2 Potencias y raíces. Presentación de la unidad POTENCIAS Y RAÍCES. Esquema de la unidad

Transcripción

1 Potencias y raíces Presentación de la unidad Las operaciones con potencias y radicales son herramientas matemáticas que tienen su aplicación, fundamentalmente, en cursos superiores. Por ello, el núcleo de estos contenidos se ubica más tarde, en el segundo ciclo de la Educación Secundaria. Sin embargo, conviene que los alumnos vayan iniciando la construcción de algunos conceptos básicos y se vayan acostumbrando a utilizar notaciones, nomenclaturas y procedimientos que, sin estar reñidos con su momento evolutivo, van preparando el camino y facilitarán enormemente el aprendizaje futuro. Así pues, no perderemos de vista la idea de que estamos manejando contenidos a nivel de iniciación, y que por sus características, pueden entrañar gran dificultad para buena parte del alumnado que aún no han madurado plenamente la capacidad de abstracción. Los objetivos de la unidad se centrarán fundamentalmente en los aspectos procedimentales, sin desatender el proceso de construcción de conceptos y la comprensión de propiedades. Los contenidos de la unidad se pueden clasificar en tres apartados: Aspectos teóricos: Concepto de potencia. Concepto de raíz cuadrada. Cálculo escrito y mental: Utilización de las potencias para abreviar la expresión de números y operaciones. Adquisición de técnicas de cálculo con potencias y raíces cuadradas. Cálculo mental. Aproximaciones y estimaciones. Utilización de la calculadora: Conocimiento de técnicas básicas. Estrategias para la investigación de propiedades numéricas. Uso correcto de la máquina. Hábito de prescindir de la calculadora al realizar todas aquellas operaciones que se pueden resolver mentalmente. Esquema de la unidad POTENCIAS Y RAÍCES POTENCIAS RAÍZ CUADRADA que son que se utilizan para que se operan que es EXPRESIONES ABREVIADAS DE PRODUCTOS DE FACTORES IGUALES que dependiendo del número de factores se denominan ESCRIBIR NÚMEROS GRANDES DE FORMA BREVE usando POTENCIA DE UN PRODUCTO POTENCIA DE UN COCIENTE PRODUCTO DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE COCIENTE DE POTENCIAS DE LA MISMA BASE POTENCIA DE UNA POTENCIA LA OPERACIÓN INVERSA DE ELEVAR AL CUADRADO y se puede calcular CUADRADO CUBO POTENCIAS POR TANTEO CON CALCULADORA USANDO EL DE BASE 0 ALGORITMO si son si son DOS FACTORES IGUALES TRES FACTORES IGUALES 0

2 Conocimientos mínimos Se consideran imprescindibles, a este nivel, los siguientes contenidos: Concepto de potencia. Cálculo de potencias sencillas. Cálculo mental de potencias de base diez. Aplicación inmediata de las propiedades de las potencias. Concepto de raíz cuadrada. Cálculo de potencias y de raíces cuadradas con la calculadora. Anticipación de tareas Revisar las operaciones con números naturales y sus propiedades. Revisar las normas de prioridad en las expresiones con paréntesis y operaciones combinadas. Diferenciar los distintos tipos de calculadora. Asegurar las técnicas básicas y el buen uso de la calculadora. Adaptación curricular En la parte de Recursos fotocopiables se ofrece una adaptación curricular de esta unidad del libro del alumnado, para cuya elaboración se han tenido en cuenta los conocimientos mínimos que aquí se proponen. La lectura inicial servirá para ejercitar la comprensión lectora y para mostrar los dos aspectos que justifican el estudio de las matemáticas: el práctico y el intelectual. Los contenidos, si se adaptan a esos mínimos exigibles, o bien no han sufrido cambio alguno o bien se han modificado ligeramente para adecuarlos al posible nivel de los estudiantes a quienes va dirigido. Lo mismo cabe decir de los ejercicios prácticos que se proponen. Si algún contenido supera los mínimos exigibles, o bien se ha suprimido o bien se ha adaptado para ajustarlo a los requisitos exigidos. Finalmente, los ejercicios y problemas con los que finaliza la unidad se han reducido en cantidad y se han modificado o bajado de nivel hasta adaptarse a lo convenido. Lo mismo cabe decir de la autoevaluación. En la siguiente tabla se recoge una relación de actividades para atender y trabajar el aprendizaje cooperativo, el pensamiento comprensivo, el pensamiento crítico, la interdisciplinariedad, las TIC, el emprendimiento y la resolución de problemas. Unas están propuestas en el libro del alumnado (L.A.), y aquí se hace referencia a ellas indicando la página y la actividad, y otras, como se indica, se sugieren en esta Propuesta Didáctica (P.D.). Una selección de estas sugerencias están marcadas en el libro del alumnado con un icono; aquí se han marcado con (*). APRENDIZAJE COOPERATIVO PENSAMIENTO COMPRENSIVO PENSAMIENTO CRÍTICO Pág. 9. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 30. Ladillo Números y geometría (*) Pág. 3. Actividades y 3 Pág. 3. Piensa y practica (*) Pág. 3. Actividad 7 Pág. 3. Ladillo Reflexiona (*) Pág. 37. Actividad Pág. 3. Actividad sugerida en esta P.D. Pág. 39. Actividad 8 INTERDISCIPLINARIEDAD TIC EMPRENDIMIENTO RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS Pág. 39. Actividad Pág. 38. Actividad (*) Pág.. Actividades 3, 3 y 37 Todos los problemas propuestos en el L.A. están encuadrados en este apartado. Aquí se señalan algunos que tienen especial interés. Pág.. Actividad Lee, reflexiona y deduce Pág. 3. Actividad (*) Pág.. Actividad Infórmate Pág. 0. Actividad Aprende a resolver problemas (*) Pág.. Actividades 3, 3 y 36 Pág. 3. Actividad Entrénate resolviendo problemas (*)

3 Potencias y raíces Las matemáticas siempre fueron una herramienta para resolver problemas cotidianos. Cuánto mide este terreno? Cómo hemos de repartirnos la cosecha? Cómo utilizar las estrellas para orientarnos? Números cuadrados y números cúbicos Los pitagóricos, en sus investigaciones sobre las propiedades de los números, los relacionaron con la geometría. Así hablaban de los números cuadrados y de los números cúbicos. A continuación puedes ver los primeros de unos y de otros: NÚMEROS CUADRADOS 9 6 asta el siglo VI a.c. no aparecen los primeros matemáti- teóricos, estudiosos interesados por la investigación Hcos y el desarrollo de la ciencia, independientemente de su utilidad práctica. Crotona GRECIA A A A 3 A NÚMEROS CÚBICOS B B B 3 B Escribe los tres términos siguientes de cada una de las series anteriores. Calcula A 00 y B 00. res siglos después aparece en escena Arquímedes, na- en la colonia griega de Siracusa, en Sicilia (actual Tcido Italia). Además de gran matemático, fue un extraordinario calculista. Y gracias a esto, ideó un sistema para describir números enormes. Estaba basado en la potencias de base 0, que estudiarás en esta unidad. Siracusa l primer gran teórico de las matemáticas fue Pitágo- Este griego, gran viajero, acabó asentándose en Eras. el sur de Italia, donde fundó una secta místico-científica que rendía culto a la astronomía. Suma de impares Observa y comprueba la siguiente relación pitagórica: Cualquier número cuadrado se puede expresar como suma de unos cuantos de los primeros números impares. S S S 3 S S Según esto, calcula: a) La suma de los siete primeros números impares. S 7 = b) La suma de los diez primeros números impares (S 0 ). Cómo calcularías, de forma rápida y sencilla, la suma de los cien primeros impares? S 00 = Al iniciar la unidad El texto pretende despertar la curiosidad del alumnado hacia la historia de las matemáticas, mostrando que eso que van a aprender ahora ya interesaba a matemáticos y a escuelas de pensamiento hace más de dos mil quinientos años. Tras la lectura se puede inducir una reflexión sobre el mérito de aquellos griegos, interesados en la investigación y el saber, a pesar de disponer de peores herramientas. Por ejemplo, carecían del sistema de numeración decimal. Una muestra de su maestría son las propuestas de la página siguiente, que relacionan los números impares, los cuadrados y los cubos. Una actividad derivada del texto podría consistir en buscar información en Internet o en la biblioteca sobre los personajes mencionados, su obra, sus aportaciones, etc. El alumnado constatará, finalmente, que la ciencia matemática se ha construido a base de un continuo esfuerzo, desde tiempos remotos, y es el resultado de la suma de aportaciones de los distintos personajes, culturas y pueblos que se han sucedido a lo largo de la historia de la humanidad. Teniendo en cuenta que 3 = ; 3 = 3 + ; 3 3 = ; 3 =, expresar otros cubos perfectos como suma de impares. Y como consecuencia de lo anterior: ( + ) = 3 = () + (3 + ) = ( + + 3) = 6 = () + (3 + ) + ( ) = Qué podemos decir de ( )? Todas estas propuestas se prestan al aprendizaje por descubrimiento, entre iguales, realizadas en pequeño grupo. Y son bien aceptadas por el alumnado. Aprendizaje cooperativo Si el profesor o profesora lo considera oportuno, estas actividades pueden realizarse en grupo, estimulando el aprendizaje entre iguales. En un primer momento, los grupos buscarán soluciones, que se contrastarán en una posterior puesta en común, justificando los logros conseguidos, rebatiendo en los desacuerdos y llegando, finalmente, a conclusiones comunes. Cuestiones para detectar ideas previas Las actividades de la página 9, motivadoras por informales y por la belleza de las relaciones que muestran, pueden servir para detectar y activar los conocimientos previos del alumnado. En caso de que resulten de nivel elevado para el grupo, podrán ser retomadas tras el estudio de la unidad. En el mismo contexto se pueden proponer algunos trabajos de investigación como los que se sugieren a continuación: Representar y comprobar que cualquier cuadrado perfecto se puede expresar como suma de una serie de números impares. Soluciones de las actividades A = A 6 = 36 A 7 = 9 B = B 6 = 6 B 7 = 33 A 00 = 0000 B 00 = a) S 7 = 9 b) S 0 = 00 S 00 = 00 = 0000

4 Potencias Concepto de potencia. Números y geometría el cuadrado El cuadrado de es = = ( cuadraditos). el cubo El cubo de es 3 = = ( cubitos). Cómo representarías geométricamente los números 3 y 3 3? Serías capaz de idear una forma de representar también 3? Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto de factores iguales: a a a a a = a En las potencias, el factor repetido se llama base, y el número de veces que se repite, exponente. a b exponente Se lee: a elevado a b. base Ejemplos Expresar cada producto en forma de potencia: a) = 3 Tres elevado a cuatro o tres elevado a la cuarta. b) = Dos elevado a cinco o dos elevado a la quinta. Calcular estas potencias. a) 7 3 = = 33 b) 0 = = Dos potencias especiales: el cuadrado y el cubo Elevar un número a la potencia de exponente es elevar al cuadrado. Por ejemplo: 7 = 7 7 = 9 El cuadrado de 7 es 9. Elevar un número a la potencia de exponente 3 es elevar al cubo. Por ejemplo: 7 3 = = 33 El cubo de 7 es 33. Las potencias en la calculadora Las potencias, excepto en los casos más sencillos, arrojan como resultados números grandes. Por ejemplo: 9 6 = = = = = 3 Estos cálculos resultan rutinarios y molestos, por lo que suelen hacerse con una calculadora. En las calculadoras sencillas, utilizaremos las teclas * e = * * = = = = = { «} En una calculadora científica, utilizaremos la tecla = { «} Nota: Cuando el resultado es muy grande y no cabe en la pantalla, las calculadoras sencillas dan error mientras que las científicas lo dan en formatos como este: 8 [VCWHJCGCDGEKÀÍÏ] que significa que el número decimal de la pantalla hay que multiplicarlo 3 veces por 0 (esto es, desplazar la coma decimal 3 lugares a la derecha). Piensa y practica. Expresa con una potencia. a) 6 6 b) c) 7 7 d) e) f ) g) h) Lee estas potencias y exprésalas como producto: a) 3 b) 7 c) 9 3 d) e) 0 6 f ) 0 3. Completa la tabla en tu cuaderno. POTENCIA BASE EXPONENTE 6 3 a m. Calcula mentalmente y ordena de mayor a menor. a) 3 b) c) 3 d) 0 3 e) 0 f ). Calcula con lápiz y papel. a) 8 b) 3 c) 3 d) 9 e) f ) 8 g) 3 h) 30 i) Obtén estas potencias con ayuda de la calculadora: a) b) 6 3 c) 37 d) 36 3 e) 0 f ) 0 7. Escribe el valor de cada exponente: a) x = 6 b) 3 y = 8 c) 6 z = 36 d) 8 m = e) 0 n = f ) 30 t = Calcula el valor de la base, a, en cada caso: a) a = 6 b) a = c) a 3 = 6 d) a = 0 e) a 3 = 000 f ) a 0 = 0 9. Escribe los cuadrados de los veinte primeros números naturales Practica el concepto de potencia y algunos cálculos sencillos. 0. Calcula expresando el proceso paso a paso. a) b) c) 3 + d) (9 7 ) + e) (6 ) f ) (8 7 ) 0. Verdadero o falso? a) Elevar un número al cubo es igual que multiplicarlo por sí mismo tres veces. b) Elevar a la cuarta es como multiplicar por cuatro. c) El cuadrado de 0 es 0. d) El cubo de 0 es 000. e) Trece a la quinta es igual que cinco elevado a trece.. Álvaro dibuja tres cuadrados, uno de cm de lado, otro de cm de lado y el tercero de 3 cm de lado. Después colorea de rojo los dos primeros y de verde el último. Qué superficie es mayor, la verde o la roja? 3. Recorta en papel cuadriculado dos cuadrados, uno de diez cuadrados de lado y otro de cinco. Hay en el primero el doble de cuadrados que en el segundo? Explica tu respuesta.. Estos edificios tienen el mismo número de ventanas en todas sus caras. Expresa con una potencia de base cinco, y calcula, cuántas hay en total.. Expresa con potencias el número de cubos unitarios que hay en cada construcción poli-cubo: C A B D 30 3 Aunque los estudiantes conocen la notación relativa a las potencias, el concepto está aún en formación, detectándose frecuentes errores. No está de más, por tanto, iniciar la unidad insistiendo en el significado y el cálculo de potencias. La repetición de ejercicios y el contraste con otras operaciones irá fijando el significado de esta notación e incorporándola al lenguaje matemático que manejan los estudiantes. También resulta interesante la obtención de potencias con la calculadora de cuatro operaciones, como se muestra en el segundo apartado del epígrafe. Conviene explicar que el procedimiento es una aplicación del factor constante. Es decir, cuando se introduce un número seguido de dos pulsaciones de la tecla de multiplicar, la calculadora queda programada para calcular el producto de dicho número por la cantidad que se introduzca en pantalla. Así, si nos limitamos a pulsar repetidamente la tecla =, iremos obteniendo las sucesivas potencias de la primera entrada. Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: Del cuaderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios, y 3 de la pág.. Ampliación: Ejercicio 8 de la pág.. Soluciones de Piensa y practica a) 6 b) 6 3 c) 7 d) e) 0 3 f ) g) 3 6 h) 0 a) b) c) d) e) f ) potencia base exponente a a m m a) 8 b) c) 6 d) e) f ) > > > 6 > > 8 a) 6 b) 3 c) 78 d) 6 6 e) f ) 7 g) 78 h) i ) a) 6 0 b) 87 6 c) d) 6 e) f ) a) 6 b) c) d) 3 e) f ) 8 a) b) c) d) 7 e) 0 f ) 9 ; ; 9; 6; ; 36; 9; 6; 8; 00; ; ; 69; 96; ; 6; 89; 3; 36; 00 0 a) 7 b) 8 c) 0 d) 8 e) 6 f ) 0 a) V b) F c) F d) V e) F Las dos son iguales. 3 No, en el primero hay 00 y en el segundo hay. = 6 ventanas 3

5 Potencias de base 0. Aplicaciones 3 Operaciones con potencias Reflexiona Qué es más cómodo de escribir y de interpretar? En un gramo de oxígeno hay átomos. Ya sabes que para multiplicar por 0 basta añadir un cero. Así: 0 = 0 0 = = = = = ceros Una potencia de base 0 es igual a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Expresión abreviada de números grandes Los números terminados en ceros pueden expresarse como producto de un número por una potencia de base 0. Por ejemplo: = = 0 Este recurso facilita la expresión y la comprensión de números muy grandes. Ejemplo Un año luz: km. Observa las transformaciones que hacemos para que esta cantidad sea más fácil de leer, de escribir y de recordar: Redondeamos, dejando dos cifras significativas Descomponemos en producto Expresamos el segundo factor como una potencia de base Un año luz equivale a 9 0 km. No te confundas ( + 3) = = = = 97 ( + 3) + 3 La potencia de una suma (o una resta) NO ES IGUAL a la suma de las potencias de los sumandos. (a + b) n a n + b n (a b) n a n b n Vas a aprender ahora algunas propiedades que facilitan el cálculo con potencias. Por eso, es conveniente que las entiendas, las memorices y ensayes su aplicación en diferentes situaciones. Potencia de un producto (Producto de potencias con el mismo exponente) Compara las dos expresiones siguientes y observa que en ambas se obtiene el mismo resultado. ( 3) 3 = 6 3 = = = ( ) (3 3 3) = 8 7 = 6 O también: = ( ) (3 3 3) = ( 3) ( 3) ( 3) = ( 3) 3 La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. (a b) n = a n b n Potencia de un cociente (Cociente de potencias con el mismo exponente) Observa otras dos expresiones que también tienen el mismo valor. (6 : 3) 3 = 3 = = : 3 3 = (6 6 6) : (3 3 3) = 6 : 7 = 8 O también: 6 3 : 3 3 = (6 6 6) : (3 3 3) = (6 : 3) (6 : 3) (6 : 3) = (6 : 3) cifras En un gramo de oxígeno hay 38 0 átomos. Descomposición polinómica de un número La descomposición de un número según el valor posicional de sus cifras, y lo que has aprendido sobre las potencias de base 0, permiten la transformación que muestra el ejemplo siguiente. Es la descomposición polinómica del número. La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. (a : b) n = a n : b n Practica la aproximación de números grandes utilizando potencias de base = Piensa y practica. Escribe como potencias de base 0. a) Un millar. b) Un millón. c) Mil millones. d) Un billón.. Expresa con todas sus cifras. a) 0 b) 0 9 c) Escribe el valor de x en cada caso: a) x b) x c) x Realiza la descomposición polinómica de los siguientes números: a) 7 38 b) c) 8 96 d) Escribe en notación abreviada los datos que siguen: a) El número de moléculas elementales en un litro de agua es b) Las estrellas Alfa Centauri están a unos cuarenta billones de kilómetros del Sol. Ejercicios resueltos. Calcular, por el camino más sencillo, Buscar la forma más sencilla para calcular 3 : 3. Antes de operar sin más, observamos que es un producto de potencias con el mismo exponente. Aplicamos la primera propiedad: 6 6 = ( ) 6 = 0 6 = Vemos que es un cociente de potencias con el mismo exponente. Ahorramos operaciones si aplicamos la segunda propiedad: 3 : 3 = ( : ) 3 = 3 3 = 7 3. Calcular (6 ) :. Aplicamos la primera propiedad dentro del paréntesis: 6 = (6 ) = 30 A continuación, la segunda propiedad: 30 : = (30 : ) = Y lo presentamos todo, en conjunto, así: (6 ) : = (6 ) : = 30 : = (30 : ) = = = El cálculo de las sucesivas potencias de base diez permitirá al alumnado la elaboración de mecanismos de cálculo mental y cálculo rápido. El epígrafe muestra algunas aplicaciones de las potencias de base diez. Destacamos la expresión aproximada de números de gran tamaño. Esta forma de presentar los números permite manejar grandes cantidades, compararlas por su rango, realizar estimaciones de operaciones, etc. Refuerzo y Ampliación Del cuaderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicio de la pág.. Ejercicio 7 de la pág.. Pensamiento crítico Escribir números de dos o tres cifras seguidas de muchos ceros. Y, después, la expresión de esa cantidad como un producto por una potencia de base diez. Con las dos notaciones a la vista, propondremos: Qué forma es más cómoda?, Qué forma permite apreciar mejor el tamaño del número? Cuál es más manejable para hacer comparaciones? Soluciones de Piensa y practica a) 0 3 b) 0 6 c) 0 9 d) 0 a) b) c) a) b) 8 c) a) b) c) d) a) 33 0 b) 0 0 Para la implantación de las propiedades de las potencias, a estas edades, suelen ser más eficaces los métodos experimentales e intuitivos (repetición de actividades y comprobación práctica) que los deductivos (demostración teórica). Si las características del grupo lo permiten, puede ser enriquecedor recurrir al método del descubrimiento mediante la resolución de propuestas secuenciadas, elaboradas por el profesorado y realizadas individualmente o en pequeño grupo. El alumnado abordará sucesivos ejercicios similares, de pequeña o moderada dificultad, hasta que la propiedad surja de forma espontánea. Por ejemplo: Calcular y comparar el valor de las expresiones y ( 3) 3. La repetición de actividades similares hará aflorar la propiedad. Finalmente, en la elaboración de conclusiones se trabajará la formalización y la expresión generalizada de la propiedad. Encontrar la forma más breve y cómoda de calcular. Tras varios ejercicios de este tipo, y la observación de los resultados, algún alumno o alumna propondrá un camino más directo: = ( ) = 0 Esta dinámica se enriquece con el trabajo en pequeño grupo, lo que favorece el aprendizaje entre iguales. Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: Del cuaderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios y 6 de la pág. 7.

6 Practica el producto de potencias de la misma base. Practica el cociente de potencias de la misma base. Practica la potencia de otra potencia. Practica las operaciones con potencias. Ejercicios resueltos. Calcular, con la ayuda de las propiedades: (8 3 ) : (8 3 8 ). Reducir a una sola potencia. (a a) : (a 6 : a 3 ) 3 Producto de potencias de la misma base Al multiplicar dos potencias del mismo número, se obtiene otra potencia de dicho número. 3 = ( ) ( ) = 7 3 = + 3 = 7 veces 3 veces Observa que el exponente del producto final es la suma de los exponentes de los factores. Para multiplicar dos potencias de la misma base, se deja la base y se suman los exponentes. a m a n = a m + n Cociente de potencias de la misma base Recordando las relaciones entre la multiplicación y la división, tenemos que: 3 = 7 7 : 3 = 7 : 3 = 7 3 = 7 : = 3 7 : = 7 = 3 Observa que el exponente de cada cociente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor. Para dividir dos potencias de la misma base, se deja la base y se restan los exponentes. a m : a n = a m n Potencia de otra potencia Al elevar una potencia a otra potencia, se obtiene una nueva potencia de la misma base. ( ) 3 = = + + = 3 = Observa que el exponente final es el producto de los exponentes de la expresión inicial. Para elevar una potencia a otra potencia, se deja la misma base y se multiplican los exponentes. (a n ) m = a n m En el primer paréntesis aplicamos la potencia de otra potencia: (8 3 ) = 8 3 = 8 6 Y en el segundo, el producto de potencias de la misma base: = = 8 Y terminamos restando exponentes para dividir dos potencias de la misma base: (8 3 ) : (8 3 8 ) = 8 6 : 8 = 8 6 = 8 = 8 Reducimos los paréntesis, aplicando el producto y el cociente de potencias de la misma base: (a + ) : (a 6 3 ) 3 = (a 3 ) : (a 3 ) 3 Avanzamos aplicando la potencia de otra potencia: a 3 : a 3 3 = a : a 9 Y terminamos con el cociente de potencias de la misma base: a 9 = a 3 Resumiendo: (a a) : (a 6 : a 3 ) 3 = (a 3 ) : (a 3 ) 3 = a : a 9 = a 9 = a 3 Potencia de exponente cero Observa lo que ocurre cuando dividimos una potencia cualquiera, por ejemplo 3, entre sí misma: Aplicando la propiedad del cociente 3 : 3 = 3 3 = 0 0 = Aplicando el cálculo habitual 3 : 3 = : = Así, a 0 le asignamos el valor. La potencia cero de un número (distinto de cero) es igual a uno. Por ejemplo: Piensa y practica. Completa en tu cuaderno, como en el ejemplo. ( 3) = = " ( 3) = 3 3 = 6 9 = a) ( 3 ) = 3 = b) ( ) 3 = 3 3 = c) ( : 3) = : 3 = d) ( 0: ) 3 = 03: 3 =. Reflexiona y calcula de la forma más sencilla. a) 3 3 b) c) d) e) 6 : 8 f) 8 3 : 6 3 g) : 7 h) 3 : i) 00 3 : Calcula. a) ( 3 ) : 6 b) (6 3 ) : 9 c) (80 3 : 8 3 ) : 3 d) (8 : ) : 6 e) (8 ) : (6 8 ) f ) (3 3 3 ) : (0 3 : 3 ). Calcula y observa que los resultados no coinciden. a) (6 + ) b) ( + ) Copia en tu cuaderno y sustituye cada casilla por el signo = o, según corresponda: a) ( + ) b) ( + ) 3 3 c) (6 ) 6 d) 7 3 (0 3) 3 e) 0 f) 0 g) ( : 3) : 3 h) 7 : 3 0 = 8 0 = 0 0 = 3 0 = Practica las operaciones con potencias. 6. Reduce a una sola potencia. a) b) 3 3 c) 0 0 d) a a e) m 7 m f ) x x 6 a 0 = (a 0) 7. Expresa con una única potencia. a) 6 : b) 3 8 : 3 c) 0 7 : 0 6 d) a 0 : a 6 e) m : m f) x 8 : x 8. Reduce a una única potencia. a) ( ) 3 b) ( ) c) (0 3 ) 3 d) (a ) 3 e) (m ) 6 f ) (x ) 9. Reduce. a) x x x 3 b) m m m c) (k 9 : k ) : k 3 d) (x : x 3 ) : x e) m 6 : (m 8 : m ) f ) (k k ) : k 6 g) (x ) : x 7 h) m 0 : (m 3 ) 3 i) (k ) 6 : (k 3 ) j) (x : x 3 ) 0. Resuelve estas expresiones con operaciones combinadas: a) b) 3 8 : 3 6 c) 0 + ( ) 3 : ( 3 ) d) (0 : ) ( ) e) [(8 ) (9 6) 3 ] : 3 f ) [(7 ) 3 (9 ) ] 3 3 Siguiendo en la línea de la página anterior, se sugiere proponer, para cada caso, actividades como la siguiente: = (3 3 3) ( ) = = 3 8 Intencionadamente, en estos ejemplos se están siguiendo caminos largos y tediosos que inmediatamente harán surgir ideas de mejora y propuestas de simplificación: eso es lo que pretendemos. Una vez descubiertos esos caminos más cortos, comprobados y asegurados, guiaremos su formalización. Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: Del cuaderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios, y 3 de la pág.6. Ampliación: Ejercicios, 7 y 8 de la pág. 7. Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejercicios 7 y 8. Ampliación: Ejercicios 3, y. Aprendizaje cooperativo Se sugiere la siguiente actividad: El grupo clase se divide en dos equipos. En cada equipo, cada estudiante toma dos tarjetas en blanco: en una escribe una operación con potencias, y en la otra, su solución; y la muestra al resto del equipo para que evalúe si es correcta. Una vez aceptadas todas las parejas de tarjetas, se mezclan y se entregan al equipo contrario. Cada equipo deberá emparejar las tarjetas del lote recibido. El equipo que antes acabe será el ganador. Soluciones de Piensa y practica a) (3 ) = = b) ( ) 3 = 8 3 = 3 = 9 = 3 3 = 6 8 = c) ( : 3) = = 6 d) (0 : ) 3 = 3 = : 3 = : 9 = : 3 = 8000 : 6 = a) 000 b) 00 c) 0000 d) e) 3 f ) 7 g) 8 h) 9 i ) 8 3 a) b) 6 c) 8 d) 6 e) f ) 7 a) (6 + ) = 0 = 00; 6 + = = b) ( + ) 3 = 7 3 = 33; = + 8 = 33 a) b) = c) d) = e) = f ) g) = h) 6 a) b) 3 7 c) 0 7 d) a 0 e) m 8 f ) x 8 7 a) b) 3 3 c) 0 d) a e) m f ) x 8 a) 6 b) 0 c) 0 9 d) a e) m f ) x 6 9 a) x 6 b) m 0 c) k d) x 0 = e) m f ) k g) x 3 h) m i ) k 0 = j ) x 0 a) b) 3 c) d) 6 e) f ) 6

7 Raíz cuadrada No lo olvides Te conviene memorizar los primeros cuadrados perfectos. = 0 = 00 = = 3 = 9 = = 6 3 = 69 = = 96 6 = 36 = 7 = 9 6 = 6 8 = 6 7 = 9 = 8 8 = Calcular la raíz cuadrada es hacer la operación inversa de elevar al cuadrado. b = a ) a= b Ejemplos = 6 6 = La raíz cuadrada de 6 es. = = La raíz cuadrada de es. raíz a = b Se lee: la raíz cuadrada de a es igual a b. radicando Raíces exactas y raíces enteras Los cuadrados de los números naturales se llaman cuadrados perfectos: La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto es una raíz exacta. Por ejemplo, son raíces exactas las siguientes: 9= 3 = 00 = 0 Sin embargo, para la mayoría de los números, la raíz no coincide con una cantidad exacta de unidades enteras. Busquemos, por ejemplo, la raíz de 0: 6 = 36< 0 La raíz cuadrada de 0 es un 7 6 < 0 < 7 = 9> 0 número comprendido entre 6 y 7. Al número natural que más se aproxima, por debajo, a la raíz, lo llamamos raíz entera. 0 6 La raíz entera de 0 es 6. Ejercicios resueltos. Calcular mentalmente 900. x = = = 30 Raíz exacta. Teniendo en cuenta los datos del cuadro, calcular 0, y Raíz entera = 38 Raíz exacta Raíz entera 37 = = 39 = 0 = 600 Practica el cálculo de la raíz entera. Cálculo de la raíz cuadrada por tanteo Con lo que ya sabes, puedes calcular raíces mediante el tanteo. Esta técnica te ayudará a aclarar ideas y a fijar el concepto. Más tarde aprenderás otras técnicas más rápidas. Ejemplo Calcular, por tanteo, _ = < h h h b Como ves, 3900 es mayor que 6 ymenor que ` = 3 8 < = > b a Por tanto: 6 < < 63 La raíz cuadrada de 3900 es un número comprendido entre 6 y La raíz entera de es 6. Piensa y practica. Copia y completa, como en el ejemplo. = " Laraíz deesigual a. a) 9 = 7 " b) 6 = " c) 8 = " d) = ". Calcula mentalmente. a) b) 9 c) 36 d) 00 e) 900 f ) g) 600 h) 800 i) Calcula la raíz entera en cada caso: a) b) 0 c) d) 3 e) 39 f ) 0 g) 68 h) 9 i) 0. Escribe en tu cuaderno los cuadrados perfectos comprendidos entre 00 y Calcula, teniendo en cuenta los resultados del ejercicio anterior. a) 89 b) 36 c) 8 d) 76 e) 676 f ) 8 6. Observa el cuadro y calcula indicando si la raíz es exacta o entera. 0 = 00 = 60 = 70 3 = 809 = 96 = 30 a) 0 b) 60 c) 7 d) 8 e) 96 f ) Calcula por tanteo. a) 90 b) 0 c) 700 d) e) 6 86 f ) Resuelve. a) b) ` 9j: c) d) ( 8 6) 6: Tradicionalmente, el estudiante de este nivel aprendía a hacer raíces cuadradas mediante la aplicación del correspondiente algoritmo. Sin embargo, entendemos que la existencia de calculadoras sencillas que permiten realizar la tarea con solo apretar una tecla, relega esa técnica a un segundo plano. Creemos que es más enriquecedor centrar el esfuerzo en la construcción del concepto, nada fácil para el alumnado. Para ello, proponemos la siguiente secuencia de contenidos: Obtención de cuadrados perfectos y asociación de cada uno con su correspondiente raíz cuadrada. El alumnado aprenderá a diferenciar los números que tienen raíz exacta, los cuadrados perfectos, de los que no la tienen. Obtención de raíces exactas por tanteo. Se pedirá la raíz cuadrada de números grandes que sean cuadrados perfectos. El método de resolución será ir elevando distintos números al cuadrado hasta encontrar el adecuado, con la consigna de alcanzar el objetivo con el mínimo número de intentos. Aproximación de raíces enteras. Comenzaremos proponiendo una raíz, sin anunciarles que el radicando no es cuadrado perfecto. Cuando digan que no se puede hacer, les pediremos la búsqueda, por tanteo, del número entero cuyo cuadrado (por defecto o por exceso) se aproxime más a la cantidad dada. Refuerzo y Ampliación Se recomiendan: Del cuaderno n.º de EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS: Refuerzo: Ejercicios, y 3 de la pág. 8. Ejercicios, y 6 de la pág. 9. Ampliación: Ejercicios y de la pág.. Del fotocopiable INCLUSIÓN Y ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD: Refuerzo: Ejercicios 9 y 0. Ampliación: Ejercicios 6 a 0. Soluciones de Piensa y practica a) 9 = 7 La raíz cuadrada de 9 es igual a 7. b) 6 = 8 La raíz cuadrada de 6 es igual a 8. c) 8 = 9 La raíz cuadrada de 8 es igual a 9. d) = La raíz cuadrada de es igual a. a) b) 3 c) 6 d) 0 e) 30 f ) 60 g) 80 h) 90 i ) 00 3 a) b) 3 c) d) e) 6 f ) 7 g) 8 h) 9 i ) 0 ; 6; 89; 3; 36; 00; ; 8; 9; 76; 6; 676; 79; 78; 8; 900 a) 7 b) 9 c) d) e) 6 f ) 9 6 a) 0, entera b), exacta c), entera d) 3, entera e), exacta f ), entera 7 a) 90 9 b) 0 c) d) = 39 e) f ) 0 86 = 0 8 a) 0 b) c) 0 d) 6

8 Practica el algoritmo de la raíz cuadrada. Utiliza la calculadora En algunas calculadoras, la sucesión de teclas para calcular 0 67 es: 067 $ {«} En otras, es la siguiente: $ 067 = {«} Piensa y practica 9. Copia en tu cuaderno y completa las siguientes raíces resueltas mediante el algoritmo: Algoritmo para el cálculo de la raíz cuadrada Para calcular con lápiz y papel una raíz cuadrada, sigue los pasos que se describen a continuación: Ejemplo Vamos a calcular 067: Separamos de dos en dos, desde la derecha, las cifras del radicando, y calculamos la raíz del paquete de la izquierda ` 0 j A A = 0 = 3 y deja de resto B B: Escribimos el doble de A. Bajamos el paquete siguiente (6) y buscamos la cifra c, de forma que 6 c c sea lo más próximo a 6, sin sobrepasarlo c c 9 6 = 6 c = 6 6 = 03 3 Subimos el valor c = al campo de la solución, bajamos el siguiente paquete (7) y repetimos el proceso = 9 6 = 6 6 d d 6 6 = d = 37 6 = Subimos el valor d = al campo de la solución. Solución: 0 67 = 3 Prueba: = Calcula con lápiz y papel y, después, comprueba con la calculadora. a) b) 0 c) 9 d) 397 e) 06 f ) Obtén con ayuda de la calculadora. a) 936 b) 0 68 c) 8 7 Ejercicios y problemas Cálculo de potencias. Calcula mentalmente. a) b) 6 3 c) 3 d) 0 e) Copia en tu cuaderno y completa. a) 3 = b) = 900 c) = d) = Calcula el exponente en cada caso: a) x = 6 b) 0 x = c) 7 x = 0 d) 3 x = 97. Calcula con lápiz y papel. a) b) 9 c) 0 d) 3 e) 6. Obtén con la calculadora. a) b) 0 c) 3 d) 67 e) Escribe todos los cuadrados perfectos comprendidos entre 000 y 00. Potencias de base 0. Expresión abreviada de números grandes 7. Escribe con todas sus cifras. a) 0 b) 0 6 c) 0 0 d) 0 e) Escribe como potencia de base 0. a) Cien. b) Cien millones. c) Cien billones d) Cien mil billones. 9. Expresa con todas sus cifras. a) b) c) Transforma como el ejemplo = 8 0 a) 000 b) c) En un kilómetro hay 0 3 = 000 metros, y en un metro hay 0 = 00 centímetros. Expresa, de la misma forma, los centímetros que hay en un kilómetro.. Redondea a la centena de millar y escribe abreviadamente con el apoyo de una potencia de base 0 el número de habitantes de cada una de estas ciudades: roma: 830 parís: madrid: 3339 el cairo: Ordena, de menor a mayor, estas cantidades: Escribe en la notación abreviada, con ayuda de una potencia de base 0. a) Ocho mil quinientos millones. b) Dos billones, trescientos mil millones. c) Cuatro trillones, novecientos mil billones. Operaciones con potencias. Calcula. a) b) ( + ) 3 c) (0 6) (0 8) 3 d) 3 ( 3) ( 3 ) e) (3 3) (7 + 3) + ( ) 0 6. Calcula de la forma más sencilla. a) 8 b) 6 6 c) 3 3 d) 6 : 3 e) 3 : 3 f) 0 : 7. Copia en tu cuaderno y completa las casillas vacías. a) 3 = b) = 6 c) a a 3 = a d) m 3 m = m 9 e) 6 : = f ) 7 8 : 7 = 7 g) a 9 : a 8 = a h) m 8 : m = m 6 i) ( ) 3 = j) ( 3 ) 3 = k) (a ) = a l) (m ) = m 8. Reflexiona sobre estos enunciados y tradúcelos a igualdades o desigualdades matemáticas: a) Potencia de un producto. Producto de las potencias de los factores. b) Potencia de una suma. Suma de las potencias de los sumandos. c) Producto de potencias de igual base. La misma base elevada a la suma de exponentes. d) Potencia de potencia. La misma base elevada al producto de los exponentes. e) Potencia de exponente cero. Uno Una vez construido el concepto de raíz cuadrada, si el ritmo del grupo lo aconseja, se puede abordar su algoritmo. Utilizaremos la calculadora para la comprobación de los resultados. Aquí es importante la interpretación del resultado, con la apreciación del redondeo a la unidad más cercana. Soluciones de Piensa y practica a) Raíz = 38. Resto = 0 b) Raíz =. Resto = 0 c) Raíz =. Resto = 9 d) Raíz = 63. Resto = e) Raíz =. Resto = 0 f ) Raíz = 36. Resto = 6 a) b) 03 c) 77 Soluciones de Ejercicios y problemas a) 6 b) 6 c) 3 d) e) a) 0 b) 70 c) 0 d) 0 3 a) 8 b) c) d) 3 a) 3 b) 9 09 c) d) 3 37 e) 6 36 a) b) c) 9 d) 0 e) = 0 33 = = 6 3 = 36 = = = 7 a) 00 b) c) d) e) a) 0 b) 0 8 c) 0 d) a) b) c) a) 0 3 b) 7 0 c) 0 9 km = 0 cm Roma 8 0 París 8 0 Madrid 3 0 El Cairo < < < < < 0 0 a) b) 3 0 c) a) b) 8 c) 8 d) 3 e) a) 600 b) c) d) 3 e) 7 f ) 6 7 a) b) 7 c) 8 d) 6 e) f ) 3 g) h) i ) 6 j ) 9 k) l ) 3 8 a) (a b) m = a m b m b) (a + b) m a m + b m c) a m a n = a m + n d) (a m ) n = a m n e) a 0 = 7

9 Ejercicios y problemas 9. Reduce estas expresiones: a) x 8 : x 3 b) m m c) (k ) d) x x e) (m 3 ) f ) k 6 : k 0. Calcula. a) 36 : ( 9 ) b) ( ) : 9 c) ( : ) : 3 3 d) 9 : ( ) e) ( 3 ) : ( ) f ) (30 7 : 7 ) : ( 3 ). Reduce a una sola potencia. a) (x : x) x b) (m 7 : m ) : m 3 c) (x ) : (x ) 3 d) (m ) 3 : (m ) e) (a 3 a ) : (a a ) f ) (x 3 : x ) (x x 3 ). Ejercicio resuelto Reducir a una sola potencia y, después, calcular: 6 : 6 : = ( ) : = 8 : = 8 = 3 = 6 Aprende a resolver problemas 3. Reduce a una sola potencia y, después, calcula. a) 0 : b) 3 6 : 9 c) 3 : d) ( 3 ) : 8 e) (3 9 ) : 7 f ) ( 3 ) : 3 Raíz cuadrada Marta ha comprado cinco hojas con cuarenta pegatinas cada una y ha decorado el cubo pequeño. Le quedan suficientes pegatinas para decorar de la misma forma el cubo grande? Comprueba que has entendido el enunciado. Cuántas pegatinas ha comprado Marta? Ha usado alguna? Qué quiere hacer con las que quedan? Qué te preguntan?. Calcula, por tanteo, la raíz exacta o la entera. a) 90 b) c) 78. Resuelve con la calculadora. Piensa en el camino que vas a seguir para resolver el problema. Qué necesitas saber? Por dónde te parece que debes empezar? Te vendría bien saber cuántas pegatinas ha gastado ya? Cuántas le quedan entonces? a) 6 b) 0 c) 369 d) e) 66 f ) Copia en tu cuaderno los cuadrados perfectos: Resuelve. a) + ` j b) ` j + ` 3 j Creo que comenzaré calculando cúantas pegatinas compró: hojas de 0 pegatinas 0 = 00 pegatinas compró. Ha decorado un cubo de 6 caras, y en cada cara ha usado 3 = 9 pegatinas: Pegatinas usadas: 9 6 = pegatinas. Por tanto, le quedan 00 = 6 pegatinas. Resuelve problemas 8. Un hortelano planta lechugas en una parcela de su huerta. Las distribuye en surcos y en cada surco pone lechugas. Cuántas plantas ha colocado? 9. Un cine de verano dispone de 6 sillas distribuidas en igual número de filas y de columnas. Cuántas sillas hay en cada fila? 30. Una finca cuadrada tiene 900 metros cuadrados de superficie. Cuántos metros lineales de alambrada habría que comprar para cercarla? 3. Un paquete de igual longitud, anchura y altura, contiene 000 terrones de azúcar de un centímetro de arista. Cuáles son las dimensiones del paquete? 3. Supón que construimos estas dos estructuras con cubos de madera de cm de arista ( Ojo! Los dibujos no están hechos con la misma proporción): a) Una placa cuadrada de b) Un bloque cúbico de 000 cm de lado. 00 cm de arista. 000 cm 000 cm 00 cm 00 cm 00 cm Cuál de las dos crees que pesaría más? Razona tu respuesta. 33. Cuántos padres y madres tenían entre todos tus tatarabuelos? 3. Observa el cubo de la ilustración formado por cubitos unitarios. a) Supón que lo pintamos de rojo. Cuántos cubitos unitarios habrían quedado parcialmente pintados? b) Supón que lo queremos hacer mas grande, recubriéndolo completamente con una capa de cubitos verdes. Cuántos cubitos verdes necesitaríamos? Problemas + 3. Se ha solado una habitación de 6 m 6 m con baldosas cuadradas que se venden en paquetes de. Cuál es el tamaño de las baldosas, sabiendo que se han necesitado 3 paquetes, que no se ha partido ninguna, y que han sobrado unas pocas? Si han comprado 3 = 08 baldosas, cuántas filas de baldosas se han colocado? 36. Alberto les cuenta un cotilleo a sus amigos Nacho y Sara. Diez minutos después, Nacho se lo ha contado ya a Raquel y a Marta, y Sara, a Rosa y a Pablo. Pasados otros diez minutos, cada uno de estos últimos se lo ha contado a otras dos personas. Si la difusión del cotilleo sigue al mismo ritmo, cuántas personas lo sabrán dos horas después de que se enteraran Nacho y Sara? 37. El suelo de una habitación cuadrada está enlosado con 8 baldosas de cm de lado. Son todas blancas, excepto las que están a cm de la pared, que forman un marco decorativo de color rojo como se ve en este dibujo: Y cómo decides ahora si las 6 pegatinas que le quedan son suficientes para decorar el cubo grande? Primero tengo que saber cuántas necesita para el cubo grande, que tiene 6 caras con 6 6 cuadraditos por cara: Necesita = 6 3 = 6 pegatinas, que son más que 6. No tiene suficientes! Solución: A Marta no le quedan suficientes pegatinas para decorar el cubo grande. Cuántas baldosas rojas hay en ese suelo? 0 Soluciones de Ejercicios y problemas 9 a) x b) m 6 c) k 8 d) x 0 e) m 6 f ) k 0 a) 6 b) c) 9 d) e) 6 f ) 36 a) x 6 b) m 0 = c) x d) m e) a 3 f ) x 8 3 a) = b) 3 = 9 c) = d) = 6 e) 3 = 9 f ) = 3 a) Habrían quedado pintados 98 cubitos. b) Necesitaríamos 8 cubitos verdes. 3 Las baldosas miden 30 cm. 36 Sabrán el cotilleo 096 personas. 37 Hay 76 baldosas rojas. ANOTACIONES a) 9, entera b), exacta c), entera a), entera b) 3, exacta c) 37, exacta d) 6, exacta e), entera f ) 8, exacta 6 = = = = 6 6 = 7 7 a) 8 b) 6 8 Ha colocado 6 plantas. 9 En cada fila hay sillas. 30 Habría que comprar 0 m de alambrada. 3 Las dimensiones del paquete son 0 cm 0 cm 0 cm. 3 Las dos pesarían lo mismo, pues ambas están formadas por cubos. 33 Entre todos tus tatarabuelos tenían 3 padres y madres. 8

10 Taller de matemáticas Lee, reflexiona y deduce El mundo de los números presenta múltiples relaciones, algunas tan sorprendentes que parecen envueltas en una aureola de magia. Como ejemplo, te mostramos las siguientes: En la suma de los números impares, encontramos la suma de los números cúbicos: Averigua qué porción de la suma anterior has de tomar para obtener 3 =. Como consecuencia de lo anterior, y teniendo en cuenta esto que vimos en las primeras páginas de la unidad: 6 = 36 = aparece una sorprendente relación entre algunos números cuadrados y los números cúbicos: = 36 = = = 36 = ( + + 3) = Comprueba que es igual a un número cuadrado. Busca otro número cuadrado que se pueda expresar como suma de cubos. Infórmate Números en las computadoras Ya sabes que nosotros, para escribir los números, utilizamos el sistema decimal, con diez signos, del 0 al 9. Los ordenadores y las calculadoras, en su lenguaje interno, escriben los números en el sistema binario; es decir, utilizando solo dos signos, el 0 y el. Estudia y completa las tablas en tu cuaderno, siguiendo la lógica de las primeras filas. Cuando hayas terminado, habrás traducido al sistema binario los primeros quince números naturales. ÓRDENES DE ES ÓRDENES DE ES aprenderemprender Entrénate resolviendo problemas Tantea, ponte ejemplos Tengo tres cajas idénticas. Una contiene caramelos de naranja; otra, caramelos de limón, y la tercera contiene una mezcla de caramelos de naranja y de limón. Están etiquetadas con estas referencias, pero ninguna caja lleva la etiqueta que le corresponde.. Expresa en forma de potencia a) b) c) a a a a a d) m m. Calcula. a) 6 b) 3 c) 7 c) Copia y completa en tu cuaderno. a) = 8 b) = 8. Copia y completa esta tabla en tu cuaderno: PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS La potencia de un producto es igual al (a b) producto de las potencias de los factores. n = a n b n La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias del dividendo y del divisor. Para multiplicar dos potencias de la misma base, se suman los exponentes. Para dividir Para elevar una potencia a otra potencia a m : a n = a m n NN Solo caramelos de naranja. LL Solo caramelos de limón. NL Caramelos de naranja y de limón. Raquel dice que si me da una caja y yo saco un caramelo y se lo enseño, puede adivinar el contenido de todas las cajas. Si crees que es cierto lo que dice Raquel, explica cómo lo consigue. Divide esta figura en cuatro partes, todas ellas de igual forma y tamaño. Autoevaluación Resoluciones de estos ejercicios.. Reduce a una sola potencia. a) a 3 a b) x : x c) (a 3 ) 6. Calcula por el camino más corto. a) b) 8 3 : Copia y completa en tu cuaderno. a) x 3 y 3 = ( ) b) x : y = ( : ) 8. Reduce. a) (x x ) : x b) (a ) : (a ) 3 9. Copia en tu cuaderno y completa. a) 36 = b) 00 = c) 0000 = d) = 3 e) = 8 f) = Calcula con lápiz y papel la raíz cuadrada entera de 90. Después, comprueba con la calculadora si el resultado es correcto.. Cuántos dados de madera, de cm de arista, hay en 0 paquetes como el que ves en la ilustración? 0 cm 0 cm 0 cm NN LL NL 3 Lee, reflexiona y deduce Se retoman aquí, y se amplían, las propuestas que exponíamos en la segunda página de la unidad. El alumnado abordará las actividades de forma manipulativa, dibujando nuevos elementos de la serie, experimentando, haciendo conjeturas, elaborando hipótesis y comprobándolas, etc. Finalmente, se sugiere una puesta en común de las conclusiones. Soluciones 3 = = = 00 = 0 Por ejemplo: = ( + ) = 3 = = ( ) = = Infórmate Números en las computadoras Se sugiere la misma metodología que en la actividad anterior: los alumnos y las alumnas han de observar los primeros casos y deducir la ley de construcción de la tabla. El profesorado ha de estar atento a las desviaciones y errores en el proceso. Como ayuda, se puede recordar el funcionamiento de los ábacos del sistema decimal, y ofrecer un ábaco con las reglas del sistema binario: dos unidades de cualquier orden hacen una de orden superior. Soluciones Entrénate resolviendo problemas Tantea, ponte ejemplos Soluciones Raquel tomará la caja etiquetada con NL, y sacará un caramelo. Si el caramelo es de limón, NL contiene los caramelos de limón, NN es la caja mixta y LL contiene los caramelos de naranja. Si el caramelo fuese de naranja, NL sería la caja de caramelos de naranja, LL, la mezcla, y NN, limón. Soluciones de la autoevaluación a) b) 0 3 c) a d) m a) 6 b) c) 9 d) a) 3 b) 9 Estas propiedades se pueden encontrar en las páginas 33 y 3 del L.A. a) a b) x c) a 6 a) b) 8 7 a) (x y) 3 b) (x : y) 8 a) x 3 b) a 9 a) 6 b) 0 c) 00 d) 9 e) 6 f ) = Habrá dados en total. 9