Análisis Dinámico de Sistemas Multicuerpo

Transcripción

1 Cpíítuo T5 Anáss Dnáco de Sstes utcuepo En este cpítuo ntoduceos os conceptos teó en os que se bs e náss dnáco de sstes utcuepo, tnto betos coo cedos, con estccones cneátcs o sn es. A gu que en e cpítuo nteo, peteos gunos eepos cos que petn pec deenc que supone, en cunto pnteento, núeo copedd de s ecucones de ovento, e hecho de den poscón de sste ednte coodends ctesns o etvs, sí coo e deente ttento que debe dse, con ests úts, os ecnsos de cden bet ced. 5.. DNÁCA DE LA PATÍCULA. LEYES DE NEWTON ntoduccón Coo es sbdo, cneátc estud os oventos de s ptícus de os cuepos ígdos sn consde s ues necess p ogn dchos oventos. L estátc se encg de estudo de os sste ecán en os que esutnte de sste de ues es nu que, po tnto, están en equbo en eposo o ovéndose con veocdd constnte. Fnente, cundo dch esutnte no es nu, e sste ecánco se h ndo de ovento ceedo, ests ues no equbds os oventos que ognn consttuen e cpo de estudo de dnác. Ecucones de ovento En os tepos nteoes Geo Newton, se ceí que un cuepo en eposo estb en su estdo ntu; po tnto, p nteneo en ovento e neces un cet ue. L gn contbucón de Newton ecánc ue dse cuent de que no e neces un ue p ntene en ovento un cuepo un ve que se hube puesto en ovento que e eecto de un ue es te veocdd, no ntene.

2 CAPÍTULO T5 Segund e de Newton Los undentos de os estudos de ecánc técnc son s ees que ouó S sc Newton en 687. En un ttdo ttudo The Pncp, Newton enuncó s ees undentes que gen e ovento de un ptícu de ne sguente: Pe e: Todo cuepo se ntene en su estdo de eposo o de ovento ectíneo unoe, svo s se ve odo cb dcho estdo po ccón de ues é pcds. Segund e: E cbo de ovento es popocon ue ot pcd tene ug en deccón de ect según cu se pc ue. Tece e: L eccón es sepe gu opuest ccón; es dec, s ccones que dos cuepos se eecen uno sobe oto son sepe gues dectente opuests. Ests ees, que ho se conocen con e nobe de Lees de Newton de ovento, sueen epesse ctuente de sguente ne: Pe e: en uc de ues eteoes, un ptícu ncente en eposo o que se ueve con un veocdd constnte seguá en eposo o ovéndose con veocdd constnte o go de un ect. Segund e: S sobe un ptícu se eece un ue eteo, qué se ceeá en deccón tdo de ue e óduo de ceecón seá dectente popocon ue e nvesente popocon s de ptícu. Tece e: P tod ccón este un eccón gu opuest. Ls ues de ccón eccón ente dos cuepos en contcto son de gu óduo e gu ect sopote, peo tdos contos. L pe e tñe un ptícu o punto te en eposo o que se uev con veocdd constnte, tece e ge ccón eccón ente cuepos que ntectún, po o que bs se hn utdo p deso os conceptos de estátc. L segund e de Newton, que econ e ovento ceedo de un punto te con s ues que o ognn, consttue bse de os estudos de dnác. teátcente, segund e de Newton se epes en o conocd: donde v es ceecón de ptícu F es ue que se eece sobe ptícu es s de ptícu v F Est ecucón epes e hecho de que os óduos de F v son popocones que os vectoes F v tenen s deccón tdo que es un esc postvo, es vád tnto p ues constntes coo p ues que víen con e tepo en óduo o deccón. Cundo se utce ecucón p esove pobes dná, s edds de ceecón h que eectus especto ees de eeenc os en e espco que tengn un oentcón constnte especto s estes s. Un t sste de ees se denon ten gen o sste nec po. Cundo un sste de ees de eeenc se sodo Te, ceecón que

3 CAPÍTULO T5 en é se d no seá ceecón bsout que h de gu en ecucón nteo, cus de otcón de Te en tono su ee de su ceecón especto So ecoe su óbt. En oí de os pobes técn en supece teeste, s coeccones eectu p copens ceecón de Te especto sste nec po son despecbes s ceecones edds especto ees sodos supece teeste se pueden tt coo s ue bsouts. Sn ebgo, ctd ecucón no seá vád cundo v epete un ceecón etv edd especto un sste de ees óves sobe Te. Adeás, hbá que consde s coponentes de ceecón de ovento de Te cundo se boden pobes tes coo e vueo de nves espces o s tectos de ses bíst. Ecucones de ovento de un punto Los conceptos bás s ees de dnác pueden ntoducse eo coenndo con dnác de un ptícu. E cuepo ás spe que puede pece en e estudo de ovento es un ptícu o s puntu, dend coo un s concentd en un punto. S ben en edd s suee est dstbud en e espco, e concepto de que un cuepo tene tod su s concentd en un punto es un pocón popd p uchos popóstos. ás ún, coo veeos, e cento de gvedd de un dstbucón de s se copot coo un s puntu. Po tnto, e náss de copotento de un s puntu conduce esutdos útes, ncuso en sstes copeos. Cundo sobe un punto te se eece un sste de ues F, F, F..., F n, su esutnte es un ue cu íne de ccón ps po e cento de s de punto, que todo sste de ues que se een sobe un punto debe consttu un sste de ues concuentes. E ovento de punto te debdo ccón de esutnte vene egdo po segund e de Newton p e ovento en o F S escbos ue esutnte ceecón v en uncón de sus coponentes ctesns ectngues, ecucón nteo seá F F F k k Epesndo est ecucón vecto en o de coponentes teneos cu o esc es: F F F F F F

4 CAPÍTULO T5 En uchos pobes de dnác de punto convene epes ceecón de punto te en uncón de su poscón,,. En tes csos, cobnndo s ecucones nteoes teneos F F F k k Ls coponentes esces de est ecucón vecto son F F F d dt d dt d dt 5.. DNÁCA DE UN SSTEA DE PATÍCULAS Ecucones de ovento de un sste de puntos Ls ecucones de ovento de un sste de puntos tees se pueden obtene pcndo segund e de Newton cd uno de os puntos petenecentes sste. Po eepo, consdeeos e conunto de n ptícus epetdo en gu 5.-. L ptícu í-és tene un s su stucón se especc especto un sste de ees de eeenc decudo utndo e vecto de poscón con ogen en e de sste de coodends. Fgu 5.. Fues pcds sobe un sste de ptícus. Cd ptícu de sste ve. gu 5.-b puede est soetd un sste de ues eteoes de esutnte un sste de ues nteoes,,..., n. Ls ues nteoes se deben s nteccones eástcs ente ptícus eectos eéct o gnét. L ue nteo eecd po ptícu p sobe ptícu p se epet po. Apcndo segund e de Newton ptícu -és se tene n En su de ues nteoes, es nu poque ptícu p no eece ue sobe sí s.

5 CAPÍTULO T5 Adeás, s un ptícu p eece un ue sobe ptícu p, tece e de Newton nos dce que ptícu p eeceá sobe p un ue de gu ect sopote óduo que peo de tdo opuesto. Po tnto, Sundo s ecucones de ovento coespondentes s n ptícus de sste se obtene un ecucón de ovento p e sste. Así pues, n n n Coo tods s ues ntens de sste son, dos dos, conees, opuests de gu óduo, su su seá nu ecucón nteo se educe n n n Est ecucón nos ndc que esutnte de sste eteo de ues pcds que se eecen sobe e sste de ptícus es gu esutnte de os vectoes nec de s ptícus de sste. A cntdd se e, veces, ue de nec; ho ben, coo no es n un ue de contcto n un ue gvtto peso, uchos evtn ut pb ue p desgn vecto nec. S consdeos e cento de s de sste de puntos tees, podeos escb est út ecucón de ot o. E cento de s de sste es e punto G dendo po e vecto de poscón G que stsce ecón donde G n n es s tot de sste de puntos tees. Devndo especto tepo, teneos que podeos escb coo G G n n G n 5

6 CAPÍTULO T5 Cobnndo s ecucones, teneos G Ls coponentes de est ecucón vecto nos dn F F F Ls ecucones 5 consttuen epesones teátcs de "pncpo de ovento de cento de s" de un sste de puntos tees. Ls ecucones 5 p un sste de puntos tees son oente gues ecucón coespondente p un punto te únco. Est coespondenc nos ndc que un sste de puntos tees se puede tt coo un punto te únco, studo en e cento de s G, supuest concentd en é tod s de sste, s se supone que se pc un ue gu esutnte cu íne de ccón pse po G. De hecho, todo cuepo puede se consdedo coo punto te pc ecucón 5. Sn ebgo, en gene, ect sopote de ue esutnte no psá po e cento de s de sste esutnte consstá en un ue esutnte que pse po e cento de s G un p de oento esutnte. G G G DNÁCA DE UN SÓLDO ÍGDO Podeos consde que un cuepo ígdo es un conunto de puntos tees; po tnto, en e cso de un cuepo ígdo, podeos ut s econes desods en e ptdo nteo p e ovento de un sste de puntos tees. En este ptdo vos pc uchs veces ecucón que econ esutnte de s ues pcds eteoente con ceecón G de cento de s G en e cso ptcu en que ect sopote de esutnte pse po e cento de s G de sste. En e cso ás gene en que esutnte de sste de ues eteoes consst en un ue esutnte que pse po e cento de s G ás un p de oento, e cuepo epeentá otcón tscón se necestán ecucones dcones p econ os oentos de s ues eteoes con e ovento ngu de cuepo. Ecucones de ovento pno Ls ees de Newton sóo son pcbes ovento tscón de un punto te; po tnto, no son decuds p descb e ovento copeto de un cuepo ígdo, e cu puede se de tscón de otcón. En este ptdo, vos etende s ees de Newton p que cubn e ovento pno de un cuepo ígdo. ás dente, etendeeos ún ás s ees de Newton p que cubn e cso gene de ovento tdenson de un cuepo ígdo. Ests ees p e ovento pno o p e tdenson popoconn ecucones deences que econn e ovento ceedo ne ngu de cuepo con s ues oentos que o ognn. Dchs ecucones pueden utse p deten. Ls ceecones nstntánes ocsonds po ues oentos conocdos, o. Ls ues oentos que se necestn p ogn un ovento pedo. 6

7 CAPÍTULO T5 Anteoente se desoó e "pncpo de ovento de cento de s". Coo un cuepo ígdo se puede consde coo un conunto de puntos tees que ntenen nvbes sus dstncs utus, e ovento de cento de s G de un cuepo ígdo vendá ddo po ecucón donde G es esutnte de s ues que se eecen sobe e cuepo en un nstnte ddo. es s de cuepo. G es ceecón ne nstntáne de cento de s de cuepo ígdo en deccón de ue esutnte. Est ecucón vecto se puede escb en o esc según s tes ecucones coespondentes sus coponentes: F F F Coe ecucón se obtuvo sundo ues, speente, no se tene nngun nocón cec de stucón de ect sopote de ue esutnte. E cento de s G de un cuepo ígdo se ueve tsd coo s dcho cuepo uese un punto te de s soetdo ue esutnte. E ovento e de oí de os cuepos ígdos consste en supeposcón de tscón ognd po ue esutnte otcón debd oento de est ue cundo su ect sopote no ps po e cento de s G de cuepo. Consdeeos e cuepo ígdo de o bt epetdo en gu 5.-. G G G Fgu 5.. Sste de ues sobe un sódo ígdo. E sste de coodends XYZ está o en e espco. E sste de coodends es sodo cuepo en e punto A. E despento de un eeento de s d especto punto A vene ddo po e vecto ρ especto ogen O de sste de coodends XYZ vene ddo po e vecto. E despento de punto A especto ogen O de sste XYZ o d e vecto. 7

8 CAPÍTULO T5 Ls esutntes de s ues eteoes e nteoes que se eecen sobe e eeento de s d son F, espectvente. E oento especto punto A de s ues F es Peo, según segund e de Newton, F F d A ρ d Así pues, de s dos ecucones nteoes, se deduce que d A ρ d d F ρ d L ceecón d de un cuepo ígdo en ovento pno o en ovento tdenson cuque puede escbse en o d A d ρ ρ [ ] Susttuendo est út ecucón en nteo e ntegndo, teneos A ρ d [ ρ ρ ] d ρ ρ A { [ ] } d E ovento pno de un cuepo ígdo o denos dcendo que es un ovento en e cu todos os eeentos de cuepo se ueven en pnos peos. A pno peo que contene e cento de s G de cuepo e os "pno de ovento". Así pues, según se ve en gu 5.-b, os vectoes veocdd ngu ceecón ngu α seán peos ente sí pependcues pno de ovento. S toos e sste de coodends de ne que e ovento se peo pno, seá A. L veocdd ngu de cuepo seá ceecón ngu seá α. P e ovento en e pno, os deentes ténos que pecen en est út ecucón, cundo e punto A está studo en e pno de ovento, se evún de ne sguente: ρ A A A k A A k ρ α α α k A A Anáogente ρ α ρ α α k ρ 8

9 CAPÍTULO T5 9 ρ [ ] ρ ρ Consdeeos ho s coponentes ctesns de oento A. [ ] [ ] { } A A A A A d d d k ρ ρ ρ ρ ρ Susttuendo s ecucones nteoes en est út ecucón teneos s sguentes epesones genees de s tes coponentes de oento en e punto A: d d d d d d d d d A A A A A A A α α α Ls nteges de o d son s epesones de os oentos peos que sueen estudse en dete en oí de os cusos de estátc. Ls nteges de o d d epetn s popeddes neces de cuepo ígdo ecben e nobe de oentos de nec poductos de nec, espectvente. Los oentos peos, oento de nec poductos de nec que gun en s ecucones nteoes son d d d A A A d d d Ls tes coponentes de oento en e punto A, escts en uncón de os oentos peos os oentos poductos de nec quedn en o

10 CAPÍTULO T5 A A A α α A A A A A A α Este sste de ecucones econ os oentos de s ues eteoes que se eecen sobe e cuepo ígdo con s veocddes ngues s popeddes neces de cuepo. Los oentos de s ues os oentos poductos de nec o son especto os ees que psn po e punto A están os en e cuepo. En e cso en que dchos ees no estuven os en e cuepo, os oentos poductos de nec seín uncones de tepo. Ls ecucones uestn cente cóo depende e oento especto un ee ddo de veocdd ngu en tono ee. Dcho de oto odo, s ecucones uestn que pueden se necesos os oentos A A p ntene e ovento pno en tono ee. En oí de os pobes dná eeentes ovento pno, se pueden spc consdebeente ests ecucones. Cundo e cuepo se sétco especto pno de ovento, os ténos poducto de nec se nun A A s ecucones nteoes se educen Po úto, tondo e ogen de sste de coodends en e cento de s G de cuepo s ecucones 6- se educen A A A A A α Po úto, tondo e ogen de sste de coodends en e cento de s G de cuepo s ecucones se educen G G G α G Ls ecucones 6 8 unto con s ecucones 5 popoconn s econes necess p esove un p vedd de pobes de ovento pno. A A ovento tdenson de un cuepo ígdo Coo se h vsto, e oento A especto un punto bto A soetdo un sste de ues eteoes, vene ddo po ecucón A ρ [ ] { [ ] } A d ρ ρ d ρ ρ d En e ovento tdenson, os deentes ténos que pecen en ecucón son

11 CAPÍTULO T5 k k A A A A A A A A A A ρ k k ρ Anáogente k ρ ρ k ρ k ρ [ ] k ρ ρ S se quee escb e oento A en o vecto ctesn, s coponentes esces A, A A se obtendán de ne sguente: [ ] [ ] { } A A A A A d d d k ρ ρ ρ ρ ρ Apcndo ests úts guddes en pe ecucón teneos

12 CAPÍTULO T5 A A A d d d d d d d d d d d d A A A d d d d d d d d d d d d A A A d d d d d d d d d d d d Cundo se escben ests ecucones en uncón de os oentos peos, oentos de nec poductos de nec, quedn en o A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A En oí de os pobes dná ntees tene un ecón nstntáne ente oentos ceecones. Se obtene entonces un gn spccón s se to e sste de coodends de ne que concd con os ees pncpes que psn po e cento de s G de cuepo en e nstnte desedo. Con e ogen en e cento de s

13 CAPÍTULO T5 con o que s ecucones quedn educds G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G L epesón nteo puede escbse en o tc coo sgue: G J J 9 G G G donde t J ecbe e nobe de tenso de nec, vene ddo po G G G J G G G G G G G S deás e sste de eeenc concde con os ees pncpes Y s ecucones se educen G G G G G G G G G G G G Ests úts ecucones se conocen po e nobe de ecucones de Eue. Ls ecucones de Eue sóo son váds nstntáneente. S uese neceso nteg s ceecones p obtene s veocddes, debeán estbecese epesones genees p os oentos de s ues os oentos de nec. Estos oentos de nec sóo seán constntes cundo os cuepos sen u sét. Ls ecucones 5 unto con s popoconn s econes necess p esove dvesos pobes de ovento tdenson. Así,

14 CAPÍTULO T5 G G G G G G F F F G G G G G G G G G 5.. DNÁCA DE UN SSTEA FOADO PO SÓLDOS ÍGDOS SN ESTCCONES CNEÁTCAS Pnteento de s ecucones de ovento Un sste utcuepo puede consdese coo un conunto de cuepos ndvdues conectdos ente sí ednte unts cneátcs /o eeentos de ue. S no esten unts cneátcs en e sste, se dce que e sste no está estngdo, ents que en e cso de est enos un unt cneátc deos que se tt de un sste de cuepos estngdos. F F F Fgu 5. Sste utcuepo sn estccones cneátcs. En e cso de sstes no estngdos, bstá con pc s ecucones 9 cd uno de os n cuepos que o coponen. G J J G G G,,, K, n Ls ues oentos esutntes que pecen en e segundo téno de ests ecucones epetn ccón cobnd de ues pes etenos conocdos, sí coo de s ues gvttos s eecds po eeentos eást coo esotes, otgudoes ctudoes. A contnucón veeos de qué ne puede ntoducse ccón de s ctds ues en oucón de s ecucones dnács de ovento.

15 CAPÍTULO T5 Fues pcds Fue gvtto L ccón de gvedd sobe cd cuepo de sste, F g, vendá dd po un ue vetc en tdo descendente, pcd sobe e cento de ss de cuepo coespondente, de óduo gu peso de dcho cuepo. F g g k Fues oentos etenos E sste de ues oentos puos pcdos sobe cd cuepo puede susttuse po un sste equvente consttudo po un ue esutnte, et, pcd sobe e cento de gvedd, ás un oento G et que es su de os oentos bes ás os oentos de s ues etens especto cento de ss. et F et G et et F sendo e vecto de poscón de punto de pccón de ue eten F et de eeenc con ogen en e cento de gvedd, G. et especto sste Eeentos de ue esotes: Los esotes de tscón son os eeentos de ue ás utdos en os sstes ecán. Fgu 5.. esote. 5

16 CAPÍTULO T5 L ccón de un esote d ug pcón de ds ues en os puntos de nce, con s íne de ccón, e so óduo tdos opuestos. Ntuente, deccón de dchs ues es que une os bos puntos de nce, studos en dos cuepos dstntos de sste, e óduo es gu poducto de constnte de gde de esote, k, po e gento que este h epeentdo,. En e cso de que e uee esté tccondo, s ues que pecen ttán de cec ente sí os dos cuepos, ents que s está copdo ntentán eos. Según esto, podeos epes s ues debds ccón de esote ncdo ente dos cuepos coo: F F esote esote k k u u sendo ongtud nc de esote, su ongtud ctu, k e coecente de gde u un vecto unto en deccón que une bos puntos de nce. Aotgudoes E copotento de os otgudoes es s de os esotes, sóo que dn ug pcón de ues que se oponen veocdd etv ente sus eteos, no despento etvo ente os sos. En este cso se tene que: Fgu 5.5. Aotgudo. F F otgudo otgudo c u c u Actudoes Los ctudoes popoconn un pe de ues, que puede se constnte o dependente de tepo, sobe os dos cuepos os que están ncdos. Coo en e cso de os eeentos de ue nteoes, ests ues copten s íne de ccón, tenen e so óduo peo tdos opuestos. 6

17 CAPÍTULO T5 Fgu 5.6. Actudo. Eepos A contnucón veeos un p de eepos que petán ve de un odo ás co os conceptos que se hn ntoducdo con nteodd. Coeneos pntendo un cso co de un gdo de betd. Sste con un gdo de betd En gu 5.7 se uest un s soetd ceecón de gvedd sopotd po un uee un otgudo vso coocdos en peo. S se ís s se pcn sobe e os esueos que en e sste e eecen e uee e otgudo sobe s, pnte segund e de Newton se obtene ecucón que dene e copotento dnáco de sste. g k d s d Fgu 5.7. s suspendd po un esote un otgudo. Coo se obsev en gu 5.7, e únco ovento posbe es e despento vetc, epesón de segund e de Newton en es deccón es: s d sendo: g Peso de s. s Fue eecd po e esote. d Fue eecd po e otgudo. g 7

18 CAPÍTULO T5 Est ecucón ndc que su de os esueos que ctún en deccón vetc povocn ceecón de s. Po ot pte, coo e esote e otgudo se oponen ovento de s, os esueos edos po estos eeentos son de sgno negtvo. Coo ecodá e ecto, ue poducd po un esote depende de gde de so, k, sí coo de despento que está soetdo. Po tnto, k s suponendo que e despento nc, es nuo, qued: s k En cunto ue eecd po un otgudo vso, se cupe que est es gu poducto de coecente de otgucón, d, po veocdd de vcón su ongtud, que no es ot que. d d Susttuendo 5 6 en, se obtene ecucón de dnác p este sste con un gdo de betd. 5 6 k d g dendo en e segundo ebo soente e téno que epet peso, se tene: d k g 7 L ecucón 7 es un ecucón deenc odn de segundo oden, que en e pece vbe '' unto con sus dos pes devds. Su e copotento dnáco de este sste po odendo consste en pnte esove ecucón deenc que dene su copotento, gene un see de sds gács que uesten evoucón de sste en e tepo, sí coo un ncón de ovento de s. De est o, e usuo puede n con cdd e copotento de sste, sí coo nuenc que podín tene en e so vcón de s ccteístcs de os eeentos que o coponen. Veos contnucón cóo esoveí e odendo este eepo. En pe ug, es neceso sgn voes os páetos de sste; es dec, es neceso cuntc os voes de, k d. Sen, po eepo: Susttuendo en ecucón 7 se obtene: despendo ceecón, qued: 5 kg k N/ d 5 Ns/

19 CAPÍTULO T5 P esove est ecucón deenc es neceso ut un étodo especíco p ntegcón de ecucones deences. E ás co eeent de estos étodos nué es e étodo de Eue, que en síntess consste en consde que, supuest conocd veocdd en un nstnte t, e vo de veocdd un ntevo de tepo después es gu veocdd nteo ás e nceento de veocdd epeentdo en e tepo tnscudo. Dcho nceento de veocdd puede consdese gu poducto de ceecón obtend p e nstnte nteo, que se consde constnte en todo e ntevo, po e tepo tnscudo. Un ve conocd veocdd, puede consdese que e despento es gu despento nteo ás e nceento de despento, que puede epesse coo e poducto de veocdd po e ntevo de tepo. Coo ntes, se consde que veocdd penece constnte en todo e ntevo, toándose p e e vo que se cb de ccu. Después de ccu veocdd e despento, puede obtenese ceecón po spe susttucón. Evdenteente, e pnteento descto es vádo p cuque nstnte ecepto p e nc, que p é no se dspone de nocón eeente ceecón que se tení un ceto ntevo de tepo ntes. P pode esove ecucón deenc en e nstnte nc, es dec, cundo e tepo es gu ceo, es neceso conoce os voes de despento veocdd p t; estos voes se es denon condcones nces de pobe. Veos pccón concet de este étodo eepo que se está esovendo. Supongos que p t se tene: Susttuendo estos voes en ecucón 8 se obtene ceecón coespondente nstnte nc / s 5 Un ve hdo e vo de ceecón en e nstnte nc, puede pcse e étodo de Eue p obtene veocdd e despento que se tendán después de que h tnscudo un tepo h. Denonndo h h e despento veocdd p th, puede escbse h h 9 Obsévese que pccón de est ecucón pc que se está consdendo que ceecón penece constnte o go de ntevo de tepo h. En cunto se eee despento, tbén se supone que veocdd penece constnte en e ntevo h, po tnto: h h h P obtene h h e es neceso escoge un vo p e ntevo h dunte e que, coo se h señdo, se v consde que tnto veocdd coo ceecón penecen constntes. Coo eente nngun de s dos penece constnte dunte nngún ntevo de tepo, p 9

20 CAPÍTULO T5 no coete un eo potnte en esoucón de pobe es pecso eeg un ntevo h bstnte educdo. Toeos, po eepo, h.s. Opendo se tene: h /s h Coo h.s, veocdd e despento cundo e tepo tnscudo es.s pueden epesse coo:.. t..98/s t..98 P segu esovendo ecucón deenc 8 se coen ot ve e poceso de cácuo p un nuevo pso de ntegcón h. Coo se tt de segund ve que se e e cácuo, e tepo n de so es: t h..s En este cso se utn coo condcones nces os voes de e coespondentes nstnte t., po tnto e vo de ceecón p ese so nstnte es: Y susttuendo. e po su vo se obtene. 9.5 /s Apcndo s epesones 9 se ccun. e... :. h Y susttuendo voes se obtene:... h..895 /s..875 P ccu en e sguente pso de ntegcón se vueve epet e poceso. Aho se obtendá e vo de s ncógnts p: t h.. s Esqueátcente, esoucón de ecucón deenc se h edo de sguente ne:. Obtencón de ecucón deenc

21 CAPÍTULO T Eeccón de s condcones nces voes de e p t. P t. Eeccón de pso de ntegcón h ntevo de tepo dunte e que e se consden constntes.. Cácuo de h. s, pcndo ecucón con e. 5. Obtencón de. e. pcndo s epesones 6. Se ton. e ntegcón. 7. Cácuo de... h. h coo condcones nces p e sguente pso de., pcndo ecucón con. e.. 8. Obtencón de. e. pcndo s epesones h h 9. Se ton. e ntegcón.. Cácuo de..... coo condcones nces p e sguente pso de., pcndo ecucón con. e.... Los psos de cácuo se án eptendo n veces, hst que e nstnte de cácuo egue vo en e que e usuo dese n e estudo, sendo:.. Suponendo que t n s, se tene: t n h n n t h n n.

22 CAPÍTULO T5 Es dec, p ccu e copotento de sste dunte segundos, con e pso de ntegcón, h, que se h escogdo se necestn psos de cácuo. Según esto, cunto ás pequeño se e pso de ntegcón o seá e tepo de cóputo que epee e odendo, que tendá que e uchos ás cácuos. Po tnto, ho de escoge e pso de ntegcón convene busc un soucón de coposo ente pecsón pde de cácuo. S e eepo pntedo se esove de o nítc sn epe gotos de cácuo nuéco, se obtendín coo esutdo s epesones de ceecón, veocdd despento en uncón de tepo, s cues podín epetse en o de gács. Sn ebgo, pc un étodo nuéco p esove ecucón deenc, no se obtenen s cuvs de s espuests, sno su vo p unos nstntes concetos de tepo. En gu 5.8 se uest e esutdo que se obtendí ccu ceecón de s de o nítc. En e puede obsevse coo este contnudd en espuest. Aceecón 8 6,5,5,5 - - Tepo [s] Fgu 5.8. Aceecón de s, ccud nítcente. S e sste se esueve po odendo, es neceso epe un goto de cácuo nuéco, en este cso espuest obtend p ceecón tendí un epetcón gác coo ostd en gu 5.9. Eectvente, ho sóo se conoce e vo de ceecón p detendos nstntes de tepo, en conceto p cd pso de ntegcón. A vst de gu 5.9 puede pecse cóo e pso de ntegcón deten os nstntes p os cues se ccu e copotento de sste. E étodo de Eue utdo en esoucón de este eepo necest psos de ntegcón u educdos p evt que os eoes coetdos en obtencón de s espuests sen desdo tos. Po este otvo, en os pogs de sucón se utn étodos ás evoucondos que con psos de ntegcón oes conducen esutdos ás pecsos que, po tnto, equeen un eno tepo de cácuo po pte de odendo. Bstí que e ecto edt un poco en e poceso de ntegcón de étodo de Eue, p dse cuent que os eoes que coete son u potntes. E hecho de hbe utdo quí e étodo de Eue se debe speente que es e ás co, po o que se h escogdo p que e

23 CAPÍTULO T5 ecto se ntoduc en e undo de os étodos nué neceso p n po odendo dnác de os sstes ecán. Aceecón 8 6,5,5,5 - - Tepo [s] Fgu 5.9. Aceecón de s, ccud ednte utcón de un étodo nuéco. Un ve sudo po odendo e copotento de sste, utndo gún pog desodo t eecto, se pueden soct s deentes espuests de odeo. En gu 5. se uest cuv que se obtene cundo se pde ceecón de s suspendd. Aceecón 8 6,5,5,5 - - Tepo [s] Fgu 5.. Aceecón de s suspendd, en /s. Lo peo que tencón en est gu es e hecho de que e odendo pete un espuest contínu, en ug de un sucesón de puntos, coo se señb en gu 5.9. En eecto,

24 CAPÍTULO T5 e odendo ut un goto de cácuo nuéco p esove ecucón deenc, en edd obtene un sucesón de puntos, t coo se ndcb en e ptdo nteo; sn ebgo, ost os esutdos une ednte ínes e espco vcío que h ente eos. Po este otvo s espuests que se uestn petn contnudd. Adeás de ceecón, en sucón de un sste ecánco pueden obtenese tbén veocdd despento de s, sí coo ots vbes de sste. En e cso conceto de eepo que se está estudndo, es potnte n cg sobe e sueo, o ben eccón de este esote otgudo. Un vent potnte de sucón po odendo consste en que e ngeneo puede ve en pnt e ovento e de sste. En gu 5. se uest un esque de ovento que se vsuí. Fgu 5.. Cíd osccón de s hst que se cn deeón estátc. Sste con dos gdos de betd Oto eepo co es e coespondente un odeo de dos gdos de betd, coo e ostdo en gu 5.. Se tt de un sste odo po dos ss, suspendds un enc de ot po edo de un conunto esote-otgudo p s supeo, soente con un uee p neo. k d k Fgu 5.. odeo de g.d.. P h s ecucones deences que denen e copotento de odeo, bst con pnte sobe cd s e equbo de os esueos pcdos sobe e. Así, sobe s gu 5. ctún ue de esote k, de otgudo d e peso popo g.

25 CAPÍTULO T5 g s d Fgu 5.. Fues que ctún sobe s. E esote de gde k eece un ue que depende de cotento - ente sus eteos, po tnto: Fue esote k En cunto se eee otgudo, ue que eece depende de su coecente de otgucón, d, de veocdd etv ente sus eteos,. Po o tnto Fue Aotgudo d Sundo os esueos que ctún sobe s e gundo su esutnte poducto de s po su ceecón, es dec, pcndo segund e de Newton, se obtene ecucón deenc de ovento p est s: k d Psndo pe ebo os ténos que contenen s vbes, se obtene: d k que es ecucón deenc odn de segundo oden que dene e ovento vetc de s. E so pnteento puede hcese con s gu 5., sobe que ctún s ues de os esotes k k, sí coo e otgudo d, e peso popo g. g g s g d s Fgu 5.. Fues que ctún sobe s. Apcndo est s segund e de Newton se obtene ecucón deenc de ovento: k d g k o ben, psndo do quedo os ténos que contenen s vbes: 5

26 CAPÍTULO T5 d k k g L sucón de sstes ecán po odendo no sóo tene e obeto de esove s ecucones deences de odeo, sno tbén de pntes. Eectvente, os pogs de odendo desodos p sucón de sstes ecán pnten eos sos s ecucones deences de sste que se que estud, posteoente s esueven petn coo esutdo evoucón de s vbes en uncón de tepo, e ncuso uestn en pnt de odendo un ncón de sste ovéndose DNÁCA DE SSTEAS ULTCUEPO CON ESTCCONES CNEÁTCAS F Fgu 5.5. Sste utcuepo con estccones cneátcs. Dgs de cuepo be Un de s técncs nítcs ás podeoss de ecánc consste en s o be un pocón de un sste en nuest gncón, n de estud e copotento de un de sus ptes. Cundo se sep dch pte, e eecto ogn de esto de sste sobe e se eep po s ues oentos que ctuín necesente en s nteces de pocón sd end. Y unque ests ues pueden se eectos ntenos eecdos en todo e sste, son eectos etenos cundo se pcn pte sd. A subsste sdo que se poduce, unto con tods s ues oentos tbubes eectos etenos s eccones con e sste pncp se e denon dg de cuepo be. En e cso de os sstes utcuepo, se puede spc su náss dnáco de ne pecbe sndo cd uno de os cuepos que o coponen, nándoos ednte e uso de dgs de cuepo be. Cundo todos os eeentos hn ecbdo este ttento, pueden eunse os esutdos de náss edo p gene nocón concenente copotento de sste tot. Fues de eccón en s unts S en evoucón de un sste utcuepo dos eeentos contguos ttn de despse uno especto oto en deccón de guno de os gdos de betd estngdos po unt que os une, peceán sobe eos ds ues de eccón, gues de tdo conto, cu íne de 6

27 CAPÍTULO T5 ccón psá po unt tendá s deccón que e despento peddo. De gu odo, en e cso de que e ovento estngdo se un go, en ug de dos ues peceán dos pes de eccón en unt. En consecuenc, en un sste utcuepo se poducán tnts ues pes de eccón coo gdos de betd peddos. Así, po eepo, en cd uno de os cuepos gdos po un unt de evoucón pn peceá un ue de eccón con dos coponentes studs en e pno de unt, ents que s este es de tscón s eccones coespondentes seán un ue contend en e pno de unt pependcu ee de s, un p pependcu ctdo pno. ecodeos que, s ben ests eccones se nun ente sí dos dos no nuen en e vo de ue p esutntes de sste utcuepo, sí ectn equbo dnáco de cd uno de os cuepos, po o que deben se tends en cuent estbece sus coespondentes ecucones de equbo. Ecucones de ovento en dnác pn Ddo un cuepo que se ueve en e pno sn nngun estccón, po o tnto con tes gdos de betd, sus dos ecucones de tscón otcón petn e sguente specto: O en o tc: ζζ n µ Donde, po spcdd, e oento de nec po ζζ de cuepo se denon µ. Ests ecucones ndcn que os esueos eecdos sobe e cuepo en deccón, se gstn en cee s de cuepo en es deccón. Así so, os esueos en deccón ceen s de cuepo en est s deccón, po úto os oentos ceen nguente cuepo. Ls ecucones nteoes pueden epesse tbén en o copct coo: Donde: q g q g dg [,, µ ] T [,, ] [,, n ] T P sstes odos po b cuepos sn estccones, s ecucones nteoes se epten b veces, quedndo e sste: n 7

28 CAPÍTULO T5 Donde: dg q g q g [,, L, ] T T T T [ q, q, L, qb ] T T T [ g, g, L, g ] T S e sste está odo po b cuepos gdos ente sí, s ecucones de ovento pueden se escts coo: q g Donde g c es e vecto de s ues de eccón en s gdus, que tene que est epesdo en e so sste de coodends que e vecto q. Es conocdo que g c puede epesse coo: g c Donde λ es un vecto de utpcdoes, conocdo coo vecto de utpcdoes de Lgnge, es tspuest de t cobn. T q Susttuendo, se tene coo ecucón dentv: Que unto con s ecucones de estccón b T q c g λ T q λ g q Consttue e sste de ecucones de ovento p un sste de cuepos con estccones. b Vecto de ues En este ptdo se vn estud s deentes ues que pueden consttu e vecto g. Este vecto está odo po os vectoes de ues que ctún sobe todos os cuepos de sste. g T T T [ g, g, L, g ] T Y e vecto de ues coespondente un eeento, g, contene tods s ues oentos que ctún sobe dcho cuepo. b g [,, n ] T Fue gvtto L gu 5.6 uest un cuepo sobe e que está ctundo ue de gvedd en deccón negtv. Lógcente, deccón tdo sobe os que ctú dch ue dependeán de cuá se e sste de eeenc gob que se h eegdo. 8

29 CAPÍTULO T5 Y h w Fgu 5.6. Fue gvtto. En este cso, s w es e peso de eeento, contbucón de est ue vene epetd po e vecto: g [, ] T gvedd w, oento de un ue Se consde un ue que ctú sobe un punto P en un deccón conocd gu 5.7. Est ue tene dos coponentes:. X Y h S P X Fgu 5.7. Fue que gene un oento. S se conocen s coodends oces de P : s ' P [ ξ P, η ] P T entonces pueden detense s coponentes de vecto: s P A s' P e oento de especto ogen de sste oc gdo cuepo es e poducto vecto de P s. Po o tnto: 9

30 CAPÍTULO T5 Y eectundo e poducto: n ~ s P n s P P s P ξ η ξ η P P P L contbucón de ue vecto de ues de eeento es: g [,, n ] T Actudo de tscón Un ctudo popocon un pe de ues, constntes o dependentes de tepo, que ctún sobe dos cuepos sn pone nngun estccón cneátc. Abs ues tenen s íne de ccón, peo tdos opuestos. P P P P > Fgu 5.8. Actudo pcdo ente dos cuepos. En gu 5.8. se uest un ctudo que ctú ente os cuepos, en os puntos de nce P P. coo: E vecto que conect os puntos P P, t coo se uest en gu 5.9., se dene P P A s A s L gntud de este vecto es: T

31 CAPÍTULO T5 P P u S P S p h h h Y Fgu 5.9. Vecto unto en deccón de ctudo. P deten s ues pcds sobe os eeentos, se dene un vecto unto u t que: u Este vecto tene s deccón tdo que en e cso de tccón, que de copesón. Po tnto, en bse vecto u, pueden epesse s ues eecds po e ctudo coo: esote En gu 5. se uest un esote studo ente os puntos P P de os cuepos. L ue de este esote vene dd po: u u X en e s k donde k es gde de esote, ongtud nc, ongtud después de deocón.

32 CAPÍTULO T5 s Pendente k P - P b Y s X - Fgu 5.. esote. b Copotento ne. c Copotento no ne. P ue de esote, se to coo un cteo de sgnos s de ctudo postvo en tccón negtvo en copesón, po o que s ues que e uee eece sobe os eeentos son: s s s sendo u un vecto unto dendo en s deccón tdo que e vecto que une P P. Aotgudo Ddo un otgudo studo ente dos cuepos, t coo se uest en gu 5., puede obtenese ue de este pt de ecucón: u s u c d d Donde d es e coecente de otgucón es veocdd de vcón de ongtud de otgudo,. Dch veocdd puede obtenese devndo especto tepo ecucón: Quedndo: T T

33 CAPÍTULO T5 P ccu e vo de epesón nteo es pecso conoce e vecto, que puede obtenese sn ás que dev ecucón: Tenéndose que: Sendo: P P A s A s P B s B s P B k k,, k, En cunto cteo de sgnos, ue de otgudo se consde postv s > negtv en cso conto. S se dene un vecto unto u o go de vecto que une os puntos P P, pueden epesse s ues que e otgudo eece sobe os cuepos coo: d d d u d u Fues de eccón debds s gdus Ls ues de eccón que se poducen en s gdus pueden epesse en ténos de t cobn de s ecucones de estccón de vecto de utpcdoes de Lgnge. g c Junt de evoucón Ddos dos cuepos conectdos ednte un unt de evoucón, t coo se uest en gu 5.., s ecucones de ovento p dchos cuepos son: T q λ g q T q λ T q λ g b q Ependo t cobn coespondente unt de evoucón, puede escbse ecucón en o epndd: / / / / / /, P P -, P P - t cobn p un p cneátco de evoucón.

34 CAPÍTULO T5 P P n λ λ µ Coo e sste de ecucones de estccón coespondente este tpo de unt está odo po dos ecucones gebcs, e vecto λ tene dos coponentes. Ls ecucones nteoes pueden escbse tbén coo: λ λ µ λ λ n P P L ecucón de ovento p e cuepo puede se esct coo: P P n λ λ - - µ O ben: λ λ µ λ - λ n P P En gu 5.. se uestn dos cuepos undos ednte un unt de evoucón. Adeás de s posbes ues esten ots ues λ ctundo en deccón λ en deccón. Ests ues son s eccones en tcucón, ctún tnto en P coo en P. En e cso de cuepo, λ gene un oento negtvo de vo λ P ents que λ gene un oento postvo de vo λ P.

35 CAPÍTULO T5 h S P P S P O h O Y X P - X h P - P - P P - P h Fgu 5.. Junt de evoucón. H que hce not que con e pnteento hecho hst quí, un sste con tes gdos de betd po o tnto con tes ecucones, tene cnco vbes que os gdos de betd h que sue os dos utpcdoes de Lgnge. Ls ots dos ecucones se obtendán de s econes cneátcs de ceecón. P un sste ecánco sn estccones, se tení que s ecucones de ovento en: q g En un sste ecánco con gdus, s ecucones de estccón venen dds po Y s coespondentes ecucones de veocdd ceecón son, espectvente 5

36 CAPÍTULO T5 q q q q γ Sendo q t cobn de s ecucones de estccón especto de vecto de coodends q, po o tnto en un sste de gdus s ecucones de ovento seán: Que epesds en o tc son: q q T q λ g q γ q T q q λ g γ Pnteento de s ecucones de ovento en sstes utcuepo con estuctu de ábo Coodends ctesns P ve ás cente cóo nuen ests eccones en e copotento dnáco de un sste utcuepo, oueos s ecucones de ovento coespondentes un pénduo dobe, coo e epetdo en gu 5., cus ecucones cneátcs obtuvos en e cpítuo nteo. η B ξ η ξ A C Fgu 5.. Pénduo dobe. nceos oucón de s ecucones dnács sndo cd un de s bs de pénduo, t coo se uest en gu 5.. Fgu 5.. Dgs de cuepo be de s bs. 6

37 CAPÍTULO T5 7 A pnte s ecucones dnács de Newton-Eue coespondentes cd cuepo, eeeos s ecucones de ovento de go cento de gvedd de s bs, po o que ntes de coen con oucón esut convenente obtene s epesones de os oentos de tods s ues especto dchos puntos. E oento esutnte en b es: Y en b Según esto, s ecucones dnács de ovento pueden epesse coo Y tenendo en cuent que, po e pncpo de ccón eccón, podeos escb s ecucones de cuepo coo A s ecucones dnács es pecso ñd s ecucones de estccón cneátc que denen s tcones de ovento puests po s unts, que en e cso de pénduo dobe, t coo vos en e cpítuo nteo, son

38 CAPÍTULO T5 Coo puede copobse, en tot teneos un sste de ecucones gebco-deences con ncógnts,,,,,,,,., L esoucón de este sste popocon nocón sucente p deten poscón, veocdd ceecón de cuque punto de sste en cuque nstnte de tepo, sí coo e vo de s ues de eccón en s unts. En sstes utcuepo con estuctu de ábo, os cuepos studos en e eteo de s s están conectdos esto de sste po un únc unt. Coo consecuenc, es posbe estbece e equbo dnáco de ues p dchos cuepos epes ue /o p de eccón de dch unt en uncón de s ues de nec, que son popocones ceecón. Coo ests ues oentos son gues de tdo opuesto os que pecen en e eeento dcente, es posbe susttu s epesones obtends, de odo que en sus coespondentes ecucones dnács sóo peceán s eccones en ot unt que, nuevente, podán epesse en uncón de s ues de nec. De este odo, ecoendo e ábo cneátco desde os eteos de s s hc í podeos en s ncógnts socds con s eccones en s unts. Así pues, p e eeento de dobe pénduo tendeos: Y coo A susttu ests epesones en s dos pes ecucones dnács de ovento coespondentes b, quedá: de donde podeos despe s ues de eccón en ot unt: Susttuendo s epesones de ests ues en s ecucones dnács estntes, que son pecsente s coespondentes ovento ngu de bs bs, se eg : 5 6 8

39 CAPÍTULO T5 9 [ ] [ ] Spcndo, qued: [ ] [ ] Y e sste de ecucones de ovento, ts hbe endo s ues de eccón en s unts, qued educdo : 7 Aho teneos un sste odo po 6 ecucones gebco-deences con 6 ncógnts,,,,,, ente s que teníos ntes. Sn ebgo, p e de o ssteátc encón de ues de estccón coo ncógnts de pobe, es pecso tene en cuent topoogí de sste utcuepo que se esté nndo. En gene, os pogs de náss dnáco bsdos en coodends ctesns no equeen este tpo de nocón, po o que no suee evse cbo este tpo de encón de vbes, dndo ug sstes de ecucones de o tño, peo ás cos de ou.

40 CAPÍTULO T5 No obstnte, podeos consde encón de s ues de eccón coo un pso nteedo p oucón de s ecucones dnács de ovento en coodends etvs, que s heents de sucón bsds en este tpo de coodends sí que necestn cen nocón eeente topoogí de sste. Coodends etvs Pteos de s ecucones deences obtends en e ptdo nteo, heos uso de s econes estentes ente s coodends gobes etvs p este odeo. A B C Fgu 5.. Coodends etvs que denen poscón de pénduo dobe. A vst de gu 5.5, podeos estbece s econes estentes ente s coodends ctesns que denen poscón de b s coespondentes coodends etvs. A B Fgu 5.5. B. AB 8 De gu odo, pt de gu 5.6 pueden deducse s econes coespondentes s coodends ctesns que posconn b.

41 CAPÍTULO T5 B C B C Fgu 5.6. B. BC AB 9 Devndo ests epesones especto tepo,

42 CAPÍTULO T5 ecodeos que s ecucones dnács de bos cuepos hbín queddo educds s epesones, Fnente, susttu en ests ecucones s guddes 8, 9,, que econn s vbes,,,,,,, con,,,,,, obtendeos dos ecucones de o:,,,,,,,,,, que consttuen un sste de ecucones deences pus con dos ncógnts,. Nótese que en est ocsón no es pecso ñd nngun ecucón gebc, que s dos vbes de pobe,, son ndependentes, po o que no este nngun estccón geoétc que s econe ente sí. A vst de s ecucones puede pecse que, s ben epesón de s ecucones es ás copcd, su núeo se h educdo consdebeente, psndo de tn sóo. Adeás, no est econes cneátcs de estccón, e sste no tene nngun ecucón gebc. Esto pete esoveo ednte étodos nué popos de sstes de ecucones deences odns, que están ás desodos son ás ecentes que os coespondentes ecucones gebco-deences. Todo eo hce que ecenc nuéc se consdebeente supeo tb con coodends etvs, o que educe de ne notbe os tepos de cácuo, tnto ás cunto o se copedd de sste utcuepo que se esté estudndo. S evsos e poceso segudo p oucón de s ecucones de ovento, obseveos que ptos de s ecucones dnács coespondentes cd uno de os cuepos de sste que, en coodends ctesns, dn ug tnts ecucones esces coo e núeo de gdos de betd de todos esos cuepos, consdedos coo sódos bes. A contnucón enos de sste tods s ues de estccón que, coo puntos, tenen tnts coponentes ctesns coo gdos de betd estngdos po s unts, po o que e núeo de ecucones ends concde con e de vbes dependentes que pecen en oucón nc. De este odo, e núeo tot de ecucones deences es gu de vbes ndependentes de pobe, que es ndependente de tpo de coodends utdo, ddo que concde sepe con e núeo tot de gdos de betd de sste utcuepo.

43 CAPÍTULO T5 En e cso de segu tbndo con coodends ctesns, es pecso ñd s ecucones deences s ecucones de estccón geoétc, cuo núeo es gu os gdos de betd estngdos po s unts, o que gu e núeo de ecucones con e núeo de ncógnts. Po e conto, tb con coodends etvs, tods s vbes que denen poscón de un sste utcuepo con estuctu de ábo son ndependentes, po o que no este nngun ecón geoétc ente es, no es pecso ñd nngun ecucón gebc dcon. De todo esto se deduce que e copotento dnáco de os sstes utcuepo con estuctu de ábo qued cctedo po un sste de ecucones deences odns de segundo oden cuo núeo es gu de gdos de betd de sste e gu tbén, coo es ógco, núeo de vbes utds p den poscón de sste. Pnteento de s ecucones de ovento en sstes utcuepo con cdens cneátcs ceds Coodends ctesns Cundo se tb con coodends ctesns, oucón de s ecucones dnács de ovento p sstes utcuepo con cdens ceds no dee en nd de o nteoente epcdo, que es totente ndependente de topoogí de sste que se esté nndo. Coodends etvs En e cso de ut coodends etvs, no esut posbe en de oucón s ues de estccón en o que se ho ntes, puesto que nnguno de os esbones que on e buce cedo está undo esto po un únc unt. Esten dvess técncs que peten sv este nconvenente. Un de s ás utds consste en b todos os os cneát de sste utcuepo ednte encón de un cuque de sus unts. De este odo, e sste ps tene estuctu de ábo, puede ouse s ecucones dnács de ovento en o que ndcos en e ptdo nteo. Sn ebgo, s ecucones sí obtends no esponden copotento e de sste, puesto que no stscen s estccones de ovento puests po s unts que se hn endo. P subsn este pobe, voveeos ce s cdens cneátcs, sn ás que pone e cupento de s coespondentes estccones geoétcs ednte ncopocón de ds ecucones de estccón geoétcs, gues en núeo os gdos de betd peddos po s unts de cee. En consecuenc, están tnts ecucones deences coo gdos totes de betd coespondentes sste beto, tnts ecucones gebcs coo gdos de betd estngdos po s unts de cee, de o que se deduce que e núeo tot de ecucones podá v en uncón de unt que se esco p b e sste. Según esto, un unt que pete n gdos de betd, contbuá con n ecucones deences de segundo oden s no es eegd coo unt de cee, con 6-n ecucones gebcs en cso de seo. En consecuenc, convene escoge coo unt de cee que que pet o núeo de gdos de betd de ovento etvo, que se evtá oucón de sus coespondentes ecucones deences, e núeo de ecucones gebcs seá eno que e coespondente cuque ot unt.

44 CAPÍTULO T OBTENCÓN DEL NÚEO ÍNO DE ECUACONES Se h vsto que e conunto de ecucones dnács que denen e ovento de un sste ecánco con estccones con n coodends, gdos de betd n- ecucones de estccón, esponde s ecucones sguentes: T q λ g q q q 5 q q γ 6 E conunto q de n veocddes, puede descoponese en dos subconuntos q q D espectvente de veocddes ndependentes, socds os gdos de betd de n- veocddes dependentes, de o que: q q 7 q D Po o tnto, ecucón se tnso en : q q q D es dec, e conunto de n veocddes q puede epesse coo un cobncón ne de s n veocddes ndependentes q de o sguente: Devndo 9 se tene: 8 q Sq 9 q Sq S q Susttuendo en 9 en 5 se tene: T Sq Sq λ g q q Sq coo q es e conunto de veocddes ndependentes, q, po o que: Peutpcndo po q S T T S q S T T S se tene: T T ddo que S q, se tene: T T T T Sq S Sq S λ S g 5 q

45 CAPÍTULO T5 5 g S Sq S Sq S T T T T T T Sq S g S Sq S 6 S S, se tene: g S Sq S T T 7 L oucón nteo es vád p ecnsos de cden bet. P ecnsos de cden ced se debe pocede coo pece en e eepo sguente. Eepo. Pénduo spe A B A B A B Fgu 5.7. Pénduo spe. sn A Ecucones de estccón: sn φ φ A Devndo, p obtene t cobn: sn φ φ de donde: sn :

46 CAPÍTULO T5 6 sn q S se ege coo veocdd ndependente se tene: [ ] sn sn S S escbos s ecucones dnács: sn g J λ λ Peutpcndo po T S : sn sn sn sn g J λ λ [ ] sn λ λ g J Devndo: [ ] sn [ ] [ ] sn sn

47 CAPÍTULO T5 7 Po o que: [ ] [ ] sn sn sn g J [ ] [ ] sn sn sn g J g J Eepo. ecnso Be-nve ξ η ξ η X Y A B C ξ η ξ η ξ η X Y A B C ξ η Fgu 5.8. ecnso Be-nve. Según se vo en e eepo de cpítuo, se tendán s sguentes ecucones de estccón: Pnteento de s ecucones de estccón spes Pnteento de s ecucones de estccón coespondentes cd unt Junt n.º. 5 Junt n.º. 7 6

48 CAPÍTULO T5 8 Junt n.º. 9 8 Junt n.º. Susttuendo os voes de s estccones spes, se tene:

49 CAPÍTULO T spcndo ún ás Devndo, p obtene t cobn:

50 CAPÍTULO T5 5 s en de donde: s en : s q en S se ege coo veocdd ndependente se tene:

51 CAPÍTULO T5 5 S S escbos s ecucones dnács: J J

52 CAPÍTULO T5 5 5 g g λ λ λ λ λ Peutpcndo po T S : J J g g De donde: J J g g Devndo:

53 CAPÍTULO T5 5 Po o que: J J g g J J g g 5.7. DETENACÓN DE LA POSCÓN DE EQULBO ESTÁTCO E náss dnáco de sstes utcuepo suee ese sepe pt de un poscón de equbo estátco. Sn ebgo, en e cso de gndes sstes no esut ác sgn voes nces coectos s coodends que denen poscón de cd cuepo, po o que hbtuente es neceso ev cbo un náss estátco de ecnso.

54 CAPÍTULO T5 Esto puede conseguse pt de s ecucones dnács de ovento, sn ás que gu ceo os voes de s veocddes ceecones, con o que e pobe quedá educdo esoucón de un conunto de ecucones gebcs no nees, cus ncógnts son s coodends que denen poscón de cd uno de os cuepos que consttuen e sste ecánco que se está estudndo. eeencs. W F. e, Leo D. Stuges, ngeneí ecánc: Dnác. Ed. eveté, S.A., P. E. Nkvesh, Copute-Aded Anss o echnc Sstes, Pentce-H, nc., C.Ve, B. Suáe, Fundentos Teó de Sucón de Sstes ecán, U.N.E.D. 6. J. E. Shge, Ch.. schke, Dseño en ngeneí ecánc, cgw-h, P. E. Nkvesh, J. A. C. Aboso, Sstetc Constucton o Equtons o oton o gd-febe utbod Sstes Contnng Open nd Cosed Knetc Loops, ntenton Joun o Nuec ethods n Engneeng, Vo., pp , T. J. Chko, Dncs 6-, The Unvest o eboune,. 9. ne,. 5