NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS

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1 NÚMEROS ENTEROS NEGATIVOS DEFINICIONES PREVIAS Los números enteros son: los positivos, los negativos y el cero. Se representan sobre una recta numérica: El valor absoluto de un número entero, es el mismo número sin el signo: -8 = +8 = 8 El mayor valor de dos números enteros: Siempre, un número entero positivo es mayor que el cero o un negativo. En dos números enteros negativos es mayor, el que tiene menor valor absoluto. En dos números enteros positivos es mayor, el que tiene mayor valor absoluto OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS: SUMAS y RESTAS Con el mismo signo: Se suman los valores absolutos de los sumandos y a la suma total se le asigna el mismo signo de los sumandos (-3) + (-4) + (-8) = -15 ( +3) + ( +4) + ( +8) = +15 Con diferente signo: Ejemplo: (-5) + (-2) + (+6) + (-8) + (+4) + (+9) Se ordenan los sumandos considerando el mismo signo. =[ (+6) + (+4) + (+9)] + [ (-5) + (-2) + (-8) ] Se suman (como en el procedimiento anterior), de forma separada los valores de los sumandos del mismo signo. = ( + 19) + (- 15 ) Luego, se restan los valores y a la diferencia se le pone el signo del número de mayor valor absoluto = ( + 19) + (- 15 ) = + 4 = 4 NOTA: En los números enteros positivos no es necesario indicar el signo. 11

2 MULTIPLICACIONES y DIVISIONES Cuando se multiplican o dividen dos números enteros se aplica al resultado (producto o cociente) la siguiente Regla de signos: Tabla 1. Cociente Si te das cuenta, la Tabla 1 y la Tabla 2, son iguales Tabla 2. Producto : + - x Regla general: Si los números enteros que se consideran en el producto y el cociente: Son del mismo signo, el resultado es positivo. Son del diferente signo, el resultado es negativo. Ejemplo, para el cociente: (+10) : (+2 ) = +5 El cociente de un + con un + es: + (+10) : (-2 ) = -5 El cociente de un + con un - es: - (-10) : (+2 ) = -5 El cociente de un - con un + es un - (-10) : (-2 ) = + 5 El cociente de un - con un - es un + Ejemplo, para el producto: (+10) x (+2 ) = +20 El producto de un + con un + es: + (+10) x (-2 ) = -20 El producto de un + con un - es un - (-10) x (+2 ) = -20 El producto de un - con un + es un - (-10) x (-2 ) = + 20 El producto de un - con un - es un + OPERACIONES COMBINADAS Seguir el orden de prioridad: 1º. Corchete 2º Paréntesis 3º Exponentes. 4º Multiplicaciones y divisiones 5º Sumas y restas Cuando un signo -, antecede a un corchete o a un paréntesis, cambiar los signos de cada uno de sus elementos. Hacerlo de forma progresiva tal como se indica en el paso anterior. Recuerda que en los enteros positivos, no es necesario poner el signo 12

3 Por ejemplo, en la siguiente expresión : - [10 x -( +2-5) + 25] + [ 20 : ( 2 x -2) ] x 4 = Cambiamos de signo a los elemento del CORCHETE. Primero por aplicar un método PASO a PASO, que permita comprenderlo, primero lo haremos con el de la izquierda y luego, con el de la derecha. Recordar que siempre lo hacemos siguiendo el Orden de Prioridad (ver página 8 de los apuntes de matemáticas). Paso 1. Con el Corchete de la Izquierda Viendo que dentro del corchete hay un PARÉNTESIS, cambiamos de signo a los números dentro del PARÉNTESIS, y seguimos. - [10 x ( ) + 25] + [ 20 : ( 2 x -2)] x 4 = - [10 x(+ 3 ) + 25] + [ 20 : ( 2 x -2)] x 4 = Resolvemos las MULTIPLICACIONES (y divisiones si las hubiera). -[ ] + [ 20 : ( 2 x -2)] x 4 = Ahora, por el Orden de Prioridad, nos corresponde finalmente, resolver las Sumas y Restas. - [+ 55] + [ 20 : ( 2 x -2)] x 4 = Cambiamos el signo al número dentro del CORCHETE de la izquierda, y seguimos [ 20 : ( 2 x -2)] x 4 = Paso 2. Con el Corchete de la Derecha (cuando hay más pericia, ambos corchetes se resuelven SIMULTANEAMENTE) Viendo que dentro del corchete hay un paréntesis, resolvemos primero, el PARÉNTESIS, y seguimos [ 20 : ( 2 x -2) ] x 4 = [ 20 : (-4) ] x 4 = Resolvemos las MULTIPLICACIONES (y divisiones si las hubiera) [ -5 ] x 4 = = Ahora, por el Orden de Prioridad, nos corresponde finalmente, resolver las Sumas y Restas. (-55) + (-20) =

4 DIVISIBILIDAD de LOS NUMEROS NATURALES DEFINICIONES PREVIAS Los criterios que permiten establecer si un número es divisible por otro, son los siguientes: 2 El número termina en cero o en cifra par. 3 La suma de sus cifras es un múltiplo de 3 Por ejemplo, El número: 822 = = 12 Es divisible por 3, porque 12 es múltiplo de 3 4 El número formado por sus DOS últimas cifras es un múltiplo de 4 Por ejemplo, El número: = 88 Es divisible por 4, porque 88 es múltiplo de 4 5 La cifra de las unidades es cero ó 5 6 El número es divisible por 2 y por 3 simultáneamente (ver los criterios anteriores) 7 En números de 3 cifras: Si al número formado por la decena y centenas se le resta: [el número de las unidades multiplicada por 2], el resultado es un múltiplo de 7. Por ejemplo, El número: 294 = [ (29) (2x4) ] = 21 Es divisible por 7, porque 21 es múltiplo de 7 En números de más de 3 cifras: Paso 1. Formar dos número: el primero, truncar el número separándolo de la posición de las Unidades. Paso 2. El segundo número es el valor de las UNIDADES multiplicado por 2. Paso 3. Restar el segundo número formado al primero. Paso 4. Con el nuevo número aplicar los pasos del 1 al 3. Hasta verificar que el resultado es CERO o un múltiplo de 7. Por ejemplo: Paso 1: Paso 2: 8 x 2 = 16 Paso 3: = Repetimos pasos 1 al 3 hasta verificar que el resultado es múltiplo de 7 Paso 1: 638 Paso 1: 63 Paso 2: 4 x 2 = 8 Paso 2: 0 x 2 = 0 Paso 3: = 630 Paso 3: 63 0 = 63 8 Si el número de la CENTENAS es PAR o CERO Es divisible por 7, porque 63 es múltiplo de 7 Y, los 2 últimos dígitos (Decena y Unidades) son CERO, entonces es múltiplo de 8. Por ej ; 8.400; 7.600; ; 8.000; Cuando, los 2 últimos dígitos (Decena y Unidades) son DISTINTOS DE CERO, se toman los 2 últimos dígitos (Decena y Unidades) y se DIVIDE entre 8, verificando si esa cantidad es múltiplo de 8. Si el número de la CENTENAS es IMPAR Paso 1. Le sumamos 4 al número. Paso 2. Se toman los 2 últimos dígitos (Decena y Unidades) y se DIVIDE entre 8, verificando si esa cantidad es múltiplo de 8. Por ejemplo, con el número: Paso 1: = Paso 2: 24 : 8 = 3 Es divisible por 8, porque 24 es múltiplo de 8 9 La suma de sus cifras es múltiplo de 9 Por ejemplo, El número: = = 18 Es divisible por 8, porque 18 es múltiplo de 9 10 La cifra de las unidades es cero. 11 En números de 2 CIFRAS: Se cumple cuando las dos cifras son iguales Por ejemplo: 22, 33, 44, 55, En números de MÁS de 2 CIFRAS: Paso 1. Separar el número en dígitos. Paso 2. Asignar alternativamente, los dígitos los signos + y. Empezar siempre de izquierda a derecha y con el signo +. Paso 2. Realiza la suma algebraica. Paso 3. Con el resultado final, verificar si el resultado es cero o múltiplo de 11, entonces el número es divisible por 11. Por ejemplo: El número Paso 1, 2 y = 11 Es divisible por 11, porque 11 es múltiplo de El número es divisible por 3 y por 4 simultáneamente (ver los criterios anteriores) 14

5 TAREA Marca con una X la divisibilidad de los números Número Divisible por: Resuelve: I Problema Resultado a) [70 ( 14-7 ) x 4 2 ] 5 + ( 4 x 2) = b) [35 + ( ) x 2 3 ] + 5 [20 (8-4 ) x 5 2 ] ( 9 x 3) c) + 8 [15 (3-5 ) x 1 2 ] ( 12 x 2) + [35 + ( )] d) ( 7 x 3) + [45 x ( ) x 2 3 ] x 2 3. Cuántas unidades de millar son 232 centenas de millar? 4. Un autobús tiene que llevar desde Murcia a Sevilla 392 personas. Si en cada viaje lleva 28, cuántos kilómetros recorrerá entre idas y vueltas si la distancia entre ambas capitales es de 534 kilómetros? 15

6 5. Sabiendo que el sonido recorre m. por segundo, a la temperatura de 0 C., aumentando aproximadamente en 0,60 m. por grado de aumento. A qué distancia ha hecho explosión un barreno si tarda 8 segundos en oírse la detonación y la temperatura ambiente es de 10 C.? 6. Si por 6 plantas se han pagado 102 euros, cuánto costarán 28 hileras de plantas si cada una tiene 25? 7. Si un coche vale euros y tengo esculturas iguales a la venta, que tienen un coste unitario de producción de 350 y un coste total de venta, de 500. Qué cantidad de esculturas debo vender para adquirir una flota de 5 coches? 8. Indica si es verdadero o falso I Afirmación V F a) Todos los múltiplos de 3 y 2, lo son también de 6 b) La suma de los múltiplos de un número da otro múltiplo de ese número c) Todos los múltiplos de 3, lo son también de 5 d) Todos los múltiplos de cuatro, lo son también de dos e) Todos los múltiplos de 5, lo son también de 2 9. Tenemos 8 vacas que dan 14 litros de leche, cada una por día. De cada 7 litros se obtiene una libra de manteca. En 7 días, cuántas libras de manteca fabricaremos? 10. Un tractor lleva 25 sacos de 50 kilos cada uno, 10 sacos de 150 kilos cada uno y 2 sacos de 75 kilos cada uno. Cuántos kilos lleva en total? 11. Un agricultor pudo vender 900 kilos de peras a 2 euros el kilo. Rechazó la oferta, y después de habérsele podrido 150 kilos vendió las restantes a 3 euros el kilo. Averiguar la ganancia o pérdida comparando con el precio a que pudo realizar si no hubiese rechazado la primera oferta. 13. Pretendemos vender 50 pelotas por 15 euros, cada una, y con ese dinero recaudado de la compra total, comprar igual número de redes y arcos, para practicar, en el club, dos deportes adicionales. Qué cantidad de redes y arcos podemos comprar?, sabiendo que las redes valen el doble que los arcos. 14. Compramos, para el comedor del colegio: 6 melones de 2 kilos por 5 euros la unidad; 2 melones de 3 kilos por 4 euros la unidad; y, 5 melones de 3 kilos por 3 euros la unidad. Cuánto hemos pagado por ellos?; y cuál fue el precio promedio por kilo? 16