Forma general del teorema de Cauchy

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1 Lección 11 Forma general del teorema de Cauchy La teoría local de Cauchy, cuyos dos resultados básicos fueron el teorema de Cauchy para dominios estrellados y la fórmula de Cauchy para una circunferencia, nos ha permitido probar numerosas propiedades de las funciones holomorfas. Nuestro próximo objetivo es completar dicha teoría, encontrando la forma más general posible de esos dos resultados iniciales. Con respecto al teorema local de Cauchy, es natural preguntarse cuales son los abiertos del plano en los que toda función holomorfa admite una primitiva. Es fácil dar ejemplos de dominios con esta propiedad que no son estrellados. Con respecto a la fórmula de Cauchy, cabe preguntarse lo que ocurre al sustituir la circunferencia por otros caminos cerrados. Veremos que ambas preguntas están íntimamente ligadas, en cierto modo son equivalentes, y abordaremos su estudio empezando por la segunda. Un breve análisis de la fórmula de Cauchy motivará la noción clave que marca la transición de la teoría local de Cauchy ya conocida, a la teoría global que ahora iniciamos. Se trata del índice de un punto con respecto a una curva cerrada, una noción puramente topológica que formaliza rigurosamente la idea intuitiva del número de vueltas que da una curva cerrada alrededor de un punto. Por otra parte, introducimos un formalismo que nos permitirá liberarnos de la condición que deben cumplir dos caminos para poder considerar su suma. Basta para ello considerar sumas formales de caminos arbitrarios, que reciben el nombre cadenas, y en particular sumas formales de caminos cerrados, que llamaremos ciclos. Son nociones propias de una teoría muy general, llamada Álgebra Homológica, que nace con el estudio del teorema de Cauchy. Comprobaremos rutinariamente que la integral de una función continua sobre una cadena conserva las mismas propiedades que tenía la integral sobre un camino: linealidad, continuidad y aditividad. Con los preparativos comentados, podremos probar la forma general del teorema de Cauchy y de la fórmula integral de Cauchy, los dos resultados equivalentes en los que se resume la teoría global. Haremos la demostración publicada por el matemático canadiense John D. Dixon en 1971, históricamente la primera que puede considerarse bien formalizada, por usar sólo argumentos analíticos, evitando las consideraciones geométricas más o menos intuitivas que aparecían en las demostraciones previamente conocidas. 127

2 11. Forma general del teorema de Cauchy Motivación Recordemos una integral que jugó un papel clave en la demostración de la fórmula de Cauchy. Fijados a C y r R +, se tiene 1 dw 2πi C(a,r) w z = 1 z D(a,r) Por otra parte, si z C verifica que z a > r, el teorema local de Cauchy, aplicado a la función w 1/(w z), que es holomorfa en el dominio estrellado D ( a, z a ), nos dice que la integral del primer miembro se anula. Por tanto, la función de z que aparece en dicho primer miembro, definida en C \C(a,r), actúa como un indicador que nos dice si la circunferencia C(a,r) rodea o no al punto z. Cabe preguntarse qué ocurrirá al sustituir la circunferencia por un camino cerrado γ. Consideramos pues la función I γ definida por I γ (z) = 1 dw 2πi γ w z z C \ γ y nos preguntamos si esta función sigue indicando la posición relativa de z respecto de γ. Está claro que debemos afinar nuestra idea, pues si tomamos γ = C(a,r) + C(a,r), un camino que recorre dos veces la circunferencia C(a,r) en sentido positivo, seguirá siendo I γ (z) = 0 para todo z C \ D(a,r), pero ahora tendremos I γ (z) = 2 para todo z D(a,r). Por otra parte, si tomamos γ = C(a,r), será otra vez I γ (z) = 0 para todo z C \ D(a,r), pero I γ (z) = 1 para todo z D(a,r). Finalmente, si γ = C(a,r) C(a,r), tendremos I γ (z) = 0 para todo z C \ γ. Estos ejemplos nos hacen sospechar que, lo que I γ (z) podría indicar, no es la posición relativa de z respecto de γ, sino más bien el número de vueltas que da el camino γ alrededor del punto z, entendiendo que las vueltas se cuentan positiva o negativamente según el sentido de giro, y que las vueltas en sentidos contrarios se compensan. Probaremos que efectivamente esto es así, aunque en principio ni siquiera está claro que I γ (z) sea un número entero. Daremos primero una definición puramente topológica de dicho número de vueltas, válida para curvas cerradas cualesquiera, aunque no sean caminos, basándonos en una idea sencilla. Mediante una traslación nos situamos en el caso z = 0, pues el número de vueltas que da γ alrededor de z, es obviamente el mismo que da la curva t γ(t) z alrededor del origen. Suponiendo por tanto que 0 / γ, probaremos que se puede elegir un argumento de cada punto γ(t) γ de forma que se obtenga una función continua del parámetro t, definida en el mismo intervalo que γ. Cada vez que γ da una vuelta alrededor del origen en sentido positivo, nuestro argumento continuo experimenta un aumento 2 π, mientras que una vuelta en sentido negativo produce una disminución 2 π. Por tanto, la variación del argumento cuando recorremos la curva, es decir, la diferencia entre su valor final y el valor inicial, nos da el número de vueltas que da γ alrededor del origen, contadas en la forma requerida. Puesto que γ es cerrada, dicha variación es la diferencia entre dos argumentos de un mismo número complejo, que es un múltiplo entero de 2π. Queda así motivada la discusión que sigue.

3 11. Forma general del teorema de Cauchy Índice respecto de una curva cerrada El siguiente resultado previo permite, como queremos, calcular la variación que experimenta el argumento, cuando recorremos una curva que no pase por el origen. Lema. Dados a,b R con a < b, para toda función continua ϕ : [a,b] C existe un argumento continuo de ϕ, es decir, una función continua θ : [a, b] R tal que θ(t) Arg ( ϕ(t) ) t [a,b] (1) Si θ es otro argumento continuo de ϕ, entonces θ θ es constante, y en particular se tiene que θ(b) θ(a) = θ(b) θ(a). Demostración. Sea ρ = mín { ϕ(t) : t [a,b] } > 0, y usemos la continuidad uniforme de ϕ para encontrar δ > 0 tal que s,t [a,b], s t < δ = ϕ(s) ϕ(t) < ρ Subdividimos ahora [a, b] en intervalos de longitud menor que δ, es decir, consideramos un conjunto finito a = t 0 < t 1 <...t n = b de puntos de [a,b], tales que t k t k 1 < δ para todo k I n = {1,2,...,n}. Fijado k I n, para todo t [t k 1,t k ] tenemos t t k < δ, luego ϕ(t) ϕ(t k ) 1 = ϕ(t) ϕ(t k) ϕ(t) ϕ(t k) < 1 ϕ(t k ) ρ Como el argumento principal es una función continua en el disco abierto D(1,1), definiendo ( ) ϕ(t) θ k (t) = arg + arg ϕ(t k ) t [t k 1,t k ] ϕ(t k ) tenemos una función continua θ k : [t k 1,t k ] R que evidentemente verifica θ k (t) Arg ( ϕ(t) ) para todo t [t k 1,t k ]. Definiremos ahora θ en cada subintervalo [t k 1,t k ], usando la función θ k pero, si n > 1 debemos evitar las discontinuidades de salto que pueden producirse al pasar de cada subintervalo al siguiente, es decir, en los puntos del conjunto A = {t k : k I n 1 }. Para k I n 1, vemos que θ k (t k ) y θ k+1 (t k ) son dos argumentos de ϕ(t k ), luego difieren en un múltiplo entero de 2π: k I n 1 m k Z : θ k (t k ) θ k+1 (t k ) = 2m k π (2) Por comodidad de notación, tomamos m 0 = 0 y escribimos: θ(t) = θ k (t) + 2π k 1 m j t [t k 1,t k ], k I n j=0 Para k I n 1, hemos definido θ(t k ) de dos formas, pero usando (2) comprobamos que ambas definiciones coinciden: θ k (t k ) + 2π k 1 m j = θ k+1 (t k ) + 2m k π + 2π j=0 k 1 m j = θ k+1 (t k ) + 2π j=0 k m j (3) j=0

4 11. Forma general del teorema de Cauchy 130 Tenemos pues una función bien definida θ : [a,b] R. Para todo k I n y todo t [t k 1,t k ] sabíamos que θ k (t) Arg ( ϕ(t) ), pero la diferencia θ(t) θ k (t) es un múltiplo entero de 2π, luego también θ(t) Arg ( ϕ(t) ). Por tanto θ verifica (1), y comprobaremos que es continua. Para k I n 1 la continuidad de θ en el punto t k se deduce otra vez de la igualdad (3). En efecto, la continuidad de θ k y θ k+1 en el punto t k nos dicen que el límite por la izquierda de θ en el punto t k es el primer miembro de (3), mientras el último miembro es el límite por la derecha. Por tanto, (3) nos dice que ambos límites laterales coinciden con θ(t k ). Si t ]a,b[\a, tenemos t ]t k 1,t k [ con k I n y la restricción de θ a dicho intervalo abierto es continua en el punto t, pues se obtiene como suma de una constante con la restricción de θ k al mismo intervalo. Por el carácter local de la continuidad, θ es continua en el punto t. El mismo razonamiento se aplica a los puntos a y b usando los intervalos [a,t 1 [ y ]t n 1,b] respectivamente, que son subconjuntos abiertos (relativos) de [a, b]. Queda pues comprobada la continuidad de θ en todos los puntos de [a,b]. Por último, si θ es otro argumento continuo de ϕ, la función ( θ θ)/2π es continua en el conjunto conexo [a,b] y sólo toma valores enteros, luego es constante. Pues bien, si ahora γ : [a,b] C es una curva cerrada cualquiera, para cada z C \ γ podemos definir el índice del punto z respecto de la curva γ de la siguiente forma: Ind γ (z) = θ(b) θ(a) 2π donde θ : [a,b] R es cualquier función continua que verifique θ(t) = Arg ( γ(t) z ) para todo t [a,b]. El lema anterior nos dice que tal función θ efectivamente existe y, aunque obviamente θ no es única, el mismo lema nos asegura que la definición del índice no depende de la elección que podamos hacer de θ. Además, al ser γ(b) = γ(a), tenemos que θ(b) y θ(a) son dos argumentos del mismo número complejo, luego difieren en un múltiplo entero de 2π. Tenemos así la primera propiedad del índice. Para toda curva cerrada γ, se tiene: Ind γ (z) Z z C \ γ Como ya se ha explicado, el número entero Ind γ (z) se interpreta como el número de vueltas que da la curva cerrada γ alrededor del punto z, bien entendido que, de las vueltas en sentido positivo, descontamos las que dé en sentido negativo. Con esta interpretación, las otras dos propiedades del índice que vamos a comprobar resultan intuitivamente evidentes. En primer lugar, si desplazamos ligeramente el punto z, el índice no debe cambiar, luego visto como función de C\γ en Z, el índice va a ser una función continua. Esto implica que sea constante en cada componente conexa de C \ γ, pero recíprocamente, como las componentes conexas de C \ γ son conjuntos abiertos, el carácter local de la continuidad nos dice que, toda función que sea constante en cada una de ellas, es continua. Comprobemos pues esta propiedad del índice. Para toda curva cerrada γ, la función Ind γ : C\γ Z es constante en cada componente conexa de C \ γ.

5 11. Forma general del teorema de Cauchy 131 Sea [a,b] el intervalo de definición de γ, fijemos z C \ γ y sea θ : [a,b] R un argumento continuo de la función t γ(t) z. Tomando ahora r = mín { γ(t) z : t [a,b] } > 0 comprobaremos que Ind γ (w) = Ind γ (z) para todo w D(z,r), lo que prueba sobradamente la continuidad del índice. Fijado w D(z,r), para todo t [a,b] se tiene γ(t) w γ(t) z 1 z w = γ(t) z z w r < 1 Definimos entonces ψ : [a,b] R por ( ) γ(t) w ψ(t) = arg + θ(t) t [a,b] γ(t) z y la continuidad del argumento principal en el disco abierto D(1,1) nos asegura que ψ es un argumento continuo de la función t γ(t) w. Observamos que el primer sumando en la definición de ψ toma el mismo valor en a y b, pues γ(a) = γ(b). Por tanto, Ind γ (w) = ψ(b) ψ(a) 2π = θ(b) θ(a) 2π = Ind γ (z) Así pues, la función Ind γ es continua, o equivalentemente, es constante en cada componente conexa de C \ γ. Observamos ahora que, por ser γ compacto, C \ γ tiene una sola componente conexa no acotada. Intuitivamente, el índice en dicha componente conexa debe anularse. Si K es un subconjunto compacto de C, entonces C \ K tiene una única componente conexa no acotada. Tomando R = máx{ z : z K}, el conexo E = C \ D(0,R), contenido en C \ K, habrá de estar contenido en una componente conexa de C \ K, digamos U, que no está acotada. Si V es otra componente conexa de C \ K, con V U, tenemos V E V U = /0, luego V C \ E = D(0,R), así que V está acotada. Si γ es una curva cerrada y U es la componente conexa no acotada de C \ γ, se tiene: Ind γ (z) = 0 z U Por el resultado anterior, el índice es constante en U, luego bastará encontrar un punto de U cuyo índice se anule. Como U no está acotada, tomamos z U de forma que z > R donde R = máx{ w : w γ }. Si [a,b] es el intervalo de definición de γ, tenemos entonces γ(t) z z 1 = γ(t) z R z < 1 t [a,b]

6 11. Forma general del teorema de Cauchy 132 Por tanto, definiendo θ : [a,b] R por ( ) γ(t) z θ(t) = arg + arg ( z) t [a,b] z obtenemos un argumento continuo de la función t γ(t) z, y es claro que θ(b) = θ(a), luego Ind γ (z) = 0 como queríamos Índice respecto de un camino cerrado Nuestro próximo objetivo es probar que el índice de un punto respecto de un camino cerrado se puede calcular mediante la integral que, en el caso particular de una circunferencia, sirvió como motivación. Para ello necesitamos generalizar un resultado acerca de la derivabilidad de un logaritmo de una función derivable, que sólo conocíamos para la función identidad. Sea A un subconjunto no vacío de C, g : A C una función, y f un logaritmo de g, es decir, una función f : A C verificando que e f (z) = g(z), para todo z A. Si g es derivable en un punto a A A y f es continua en a, entonces f es derivable en a con f (a) = g (a)/g(a). Sea b = f (a) y consideremos la función Φ : C C definida por Φ(w) = ew e b w b w C \ {b} y Φ(b) = e b de la que sólo usaremos que es continua en b y verifica e w e b = Φ(w)(w b) para todo w C. Para z A \ {a}, tomando w = f (z) obtenemos g(z) g(a) z a = e f (z) e f (a) z a = Φ ( f (z) ) f (z) f (a) z a Por ser Φ(b) 0, existe ε > 0 tal que Φ(w) 0 para todo w D(b,ε). Usando que f es continua en a, tenemos δ > 0 tal que, para z A D(a,δ) se tiene f (z) b < ε, luego Φ ( f (z) ) 0. De (4) deducimos entonces que f (z) f (a) z a = 1 Φ ( g(z) g(a) ) f (z) z a Como Φ f es continua en a, también tenemos (4) z ( A \ {a} ) D(a,δ) (5) lím Φ( f (z) ) = Φ ( f (a) ) = Φ(b) = e b = e f (a) = g(a) 0 z a Usando ahora que g es derivable en a, de (5) deducimos que como queríamos demostrar. f (z) f (a) lím z a z a = g (a) g(a) Todo está ya preparado para expresar el índice respecto de un camino cerrado como una integral.

7 11. Forma general del teorema de Cauchy 133 Sean a,b R con a < b y γ : [a,b] C un camino cerrado. Se tiene entonces: Ind γ (z) = 1 dw 2πi γ w z z C \ γ Fijado z C\γ, sea θ : [a,b] R un argumento continuo de la función t γ(t) z. Por otra parte, expresamos el camino γ como suma de arcos definidos en subintervalos consecutivos de [a,b], es decir, existe un conjunto finito a = t 0 < t 1 <... < t n = b de puntos de [a,b] tales que, para cada k I n = {1,2,...,n} se tiene que γ k = γ [tk 1,t k ] es una función de clase C 1. Para cada k I n definimos entonces λ k : [t k 1,t k ] C por λ k (t) = log γ(t) z + iθ(t) t [t k 1,t k ] Claramente λ k es continua, por serlo sus partes real e imaginaria, y verifica que e λ k(t) = γ k (t) z t [t k 1,t k ] Como γ k es de clase C 1, el resultado anterior nos dice que λ k es derivable en [t k 1,t k ] con λ k (t) = γ k (t) γ k (t) z t [t k 1,t k ] Aplicando la regla de Barrow tenemos por tanto γ k dw w z = tk t k 1 γ k (t)dt γ k (t) z = λ k(t k ) λ k (t k 1 ) k I n Sumando miembro a miembro las n igualdades anteriores, obtenemos γ n dw w z = γ k n dw w z = ( λk (t k ) λ k (t k 1 ) ) n ( = log γ(tk ) z log γ(t k 1 ) z ) + i = log γ(b) z log γ(a) z + i ( θ(b) θ(a) ) n ( θ(tk ) θ(t k 1 ) ) Finalmente, usamos que γ(b) = γ(a) para concluir que 1 dw 2πi γ w z = θ(b) θ(a) 2π = Ind γ (z) Volviendo a la motivación que hicimos para el concepto de índice, ahora sabemos que el primer miembro de la última igualdad es siempre un número entero, y hemos justificado su interpretación como el número de vueltas que da el camino cerrado γ alrededor del punto z. Al estudiar el concepto de índice para curvas cerradas cualesquiera, ha quedado claro que se trata de un concepto topológico, que de hecho tiene gran utilidad en el estudio de la Topología Algebraica. Enseguida estudiaremos el concepto de índice para otro tipo de generalización de los caminos cerrados, esta vez puramente formal.

8 11. Forma general del teorema de Cauchy Cadenas y ciclos Para estudiar la forma general del teorema de Cauchy, pero sobre todo a la hora de deducir de ella algunas consecuencias interesantes, es útil introducir un formalismo que permite manejar cómodamente la suma de las integrales de una función sobre varios caminos, aunque la suma de dichos caminos no tenga sentido. Llamaremos cadena a una suma formal = γ 1 + γ γ n = n γ k (6) donde n N y γ k es un camino para todo k I n = {1,2,...,n}. Resaltamos que dichos caminos son completamente arbitrarios, no es necesario, como ocurría cuando definíamos la suma de caminos, o la suma de curvas, que el extremo de γ k coincida con el origen de γ k+1 para todo k I n 1. Se verifique o no dicha condición, siempre podemos considerar la suma formal. Por tanto, dos cadenas = n γ k y Σ = m σ k sólo son iguales cuando m = n y σ k = γ k para todo k I n. Dicho de otra forma, la cadena dada por (6) determina en forma única al número natural n y a los caminos γ 1,γ 2,...,γ n. Esto permite hacer las definiciones que siguen. La imagen de la cadena que aparece en (6) es el subconjunto de C dado por n = γk que como en el caso de una curva, es compacto, pero ahora puede no ser conexo. Usaremos también la longitud de la cadena, que se define como la suma de las longitudes de los caminos que la forman: n l() = l(γ k ) Si ahora Σ = m σ k es otra cadena cualquiera, definimos la suma de las cadenas y Σ como una simple yuxtaposición de sumas formales: + Σ = γ 1 + γ γ n + σ 1 + σ σ m También usaremos la cadena opuesta de, que viene dada por = ( γ 1 ) + ( γ 2 ) +... ( γ n ) = Es claro que ( + Σ) = Σ, así como que ( ) =. n ( γ k ) Generalizamos ahora, de forma bastante obvia, la integral sobre un camino. Para la cadena dada por (6), consideramos el espacio de Banach complejo C( ) de las funciones complejas continuas en el compacto, con la norma del máximo: f = máx { f (z) : z } f C( )

9 11. Forma general del teorema de Cauchy 135 Para f C( ) definimos la integral de f sobre la cadena por n f (z)dz = f (z)dz γ k Las propiedades básicas de la integral sobre un camino se extienden obviamente a esta situación formalmente más general. La integral sobre es una aplicación lineal y continua de C( ) en C. Concretamente, es claro que f (z)dz l() f f C( ) Además, la integral es aditiva, en el sentido de que, para cualesquiera cadenas y Σ se tiene f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz f C( Σ ) +Σ y también es obvio que Σ f (z)dz = f (z)dz f C( ) Con la siguiente definición ponemos de manifiesto que de una cadena sólo nos interesa la integral sobre ella. Decimos que dos cadenas y Σ son equivalentes cuando verifican que f (z)dz = f (z)dz f C( Σ ) Σ Se puede comprobar, aunque no llegaremos a usarlo, que de esta forma se obtiene efectivamente una relación de equivalencia en el conjunto de todas las cadenas. Las propiedades reflexiva y simétrica son evidentes, la transitiva también es cierta, pero requiere un resultado topológico que no vamos a comentar. Llamaremos ciclo a toda suma formal de caminos cerrados. Se trata obviamente de un tipo particular de cadena, así que todo lo dicho anteriormente sobre cadenas se aplica en particular a los ciclos. Es claro que la suma de dos ciclos es un ciclo, así como que la cadena opuesta de un ciclo también es un ciclo. Conviene resaltar que un ciclo puede ser equivalente a una cadena que no es un ciclo. Por ejemplo, la cadena = [a,b]+[b,c]+[c,a] donde a,b,c C son distintos, es suma formal de tres segmentos, que no son caminos cerrados, luego no es un ciclo. Pero el camino suma, es decir, la poligonal [a,b,c,a], da lugar al ciclo Σ = [a,b,c,a], suma formal con un sólo sumando, que es un camino cerrado, y es evidente que y Σ son equivalentes. Es clara la forma de extender la noción de índice respecto de un camino cerrado, para definir el índice respecto de un ciclo. Si = n γ k es un ciclo, y z C \, tenemos z C \ γ k para todo k = 1, 2,..., n, luego podemos definir el índice del punto z respecto del ciclo por Ind (z) = 1 n n dw 2πi w z = 1 dw 2πi γ k w z = Ind γk (z) Comprobamos fácilmente que el índice respecto de un ciclo tiene la mismas tres propiedades básicas del índice con respecto a una curva cerrada.

10 11. Forma general del teorema de Cauchy 136 Para todo ciclo se tiene: (i) Ind (z) Z para todo z C \. (ii) La función Ind : C\ Z es continua, o equivalentemente, es constante en cada componente conexa de C \. (iii) Si U es la componente conexa no acotada de C \, se tiene que Ind (z) = 0 para todo z U. Pongamos = n γ k donde n N y γ k es un camino cerrado para todo k I n = {1,2,...,n}. Para z C \, es claro que Ind (z) es una suma de números enteros, luego se cumple (i). Si V es una componente conexa de C \, para todo k I n se tiene que V está contenida en una componente conexa de C \ γk, así que la función Ind γ k es constante en V. Como esto ocurre para todo k I n, tenemos (ii). Finalmente observemos que, por ser compacto, C \ tiene una sola componente conexa no acotada, digamos U. Entonces, para todo k I n, U está contenida en la componente conexa no acotada de C\γk, así que Ind γ k (z) = 0 para todo z U y todo k I n, de donde se deduce (iii) Comentario sobre los teoremas de Cauchy Si analizamos los teoremas de este tipo que hasta ahora conocemos y enseguida revisaremos, todos siguen un esquema análogo. Dados un abierto Ω del plano, un camino cerrado γ en Ω y una función f H(Ω), el teorema afirma siempre que la integral de f sobre γ se anula. Asumiendo el formalismo que acabamos de introducir, a partir de ahora sustituimos el camino cerrado γ por un ciclo en Ω, es decir, tal que Ω, con lo que la tesis común a todos los teoremas de Cauchy será: f (z)dz = 0 (7) Como esto no siempre es cierto, cada teorema tiene una hipótesis adicional, que puede referirse a la función f, al ciclo o al abierto Ω, dando lugar a tres tipos de teorema, uno de los cuales es distinto de los otros dos. Cuando la hipótesis adicional se refiere a f, el abierto Ω está prefijado y queremos obtener (7) para todo ciclo en Ω. Lo mismo ocurre cuando la hipótesis adicional se hace sobre un ciclo en el abierto prefijado Ω, se deberá tener (7) para toda f H(Ω). En cambio, cuando la hipótesis adicional se refiere a Ω, queremos obtener (7) para todo ciclo en Ω y toda f H(Ω). Para abordar la forma general del teorema de Cauchy, es natural preguntarse cual es la hipótesis más general posible sobre la función f, sobre el ciclo o sobre el abierto Ω. Ahora bien, la condición suficiente más general para que se verifique una afirmación es siempre la que sea a la vez necesaria y suficiente, luego la forma más general de cada tipo de teorema siempre será una equivalencia, o si se quiere, una caracterización. Tenemos por tanto tres problemas diferentes, que vamos a ir analizando: Dado un abierto Ω del plano, caracterizar las funciones f H(Ω) que verifican (7) para todo ciclo en Ω.

11 11. Forma general del teorema de Cauchy 137 Conocemos la respuesta a este problema: es la caracterización de la existencia de primitiva, pues la función f verifica la igualdad (7) para todo ciclo en Ω, si y sólo si, la verifica para todo camino cerrado en Ω, lo que equivale a que f admita una primitiva en Ω. Así pues, para este primer tipo de teorema de Cauchy tenemos ya la forma más general posible, pero la respuesta no es satisfactoria, pues la existencia de primitiva fue precisamente la motivación para estudiar los teoremas de Cauchy. Más que resolver un problema, podríamos decir que sólo lo hemos replanteado en forma equivalente. Pasemos al segundo problema: Dado un abierto Ω del plano, caracterizar los ciclos en Ω que verifican (7) para toda f H(Ω). Sobre este problema tenemos por ahora muy poca información. El teorema de Cauchy para el triángulo nos da ciclos muy concretos que verifican la condición requerida: los del tipo = [a,b,c,a], siempre que todo el triángulo (a,b,c) esté contenido en Ω. Podríamos ahora considerar otras poligonales que verifican la misma afirmación, pero no merece la pena, porque vamos a resolver completamente este problema. Partimos de una condición claramente necesaria: si verifica (7) para toda función f H(Ω), fijado w C \ Ω, podemos tomar f (z) = 1/(z w) para todo z Ω, y obtenemos que Ind (w) = 0 para todo w C \ Ω. Demos un nombre a los ciclos que verifican esta condición: Dado un abierto Ω del plano, se dice que un ciclo en Ω es nul-homólogo con respecto a Ω, cuando verifica que Ind (w) = 0 para todo w C \ Ω. Por ejemplo, es claro que todo ciclo es nul-homólogo con respecto a C. Esta nomenclatura es la que se usa en el Álgebra Homológica. En realidad, podemos decir que dos ciclos en Ω son homólogos con respecto a Ω cuando dan los mismos índices para todos los puntos de C \ Ω. Se trata claramente de una relación de equivalencia en el conjunto de todos los ciclos en Ω y es fácil ver que la operación de suma de ciclos permite convertir el conjunto cociente en un grupo abeliano que es el grupo de homología del abierto Ω. Claramente un ciclo es nul-homólogo con respecto a Ω cuando su clase de equivalencia es el elemento neutro (el cero) de dicho grupo. Pues bien, la forma general del teorema de Cauchy nos dirá que la condición de que un ciclo en Ω sea nul-homólogo con respecto a Ω que, según hemos visto, es necesaria para que se verifique (7) para toda f H(Ω), también es suficiente, consiguiendo la caracterización buscada. La diferencia clave con la respuesta dada al primer problema estriba en que, gracias a la interpretación del índice como número de vueltas, prácticamente podemos saber a simple vista si un ciclo en Ω es o no nul-homólogo con respecto a Ω. Abordemos ahora el tercero de los problemas anunciados: Caracterizar los abiertos Ω del plano que verifican (7) para todo ciclo en Ω y para toda f H(Ω). Este problema parece el más ambicioso de los tres, pero se reduce obviamente a cualquiera de los dos primeros. Se trata, por una parte, de los abiertos en los que toda función holomorfa admite primitiva, para los que nos gustaría tener una caracterización más sencilla. De momento sólo tenemos una respuesta parcial, la que nos da el teorema local de Cauchy: todo dominio estrellado verifica la condición requerida.

12 11. Forma general del teorema de Cauchy 138 Usando la solución ya anunciada del segundo problema, obtenemos una respuesta al tercero mucho más prometedora: los abiertos que nos interesan son los que pasamos a definir. Se dice que un abierto del plano es homológicamente conexo, cuando todo ciclo en Ω es nul-homólogo con respecto a Ω. Nótese que esto es tanto como decir que el grupo de homología de Ω es trivial: se reduce al elemento neutro. Conviene resaltar que, para un abierto del plano, ser homológicamente conexo no guarda relación con ser conexo. Es claro que existen dominios que no son homológicamente conexos, por ejemplo C, mientras que la unión de dos discos abiertos disjuntos es un abierto homológicamente conexo que no es conexo. La respuesta a este tercer problema es satisfactoria por la misma razón que la del segundo: prácticamente podemos adivinar a simple vista si un abierto Ω es homológicamente conexo. Si no lo es, ha de existir un ciclo en Ω y un punto w C \ Ω tales que Ind (w) 0. Intuitivamente, esto significa que el punto w está rodeado por puntos de Ω, los puntos de, pero no pertenece a Ω luego Ω tiene un agujero. Así pues, los abiertos homológicamente conexos son los que no tienen agujeros, algo intuitivamente fácil de comprobar. Pasemos a comentar la forma en que vamos a generalizar la fórmula de Cauchy, empezando por recordar cómo se obtuvo. Fijados z D(a,r) D(a,r) Ω, y f H(Ω), el paso clave fue comprobar que f (w) f (z) dw = 0 w z C(a,r) para lo cual se usaba el teorema local de Cauchy, aplicado a la función integrando, que ahora sabemos que es holomorfa en Ω. Gracias a la versión general del teorema de Cauchy que hemos anunciado, podemos sustituir C(a, r) por cualquier ciclo en Ω que sea nul-homólogo con respecto a Ω, obteniendo f (w) f (z) w z dw = 0 z Ω \ (8) Usando la linealidad de la integral y la definición de índice, vemos que (8) equivale a 1 f (w) 2πi w z = Ind (z) f (z) z C \ (9) Esta es la forma general de la fórmula de Cauchy. Nótese que la condición D(a,r) Ω equivale precisamente a que la circunferencia C(a,r) sea un ciclo en Ω, nul-homólogo con respecto a Ω, luego ahora tenemos una versión mucho más general de la fórmula, al haber sustituido la circunferencia C(a,r) por un ciclo arbitrario, que cumpla la misma hipótesis. Así pues, la versión general del teorema de Cauchy ya anunciada, permitiría generalizar también la fórmula de Cauchy, con análogo razonamiento al usado para las versiones locales. La primera idea de Dixon para probar ambos resultados fue seguir el camino inverso, empezando por generalizar la fórmula de Cauchy, pues luego el teorema es una consecuencia inmediata, como veremos. Así pues, en sus versiones generales, ambos resultados son equivalentes. Se trata por tanto de probar directamente (9), o lo que es lo mismo (8), y aquí viene la segunda gran idea de Dixon: estudiar el primer miembro de (8) como función de z, en principio definida en Ω \, comprobar que se trata de una función holomorfa, y extenderla para obtener una función entera, que gracias al teorema de Liouville, acaba siendo idénticamente nula.

13 11. Forma general del teorema de Cauchy Integrales dependientes de un parámetro Para desarrollar el plan que hemos explicado necesitamos algunos resultados previos, que se refieren a las funciones que se definen como integrales dependientes de un parámetro, y tienen interés en sí mismos. Empezamos con una sencilla observación sobre el integrando de (8), como función de dos variables complejas. Lema 1. Sea Ω un abierto del plano y f H(Ω). Consideremos la función Φ : Ω Ω C definida, para cualesquiera z, w Ω, por: f (w) f (z) si w z Φ(w,z) = w z f (w) = f (z) si w = z Entonces Φ es continua, considerando en Ω Ω la topología producto. Demostración. La continuidad separada de Φ es obvia, pero se trata de probar que es juntamente continua en las dos variables. El conjunto U = { (w,z) Ω Ω : w z } es abierto y Φ U es continua, como cociente de funciones continuas, luego Φ es continua en U. Fijado a Ω bastará pues probar que Φ es continua en el punto (a, a). Dado ε > 0, la continuidad de f en el punto a nos da un δ > 0 tal que D(a,δ) Ω y f (b) f (a) < ε b D(a,δ) (10) Para w,z D(a,δ) veremos que Φ(w,z) Φ(a,a) < ε, lo que prueba la continuidad de Φ en (a,a). Si w = z, la desigualdad buscada es la que aparece en (10), tomando b = w. Supongamos pues que w z. Para todo t [0,1] tenemos claramente (1 t)z + tw D(a,δ) Ω, y definimos g(t) = f ( (1 t)z + t w ) t f (a) t [0,1] w z obteniendo una función g : [0,1] C, que es derivable en [0,1] con Por tanto, la regla Barrow nos da: 1 0 g (t) = f ( (1 t)z + t w ) f (a) t [0,1] [ f ( (1 t)z + t w ) f (a) ] dt = g(1) g(0) = Φ(w,z) Φ(a,a) Ahora, para todo t [0,1] podemos aplicar (10) con b = (1 t)z + t w para obtener máx { g (t) : t [0,1] } < ε y deducimos la desigualdad buscada: 1 Φ(w,z) Φ(a,a) g (t) dt < ε 0

14 11. Forma general del teorema de Cauchy 140 El siguiente paso consiste en comprobar que, cuando una función continua en dos variables se integra en una de ellas, resulta una función continua de la otra. Es la continuidad de la integral dependiente de un parámetro: Lema 2. Sea una cadena, A un subconjunto no vacío de C, y Φ : A C una función continua. Definiendo ψ(z) = Φ(w,z)dw z A se obtiene una función continua ψ : A C. Demostración. De hecho A puede ser un espacio métrico arbitrario. Fijamos a A y una sucesión {a n } de puntos de A tal que {a n } a, para probar que {ψ(a n )} ψ(a). El conjunto K = {a n : n N} {a} es compacto, luego K también lo es, y el teorema de Heine nos dice que Φ es uniformemente continua en K. Así pues, para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que, para (w 1,z 1 ),(w 2,z 2 ) K se tiene: máx { w 1 w 2, z 1 z 2 } < δ = Φ(w 1,z 1 ) Φ(w 2,z 2 ) < ε Como {a n } a, existe m N tal que, para n m se tiene a n a < ε, lo que permite usar la implicación anterior tomando w 1 = w 2 = w arbitrario, z 1 = a n con n m y z 2 = a, obteniendo que n m = Φ(w,a n ) Φ(w,a) < ε w Finalmente, la continuidad de la integral sobre una cadena nos dice que, para n m se tiene ( ψ(a n ) ψ(a) = Φ(w,an ) Φ(w,a) ) dw ε l() Esto prueba que {ψ(a n )} ψ(a), como queríamos. En el caso que nos interesa, A será un abierto del plano y, con la hipótesis natural sobre Φ, queremos probar que ψ es una función holomorfa. Para ello usaremos una clara consecuencia del teorema de Fubini: Lema 3. Sean,Σ dos cadenas y Φ : Σ C una función continua. Se tiene entonces: ( ) ( ) Φ(w,z)dw dz = Φ(w,z)dz dw Σ Σ Demostración. La existencia de ambas integrales viene asegurada por el lema anterior. Puesto que cada cadena es suma formal de caminos, en vista de la linealidad de la integral, basta considerar el caso en que y Σ son caminos. Pero por la misma razón, expresando cada camino como suma de arcos, podemos suponer que = γ : [a,b] C y Σ : [c,d] C son arcos, es decir, funciones de clase C 1. Queremos ver entonces que d ( b Φ ( γ(t),σ(s) ) ) b ( d γ (t)dt σ (s)ds = Φ ( γ(t),σ(s) ) ) σ (s)ds γ (t)dt c a a c

15 11. Forma general del teorema de Cauchy 141 Esta igualdad es un caso muy particular del teorema de Fubini, puesto que ambos miembros coinciden con la integral doble de la función (t,s) Φ ( γ(t),σ(s) ) γ (t)σ (s) que es continua en el rectángulo [a,b] [c,d]. Probamos ya el resultado básico que necesitamos para la demostración de Dixon. Teorema. (Holomorfía de la integral dependiente de un parámetro). Sea una cadena, Ω un abierto del plano y Φ : Ω C una función continua. Supongamos que, para cada w, la función Φ w : Ω C definida por Φ w (z) = Φ(w,z) para todo z Ω, es holomorfa en Ω. Entonces, definiendo ψ(z) = Φ(w,z)dw z Ω se obtiene una función holomorfa: ψ H(Ω). Demostración. Por el Lema 2 sabemos que ψ es continua en Ω. Con el fin de aplicar el teorema de Morera, fijamos a,b,c Ω tales que todo el triángulo (a,b,c) esté contenido en Ω. Tomando Σ = [a,b,c,a], el Lema 3 nos dice que ( ) ( ) Σ ψ(z)dz = Σ Φ(w,z)dw dz = Φ w (z)dz Σ dw (11) Para cada w tenemos por hipótesis Φ w H(Ω), lo que nos permite aplicar el teorema de Cauchy para el triángulo, obteniendo: ( ) Φ w (z)dz = 0 w, luego Φ w (z)dz dw = 0 Σ Σ En vista de (11), basta aplicar el teorema de Morera para concluir la demostración La demostración de Dixon Todo está ya preparado para conseguir el siguiente resultado. Forma general del teorema de Cauchy y de la fórmula integral de Cauchy. Sea Ω un abierto del plano y un ciclo en Ω, nul-homólogo con respecto a Ω. Para toda función f H(Ω) se tiene: (i) Ind (z) f (z) = 1 f (w) 2πi w z dw (ii) f (w)dw = 0 z Ω \

16 11. Forma general del teorema de Cauchy 142 Demostración. Consideramos la función Φ : Ω Ω C definida, para w,z Ω, por f (w) f (z) si w z Φ(w,z) = w z f (w) = f (z) si w = z y el Lema 1 de la sección anterior nos dice que Φ es continua. Además, fijado w Ω, la función Φ w : Ω C que viene dada por Φ w (z) = Φ(w,z) = f (w) f (z) w z z Ω \ {w} y Φ w (w) = f (w) es claramente holomorfa en Ω \ {w} y continua en el punto w. Por el teorema de extensión de Riemann, Φ w H(Ω) para todo w. El teorema de holomorfía de la integral dependiente de un parámetro nos dice que ψ H(Ω) donde ψ(z) = Φ(w,z)dw z Ω Repetimos ahora el razonamiento hecho para Φ, con otra función de dos variables, bastante similar pero más sencilla. Concretamente consideramos el conjunto Ω 0 = { z C \ : Ind (z) = 0 } que es abierto por ser una unión de abiertos, las componentes conexas de C \ en las que el índice se anule. Definimos entonces Φ 0 : Ω 0 C por Φ 0 (w,z) = f (w) w z (w,z) Ω 0 y esta vez es obvio que Φ 0 es continua, así como que, fijado w, la función z Φ 0 (w,z) es holomorfa en Ω 0, pues se trata de una función racional. Aplicando de nuevo la holomorfía de la integral dependiente de un parámetro, tenemos ψ 0 H(Ω 0 ) donde ψ 0 (z) = Φ 0 (w,z)dw z Ω Como, por hipótesis, es nul-homólogo con respecto a Ω, para todo z C \ Ω tenemos z Ω 0, luego Ω Ω 0 = C. Además, para todo z Ω Ω 0 tenemos que ψ(z) = f (w) f (z) w z luego podemos definir una función ϕ : C C escribiendo = ψ 0 (z) 2πi f (z)ind (z) = ψ 0 (z) ϕ(z) = ψ(z) z Ω y ϕ(z) = ψ 0 (z) z Ω 0 El carácter local de la holomorfía nos asegura que ϕ es una función entera, y acabaremos viendo que ϕ es idénticamente nula.

17 11. Forma general del teorema de Cauchy 143 Si R = máx{ w : w }, el conjunto C \ D(0,R) está contenido en la componente conexa no acotada de C\, y por tanto en Ω 0. Si además M = máx{ f (w) : w }, para todo z C que verifique z > R, tenemos claramente ϕ(z) = ψ 0 (z) = f (w) w z dw M l() z R Deducimos que lím ϕ(z) = 0 y en particular ϕ está acotada. Por el teorema de Liouville, ϕ z es constante, luego es idénticamente nula. Para z Ω \ tenemos entonces 0 = ϕ(z) = ψ(z) = lo que demuestra (i). f (w) f (z) w z dw = f (w) w z dw 2πi Ind (z) f (z) Para comprobar ahora la afirmación (ii), fijamos z Ω arbitrario y definimos F(w) = (w z) f (w) w Ω Es claro que F H(Ω) y, al aplicarle la fórmula de Cauchy recién demostrada, obtenemos 0 = Ind (z)f(z) = 1 F(w) 2πi w z dw = 1 f (w)dw 2πi como queríamos demostrar Abiertos homológicamente conexos Usando el teorema anterior es ya fácil, como habíamos explicado, tener una caracterización de los abiertos en los que el teorema de Cauchy es válido a plena generalidad, o los abiertos en los que toda función holomorfa admite una primitiva. Organizamos la demostración de forma que nos permita resolver otros dos problemas que teníamos planteados: caracterizar los abiertos en los que toda función armónica es la parte real de una función holomorfa, o los abiertos en los que toda función holomorfa, que no se anule, admite un logaritmo holomorfo. Queda claro que hemos llegado al punto culminante de toda una teoría: todos los problemas que hemos venido estudiando tienen ya una respuesta satisfactoria. Teorema. Para un abierto Ω del plano, las siguientes afirmaciones son equivalentes: (i) Ω es homológicamente conexo, es decir, Ind (w) = 0 para todo w C \ Ω. (ii) Para todo ciclo en Ω y toda f H(Ω) se tiene que f (z)dz = 0. (iii) Toda función holomorfa en Ω admite una primitiva, es decir, para toda f H(Ω) existe F H(Ω) tal que F = f. (iv) Toda función armónica en Ω es la parte real de una función holomorfa en Ω, es decir, para toda u A(Ω) existe f H(Ω) tal que u = Re f. (v) Toda función holomorfa en Ω, que no se anule, admite un logaritmo holomorfo, es decir, si f H(Ω) verifica que f (Ω) C, entonces existe g H(Ω) tal que f (z) = e g(z) para todo z Ω.

18 11. Forma general del teorema de Cauchy 144 Demostración. Las implicaciones (i) (ii) (iii) son, respectivamente, la forma general del teorema de Cauchy y la caracterización de la existencia de primitiva. (iii) (iv). Basta repetir, casi al pie de la letra, la demostración que hicimos cuando Ω era un dominio estrellado. Dada u A(Ω), consideramos la función ϕ : Ω C definida, para z = x + iy Ω con x,y R por ϕ(z) = u u (x,y) i x y (x,y) y, usando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, comprobamos sin dificultad que ϕ H(Ω). Usando (iii), existe f 0 H(Ω) tal que f 0 = ϕ. Tomando entonces u 0 = Re f 0 tenemos u 0 x i u 0 y = f 0 = ϕ = u x i u y de donde deducimos que las derivadas parciales de u 0 coinciden con las de u, luego u u 0 es constante en cada componente conexa de Ω. Es claro entonces que f = f 0 + u u 0 H(Ω) y que Re f = u. (iv) (v). La prueba de esta implicación es análoga al razonamiento que hicimos para ver que el dominio C no verifica (iv), usando precisamente que no verifica (v). Fijamos f H(Ω) tal que f (Ω) C y definimos u : Ω R por u(z) = log f (z) z Ω Se puede comprobar que u A(Ω) usando la ecuación de Laplace, pero es más fácil trabajar localmente. Fijado a Ω, como f (a) > 0, podemos tomar δ > 0 de forma que D(a,δ) Ω y f (z) f (a) < f (a) para todo z D(a,δ). Tomando entonces ( ) f (z) h(z) = log + log f (a) z Ω f (a) como el logaritmo principal es una función holomorfa en D(1, 1), tenemos claramente que h H ( D(a,δ) ) y h(z) Log ( f (z) ) para todo z D(a,δ). Entonces Re h(z) = u(z) para todo z D(a,δ), luego la restricción de u a D(a,δ) es armónica. Esto ocurre para todo a Ω, luego u A(Ω) como queríamos. Así pues, aplicando (iv) tenemos una función g 0 H(Ω) tal que Re g 0 = u, de donde f (z)e g 0(z) = f (z) e u(z) = 1 z Ω Por tanto, la función λ : Ω C, definida por λ(z) = f (z)e g 0(z) para todo z Ω, tiene módulo constante en Ω, luego es constante en cada componente conexa de Ω. Tomando entonces g(z) = log λ(z) + g 0 (z) z Ω tenemos g H(Ω) que verifica e g(z) = λ(z)e g 0(z) = f (z) para todo z Ω.

19 11. Forma general del teorema de Cauchy 145 (v) (i). Si w C \ Ω, la función z z w es holomorfa en Ω y no se anula, luego (v) nos da una función g H(Ω) tal que z w = e g(z) z Ω Se tiene entonces claramente 1 = e g(z) g (z) = (z w)g (z) para todo z Ω, luego g (z) = 1 z w z Ω Por tanto, la función z 1/(z w) admite una primitiva en Ω, luego su integral, sobre cualquier ciclo en Ω, es nula. Por tanto, para todo ciclo en Ω, y para todo w C \ Ω, se tiene Ind (w) = 1 dz 2πi z w = 0 Hemos probado que Ω es homológicamente conexo, como queríamos. Como ya quedó explicado, las equivalencias del teorema anterior pueden entenderse como respuesta satisfactoria a todos los problemas que en él aparecen, pues en la práctica, es bien fácil saber si un abierto Ω del plano es homológicamente conexo. Intuitivamente, esto significa que Ω no tiene agujeros, y una manera fácil de formalizar esta idea consiste en definir los agujeros de Ω como las componentes conexas acotadas de C \ Ω. Es fácil entonces probar una implicación: Si Ω es un abierto del plano y C \ Ω no tiene componentes conexas acotadas, entonces Ω es homológicamente conexo. Dados un ciclo en Ω y un punto w C \ Ω, deberemos comprobar que Ind (w) = 0, para lo cual bastará ver que w pertenece a la componente conexa no acotada de C \. Sea w W donde W es una componente conexa de C \ Ω que, por hipótesis, no está acotada. Puesto que W es un conjunto conexo, contenido en C\, estará contenido en una componente conexa de C \, que sólo puede ser la no acotada, lo que concluye la demostración. Aunque no vamos a demostrarlo, conviene saber que el recíproco del enunciado anterior también es cierto. Por tanto, un abierto Ω del plano es homológicamente conexo si, y sólo si, C \ Ω no tiene componentes conexas acotadas. Se tiene así una caracterización topológica de los abiertos homológicamente conexos del plano, aunque no mediante una propiedad intrínseca al abierto Ω con el que trabajamos, pues se trata de una propiedad topológica de C \ Ω. Se puede argumentar que la acotación no es una propiedad topológica, pero en nuestro caso sí lo es: un conjunto W C \ Ω está acotado si, y sólo si, su cierre en C es compacto y, puesto que C \ Ω es cerrado en C, el cierre de W en C es el mismo que en C \ Ω. En Topología Algebraica se maneja otra caracterización de los abiertos homológicamente conexos del plano que sí es una propiedad topológica intrínseca del abierto con el que se trabaja, y de hecho tiene sentido para cualquier espacio topológico: la conexión simple. No vamos a explicar la definición de esta propiedad topológica, que se basa en una noción fundamental de la Topología Algebraica, el concepto de homotopía. Baste decir que, intuitivamente, un espacio topológico es simplemente conexo cuando no tiene agujeros.

20 11. Forma general del teorema de Cauchy Ejercicios 1. Enunciar con detalle y demostrar que el índice de un punto respecto de una curva cerrada se conserva por giros, homotecias y traslaciones. 2. Sea ρ : [ π,π] R + una función continua tal que ρ( π) = ρ(π), y sea γ : [ π,π] C la curva definida por γ(t) = ρ(t)e it t [ π,π] Calcular Ind γ (z) para todo z C \ γ. 3. Sean γ 1,γ 2 : [a,b] C curvas cerradas y z C verificando que Probar que Ind γ1 (z) = Ind γ2 (z). γ 2 (t) γ 1 (t) < γ 1 (t) z t [a,b] 4. Sea α : R + 0 C una función continua, tal que: α(0) = 0 y α(t) (t + ) y sea Ω = C \ α(r + 0 ). Probar que Ω es abierto y que existe f H(Ω) tal que e f (z) = z para todo z Ω. 5. Sea Ω un abierto homológicamente conexo del plano tal que R + Ω. Probar que existe f H(Ω) tal que f (x) = x x x R +