GUÍA PARA LA PRUEBA DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 2012 / FEBRERO 2013

Transcripción

1 GUÍA PARA LA PRUEBA DE MATEMÁTICA DICIEMBRE 0 / FEBRERO 0 La prueba de Matemática tiene el propósito de evaluar tus habilidades para realizar operaciones matemáticas sencillas tu capacidad de comprensión resolución de problemas de nivel básico ambas cuestiones consideradas imprescindibles para comenzar estudios universitarios con orientación científico-técnica Para asistirte en la preparación del eamen te adjuntamos el siguiente material: el programa con la lista de temas incluidos en la evaluación módulos de problemas con sus respuestas para una adecuada ejercitación ejemplos de eámenes tomados anteriormente Los módulos de ejercitación servirán para reforzar habilidades conocimientos Para ello éstos contienen una abundante cantidad de problemas con sus respuestas de modo que puedas tener un control sobre la validez de tus razonamientos El nivel de dificultad de los temas va en aumento en los cuatro primeros módulos El último presenta problemas de aplicación: cuestiones que surgen de situaciones cotidianas que implican una solución empleando herramientas matemáticas En estos problemas tanto la comprensión del enunciado como la resolución matemática del problema son parte de la evaluación La resolución de los eámenes tomados anteriormente te audará a conocer el nivel requerido para la prueba de admisión Para aprobar la nota mínima eigida es de 6 (seis) sobre un máimo de 0 (diez) puntos El puntaje de cada ejercicio del eamen que puede variar de una fecha a otra estará indicado en el momento de la prueba Ha además horarios programados de consultas donde podrás aclarar tus dudas con la auda de los docentes También podrías usar estos horarios para trabajar en el aula así acceder a consultas en el momento que éstas surgen Como se trata de un espacio de consulta no habrá clases formales programadas Por último te recordamos que el eamen de matemática es el de diciembre de 0; si en esa fecha no lo rendís o no lo aprobás podés presentarte el de febrero de 0 Te esperamos en diciembre o en febrero

2 Eamen de Admisión de Matemática PROGRAMA ANALÍTICO Unidad : Revisión de las operaciones con números racionales Potenciación radicación de números racionales Números Irracionales Números reales Operaciones con números reales Representación en la recta numérica Intervalos reales Notación Unión intersección diferencia de intervalos Resolución de ecuaciones inecuaciones situaciones problemáticas Representación de puntos en el plano Unidad : Funciones Concepto de función dominio codominio e imagen Representaciones gráficas de funciones elementales Conjunto de ceros conjunto de positividad negatividad de una función Intervalos de crecimiento de decrecimiento de una función puntos máimos puntos mínimos Cálculo de imágenes preimágenes Modelización de situaciones Unidad : Función lineal Representación gráfica Rectas paralelas perpendiculares Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas Representación gráfica Clasificación de sistemas Intersección de rectas en el plano Problemas de modelización Unidad : Función cuadrática Representación gráfica Dominio Imagen intervalos de crecimiento decrecimiento positividad negatividad Parábola vértice eje de simetría concavidad Ecuación cuadrática Intersección de recta parábola Intersección de parábolas Funciones definidas por tramos Problemas de modelización Unidad : Trigonometría Circunferencia trigonométrica: definición de seno coseno tangente Reducción al primer cuadrante Ecuaciones simples Problemas de modelización Unidad 6: Vectores Definición Vectores en el plano Coordenadas Suma de vectores producto de un vector por un escalar Proecciones Producto escalar Módulo de un vector Ángulo entre dos vectores Paralelismo ortogonalidad Aplicaciones

3 BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA Miguel Guzmán otros Matemática COU Editorial Anaa Seveso de Larotonda Julia otros Matemática 9 EGB ED Kapelusz Seveso de Larotonda Julia otros Matemática 8 ED Kapelusz Laurito Liliana otros Matemática 9 EGB ED Puerto de Palos Silvia Altman otros Matemática/Polimodal Vectores Longseller Buenos Aires 00 Miguel Guzman J Colera A Salvador Matemática Bachillerato Editorial Anaa Kaczor Pablo otros Matemática I-Polimodal Editorial Estrada

4 MATEMÁTICA CPU MÓDULO Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta en el plano Marcar con una cruz los conjuntos a los cuales pertenecen los siguientes números: N Z Q R ( ) 6 8 π En cada caso unir con una flecha cada epresión con su resultado correspondiente Módulo a) = ( ) ( ) = [ + ( 7 + ) ] + = ( + ) ( ) = b) 6 : + = 8 6 ( ) : ( + ) = 0 6 ( : + ) = 6 ( : ) + = 6 Completar el cuadro con los símbolos de las operaciones + ó : con los números que faltan en los casilleros que corresponda para que se cumplan las igualdades Colocar en cada caso un paréntesis donde sea necesario para que dé el resultado indicado a) : + = b) : + = c) : + = Calcular: 0 a) + ( 7) ( 7) = 0 7 b) ( + ) + 0 : = 6 c) ) ( )( ) + ( ) : ( ) + [( ) ] = ( d) ( : )( : ) = e) ( ) : ( ) + ( ) ( ) = 6 : = 8 + : = 6 : + + = = = = = 6 = Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

5 6 a) Completar la tabla Fracción irreducible Otra fracción equivalente Epresión decimal / / -/0 b) De los siguientes números -/; /; -/-; 8/9; -07; -; -/ indicar cuáles son: i menores que 0 ii maores que 0 menores que iii maores que iv menores que Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F) Marcar con una X en el casillero correspondiente El opuesto de es El opuesto de es La fracción irreducible de es 0 = 0 = = 0 = ( es aproimadamente igual a 0 ) El opuesto de b es b El opuesto de b es + b 8 Calcular epresar el resultado como una fracción irreducible a) + : = b) : + + = c) = d) = e) + = 9 De un dinero se gastó la mitad luego la mitad de lo que quedaba por último las dos terceras partes del resto Qué parte sobró? V F Módulo Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

6 0 Indicar cuáles de las siguientes igualdades son verdaderas (V) o falsas (F) a a a 7 7 a) = a b) = a c) = a 6 a 9 a 9 a + a + a d) = e) = a + f) = Resolver las siguientes ecuaciones en R Hallar el conjunto solución 6 a) = 7 + b) = + c) ( 6) = d) + = e) + ( 8 ) : = ( ) + f) + = ( + 0) g) = a) So adivino le dijo Juancito a su hermano Miguel No te creo le contesta Miguel Hagamos la prueba Pensá un número sumale cinco multiplicá el resultado por al nuevo resultado sumale 0 a lo que te dio restale el doble del número que pensaste El número que obtuviste es 0 dice Juancito mu concentrado Miguel después de pensar un rato le dice: Ya sé como hiciste! Tratar de descubrir que pudo haber pensado Miguel b) Nicolás: Diego tiene pocas figuritas las que tengo o superan en al triple de las que él tiene Fabián: Sí tiene pocas o tengo el triple de: todas las que tiene más Diego: Ustedes dos tienen la misma cantidad de figuritas Nicolás: No no puede ser! Tratar de averiguar quién tiene razón Encontrar el valor de k si se sabe que = k es la solución de la ecuación = 6( ) En cada caso etraer el factor común indicado a) a a i el factor a ii el factor a iii el factor a b) b + b + b i el factor b ii el factor a) Desarrollar reducir a la mínima epresión posible i ( a + ) ii b b b b v a + a vi + a + iii ( + ) iv ( )( + ) + a vii + c c ( c ) b) Escribir como producto de dos factores i 9 ii a iii iv b b v 9 a + + ab b Módulo Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

7 6 Si se sabe que ( p + q) + 8 = calcular: a) ( p + q) = b) 0 ( p + q) = c) + q + 7 = p d) ( p q) 6( p + ) + q = 7 Para calcular el volumen de la pirámide trunca de base cuadrada los babilonios utilizaban la fórmula a + b a b V = h + mientras que los egipcios utilizaban la fórmula V = h ( a + b + ab ) En ambos casos h simboliza la altura de la pirámide a simboliza el lado del cuadrado maor b simboliza el lado del cuadrado menor Son ambas fórmulas equivalentes? 8 Encerrar con un círculo del mismo color las epresiones equivalentes: a) ; ; 0 ; 0 ; ; ; ( 0 ) ; ( 0 ) ; ; ; b) ( ) ; : ; ; ( ) 9 El perímetro de un cuadrado es a a) Marcar con una X la o las epresiones que les permiten calcular el área del cuadrado a a a a 9 9 b) Si el área del cuadrado es cm cuántos centímetros mide su perímetro? 0 Calcular escribir el resultado como una fracción irreducible a) = b) + : = c) + 7 = d) = 8 7 Completar con " = " o " " a) b) a + b a + b (ab > 0) 9 9 : : : a b a b (ab 0) c) 8 Operar si es necesario racionalizar dejarlo epresado con la menor cantidad de términos posible No aproimar a) + = b) = 6 c) = d) = + Módulo Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

8 e) + + = g) ( ) ( + ) + ( + )= f) ( + ) ( )= Resolver las siguientes ecuaciones Módulo b) = ( )( + ) c) ( + ) 7 = a) = d) ( ) + = + ( ) e) = 9 g) = 0 h) ( )( + ) = 0 i) ( )( ) = 0 k) + = 0 l) = m) = f) 9 = j) = 0 ñ) = 0 : ( ) o) + 6 = p) + = r) = 0 + q) ( + ) = 0 Proponer una ecuación que describa la situación planteada resolverla n) 7 + = s) = 0 a) Los dos quintos de un número más unidades da por resultado la mitad del dicho número Cuál es el número? b) El perímetro de un rectángulo cua base es el triple de la altura es de 7cm Calcular el área del rectángulo c) El área de un rectángulo cua base es el doble de la altura es de cm Calcular su perímetro d) El perímetro de un triángulo isósceles es 0cm los lados distintos miden ( + 8)cm ( )cm respectivamente Cuáles son los posibles valores de los lados? Recordar: En un triángulo isósceles dos de sus lados tienen la misma medida e) Juan gastó / de sus ahorros en libros con el resto compró ropa por $80 A cuánto ascendían los ahorros de Juan? Representar en la recta numérica: a) Los números racionales - / / -/ -9/ -/8 /8 0 b) Todos los números reales menores que 0 c) Todos los números reales maores o iguales que / 0 d) Todos los números reales maores que -7/ menores o iguales que 0 Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

9 e) Todos los números reales maores que ó menores que 0 0 f) Todos los R tales que 0 g) Todos los R tales que < < Representar en la recta numérica los conjuntos A = ( ) ( 6 ] B = escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i A B ii A B iii A B iv B A 7 Ídem 6 para: a) A = ( ) = B b) A = [ 0] B = [ + ) c) A = [ 0) B = [ + ) d) A = ( ) B = ( 07] 8 Dados = { R / 0} A B = { R / < 6} completar con o en cada caso: a) 0 A b) A c) A d) 0 B e) B f) B g) B h) 6 B i) 0 A B j) A B k) A B l) B A 9 Resolver las siguientes inecuaciones epresar las soluciones como un intervalo o unión de intervalos a) 8 > b) + c) ( ) ( ) + d) + e) > 0 a) Dados A = { R / > } B = { R / } f) + representar en la recta escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i A ii B iii A B iv A B v A B b) Ídem a) para A = { R / + ( + ) } = { R / ( ) < 0} B a) Hallar todos los b R de manera que = satisfaga + b > b) Hallar todos los a R de manera que = no satisfaga + a c) Hallar el valor de p para que / sea la menor solución de la inecuación p Representar en el plano ( R ) 7 7 P = ; Q = ; R = ; S = ; T = ;U = 0 ;V = 0 a) los puntos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Módulo 6 Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

10 b) todos los puntos que tienen: i abscisa ii ordenada iii abscisa ordenada iv abscisa maor o igual a / v abscisa menor que ordenada maor o igual a 0 vi abscisa ordenada iguales c) los siguientes conjuntos: { } i A = ( ) R / = ii B ( ) iii C = {( ) R / ; = } iv D ( ) v E = ( ) R / = ; > vi F ( ) Más ejercicios { } { R / = } { R / < } { R / ; < } = = = Colocar los signos + ó : que correspondan para que se cumplan las igualdades Puede haber más de una posibilidad a) = 0 b) = c) = d) = 7 Si se sabe que ab = bc = calcular: a) b( c a) b) ab 6 c c) a / c d) ca a Marcar con una X la o las epresiones que representan: a) los /8 del perímetro del rectángulo a 8a a a b) los /6 del área del rectángulo a a 6a c) Si el perímetro del rectángulo es cm cuál es su área? 6 Para qué valores de R a) da 0? b) da lo mismo que la epresión? c) da lo mismo que la epresión? d) da lo mismo que + 7? 8 a la epresión + ( ) 7 a) Hallar un número real sabiendo que la raíz cúbica del cuadrado de dicho número es igual a 0 aumentado en Cuántos ha? b) El cubo de la diferencia entre las dos terceras partes de un número real es igual al opuesto de /7 De qué número se trata? 8 Los números a = b = + son números enteros sin usar calculadora averiguar cuáles son Auda: elevarlos al cuadrado observar que pasa a Módulo 7 Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

11 9 Resolver las siguientes ecuaciones = 0 : + b) + + = a) ( ) ( ) d) 8 = ( ) c) + = ( 7) + + = ( + ) f) = 0 e) g) = 0 h) + = 0 i) 6 = 0 j) = k) ( + ) + = 0 l) + = Sean los conjuntos A = [ ) = { R / ( ) < 0} B a) Escribir como un intervalo o como unión de intervalos a cada uno de los siguientes conjuntos: i A B ii A B iii A B b) Hallar un número real w tal que w A B w A B c) Hallar un número real z tal que z A z A En cada caso encontrar todos los A R si se sabe que: a) tiene abscisa está sobre el eje b) la distancia al origen de coordenadas es 7 está sobre el eje Respuestas ( ) 6 8 π N X X X Z X X X X X X X Q X X X X X X X X X X X R X X X X X X X X X X X X X X a) = 9 ( ) + ( 7 + ) + 6 = [ + ( 7 + ) ] + 6 = ( ) ( ) = b) 6 : + = 8 6 ( ) : ( + ) = 0 6 ( : + ) = 6 ( : ) + = 6 : = 8 : + + : = 6 : + + = 0 = = = = 6 : = a) 6 ( + 6 ) : + = b) : ( + ) = c) 6 ( + 6 : ) + = a) b) c) 8 d) 0 e) 0 Módulo 8 Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

12 6 a) Fracción irreducible Otra fracción equivalente Epresión decimal 8/ / 6-6/ -/0 - / /6 0 6 ) -/ -/0 - b) i -/; -07; -; -/ ii -/-; 8/9 iii / iv -/; - 7 F V F V F V F V V F 8 a) / b) c) / d) /0 e) 0/ 9 / 0 a) V b) V c) V d) F e) F f) V a) S = { 6} b) S = c) S = { } d) S = e) S = φ f) S = R g) S = { } 7 a) Para cualquier número pensado n nos quedaría: [( n + ) + 0] n reduciendo esta epresión nos da 0 o sea [( n + ) + 0] n = 0 para cualquier valor de n b) Nicolás tiene razón Pues si a la cantidad de figuritas que tiene Diego la llamamos d entonces la cantidad de figuritas que tiene Nicolás está dada por la epresión d + la que tiene Fabián por ( d + ) Si los dos tuvieran la misma cantidad de figuritas tendría que eistir un valor de d para el cual d + = ( d + ) si queremos resolver esta ecuación nos queda: d + = d + = lo que es un absurdo Por lo tanto la ecuación no tiene solución k = / 0 a) i a a ii a a iii a a + 6 b) i b + b + b ii 6 b b b 9 9 a) i a + 6a + 9 ii + 6 iii iv b b v a vi a + ab vii 0c b) Por ej: i ( + )( ) ii a + a iii ( + )( ) iv b ( b ) v ( a + b) 6 a) / b) / c) 9/ d) / 7 Sí son equivalentes 8 a) Con un color: ; 0 ; ; ; ( 0 ) con otro color: ( 0 ) con otro color: ; 0 ; ; con otro color: b) Con un color: ( ) ; ( ) : ; ; 9 a) a a ; b) 8cm 9 0 a) 8/ b) /8 c) / d) a) " "" " " " b) " = "" = "" "" = " c) " = "" "" = " a) b) 6 + c) + d) + e) f) + g) 0 Módulo 9 Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

13 7 a) S { 6;6} = c) S = ; d) S = φ e) S = { ;} f) S = g) S = ; h) S = ; i) S = { ; ; } j) S = 0; k) S = { 0} l) S = 0; m) S = { } n) S = { 0 7} ñ) S = { 6} o) S = φ p) S = { } q) S = { 0} r) S = { } s) S = { } a) + = El número es 0 b) Una posible ecuación es ( + ) = 7 El área es cm ( = 9 ) = b) S { ; } c) Una posible ecuación es = El perímetro es cm ( = = ) d) Una posibilidad sería que ( + 8) + = 0 en este caso = por lo tanto un lado mediría 0cm entonces no se formaría un triángulo La otra posibilidad sería que ( ) = 0 en este caso = por lo tanto un lado mediría cm los otros dos cm entonces tampoco se formaría un triángulo (en cualquier triángulo siempre la suma de las medidas de dos de sus lados es maor que la medida del otro lado Estás de acuerdo?) Conclusión: No eiste un triángulo isósceles que cumpla lo pedido e) Una posible ecuación es +80 = Juan tenía $0 ahorrados a) -9/ -/8 / /8 - -/ 0 / b) 0 c) 0 / d) -7/ 0 e) 0 f) - 0 g) - 0 A B = A B = 6 A B = B A = 6 6 i ( ) ii ( ] iii ( ] iv [ ] 7 a) i B = b) i B = { } c) i B = φ iv B A = φ A B = 0 B A = + A B = 0 B A = + A ii A B = ( ) iii A B = [ ) A ii A B = [ 0 + ) iii [ ) iv ( ) A ii A B = [ 0 + ) iii [ ) iv [ ) d) i A B = ( 0 ) ii A B = ( 7] iii A B = ( 0] iv B A = [ 7] Módulo 0 Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

14 8 a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) a) S = ( 7 + ) b) S = [ 6 + ) c) S = ( ] d) S = e) S = φ f) S = 8 0 a) i A = + ii B = ( ] iii A B = iv A B = R v A B = ( + ) b) i A = ii B = ( 9 + ) iii A B = φ iv A B = ( + ) 9 v A B = a) b ( + ) b) a ( ) c) p = / a) Q P R S V T U b) i ii iii iv v vi c) i ii iii - - Módulo Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

15 iv v vi Por ejemplo: a) + = 0 b) + : = c) : + : = d) = a) / b) 0 c) 0 / 7 d) 7 / a) 8a ; a b) a ; a c) 8cm a) Para = 0 ó = b) Para = c) Para cualquier valor de d) Para ningún valor de 7 a) Ha dos posibilidades 7 / 8 ó 7 / 8 b) Del número 8 a = b = Por qué a no puede ser - ni b puede ser? 9 a) S = { 0} b) S = { 6} c) S = φ d) S = ; e) S = f) S = g) S = { 0} h) S = ; 0 i) S = { } j) { } S = ; 0 k) S = 6; l) S = { } 0 a) i A B = ( 0) ii A B = [ + ) iii A B = [ 0] b) Por ejemplo w = c) Por ejemplo z = / 0 = 0 7 A = 07 a) A = ( ) b) A ( ) ó ( ) Módulo Números reales Ecuaciones e inecuaciones Representaciones en la recta el plano

16 MATEMÁTICA CPU MÓDULO Funciones Funciones lineales cuadráticas FUNCIONES Damiana al irse del parque olvidó de subir a su perro Vicente en la parte trasera de su camioneta Los gráficos hacen referencia al movimiento de la camioneta de Vicente que corre para alcanzarla a) Cuál es el gráfico que representa el recorrido de Vicente? b) A qué distancia estaba Damiana de Vicente cuando éste comenzó a correr? c) Vicente alcanza a subir a la camioneta? En caso afirmativo cuánto tiempo cuántos metros aproimadamente corrió? d) Inventar un gráfico en el que Vicente se vaa cansando no logre llegar a la camioneta En la serie Viaje al fondo del mar aparece como una estrella el Sea-View un súper submarino nuclear que en su interior lleva otro submarino mu pequeño llamado Aerosub Éste utiliza como base al submarino estrella además de transitar bajo el agua es capaz de volar Durante una misión de investigación la tripulación del Sea-View siguió los desplazamientos del pequeño submarino El gráfico que aparece a continuación muestra la altura h (en metros sobre el nivel del mar) a la que se encuentra el Aerosub en función del tiempo t (en horas) Donde t = 0 representa la cero hora del de mao de 96 h(t) (metros) 00 distancia al parque (m) tiempo(seg) t (horas) a) Qué día a qué hora partió el Aerosub del Sea-View? b) A qué profundidad se encontraba? c) A qué altura se encontraba entre las 9 0 horas del de mao? d) Desde qué hora día hasta qué hora día duró la misión? e) Entre qué valores varió la altura del Aerosub? f) Cuándo estuvo sobre el nivel del mar? g) En qué momentos estuvo al nivel del mar? h) En qué intervalos de tiempo estuvo ascendiendo? Módulo Funciones Funciones lineales cuadráticas

17 i) Cuánto tiempo pasaron los tripulantes estudiando un banco de coral que se encuentra a 0 metros de profundidad? Entre que horas sucedió? j) Las respuestas a las preguntas d) e) f) g) h) qué representan de la función h? (Por ejemplo: imagen dominio conjunto de positividad etc) Eplicitar cada uno de ellos Cuáles de los siguientes gráficos corresponden a una función? a) b) c) d) e) f) En cada caso está representado el gráfico de una función f : R R determinar: 0 ceros C = { Domf / f ( ) = 0} + conjunto de positividad C = { Domf / f ( ) > 0} conjunto de negatividad C = { Domf / f ( ) < 0} intervalos de crecimiento intervalos de decrecimiento imagen de f a) b) c) Observando el gráfico c) calcular f ( ) f ( ) f ( ) f ( 0) f ( ) Módulo Funciones Funciones lineales cuadráticas

18 Sea 6 f ( ) = a) Calcular si es posible ( ) f ( ) f ( 0) f ( ) f ( ) f b) En cada caso encontrar si eiste tal que: i f ( ) = ii f ( ) = 0 iii f ( ) = iv f ( ) = c) Marcar cuáles de los siguientes enunciados son verdaderos (V) cuáles falsos (F): Domf Domf Domf Domf 0 Im( f ) Im( f ) Im( f ) Imf d) Cuáles son los puntos de corte del gráfico de f con los ejes coordenados? h k pertenezcan al gráfico de f e) Hallar h k para que los puntos ( ) ( ) 6 Para cada una de las siguientes funciones calcular su dominio si eisten los puntos de intersección con los ejes a) f ( ) = b) f ( ) = c) f ( ) = d) f ( ) = + e) f ( ) = + 9 FUNCIÓN LINEAL 7 En cada caso hallar la función lineal f que cumpla lo pedido hacer el gráfico correspondiente encontrar la pendiente de la recta determinada por el gráfico de f a) f ( 0) = f ( ) = b) f ( ) = f ( ) = c) f ( ) = 7 f ( ) = 7 f el punto ( ) d) ( ) = 0 8 Sea la recta r de ecuación = a) Hallar tres puntos de r b) ( 7) r? ( ) r? c) Encontrar k para que: i ( k) r k pertenece al gráfico de f ii ( ) r iii ( k k ) r d) Hallar los puntos de corte de la recta r con los ejes coordenados 9 Calcular la pendiente la ordenada al origen de las siguientes rectas a) = b) = + c) = d) + = e) = 0 En cada caso dar la ecuación de la recta que verifica lo pedido a) Pasa por los puntos () (-) b) Pasa por el (/) es paralela a = + c) Es perpendicular a = pasa por el (--) d) Es horizontal pasa por (-) e) Es vertical pasa por el punto (-) f) Es perpendicular a la recta = pasa por el punto (8) Módulo Funciones Funciones lineales cuadráticas

19 Probar analíticamente que el triángulos cuos vértices son A = () B = (0) C = () es rectángulo en B Dados los puntos A ( ) B = ( ) C = ( ) = hallar gráfica analíticamente la ecuación de la recta que contiene a la altura del triángulo ABC que pasa por A (Recordar: Una altura de un triángulo es el segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado que pasa por el vértice opuesto) Hallar la ecuación de la recta representada en cada gráfico a) b) c) 7 d) e) f) - -7/ Hallar k para que los puntos ( ) ( 0 ) ( k ) estén alineados Graficar hallar ceros conjuntos de positividad de negatividad intervalos de crecimiento decrecimiento e imagen de las siguiente funciones a) f : R R dada por f ( ) = b) f : ( ) R dada por f ( ) = c) f : [ ) R d) f R R dada por f ( ) = : dada por f ( ) = e) f : R R dada por f) f : R R dada por g) f : R R dada por si f ( ) = + si < si < f ( ) = + si f ( ) = si si ( ) ( ) 6 Cuál debe ser el dominio de f ( ) = + para que su imagen sea el intervalo [ ; ) 7 Hallar analítica gráficamente la intersección entre los siguientes pares de rectas a) d) r : = r : = + r : = r : = b) e) r : + = r : = 9 r : = r : + = 7 c) f) r : = + r : = r : = r : 6 = 0? Módulo Funciones Funciones lineales cuadráticas

20 8 Proponer un sistema que describa la situación planteada resolverlo a) Las entradas para un espectáculo se vendieron a $0 la platea $7 los palcos Calcular cuántas entradas de cada tipo se vendieron si asistieron 800 personas los ingresos fueron de $76 b) El perímetro de un triángulo isósceles es 86cm Si el lado desigual se aumenta en cm el triángulo obtenido es equilátero Cuál es la longitud de cada lado del triángulo isósceles? c) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9 Si se permuta el orden de los dígitos se obtiene el número aumentado en unidades Cuál es el número? 9 En cada caso hallar las coordenadas del punto P a) b) r r r r P r r r r P 0 En cada caso dibujar los gráficos de las funciones lineales f g Representar sobre el eje el conjunto { R / f ( ) g( ) } escribirlo como un intervalo a) f ( ) = + g ( ) = b) f ( ) = + g ( ) = + Martina se fue de vacaciones con unos amigos desean alquilar un auto por 0 días Disponen de dos opciones: A: 0 pesos por día B: 60 pesos por día más un recargo de pesos por km recorrido a) Si llamamos A( ) B( ) respectivamente a las funciones de gasto respecto a los km recorridos al cabo de los 0 días hallar sus epresiones realizar un gráfico que represente cada opción b) Cuántos km deberían recorrer para que el gasto fuera el mismo con cualquiera de las opciones? c) Cuál opción les convendrá elegir si piensan recorre alrededor de 00km? Una escultura de un cierto artista plástico comprada ho cuesta $00 se sabe que aumenta su valor linealmente con el tiempo de modo tal que después de 0 años valdrá $600 Otra escultura del mismo artista ho se vende a $000 se estima que dentro de años valdrá $600 a) Escribir la fórmula del valor V para cada una de las esculturas en función del tiempo ( V ( t) V ( t) ) b) Determinar cuál de las dos esculturas aumenta su valor más rápidamente c) En qué momento el valor de las piezas será el mismo cuál será dicho valor? a) Dar una ecuación de una recta que pase por el punto (-) que no se interseque con la recta de ecuación + = b) Hallar las ecuaciones de dos rectas perpendiculares que se intersequen en el punto () c) Encontrar la ecuación de la recta paralela a la recta r: = que pasa por el punto de intersección de las rectas = / + e = / 9 FUNCIÓN CUADRÁTICA En cada caso graficar la función cuadrática f especificando coordenadas del vértice eje de simetría concavidad de la parábola que representa hallar imagen ceros conjuntos de positividad negatividad e intervalos de crecimiento decrecimiento de f a) f ( ) = b) ( ) f = + c) f ( ) = ( + ) 8 d) f ( ) = ( + )( ) e) f ( ) = + 6 f) f ( ) = + + Módulo Funciones Funciones lineales cuadráticas

21 Dar la ecuación de una función cuadrática f que verifique lo pedido: a) Sus raíces sean el punto (00) esté en el gráfico de f b) Su vértice sea el punto (-) f ( 0 ) = c) No tenga raíces reales el gráfico de f pase por el punto () d) Sus raíces sean su imagen sea el conjunto [ + ) e) El eje de simetría sea la recta = los puntos (0) (9) están en el gráfico de f + f) C = ( 0) e Im f = ( ] Im f = 8 + g) El intervalo de decrecimiento de f es ( ) su gráfico pasa por el origen e [ ) 6 Dada la función cuadrática f ( ) = a) determinar D = { R / f ( ) = } b) Observando el gráfico de f al conjunto D escribir como un intervalo o unión de intervalos a los = R / f ( ) F = R / 0 f ( ) < conjuntos E { } { } 7 a) Calcular los puntos de intersección de los gráficos de las siguientes funciones graficar i ( ) ( ) f = g = f = + g = ii f ( ) = + g( ) = iii ( ) ( ) ( ) iv f ( ) = g( ) = + v f ( ) = + 8 g( ) = + vi f ( ) = g ( ) = + b) Observando el gráfico en cada caso hallar el conjunto { R / f ( ) g( ) } c) Para el caso i encontrar la ecuación de una recta paralela al gráfico de g que no corte a la parábola 8 a) Hallar las coordenadas del punto A sabiendo que la parábola es el gráfico de f ( ) = el punto V es el vértice de la parábola b) Hallar los valores de para los cuales el gráfico de la parábola está por encima del de la recta A V 9 Al producir un cantidad (en miles de toneladas) de cierto producto agropecuario se llegó a la conclusión que de acuerdo al lugar donde viven los diferentes gastos que tienen dos productores reciben ganancias mensuales (en miles de pesos) determinadas por las siguientes funciones: G ( ) ( 7) = + 8 G ( ) = 6 a) Graficar ambas funciones decidir cuántas toneladas deben producir ambos productores para obtener la misma ganancia b) Si los dos producen aproimadamente la misma cantidad de toneladas mensuales para qué cantidades tiene más ganancia el primer productor? Graficar las siguientes funciones encontrar los conjuntos C C C e Im( f ) a) si 0 f ( ) = b) + si > 0 f ( ) = + si si < Módulo 6 Funciones Funciones lineales cuadráticas

22 Más ejercicios Dada la parábola = a + + a) Hallar el valor de a si se sabe que el eje de simetría es la recta = b) Para el valor hallado en a) graficar la parábola indicando concavidad vértice puntos de intersección con los ejes A = R / > c) Hallar { } Sea ( ) = + f a) Hallar una función cuadrática g que cumpla: el conjunto de positividad de f es igual al intervalo de crecimiento de g los gráficos de f g cortan al eje en el mismo punto Im g ( 9] = b) Hallar el conjunto de negatividad de g Teniendo en cuenta el dibujo sabiendo que el gráfico de f es una recta paralela a la recta de ecuación = 8 a) hallar la función lineal f el conjunto de f > g los tal que ( ) ( ) b) Determinar la función cuadrática g g f Sea la parábola = + b a) Hallar R b para que la parábola pase por el punto ( 0) b) Para el valor de b hallado en a) determinar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola es perpendicular a la recta + = Hallar a b R para que la imagen de ( ) ( + ) + a si < f = sea ( ; ] [ ; ) + b si + = a b 6 Los sistemas S : = b = a + b S : con a b positivos están representados en = b alguno de los gráficos siguientes Cuál corresponde a cada uno? 6 Módulo 7 Funciones Funciones lineales cuadráticas

23 7 En cada caso hallar dominio de f los puntos de corte del gráfico de f con los ejes a) f ( ) 8 Sea ( ) = 6 b) f ( ) = c) 0 f = + + a) Hallar su dominio b) Determinar el conjunto de todos los valores de Domf 9 Dada f ( ) + = si si < 0 se pide: 0 f ( ) = + para los cuales resulta ( ) 0 f a) Realizar un gráfico aproimado de f hallar los puntos de intersección con los ejes coordenados b) Determinar el conjunto de todos los valores de para los cuales resulta f ( ) Respuestas a) El segmento de recta b) 0m c) Sí recorrió apro 7m en seg d) a) 7h del de mao b) 0m bajo el nivel del mar c) 00m bajo el nivel del mar d) Desde las 7h del de mao hasta las del de mao e) Entre 0m por debajo del nivel del mar hasta 00m por encima del nivel del mar f) Entre las h del de mao hasta las la del de mao entre las las 9 del de mao g) A las h del de mao a la 9 del de mao h) Entre las 7 las 9 entre las las del de mao entre las las 6 del de mao i) horas entre las las de las de mao j) d) Dominio de f = [ 7] e) Imagen de f = [ 000] f) Ceros de f = { 9} g) Positividad de f = ( ) ( 9) h) Intervalos de crecimiento estricto de f: ( 7 ) ( ) ( 6) a) No b) Sí c) No d) Sí e) Sí f) No 0 + a) C = { 0 8} C = ( 0) ( 8) C = ( ) ( 0 ) ( 8 + ) Im f = 0 crece en ( ) en ( ) decrece en ( ) en ( 6 ) ( ) ( ] 0 + b) C = { } C = ( ) ( ) ( + ) C = ( ) [ ) crece en ( 0) en ( + ) decrece en ( ) en ( ) Im( f ) = [ + ) 0 + c) C = { 7 } C = ( 7 ) ( ) ( ) C = ( ) ( ) ( ) ( + ) crece en ( 6) en ( ) en ( ) decrece en ( 6 ) en ( ) en ( + ) Im( f ) = ( ] [ ) f ( ) = f ( ) = 0 f ( ) = f ( 0) = f ( ) = a) f ( ) = f ( ) = 0 f ( 0) = 6 f ( ) = no está definido f ( ) b) i = ii = iii No eiste iv = V Domf F Domf c) V 0 Im( f ) F Im( f ) d) Punto de corte con el eje : ( 0) e) h = k = f 0 V Domf Im( f ) 0 6 punto de corte con el eje : ( ) distancia al parque (m) 7 F Domf Imf 6 a) Dom ( ) = R punto de corte con el eje : ( ) punto de corte con el eje : ( 0 ) b) Dom( f ) = R { } no corta al eje punto de corte con el eje : ( 0 8) c) Dom ( f ) = R punto de corte con el eje : ( 0) punto de corte con el eje : ( 0 ) d) Dom( f ) = [ + ) punto de corte con el eje : ( 0) punto de corte con el eje : ( ) e) Dom( f ) = ( ) punto de corte con el eje : ( 0) punto de corte con el eje : ( 0 ) F F 0 tiempo(seg) Módulo 8 Funciones Funciones lineales cuadráticas

24 7 a) f ( ) = + pendiente: m = b) f ( ) = pendiente: m = c) f ( ) = 7 pendiente: m = 0 d) ( ) = + 8 a) Por ejemplo ( 0 ) ( ) ( ) b) ( 7) r ( ) r = d) Punto de corte con el eje : ( 0) punto de corte con el eje : ( 0 ) f pendiente: m = c) i k ii k = iii k = 9 a) pendiente: m = ord al origen: b = b) pendiente: m = ord al origen: b = c) pendiente: m = ord al origen: b = 0 d) pendiente: m = ord al origen: b = e) pendiente: m = 0 ord al origen: b = 7 0 a) = + b) = c) = d) = e) = f) = La recta que pasa por A B tiene pendiente m AB = la recta que pasa por B C tiene pendiente m BC = Entonces mab mbc = ( ) = Por lo tanto las rectas que contienen a los lados AB BC son perpendiculares Luego el triángulo es rectángulo en B = a) = 7 b) = c) = + 7 d) = e) = = + k = a) C 0 = b) C 0 = { } { } ( + ) ( ) + C = C = crece en todo R no tiene intervalos de decrecimiento ( f ) R Im = C = ( ) C = ( ) crece en ( ) no tiene intervalos de decrecimiento Im f = 8 ( ) ( ) c) 0 + d) C = φ C = φ C = [ ) crece en ( ) no tiene intervalos de decrecimiento Im f = 0 0 ( ) [ ) C = φ C + = R C = φ crece en todo R decrece en todo R Im f = ( ) { } 0 e) C = 0 f) g) C = { } ( 0) ( ) ( + ) C = 0 crece en ( ) decrece ( + ) Im f = ( ) ( ] C = φ C = [ + ) C = ( ) crece en ( ) en ( ) en ( + ) decrece en ( ) Im f = + ( ) ( ] [ ) C 0 = { } + C = ( ) C = ( + ) crece en ( ) decrece en ( ) en ( + ) Im( f ) = ( ] - Módulo - 9 Funciones Funciones lineales cuadráticas

25 = 6 Dom ( f ) 7 a) Las rectas se intersecan en el punto ( ) b) Las rectas se intersecan en el punto ( ) c) Las rectas se intersecan en el punto ( ) d) Las rectas se intersecan en el punto ( 6) e) El sistema que resolviste es incompatible La solución es el conjunto vacío Las rectas no se cortan son paralelas f) El sistema que resolviste es compatible indeterminado pues tiene infinitas soluciones En este caso las dos ecuaciones corresponden a la misma recta + = a) Se vendieron 0 plateas 0 palcos = 76 b) c) + = 8 6 Los lados iguales miden 7cm el otro cm = + + = 9 El número es = a) P = r : = + r : = 7 0 a) + b) a) A ( ) = 00 B( ) P = r : = r : = + b) ( 00) = b) 00km c) La opción A a) V ( t) = 0t + 00 V ( t) = 60t b) La primera escultura c) Dentro de 0 años su valor será $600 a) = b) Por ejemplo las rectas = e = + c) = V = 0 eje de simetría: = 0 Im f = + a) vértice: ( ) concavidad positiva (cóncava) ( ) [ ) 0 + C = { } C = ( ) ( + ) C = ( ) crece en ( 0 + ) decrece en ( 0) b) vértice: V = ( 0) eje de simetría: = 0 concavidad negativa (convea) Im( f ) = ( ] 0 + C = { } C = ( ) C = ( ) ( + ) crece en ( 0) decrece en ( + ) c) vértice: V = ( 8) eje de simetría: = concavidad positiva (cóncava) Im( f ) = [ 8 + ) 0 + C = { } C = ( ) ( + ) C = ( ) crece en ( + ) decrece en ( ) d) vértice: V = ( 8 ) eje de simetría: = concavidad negativa (convea) Im( f ) = ( 8 ] 0 + C = { } C = ( ) C = ( ) ( + ) crece en ( ) decrece en ( + ) e) vértice: V = ( ) eje de simetría: = concavidad negativa (convea) Im( f ) = ( ] 0 C = { } C + = ( ) C = ( ) ( + ) crece en ( ) decrece en ( + ) f) vértice: V = ( ) eje de simetría: = concavidad positiva (cóncava) Im( f ) = [ + ) 0 C = φ C + = R C = φ crece en ( + ) decrece en ( ) a) f ( ) = ( + )( ) b) f ( ) = ( +) + c) Ha infinitas posibilidades por ejemplo: f ( ) = ( ) + ó f ( ) = + d) f ( ) = ( + ) e) f ( ) = ( )( 6) f) f ( ) = ( + ) + g) f ( ) = ( ) 6 a) D = { } b) E = [ ] F = ( ] [ ) 0 Módulo 0 Funciones Funciones lineales cuadráticas

26 ECT UNSAM 7 i ii a) Los puntos( 0 ) ( ) b) El intervalo [ 0] c) Por ejemplo la recta = a) No se cortan b) R - - iii - - a) El punto ( ) b) { } iv a) Los puntos ( ) ( ) b) El intervalo [ ] v vi a) Los puntos ( ) ( ) b) ( ] [ + ) a) El punto ( ) b) [ + ) a) A = ( ) b) El intervalo ( ) 9 a) ó 7 toneladas b) Si producen entre 7 toneladas 0 a) b) C = a) a = b) Tiene concavidad negativa (es convea) el vértice es V = ( ) puntos de corte con eje : ( 0) ( 0) punto de corte con eje : ( 0 ) c) El intervalo ( 0 ) a) ( ) ( ) g = + 9 b) C = ( ) ( + ) a) f ( ) = { / f ( ) > g( ) } = ( 0 ) ( + ) b) g ( ) = ( ) a) b = b) = 7 a = b = 6 A S le corresponde el a S le corresponde el 6 7 a) Dom( f ) = [ ] puntos de corte eje : ( 0) ( 0) 0 6 b) Dom ( f ) = [ ] { } puntos de corte eje : ( 0) ( 0) punto de corte eje : ( 0 ) c) Dom ( f ) = ( ] no corta al eje ni al eje 8 a) Dom( f ) = ( ] [ + ) b) ( ] [ ] 9 a) C + { } = ( ) ( 0 ) = ( 0] ( + ) ( f ) R C Im = Punto de intersección con eje : ( 0) punto de intersección con eje : ( 0 ) b) punto de corte eje : ( ) - { } = ( ) = ( + ) ( f ) = ( 0] { } C 0 = + C C Im Módulo Funciones Funciones lineales cuadráticas

27 MATEMÁTICA CPU MÓDULO Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos a) Qué arco representan los siguientes ángulos? Graficar sobre una circunferencia de radio b) Qué ángulo representan los siguientes arcos? Graficar sobre una circunferencia de radio 60 o o o o o o o o o π π π π π π π 6 Dibujar sobre la circunferencia trigonométrica un ángulo α en el primer cuadrante luego trazar en el mismo gráfico los siguientes ángulos: π α π + α π α Marcar sobre los ejes los valores del seno coseno para los ángulos dibujados observando lo realizado escribir: a) en función de sen α i sen ( π α ) = ii sen ( π +α ) = iii sen ( π α ) = b) en función de cos α i cos ( π α ) = ii cos ( π + α ) = iii cos ( π α ) = Observando la circunferencia trigonométrica completar la tabla α 0 π 6 π π π π π 7 π π 6 π 7 π sen α cos α tg α Los cálculos que se piden son eactos (no aproimar) a) Sabiendo que cos t = decidir en qué cuadrante puede estar t en cada caso calcular sent tg t b) Sabiendo que sen t = t está en el tercer cuadrante calcular cost tg t c) Si α ( π π ) cos α = calcular tg α + sen α d) Si α pertenece al primer cuadrante cos α = calcular cos ( α π ) sen ( π α ) 0 e) Si α º cuad tg α = calcular cosα sen( α π ) f) Sabiendo que cos β = β es un ángulo del segundo cuadrante calcular cos( β + π ) sen ( β ) π π π π Calcular el valor eacto de la epresión cos + sen tg sen 6 6 Práctica Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos

28 6 Encontrar todos los [ 0π ) a) sen = / que verifican: b) cos = 0 c) sen = d) cos = e) tg = f) tg = g) cos = / h) cos = 7 a) Hallar todos los R que cumplen: i sen ( ) = 0 iii sen( π / ) = / iv cos ( π ) = = 0 ii cos b) Encontrar tres soluciones distintas de: i ( ) = cos π = sen ii ( ) 0 c) Hallar todos los [ 0π ] π i cos + = ii sen ( π ) = π π d) Hallar todos los [ ] i ( ) = ii cos( + π ) tg = / 8 Resolver las siguientes ecuaciones a) sen sen = 0 π π senπ = cos π b) cos sen = c) d) cos ( ) = cos( ) e) sen ( π ) sen( π ) = 0 9 Sabiendo que el triángulo dibujado es rectángulo calcular los valores eactos de cos β sen α tg β tg α β α 0 Calcular los valores eactos de los elementos indicados en los siguientes triángulos rectángulos su perímetro su área a) b) α 60º c) α º α 6 β 8 La distancia entre los edificios A B es de 0m Si el edificio A mide 98m de altura el ángulo de elevación desde el punto más alto del edificio A al punto más alto del edificio B es de º Calcular aproimadamente la altura del edificio B º B A 0m Práctica Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos

29 Hallar las medidas del lado del ángulo α a) Si además se sabe que la altura desde A es A b) 6 A α B 0º 0 α C B º Más ejercicios Hallar todos los ángulos [ 0π ) que verifican π a) Encontrar k R para que = b) Con el valor de k hallado resolver dicha ecuación a) Hallar todos los b) Hallar todos los [ ] C + π sen = cos + π 0 > sea solución de la ecuación ( ) k = 7 0 π que satisfacen sen + cos = + sen π π que cumple sen + cos = sen 6 Encontrar el valor eacto de ( α ) + cos( π α ) sen( α + π ) 7 Determinar en la siguiente figura: 8 tg del triángulo rectángulo dibujado de acuerdo a los datos α 60º 0º Respuestas o o 60 π 0 π 6 a) o o 0 π π π 80 b) o π 90 o o π 60 o π o o π 60 π π 70 π 6 0 o o o π 0 o 90 o π π 70 o π a) i sen ( π α ) = senα ii sen( π + α ) = senα iii sen( π α ) = senα b) i cos( π α ) = cosα ii cos( π + α ) = cosα iii cos ( π α ) = cosα Práctica Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos

30 α 0 π 6 π π π π π 7 π π 6 π 7 π sen α 0 0 cos α 0 0 tg α 0 no eiste 0 no eiste a) t puede estar en el primer o cuarto cuadrante Si t está en el er cuadrante Si t está en el er cuadrante sen t c) α + sen α = cos = / sen π α = / = tg t = sen t = tg t = b) 0 cos α + π sen α cos t tg d) cos ( α π ) = sen( π α ) e) α ( ) f) ( ) ( ) = 9 / = tg t = π π π π cos + sen tg sen = = π π π π π 6 a) = ó = b) = ó = c) = d) No eiste 6 6 π π e) = ó = f) π ó π π π = = g) = ó = h) = π 6 6 π kπ 7 a) i = kπ k Z ii = + k Z 8 9π π iii = + kπ k Z ó = + kπ k Z iv = + k k Z ó = + k k Z π π 9π b) i Por ejemplo: = = = ii Por ejemplo: = = = 9 c) i π 8 = ó = π ii π 7π π π π = = = = = ó = π d) i π π π 7 = = = ó = π π π π π π π ii = = = = = ó = k 8 a) S = π + kπ k Z b) S = π + kπ k Z c) S = + k Z 8 kπ π + kπ 7 kπ kπ d) S = π + k Z e ) S = k Z π + k Z π + k Z = cos β = / sen α = / tg β = / tg α = / = 9 0 Práctica Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos

31 0 a) α = 0º = = perímetro = + área = b) α = º = = perímetro = + área = c) = 0 α º 7 8 β 6 º perímetro = área = Aproimadamente 7m a) = 0 9 α º 8 b) = 7 α 98 º 7 8 = π a) k = b) a) S = { 0π} b) 6 tg π S = + kπ k Z π + kπ k Z S = π π π π π ( α ) + cos( π α ) = = sen( α + π ) 7 = Práctica Trigonometría Resolución de triángulos rectángulos

32 Sean u = () v = ( ) = (0) MATEMÁTICA CPU Módulo Vectores w = ( 0 ) t a) Graficar u v w t b) Calcular graficar: i v ii u + v iii u v t u v w c) En cada caso hallar si es posible p q R tales que: + iv + ( ) v ( v t ) ( u + w ) i u pv = ( q + p) ii pu v = qw + ( p) iii p w ( q ) t v ( q q) + + = iv p u + q v = t d) En cada caso hallar s R tal que: i s u = v ii s u = v w Si u = ( ) v = ( 0) w = ( ) + iii ( ) calcular la longitud de los vectores: a) u v w b) u + v u w c) u u En cada caso determinar todos los valores de k para que: a) = u si u ( k ) = b) = v si v ( k ) u s = s u w = c) = a) Graficar en el plano decir qué figura geométrica representan i Todos los vectores de módulo ii Todos los vectores de longitud a lo sumo b) Hallar todos los vectores de norma que están sobre el eje Dado v = ( ) hallar: w si w = k( ) a) Un vector w con la misma dirección que v cuo longitud sea el doble de la longitud de v Cuántos ha? b) Un vector u paralelo a v cuo módulo sea tenga sentido opuesto a v Cuántos ha? 6 Si u ( ) v = ( 0 ) w = ( 6) t = ( ) = a) calcular: i u v ii u w iii w t iv u ( v t) v u v u t b) Encontrar un vector s t que cumpla u s = u t 7 a) Probar que los vectores i = ( 0 ) j = ( 0 ) perpendiculares entre sí Observar que cualquier vector ( ) O sea ( ab) = ai + bj b) Epresar los siguientes vectores de la forma ai + bj v = ( ) w = ( 0) ( 0) llamados versores tienen módulo son ab se puede epresar como combinación de los versores t = 8 Encontrar analítica gráficamente: a) Tres vectores perpendiculares a u = ( ) Cuántos ha? b) Un vector perpendicular a v = () de módulo Cuántos ha? Módulo Vectores

33 9 Determinar R a para que u = ( a + a ) sea ortogonal a = ( ) v 0 Graficar averiguar el ángulo entre u v en cada caso a) u = ( 0) v = ( ) b) u = i v = i + j c) u = i j v = i + j d) u = ( ) v = ( ) e) = ( ) v = ( ) Sean v = ( ) ( ) u f) u = ( ) v = ( ) w = a) Calcular las proecciones ortogonales sobre los ejes coordenados de : i v ii w iii v w b) Calcular las proecciones ortogonales de: i v sobre w ii v sobre w iii v sobre w iv w sobre v c) Qué relación ha entre los vectores hallados en i ii? Podrías justificarlo geométricamente? d) Ídem c) para i iii En cada caso encontrar las coordenadas de un vector que cumpla las siguientes condiciones: a) Forma un ángulo de 60 con el semieje positivo de las (sentido antihorario) de módulo b) Forma un ángulo de 0 con el semieje positivo de las (sentido antihorario) de módulo / c) Forma un ángulo de 0 con el semieje positivo de las (sentido antihorario) de módulo d) Qué relación ha entre los vectores hallados en a) b)? e) Y entre los hallados en a) c)? En cada caso hallar a de manera que: a) v = ( a) forme con el semieje positivo de las un ángulo de b) w = ( a ) forme con el semieje positivo de las un ángulo de c) s = a i j forme con el semieje positivo de las un ángulo de 0 d) t = i + aj esté en el cuarto cuadrante verifique t = Determinar a b para que u = ( ab) forme con el semieje positivo de las un ángulo de 80 se cumpla que u = 7 a) Hallar un vector w del segundo cuadrante que sea paralelo al vector v = i j su longitud sea la mitad que la de v b) Calcular el módulo de w el ángulo que forma con el semieje positivo de las c) Encontrar todos los vectores ortogonales a w de norma 6 a) Determinar a para que el vector u ( a) 0 = forme con el semieje positivo de las un ángulo de b) Para el a encontrado hallar b para que ( b ) + u sea perpendicular a ( 6) 7 a) Hallar b sabiendo que vector v ( b ) = está en el cuarto cuadrante tiene módulo b) Calcular el ángulo que forma el vector v con el semieje positivo de las c) Encontrar dos vectores perpendiculares a v con sentidos opuestos distintas longitudes 8 Graficar los siguientes vectores de R = 00 = 00 = 00 = u ( ) v ( ) w ( ) p ( 0) q = ( 0) r = ( 0) = ( ) s 9 Sean u ( ) v ( ) w ( ) ( ) iii ( ) ( ) Módulo = 0 = = 0 s = 7 a) Calcular: i u v ii u + w s v w s + u b) Calcular los módulos de v u w + s c) Probar que: i u s ii s v iii u v no son paralelos Vectores

34 Más ejercicios 0 a) Hallar el vector v si se sabe que está en el segundo cuadrante tiene norma su ordenada es b) Hallar el vector w de norma que forma un ángulo de º con el semieje positivo de las c) Teniendo en cuenta los vectores hallados i Determinar dos vectores s t de norma respectivamente ambos perpendiculares a v con distintos sentidos w + 0c sea paralelo a v ii Elegir c de manera que ( ) Dado v = i + j se pide: a) Calcular v el ángulo que forma v con el semieje positivo de las b) Dados w = a i j t = i + ( b )j hallar a b tal que w sea ortogonal a v t sea paralelo a v Dado v = i j a) Calcular el módulo de v el ángulo que forma con el semieje positivo de las b) Hallar un vector w de módulo con igual dirección distinto sentido que v c) Hallar un vector s del cuarto cuadrante perpendicular a v de módulo menor que Dados los vectores v i j w = a) Calcular el ángulo que forman v w b) Determinar el vector proección ortogonal de v sobre w c) Encontrar u t R tal que u t sean ambos perpendiculares a w además que u t tengan distinto módulo e igual sentido Respuestas = ( ) b) i v = ( ) ii u + v = ( 0 ) iii u v + t = ( 7) 8 7 iv u + ( v w) = 8 v ( v t) ( u + w) = c) i p = q = ii p = / q = iii No eisten p q iv p = q = 6 7 s iii s = = = = b) u + v = u w = 9 c) u = 0 u = d) i s = ( 9) ii = ( ) a) u v w 6 a) k = 8 ó k = 8 b) k = 9 ó k = c) k = ó k = a) i ii Una circunferencia de de radio centro el origen de coordenadas b) ( 0 ) ( 0 ) a) Por ejemplo: = ( 6 8) 6 a) i u v = ii 0 b) Por ejemplo s = ( ) w Ha dos (el otro posible es ( 68 )) b) u ( 6 8 ) u w = iii w t = iv ( v t) = 7 - Un círculo de radio centro el origen de coordenadas = Es el único u v u v u t = 7 Módulo Vectores

35 7 b) v = i + j w = i t = j 8 a) Por ejemplo: b) Por ejemplo: ( ) ( ) ( 9 ) ( 6 8 ) Ha infinitos Ha dos el otro es ( ) a) a = 8 0 a) b) c) 90 d) 60 e) 80 f) 7º 9 v 0 v = 0 w 9 0 a) i pro eje ( ) = ( ) pro eje ( ) ( ) ii pro eje ( ) = ( ) pro eje ( w) = ( 0 ) iii ( v w) = ( 0 ) ( v w) = ( 0 ) pro eje pro eje c) Son el iguales porque estamos proectando el mismo vector sobre la misma recta (la recta que contiene a w w es la misma) d) prow( v) = prow( v) lo podemos justificar utilizando el Teorema de Thales o por triángulos semejantes a) b) c) ( ) d) Son perpendiculares e) Son paralelos b) i prow ( v ) = ii pro w ( v) = iii pro w ( v) = iv prov ( w ) = a) a = b) a = c) a = d) a = a = 7 b = 0 a) w = i + j b) = 6 a) a = b) b = 7 a) = u v = w el ángulo es º c) ( ) ( ) b b) 00º c) Por ejemplo: ( ) ( ) v w s + u = 7 9 a) i ( ) ii u + w s = ( 0 9) iii ( ) ( ) ( ) b) v = u = w + s = 0 c) i u s = ( 0)( 7) = + 0 = 0 u s ii s v = ( 7 )( ) = + 7 = 0 s v iii Si u v fueran paralelos eistiría un número k tal que u = k v O sea tendría que pasar que = k ( 0) = k( ) = k de donde por ejemplo usando las dos últimas ecuaciones nos 0 = k quedaría que = 0 lo que es absurdo Por lo tanto u v no son paralelos w = 0 a) v = ( ) b) c) i s = t = ó s = t = ii c = 6 a) v = 8 el ángulo es º b) a = b = a) v = b) w = i + j c) Por ejemplo s = i j a) 98º 7 8 b) prow ( v ) = c) Por ejemplo: u = ( ) t = ( ) - Módulo Vectores

36 MATEMÁTICA CPU MÓDULO Problemas de aplicación Cuántos centímetros mide el perímetro de un triángulo equilátero cuo lado mide el doble que el lado de un cuadrado de perímetro 6cm? En un balneario sobre la rambla se colocan postes cada 00m indicando las paradas de los colectivos a) Si la rambla tiene km (000m) de longitud la primera parada está al inicio cuántos postes se necesitan? b) Se quiere poner tachos de basura a lo largo de la rambla si se coloca uno en cada poste entre dos postes consecutivos cuántos tachos se necesitan? c) A qué distancia estarán dos tachos consecutivos si la distancia entre ellos es siempre la misma? Santiago está preparando su puesto para la feria de ciencias que se realizará en su escuela Ha decidido poner como fachada un plancha de acrílico rectangular con un cuadrado cortado en el centro para atender a la gente El lado menor mide m el maor el cuádruple de la mitad del otro El perímetro del rectángulo es el doble del perímetro del cuadrado a) Si quiere pegar una cinta alrededor del contorno de la fachada cuántos metros de cinta necesitará? b) Cuántos mp de acrílico utilizará para armar el frente? El contorno de una figura es el conjunto de líneas que la limitan tanto eterior como interiormente Gerardo el dueño de una mueblería compra 6 docenas media de sillas a $0 cada una En el traslado 8 sillas se raan las vende a $ cada una Como le gustaron mucho Gerardo se llevó para su casa A cuánto habrá vendido cada una de las sillas restantes si obtuvo una ganancia total de $00? Brenda Juanita fueron a la librería Brenda compró cuatro marcadores dos carpetas Juanita compró un cartucho de tinta a) Brenda pagó por todo $ Cada carpeta cuesta $ más que cada marcador Cuál es el precio de cada carpeta? b) El cartucho que compró Juanita no le sirvió volvió a cambiarlo Agregó $ en su lugar llevó tres resmas de papel El precio del cartucho supera al de cada resma en $ Cuánto pagó por cada resma? 6 Cuál es el área de la figura coloreada si su perímetro es 86cm? 8 cm 7 cm El perímetro de una figura es la longitud de su contorno cm 7 Federico vendió 6 de sus cuadros más famosos Cuando los puso a la venta deseaba obtener por cada uno la misma cantidad de dinero pero la realidad superó sus epectativas sólo de los 6 cuadros los vendió al precio deseado los vendió al doble de lo esperado al otro por $00 más Si obtuvo en total $000 a cuánto vendió cada cuadro? Módulo Probkemas de Aplicación