ALGEBRA Y GEOMET RÍA ANALIT ICA. I ng. Met. CARLOS GONZALVO Profesor Asociado. Avda 60 esq124 T el / Fax (0221) /

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1 ALGEBRA Y GEOMET RÍA ANALIT ICA I ng. Met. CARLOS GONZALVO Profesor Asociado Avda 60 esq124 T el / Fax (0221) /

2 CARRERA INGENIERIAS: MECANICA,ELECTRICA, CIVIL, SISTEMAS, QUÍMICA E INDUSTRIAL DI S EÑO CURRICULAR: 1995 ORDENANZ A C.S UPERI OR I NGENI ERI A MECANI CA Nº 741 I NGENI ERI A ELECT RI CA Nº 765 I NGENI ERI A QUI MI CA Nº 768 I NGENI ERI A CI VI L Nº 769 I NGENI ERI A EN S I S T EMAS DE INFORMACIÓN Nº 764 I NGENI ERI A I NDUS T RI AL Nº 754 DEPART AMENT O: CIENCIAS BÁSICAS De la CURRI CULA ANUAL AS I GNAT U R A AL GE B R A Y GEOMET RI A ANAL I T I CA P R OGR AMA S I NT ÉT I CO - Números Complejos. - Combinatoria. - Algebra Vector ial - Espacios vectoriales. Subespacios - Recta y Plano - Matrices y determinantes - S istemas de ecuaciones lineales - T ransformaciones lineales - Cónicas - S uperficies - NI VEL.: PRIMER AÑO. T OT AL DE HORAS..160 HORAS.S EMANALES..5 OB S E R VACI ONE S OB JE T I VOS DE LA AS I GNAT U R A - Formar al estudiante en el Algebra lineal básica que es utilizado en las aplicaciones - Capacitarlo en el uso de paquetes computacionales especializados para realizar las operaciones algebraicas involucradas. - Motivar al alumno para que utilice estos conocimientos, excluyendo toda presentación meramente axiomática. - Conocer y aplicar los elementos básicos de la geometría. - Aplicar los recursos de la computación gráfica VI GENCI A Des de 1995 a la fecha

3 E QU I P O DOCE NT E DI RECT OR DE CÁTEDRA: Prof T itular I NG. CARLOS E. FANTINI NÚMERO DE DIVISIONES: 15 PROFES OR A CARGO DE CADA DI VI S I ÓN MECANICA 18 : Prof. Asociado Ing. Gonzalvo Carlos ELECTRICA 27: Prof Titular Ing. Gonzalvo Carlos QUIMICA 01 : Prof Asociado Ing. Gonzalvo Carlos CIVIL 08 : Prof. Titular Ing. López Carlos INDUSTRIAL 66: Prof. Adjunto Ing. Dominguez Ruben INDUSTRIAL 67: Prof. Adjunto Prof. Massuco Ricardo SISTEMAS 47 : Prof. Adjunto Ing. Dapino Roberto SISTEMAS 48: Prof. Adjunto Ing. Dapino Roberto SISTEMAS 49 : Prof Titular Ing. Gonzalvo Carlos SISTEMAS 50: Prof. Adjunto Ing. López Carlos SISTEMAS 51: Prof. Adjunto Prof. Massuco Ricardo SISTEMAS 52 : Prof Titular Ing. López Carlos SISTEMAS 61: Prof Asociado Ing. Gonzalvo Carlos SISTEMAS 62: Prof. Adjunto Ing. López Carlos SISTEMAS 72: Prof. Adjunto Ing. Dominguez Ruben AR T I CU L ACI ÓN CON OT RAS ASIGNATURAS AS I GNAT URAS O CONOCI MI ENT OS CON QUE SE VINCULA En articulación horizontal con FI S I CA I, excepto en S istemas que lo hace con FI S I CA del 2do. nivel CORRELATIVAS PARA CURS AR CURS ADAS...APROBADAS... CORRELATIVAS PARA RENDI R EXAMEN FI NAL APROBADAS

4 P R OGR AMA ANAL Í T I CO B I B L I OGR AF Í A GENER AL RECOMENDADA ALGEBRA I Y I I Armando Roj o- Edit. El Ateneo 1996 ALGEBRA Y GEOMET RI A ANALI T I CA Héctor Di Caro Reverté 1994 COMP L E ME NT AR I A ALGEBRA Y CALCULO NUMERI CO: Sagastume Ber r a, G. Fernández- Kapelusz ELEMENT OS DE GEOMETRIA ANALI T I CA P. Smith, A. Gale Kigar EL CALCULO CON GEOMET RI A ANALI T I CA Louis Leithold Harla COMP L E ME NT AR I A S in existencia en Biblioteca ALGEBRA MODERNA. Lentín Rivaud GEOMET RI A ANALI T I CA Donato Di Pietro. GEOMET RI A ANALI T I CA Ch. H. Lehmann

5 DE S AR R OL L O U NI DAD TEMÁTICA Nº 1 NUMEROS COMPLEJOS La r epr es entación cartesiana en el espacio bidimens ional. Par ordenado. Definición de número complej o. La unidad imaginaria. Sus potencias y propiedades. Forma binómica de un complejo. Los números reales como complej os. Operaciones algebraicas. Complejo conj ugado. Representación cartesiana y vectorial. Operaciones. S istemas de r epr es entación polar. Forma polar de los complejos: producto, potencia y cociente. Fórmula de De Moivr e. Raíz n-sima de un complejo. Raíces primitivas de la unidad. Forma ex ponencial : operaciones. Aplicaciones. T I EMPO AS I GNADO: 10 HS OBJET I VOS DE LA UT : Nº1 Ampliar el concepto de númer o y posibilitar el entendimiento de las resoluciones de ecuaciones de or den superior como as í también acostumbrar al estudiante en el uso de la for ma ex ponencial que s e utilizará en las aplicaciones en las areas técnicas posteriores. MAT ERI ALES CURRICULARES: T extos de la B ibliogr afía Gener al U NI DAD TEMÁTICA Nº 2 COMBINATORIA Funciones, clasificación de funciones. Función factorial. El número combinator io. Variaciones, Combinaciones y Permutaciones Simples. Variaciones, Combinaciones con repetición. Permutaciones con elementos no difer enciables. El binomio de Newton para el desarrollo de potencia de un binomio. Fórmula de Leibniz para el desarrollo de potencia de un polinomio. T I EMPO AS I GNADO: 15 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 2 I ntroducir al alumno en el concepto de Var iaciones como función a los efectos de simplificar el entendimiento de los problemas de aplicación. Dar herramientas que s e utilizarán en el estudio pos ter ior de Deter minantes, etc. MAT ERI ALES CURRICULARES: T extos de la B ibliografía General U NI DAD TEMÁTICA Nº 3 ALGEBRA VECT OR I AL

6 Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores fijos, deslizantes y libres. Equipolencia. I gualdad de vector es. Operaciones: suma, propiedades. Diferencia. Producto de un vector por un escalar; propiedades. Expresión de un vector en coordenadas cartesianas, en el plano y en el espacio tridimens ional. Módulo. Angulos y cosenos directores. Noción de ver s or. Producto es calar entre dos vectores: definiciones y propiedades. Angulo entr e dos vectores. Condiciones de par alelismo y de perpendicularidad. Producto vector ial: definición y propiedades. Interpretación geométrica del módulo del producto vector ial. Producto mixto: definición y propiedades. Interpretación geométrica. Condición de coplanar idad entre tr es vectores. T I EMPO AS I GNADO: 15 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 3 I ntroducir al alumno en la neces idad de us o de difer entes tipos de magnitudes usadas en la técnica. Facilitar a la as ignatur a Fís ica I de las especialidades el álgebra de las magnitudes vectoriales. MAT ERI ALES CURRICULARES: U NI DAD TEMÁTICA Nº 4 RECTA Y PLANO La r ecta en el plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación de la r ecta a partir de la for ma vector ial. Angulos, números y cosenos directores. Angulo entr e rectas. Condiciones de par alelis mo y de per pendicular idad. Distancia de punto a recta. El plano: su determinación. Distintas formas de la ecuación del plano a par tir de la ecuación vectorial: forma gener al o implícita, forma s egmentar ia, forma nor mal. Distancia de un punto a plano. Posiciones relativas de un plano r es pecto del origen de coordenadas, de los ejes y de los planos coordenados. Angulo entre dos planos. Condiciones de par alelismo y de per pendicular idad entr e planos. La r ecta en el espacio tr idimens ional: distintas formas de s u ecuación a par tir de la ecuación vectorial; ecuaciones paramétricas, ecuaciones cartesianas simétricas. Recta por dos puntos, casos particulares. La r ecta dada como inter s ección de planos : obtención de las ecuaciones cartesianas simétricas. Planos proyectantes de una r ecta. Angulo entre r ectas ; condiciones de par alelis mo y de per pendicular idad. Distancia entre punto y recta. Angulo entre r ecta y plano; condiciones de par alelismo y de perpendicularidad. Intersección entre r ecta y plano. Posiciones relativas entre r ectas del espacio: análisis de las distintas posibilidades; obtención de la inter s ección. Distancia: entre r ectas alabeadas. Distancia de punto a recta.

7 T I EMPO AS I GNADO: 15 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 4 S iendo la r ecta y el plano ecuaciones lineales en dos y tres variables, son de amplísima utiliz ación en I ngeniería. Por lo que los problemas que s e ex plicar án en las clases deben estar enfocados al uso de es te tipo de inter pr etación y por ende s e requiere poder conformar las ecuaciones a par tir de los datos de la r ealidad. MAT ERI ALES CURRICULARES U NI DAD TEMÁTICA Nº 5 ESPACIOS VECTORIALES Leyes de compos ición I nterna y externa. Propiedades. Definición de es pacio vector ial. Combinaciones lineales. Dependencia e independencia lineal. Base y dimensión de un espacio vector ial. Cambio de bas e. Proceso de or tonor malización de bas es. T I EMPO AS I GNADO: 15 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 5 Llevar al alumno a inter pr etar por abstracción más allá de la dimens ión tres y dar las herramientas necesarias para entender los espacios soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales. MAT ERI ALES CURRICULARES U NI DAD TEMÁTICA Nº 6 MATRICES Y DETERMINANTES Matrices: definición. Criterio de I gualdad. Adición de matrices : propiedades. Producto de una matr iz por un escalar: propiedades. Matrices particulares: diagonal, escalar, identidad, traspuesta, simétrica, antismétrica, hermítica. Producto de matr ices. Definición de matr iz inversa. Producto. Rango de un conjunto de vector es. Rango fila y rango columna. Rango o car acter ís tica de una matr iz. Determinantes: definición. Menor complementario. Adjunto o cofactor. Desarrollo de un determinante por los elementos de una línea. Propiedades de los determinantes. Cálculo de un determinante mediante la r educción de s u orden. Método pivotal o de Chío. Matriz de los adjuntos o matr iz cofactor. Obtención de la matr iz inversa utilizando la matriz de los adjuntos. Transformaciones elementales en una matr iz. Justificación de la invar iancia del rango en las transformaciones elementales. Obtención del rango utilizando tr ans for maciones elementales. Matrices elementales. Su equivalencia con

8 las transformaciones elementales. Obtención de la matr iz inversa mediante transformaciones elementales. Justificación del método. Aplicación: Método de Gauss Jordan. T I EMPO AS I GNADO: 20 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 6 Esta unidad temática es la bas e par a compr ender la r es olución de los sistemas de ecuaciones lineales y el entendimiento del uso de los Software es pecíficos de resolución de s is temas de ecuaciones lineales. MAT ERI ALES CURRICULARES PC con soft de cálculo s imbólico UNIDAD TEMÁTICA Nº 7 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CONTENIDOS Notación matricial de un sistema de ecuaciones lineales. Obtención de la s olución por inversión de matr ices. Teorema o Regla de Cr amer. Método de eliminación de Gauss. Método de Gauss Jordan. Sistemas Lineales de or den cualquiera. Análisis de compatibilidad. Teorema de Rouché Fr obenius. Su demostración. Sistemas lineales homogeneos. Tipos de compatibilidad. Resolución aproximada de s istemas incompatibles. Cuadrados mínimos. La matr iz pseudoinversa. TIEMPO ASIGNADO: 15 HS OBJETIVOS DE LA UT Nº 7 Esta unidad temática es tá des tinada al aprendizaje de la r es olución de s is temas de ecuaciones lineales por medio de habilidades en sistemas de has ta 3 por 3 y pasar luego a utilizar software es pecializado par a la r es olución de gr ado s uper ior y para aquellos sistemas que en la r ealidad deben tener solución aunque por los errores naturales de las mediciones no cier r an exactamente par a r es olver los como compatibles. MATERIALES CURRICULARES PC con soft de cálculo s imbólico U NI DAD TEMÁTICA Nº 8 TRANSFORMACIONES LINEALES T ransformaciones Lineales. Definición. Propiedades. Núcleo e imagen de una transformación lineal. Composición de transformaciones lineales. Matriz asociada a una tr ans for mación lineal. Influencia de un cambio de bas e en la matriz que

9 representa una tr ans for mación lineal. Autovalores y autovectores. Diagonalización de una matr iz. T I EMPO AS I GNADO: 10 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 8 Esta unidad temática es tá des tinada a inter pr etar y trabajar algebraicamente las transformaciones que s e r ealizarán en las figuras del plano del espacio en geometría analítica al realizarse las traslaciones y las rotaciones. MAT ERI ALES CURRICULARES PC con soft de cálculo s imbólico U NI DAD TEMÁTICA Nº 9 LAS CONICAS Definición general de las cónicas. Expresiones canónicas de la cir cunfer encia, la elips e la hipér bola y la par ábola; elementos y construcciones. Recta tangente a una cónica. Ecuaciones paramétricas. Traslación y rotación de ej es en el plano. Matriz de rotación. Las cónicas con centro o vér tice des plazado. Elementos de las mismas. Ecuación general de las cónicas desplazadas: obtención a par tir de la mis ma de las ecuaciones canónicas. La ecuación general de s egundo gr ado en dos variables. Existencia y justificación conceptual del término r ectangular. Aplicaciones del proceso de diagonalización: identificación de una cónica. T I EMPO AS I GNADO: 20 HS OBJET I VOS DE LA UT Nº 9 El objetivo de es ta unidad temática es el conocimiento gener al de las cónicas y su reconocimiento a tr avés de la ecuación general de 2do. Grado en 2 variables mediante el uso de s oftwar e es pecífico. MAT ERI ALES CURRI CULARES PC con soft de cálculo s imbólico U NI DAD TEMÁTICA Nº 10 SUPERFICIES S istemas de coor denadas cilíndricas y esféricas. Superficie. Definición. Análisis y discusión de la ecuación general de s egundo gr ado en tres varibles. Conceptualización del problema de obtención de las formas canónicas a par tir de la ecuación general. Cilindros y Conos. Ecuaciones de líneas en el espacio tridimens ional. Superficies de

10 revolución. La es fer a, el elipsoide, los hiperboloides de una y dos hojas, los paraboloides elíptico e hiper bólico: su generación, Identificación de ecuaciones en distintos espacios. T I EMPO AS I GNADO: 15 HS OBJET I VOS DE LA UT El objetivo de es ta unidad temática es el de poder interpretar el tipo de s uper ficie de que puede tratar s e una ecuación general de 2do gr ado en tres variables como asimismo s u canonización mediante el uso de s oftwar e es pecífico. MAT ERI ALES CURRICULARES PC con soft de cálculo s imbólico TOTAL DE HORAS PROGRAMADAS : 150 TOTAL DE HORAS DE EVALUACIÓN: 10 TOTAL DE HORAS CURRICULARES : 160

11 P L ANI F I CACI ÓN DE CÁTEDRA CR ONOGR AMA U NI DAD Y /O T E MA ACT I VI DADE S T I E MP O SEMANAS U.T.Nº 1 ESTUDIO DIRIGIDO 2 U.T.Nº 2 U.T.Nº 3 CLASE EXPOSITIVA Y CON PARTICI PACIÓN DEL ALUMNO 3 CLASE EXPOSITIVA Y CON PARTICI PACIÓN DEL ALUMNO 3 U.T.Nº 4 DESARROLLO DE LA CLASE CON LA PARTICIPACION ACTIVA POR PARTE DEL ALUMNO 3 U.T.Nº 5 U.T.Nº 6 U.T.Nº 7 U.T.Nº 8 U.T.Nº 9 CLASES EXPOSITIVA CON LA PAR TICIPACIÓN DEL ALUMNADO 3 CLASE EXPOSITIVA AL INICIO CON LA PARTICIPACIÓN ACTIVA DEL ALUMNADO EN SU DESARROLLO 4 DESARROLLO INDUCIENDO AL ALUMNO EN SU RESOLUCION 3 CLASES EXPOSITIVAS CON LA INTERVENCIÓN DEL ALUMNADO 2 DESARROLLO INDUCIENDO AL ALUMNO EN SU CONCRECIÓN 4 U.T. Nº 10 CLASE EXPOSITIVA AL INICIO Y CON PARTICIPACIÓN ACTIVA DEL ALUMNADO EN SU CONCRECIÓN 3

12 P L ANI F I CACI ÓN DE CÁTEDRA ME T ODOL OGÍ A DI DÁCT I CA En todas las unidades temáticas se iniciar án con una introducci ón expositiva del Docente a car go y se incitar á a la par ticipación activa del alumnado par a logr ar el desarrollo de los temas y en particular en la r ealización de ej er citaciones prácticas. En cuanto al desarrollo gener al de la mater ia, se inicia con clases teórico-prácticas en aula has ta alcanzar el nivel de la unidad temática de Matr ices Determinantes. En dicho momento s e intr oduce al alumnado en el uso del Software Der ive ins talado en nuestro Gabinete de Computación. Los alumnos pasarán por práctica s uper vis ada durante dos semanas en el Gabinete de Computación, en concordancia con la cantidad de alumnos del curso. Luego, en el desarrollo de las restantes unidades temáticas se dar án las indicaciones para que s u concurrencia s ea por propia voluntad al Gabinete, en especial en la unidad temática que trata el tema de las Cuádricas. E VAL U ACI ÓN CALENDARIO DE EVALUACIONES PARCIALES PRIMER PARCIAL: EN JULIO PRIMER RECUP. EN AGOSTO SEGUNDO RECUP EN OCTUBRE SEGUNDO PARCIAL: EN NOVIEMBRE PRIMER RECUP. EN DICIEMBRE SEGUNDO REC. EN FEBRERO DEL PRÓXIMO AÑO RECUPERATORIO FINAL: EN LA SEMANA ANTERIOR AL ULTIMO TURNO DE FEBRERO MARZO (SOLAMENTE UNO DE LOS PARCIALES) LOS EXAMENES PARCIALES SE TOMARAN EN LOS DIAS Y HORAS DE CLASE QUE LE CORRESPONDA A LA DIVISIÓN.. R E CU R S OS AUXILIARES NECESARIOS T I Z A, PIZARRA Y GABI NET E DE COMPUTACIÓN