detectar el increment de la varianza, necesitand de unidades de tiemp mens que la carta cn FSI Tal cm sucedió cn ls resultads anterires, la diferencia en el ANSS es mínima, per ahra la carta cn VSI necesita de mens muestras en prmedi, 0074, para detectar un cambi en la varianza del prces También se puede ver que cuand la distribución de ls dats cambia a partir del dat 1001 de N(0,1) a N(0,9), se nta que hay diferencia en el tiemp para señal de ambas cartas El ATS de la carta cn VSI es 8075 unidades de tiemp menr que el ATS de la carta R cn FSI, pudiéndse determinar que cuand el cambi en la varianza es relativamente grande la carta cn VSI tambén l descubre de una frma más rápida que la carta cn FSI En este cas el ANSS de la carta cn VSI es ligeramente mayr que el de la carta cn FSI, hay entre ells una diferencia 0095 unidades Cm últim cas se tmó un en el cual la distribución de ls dats cambia a a partir del dat 1001 de una N(0,1) a N(0,16), y al igual que en las 3 casines anterires, se presentan diferencia en el ATS de las cartas, siend el de la carta cn VSI menr cn 4962 unidades de tiempp En el ANSS tambén se presenta una diferencia de 0060 muestras, siend el de la carta cn FSI menr que el de la carta cn VSI

12 CARTA DE CONTROL R CON INTERVALOS DE MUESTREO VARIABLES 25 6 Cnclusines Ls resulatds en este trabaj demuestran que la carta R cn VSI puede reducir el tiemp requerid pr la carta para detectar cambis pequeñs y grandes en la varianza de un prces Es cnveniente empezar cnla cnstrucción de un gráfic de cntrl R cn VSI antes que un gráfic de cntrl X cn VSI, prque si la variabilidad del prces está fuera de cntrl, l mejr es cntrlarla antes de cnstruir la carta X Una desventaja de la carta R cn VSI es que el cst para administrarla puede ser mayr que el crrespndiente a la carta cn FSI, ya que ls intervals de muestre especificads para la carta cn VSI pueden n crrespnder a ls períds naturales de trabaj del persnal La idea anterir puede n ser una desventaja dependiend del prces al cual se le esté haciend el seguimient, pr que si se hace una detección a tiemp de una señal fuera de cntrl, est implica ahrr en recurss ecnómics ya que se crregiría a tiemp la causa ( causas) que está prvcand la alteración en el cmprtamient de la varianza de ls dats Se recmienda ampliar el trabaj cn estas cartas, haciend que la prbabilidad que un punt pertenezca a alguna de las regines I 1 e I 2 n sea la misma sin trgand mayr prbabilidad a la región I 2 y bservar si se sigue manteniend el mism cmprtamient, de menr tiemp de detección en una señal de fuera de cntrl, para las cartas cn VSI frente a las cartas cn FSI Referencias [1] Amin, R W, Nachlas, J C, and Reynlds, M R Jr (1988) X C harts With Variable Sampling Intevals, Technmetrics, Vl 30 [2] Amin, R W, and Miller, R W (1993) A Rbustness Study f X charts with variable sampling intevals, Jurnal f Quality Technlgy Vl 25, n 1, [3] Ceballs, L S, y Sánchez, R B (1982) C ntrl Estadístic de Calidad en la Industria Militar, Trabaj de Grad (Estadística) Universidad Nacinal de Clmbia, Facultad de Ciencias, Departament de Matemáticas y Estadística [4] Prybutk, V R, Claytn, H R, Harvey, M M (1997) C mparisn f Fixed Versus Variable Sampling Interval Shewhart X Cntrl Charts in the Presence f Psitively Autcrrelates Data, Cmmun Statist Simula Vl 26, [5] S PLUS Prgrammer s Guide, Data Analysis Prducts Divisin, MathSft, Seatle, WA DUNOD, París, 1995 [6] Suárez, A B (1993) Estudi Cmparativ de ls Diagramas de Cntrl EWMA y CUSUM en Cndicines de N nrmalidad, Trabaj de Grad (Especialización en Estadística) Universidad Nacinal de Clmbia, Facultad de Ciencias, Departament de Matem ticas y Estdística