número par o impar de divisores. El subconjunto de los números naturales en que todos

Transcripción

1 Código de pregunta: Ítem El conjunto de divisores de un número natural es finito. Este conjunto puede tener un número par o impar de divisores. El subconjunto de los números naturales en que todos sus elementos tienen un número impar de divisores es: Opciones de respuesta A. Triangulares: {1, 3, 6, 10, 15, } B. Cuadrados: {1, 4, 9, 16, 25, } C. Impares: {1, 3, 5, 7, 9, } D. Cubos: {1, 8, 27, 64, 125, } Componente Competencia 1. Numérico-Variacional 3. Solución de problemas Solución (Opción correcta)(dificultad)

2 En este problema, aunque su enfoque conceptual matemático recae sobre la teoría de números; el proceso que se pide es determinar y evaluar el concepto y uso de la definición de divisor de un número natural y, establecer una característica de par o impar sobre los tamaños (cardinal) de los conjuntos: Se tendrá que D n es el conjunto de divisores de n siendo elemento del conjunto Cuadrados, y T Dn el tamaño (cardinal) del conjunto D n. D 1 = {1} T D1 = 1 D 4 = {1, 2, 4} T D2 = 3 D 9 = {1, 3, 9} T D9 = 3 D 16 = {1, 2, 4, 8, 16} T D16 = 5 D 25 = {1, 5, 25} T D25 = 3 D 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} T D36 = 9 (B) Rastreo de las opciones incorrectas A. El estudiante relaciona el nombre del conjunto, triangulares; con la cualidad que se pide tenga el tamaño de los divisores de cada elemento de este, asociando que los triángulos tienen una cantidad impar de lados o vértices, de modo que se mantendrá esa cualidad para los divisores de los elementos; así, desconoce la noción de divisor de un número. C. El estudiante realiza una correspondencia directa entre el cualidad que tienen los elementos de este conjunto y la condición que debe poseer el cardinal del conjunto formado por los divisores de los elementos pertenecientes a este (Conjunto de los

3 impares). Por tal razón, desestimando el significado de divisor de, admite que dado que son números impares, tendrán una cantidad impar de divisores. D. El estudiante, dado que los elementos del conjunto son números cubos, asocia que la tercera potencia de un número natural, por ser una potencia impar, hará que la cantidad de divisores de cada uno de estos sea impar. Estándar/Lineamiento Grados 4 y 5 / 1 y 3 (Es) Resuelvo y formulo problemas aplicando propiedades de los números y de sus operaciones. (Li) Reconozco propiedades de los números (ser par, ser impar, etc.) y relaciones entre ellos (ser mayor que, ser menor que, ser múltiplo de, ser divisible por, etc.) en diferentes contextos. Análisis didáctico del ítem El ítem reúne tres aspectos para su comprensión y alcance didáctico. El primero, el significado de conjunto finito como la cualidad mesurable de sus elementos donde el cardinal de este se puede representar por un número natural. El segundo, la implicación de ser divisor o no de un número natural que se define como: Sea a, b N; a es divisor de b si existe un número natural c tal que b = a c. Por último, el tercer aspecto refiere a la deducción de la solución de manera analítica sobre el porqué necesariamente la cantidad de divisores de los números cuadrados es impar. Los divisores de un número natural k se pueden organizar por parejas, cumpliéndose que su producto sea igual a k. Esta comprobación se puede realizar al organizar de menor a mayor los divisores del número k y realizar los múltiples productos entre sus extremos, ejemplo:

4 El conjunto D 20 contiene los divisores del número 20 así: D 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} Siguiendo lo anterior dicho se tiene que: 1 20 = = = 20 Esta información sugiere considerar la condición de los números cuyos divisores no generan estás parejas de manera exacta, teniendo un divisor de más que hace del tamaño del conjunto de sus divisores una cantidad impar; esto sólo sucede con los cuadrados, ya que por obligación la raíz t de un número cuadrado q, sólo se puede emparejar con sí misma, sin existir un divisor mayor o menor a esta que multiplicado por t sea igual a q, así se constituye en el divisor de más que hace impar el cardinal del conjunto de divisores de un número cuadrado. Ejemplo: 36 es un número cuadrado, cuyos divisores son: D 36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36} Generamos las parejas de los extremos: 1 36 = = = = = 36 El último producto 6 6 = 36 es el cuadrado de la raíz que cuenta como el elemento +1 sumado a la cantidad de parejas de divisores previas; por ende una cantidad impar de

5 divisores de 36. Si bien el análisis previo podría adherir el ítem a la competencia razonamiento, se considera que el estudiante resolverá una situación problema, donde no es directamente el anterior camino el único de respuesta, ya que bastará con identificar para cada elemento de cada conjunto sus divisores y determinar si su tamaño es impar o par. Así, este ítem se puede asociar al aspecto educativo comentado por Martínez Aznar (1990) cuando dice que la resolución de problemas constituye un procedimiento activo de aprendizaje donde los alumnos son los protagonistas, donde puede resultar una tarea altamente motivadora coadyuvando eficazmente a modificar las posibles concepciones alternativas que tienen en un campo determinado, para el caso; se podrá distinguir los conceptos de divisor, múltiplo, par, impar, finito e infinito. Perímetro conceptual (Red de conceptos/nodos conceptuales) - Números naturales (N) - Criterios de divisibilidad - Conjuntos por comprensión y extensión